SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH LONG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH LONG NĂM HỌC 2022-2023 MƠN : TỐN (chun) Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức a)  x+3 x +2  P =  − ÷: x −2÷  x x −8  x P tìm giá trị P Tính giá trị biểu thức b) Tìm 3− 2 3+ 2 − 17 − 12 17 + 12 x2 + ( m − 2) x + m − = x ( ẩn số, để phương trình có hai nghiệm phân biệt A = x1 x2 − ( x1 − x2 ) + Rút gọn biểu thức x = 14 + Câu (1,0 điểm) Cho phương trình m với x > 0, x ≠ x1 , x2 m tham số cho biểu thức đạt giá trị lớn Câu (1,5 điểm) a) Giải phương trình : Giải hệ phương trình Câu (1,5 điểm) b) a) b) Cho x −1 + 2x − =  x ( x + 3) ( x + y ) = 30   x + x + y = 13 A = ( 12023 + 2023 + + 20222023 ) Chứng minh Tìm nghiệm nguyên phương trình x + y + x = 21 Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính thẳng AO ( H ≠ A; H ≠ O ) a) Chứng minh M AB Gọi H điểm thuộc đoạn Qua H vẽ đường thẳng vng góc với cắt đường trịn (O) C D Hai đường thẳng N hình chiếu AM2022 lên đường thẳng ∠ACN = ∠AMN AB BC AD AB, đường thẳng cắt M Gọi Chứng minh b) CH = NH OH A Tiếp tuyến c) EB đường tròn lấy điểm E cho giao điểm thẳng AE cắt qua trung điểm đoạn thẳng ABCD Câu (1,0 điểm) Cho hình vng DC ( O) BM DC = 3DE , DC , vẽ OH nội tiếp đường trịn đường thẳng vng góc với AE ( O; R ) cắt cung nhỏ DM DC , dây cung I M Gọi H Tính độ dài đoạn DI theo R Chứng minh Biết a, b a + b ≤ ( a + b2 ) a + b = b) E Chứng minh đường thẳng CH Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực không âm a) NC P= Tìm giá trị lớn biểu thức ĐÁP ÁN 2ab a +b+ Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức c)  x+3 x +2  P =  − ÷: x −2÷  x x −8  x thức P tìm giá trị P Với x > 0; x ≠ ( )( x −2 x −2 x+2 x +4 ) x= x = 14 + ⇒ x = Ta có x > 0, x ≠ Rút gọn biểu x = 14 + ta có :   x+3 x +2   P =  − = ÷: x −2÷  x x −8  x  = với ( x+3 x +2 )( x −2 x+2 x +4 x x+2 x +4 ( 3+ 5) = 3+ − ) (   x x −2 x+2 x +4   x+2 x +4 )( ) ⇒P= 3+ = 14 + + + + Tính giá trị biểu thức d) 3− 2 3+ 2 − = 17 − 12 17 + 12 3− 2 3+ 2 − 17 − 12 17 + 12 3−2 ( 3− 2) 3+ 2 − ( 3+ 2) Câu (1,0 điểm) Cho phương trình số Tìm m = 1 − =2 −1 +1 x2 + ( m − 2) x + m − = x ( ẩn số, để phương trình có hai nghiệm phân biệt A = x1 x2 − ( x1 − x2 ) + x1 , x2 đạt giá trị lớn ∆ = ( m − ) − ( m − 3) = m − 8m + 16 = ( m − ) ≥ Ta có Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Vi-et ta có : ∆>0⇔m≠4  x1 + x2 = − m   x1 x2 = m − A = x1 x2 − ( x1 − x2 ) + = x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = −m + 10m − 19 2 ⇒ A = − ( m − ) ≤ 6∀m Max A = ⇔ m = Vậy Câu (1,5 điểm) c) Giải phương trình : Ta có x −1 + 2x −1 = x −1 + 2x −1 =  x ≥ ⇔ 3x − +  x ≥ ⇔ ( x − 1) ( x − 1) = 25 2 x − x + = 27 − x 1 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x=5  x − 150 x + 725 = m tham cho biểu thức d) Giải hệ phương trình Hệ cho tương đương với x + 3x ; x + y  x ( x + 3) ( x + y ) = 30   x + x + y = 13 ( x + x ) ( x + y ) = 30   x + 3x + x + y = 13 Suy Vậy hai nghiệm phương trình t = 10 t − 13t + 30 = ⇔  t =   x + x = 10  x = 2; y = −1 ⇔   x = −5; y = 13  2 x + y =   −3 + 21  x= ; y = 13 − 21   x + 3x =   x + y = 10 ⇔  −3 − 21  x= ; y = 13 + 21    Vậy hệ cho có nghiệm Câu (1,5 điểm) c) Cho A = ( 12023 + 2023 + + 2022 2023 ) Với hai số