SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học: 2021 - 2022 Môn thi: Toán (chung) – Đề Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên xã hội (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Nội dung Điểm Câu (2,0 điểm) 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức Câu 1 8x  P 2) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y  mx  ( m  ) đường thẳng y  x  song song 3) Tính chiều cao tam giác ABC cạnh bằng cm 4) Tính thể tích hình nón có chiều cao bằng cm bán kính đáy 3cm Biểu thức xác định chỉ x   1) 2) x 0,25 0,25 m   Hai đường thẳng song song chỉ 1  m9 0,25 3) Gọi AM đường cao tam giác ABC, tính được AM  cm 4) V   R h Thể tích hình nón  V   32.4  12 cm3 0,25   với x  0; x  1) 2) 0,5 0,25   x x 1 x    x  25   Q    x x 1 x    x  x   x    Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức Câu 0,25 Rút gọn biểu thức Q Tìm x để Q có giá trị bằng 10 1)  x x 1  x  25 Q       x  x  x  x x  x  0; x    Với đk : , ta được 0,25  x   x  25  1   x  x  x 1  0,25  x  25 x 0,25 với x  0; x  , ta có 2)   x 5  Q  10  x  25  10  x  10 x  25  x   x 5  0,25 0,25  x  25 0,25 Câu (2,5 điểm) 1) Cho phương trình Câu x   m  1 x  m   (1) với m tham số a) Giải phương trình (1) m  x ,x b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa x  x2  mãn 2) Giải phương trình sau:  x  x   2  Với m  ta có phương trình x  x  10  1.a) 0,25 Phương trình có  '  16  10   nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1   10 ; x2   10   '   m  1  m   2m   m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt  x1  x2   m  1  x x  m  Theo hệ thức Viét ta có  1.b) Mà Có 0,25 0,25 x1  x2  suy x2  m ; x1  m  x1.x2  m   m  m    m  Giải đối chiếu điều kiện ta được 2) 0,25 0,25 m 0,25 Điều kiện:  x  0,25 Với điều kiện cho phương trình   x  x   2 0,25  6 x x22    x   x  2   x  x  2 8   12  x  x   x  x  16    x     x  0,25 thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x  0,25 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường trịn tâm O đường kính Câu AP Các đường cao BE CF cắt tại H 1) Chứng minh rằng tứ giác BCEF nội tiếp AE AC  AF AB 2) Gọi K , I lần lượt trung điểm EF AH Chứng minh AP  EF AP // IK 3) Gọi M giao điểm IK BC ; N giao điểm MH với cung nhỏ AC đường · · BC HMC  HAN M tròn (O) Chứng minh rằng 1) 2) trung điểm đoạn · · Vì BE, CF đường cao tam giác ABC nên BEC  BFC  90 0,25 suy điểm B,C,E,F thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp 0,25 · · · Xét hai tam giác AEF tam giác ABC có AEF  ABC (cùng bù với góc FEC ) có góc A chung, suy AEF ABC đồng dạng (g.g) 0,25 AE AF   AE AC  AF AB Suy AB AC 0,25 Kẻ tiếp tuyến At đường tròn tâm O ta suy AP  At Khi » · CAt  ·ABC  sđ AC (1) (2) · · Tứ giác BCEF nội tiếp nên suy AEF  ABC (3) 0,25 · · từ (2) (3) suy AEF  CAt , suy At // EF (4) Từ (1) (4) suy AP  EF (5) 0,25 Ta có E F nhìn đoạn AH góc 90 nên tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AH, lại có K trung điểm dây cung EF suy IK  EF (6) 0,25 từ (5) (6) suy IK song song với AP 0,25 Gọi D giao điểm AH BC Ta có tứ giác BCEF nội tiếp đường trịn đường kính BC, IK đường trung trực dây cung EF nên M trung điểm BC 0,25 Có BP // CH vng góc với AB; CP // BH vng góc với AC 3) Suy tứ giác BPCH hình bình hành nên điểm P, M, H thẳng hàng hay điểm P, M, H, N thẳng hàng 0,25  ·ANM  900 ; mà ·ADM  900 suy tứ giác ANDM nội tiếp 0,25 · · » · ·  NMD  NAD (góc nội tiếp chắn cung ND ) hay HMC  HAN 0,25 Câu V (1,0 điểm) Câu 2 x   y  y  x  (1)  y  x2  2x  (2) 1) Giải hệ phương trình  2) Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz  Chứng minh rằng  x x2 y2 z y z     2    yz xz xy  y z x z x y  Điều kiện: x   3y   y  x    0,25 Xét phương trình (1) có: x   y  y  x    x   3y   y  x   y  x  2 3 x  2  y   x  2 y   x2 y  0 y  x2  x  2  x2  x  Với y  x  , thay vào phương trình (2) ta được:  x  1  2x2  6x      x  2 + x  1  y  thỏa mãn 0,25 + x  2  y  thỏa mãn  x  1  x  2   y   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:  y  Với x, y , z số dương xyz  ta có:  x  x x2 y z y z  y z  3    2      x  y  z    yz xz xy  yz xz x y  yz xz x y x3  y   x  y   x  xy  y  2 x  xy  y  xy x y x3  y   x  y  xy  x  y  z Suy zx yz z  x3  y3  z3  y x Tương tự ta có Ta có 0,25  1 1 1 1 1  x3  y  z   x    y    z     z x x y  y z Từ BĐT ta có: Mặt khác áp dụng BĐT Cơsi cho số dương ta có 1 1 1 1 1 4z x y  2     z    xy  x y x y xy mà  x y x y suy x y x  y  1  4y y    Tương tự ta có:  z x  z  x 1 1 4x x     y z yz  x3  y  z   0,25  x 4x 4y 4z y z     x3  y  z      yz zx x y  yz zx x y Suy Ta được điều cần chứng minh Bất đẳng thức xảy dấu bằng khi: x  y  z  Lưu ý: + Các cách giải khác đáp án đúng, phù hợp với chương trình THCS, ban giám khảo thống cho điểm thành phần tương ứng HẾT ... điểm) 1) Cho phương trình Câu x   m  1 x  m   (1) với m tham số a) Giải phương trình (1) m  x ,x b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa x  x2  mãn 2) Giải... suy AP  At Khi » · CAt  ·ABC  sđ AC (1) (2) · · Tứ giác BCEF nội tiếp nên suy AEF  ABC (3) 0,25 · · từ (2) (3) suy AEF  CAt , suy At // EF (4) Từ (1) (4) suy AP  EF (5) 0,25 Ta có E F... NAD (góc nội tiếp chắn cung ND ) hay HMC  HAN 0,25 Câu V (1,0 điểm) Câu 2 x   y  y  x  (1)  y  x2  2x  (2) 1) Giải hệ phương trình  2) Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz  Chứng