nguyên dương 1  −3 + 21   −3 − 21  ;13 − 21 ÷ ; ;13 + 21   ÷ ÷ ÷; ( 2; −1) ; ( −5;13) 2     a, b Chứng minh bất kỳ, ta có a 2023 + b 2023 M( a + b ) AM2022 Ta có  M2022  22023 + 20202023  M2022 2023 + 2021 2023 10102023 + 10122023  M2022 Và 2.10112023 M2022; 2022 2023 M2022 ⇒ A = ( 12023 + 22023 + + 2022 2023 ) M2022 d) Tìm nghiệm nguyên phương trình x + y + x = 21( 1) x + y + x = 21 ⇔ ( x + 1) = ( − y ) 2 ( x + 1) ≥ ⇒ ( − y ) ≥ ⇔ y ≤ ⇔ y ∈ { 1; 4} Mà x = y = ⇒ ( 1) ⇔ x + x − 16 = ⇔   x = −4 y = ⇒ ( 1) ⇔ x + x − = ⇒ x = −2 ± Vậy nghiệm nguyên phương trình ( 2;1) ; ( 2; −1) ; ( −4;1) ; ( −4; −1) Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính đoạn thẳng AO ( H ≠ A; H ≠ O ) AB Gọi H điểm thuộc Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với thẳng cắt đường trịn (O) C D Hai đường thẳng M Gọi N hình chiếu M lên đường thẳng AB BC AB, AD đường cắt d) Chứng minh Tứ giác MNAC Nên tứ giác e) có ∠MNA + ∠MCA = 90° + 90° = 180° MNAC tứ giác nội tiếp Chứng minh Ta có : ⇒ ∠ACN = ∠AMN CH = NH OH ∠ACN = ∠AMN ∠AMN = ∠ADC AB ⊥ CD ⇒ H Tam giác Suy ∠ACN = ∠AMN (do MN / / DC vng góc với AB ) trung điểm CD ACD tam giác cân AH vừa đường cao, vừa trung tuyến ∠ADC = ∠ACD Tứ ta có ∠ACN = ∠ACD Ta có : ∠NCO = ∠ACN + ∠ACO = ∠ACD + ∠OAC = 90° ⇒ CN ⊥ CO ⇒ ∆NCO vuông C suy CH = NH OH Tiếp tuyến f) thẳng EB A đường tròn Gọi F giao điểm C đường kính FE = EA nên DC CH CK = KH I Gọi giao điểm AE CH cân E nên E thuộc trung trực AC FA BE Ta có Nên đường trung trực CH / / FA E BM ABCD DC = 3DE , DC , DI theo R vẽ nên phải cắt FA CK KH  BK  = = ÷ FE EA  BE  CH nội tiếp đường tròn đường thẳng OH AC trung điểm Vậy BE qua trung điểm lấy điểm E cho đoạn thẳng E Chứng minh đường BM Câu (1,0 điểm) Cho hình vng cung NC tâm đường trịn Suy Gọi K giao điểm Mà AE thuộc đường trịn đường kính FA cắt qua trung điểm đoạn thẳng   ∠ACE = ∠EAC  = sd »AC ÷ ⇒ ∆AEC   Ta có ( O) AE vng góc với ( O; R ) , dây cắt cung nhỏ DM DC M H Tính độ dài AD = R 2; DE = Ta có ∠DOH = Ta có R 2R2 ; AE = AD + DE = R + = R 1 ¼ ∠DOM = sd DM = ∠DAM 2 ⇒ ∆OHD ∽ ∆ADE ⇔ DH DE R 10 R 10 = ⇒ DH = ⇒ DM = OD AE 10 ME DE MD = = CE AE AC ∆DEM ∽ ∆AEC ( g g ) ⇒ Ta có ⇒ ME DE MD ME ME = = ⇒ = ⇒ = AE CE AC 10 AE AM EI ME 1 R = = ⇒ EI = AB = AB AM 6 R R R ⇒ DI = DE + EI = + = EI / / AB ⇒ Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực không âm c) Chứng minh a, b a + b ≤ ( a + b2 ) 2ab ≤ a + b ⇔ ( a + b ) ≤ ( a + b ) ⇔ a + b ≤ ( a + b ) Ta có : a + b = d) Biết P= Tìm giá trị lớn biểu thức 2ab a+b+2 ( a + b ) − ( a + b2 ) ( a + b ) − − 2ab P= = = = a+b− 2− a+b+2 a+b+2 a+b+2 a+b+2 a+b ≤ ⇒ a+b+2≤ 2+2 ⇒ ≥ a + b + 1+ P ≤ −2− Vậy −3 + 3 = 1+ Dấu xảy a + b2 = ⇒a=b=  a = b Max P = Vậy −3 + 3 ⇔ a=b= ... có a 2023 + b 2023 M( a + b ) AM2022 Ta có  M2022  22023 + 202 02023  M2022 2023 + 2021 2023 ? ?101 02023 + 101 22023  M2022 Và 2 .101 12023 M2022; 2022 2023 M2022 ⇒ A = ( 12023 + 22023. .. =   x + y = 10 ⇔  −3 − 21  x= ; y = 13 + 21    Vậy hệ cho có nghiệm Câu (1,5 điểm) c) Cho A = ( 12023 + 2023 + + 2022 2023 ) Với hai số nguyên dương 1  −3 + 21   −3 − 21  ;13... DM = ∠DAM 2 ⇒ ∆OHD ∽ ∆ADE ⇔ DH DE R 10 R 10 = ⇒ DH = ⇒ DM = OD AE 10 ME DE MD = = CE AE AC ∆DEM ∽ ∆AEC ( g g ) ⇒ Ta có ⇒ ME DE MD ME ME = = ⇒ = ⇒ = AE CE AC 10 AE AM EI ME 1 R = = ⇒ EI = AB =