HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Một trong những mô hình đơn giản nhưng rất điển hình của chuyển động một chiều là dao động tử điều hoà, với hàm thế năng giống như trong Cơ học cổ điển. ở đây, ta sẽ dùng hai phương pháp để nghiên cứu chuyển động như vậy: phương pháp giải tích thông thường và phương pháp các toán tử sinh và huỷ. 1.Giải bài toán về dao động tử bằng phương pháp giải tích Xét chuyển động của một hạt lượng tử trong trường thế năng có dạng: 2 2 ( ) (10.1) 2 m U x x ω = Đồ thị hàm thế năng như vậy là đường parabole đi qua gốc toạ độ và nhận trục tung làm trục đối xứng HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Phương trình cho trạng thái dừng có dạng: Để phần nào đơn giản hoá phương trình, ta đặt: (10.2) ϕϕ ωϕ Ex m dx d m =+− 2 2 2 22 22  ξ ω =  m x ; λ ω =  E . Khi đó, (10.2) trở thành (10.3) λϕϕξ ξ ϕ 2 2 2 2 =+ d d Tiếp theo, đặt (10.4) f d d = ξ ϕ ϕ 1 HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi đó, (10.3) có dạng: (10.5) λξϕ ξ 2 22 −=+ f d df Với đủ lớn, ta tìm nghiệm của (10.5) dưới dạng: ξ ∑ +∞ −= = 1k k k a f ξ h ay         ++++++= 22 1 ξ ξ ξ ξ ξ qp d c baf Với f như vậy, ta có: (10.6)         Θ+−= 32 1 ξξξ c a d df HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam trong đó là đại lượng cùng bậc với x khi và: ( ) xΘ 0→x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 1 32 2 42 2 2222 +++++ +++++++++= d c d bbc d a acad c baf ξξξ ξ ξ ξξ ξ Do đó, vế trái của (10.5) sẽ bằng:         Θ+++++ ξ ξξ 1 22 222 aacbaa So sánh với vế phải của (10.5), ta được: a 2 = 1, 2ab = 0; b 2 + 2ac + a = -2 λ . HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Suy ra: a = ±1, b = 0; 2ac + a = -2 λ . Như vậy, nếu chọn a = 1, ta có 2c + 1 = -2 λ hay c = - λ - 1/2 và (10.6)         Θ+       + −== 2 1 1 2 1 ξξ λ ξ ff Mặt khác, từ (10.4) ta có ϕ ln là nguyên hàm của f. Với f = f 1 , ta có ϕ = ϕ 1 sao cho:         Θ+       +−= ξ ξλ ξ ϕ 1 ln 2 1 2 ln 2 1 HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Suy ra: ( ) (10.7) ξθξϕ λ ξ 1 2 1 2 1 2 +=       +− e Trong đó và nghịch biến theo ( ) 1 1 ≈ ξθ ξ Tương tự, với a = -1, ta có 2c + 1 = 2 λ hay c = λ - 1/2 và (10.8)         Θ+       + +−== 2 2 1 2 1 ξξ λ ξ ff Tương ứng ta cũng có ( ) (10.9) ξθξϕ λ ξ 2 2 1 2 2 2 +=       − − e HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong đó cũng gần với 1 và nghịch biến theo Nghiệm tổng quát của (10.3) khi đủ lớn là: ( ) ξθ 2 ξ ξ ( ) ( ) (10.10) ξθξξθξϕ λ ξ λ ξ 2 2 1 2 21 2 1 2 1 22       − −       +− += eCeC Rõ ràng, nếu C 1 ≠ 0 thì khi sẽ có ±∞→ ξ +∞→ ϕ Vì vậy phải có C 1 = 0. Do đó, nghiệm với đủ lớn có dạng: ξ ( ) (10.11) ξθξϕ λ ξ 2 2 1 2 2 . 2       − − = eC hay: ( ) ξϕ ξ Fe 2 2 − = HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam trong đó ngang cấp với )( ξ F       − 2 1 λ ξ Từ (10.11) suy ra: ( ) ( ) ξ ξ ξξ ξ ϕ ξξ d dF eFe d d 22 22 −− +−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22222 2 2 22222 1 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξξξξ ξ ϕ ξξξξξ d Fd e d dF e d dF eFeFe d d −−−−− +−−−−−= hay ( ) ( ) ( ) ( ) (10.12) 2 2 222 2 2 2 222 21 ξ ξ ξ ξ ξξξ ξ ϕ ξξξ d Fd e d dF eFe d d −−− +−+−= [...]... + ϕε +1 2 1 ˆ aϕε = ε − ϕε −1 2 (10. 29) (10. 30) ˆ nên ta có thể gọi a là toán tử huỷ (huỷ lượng tử nang lượng) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta tim mức nang lượng thống nhất Ký hiệu mức nang lượng rút gọn thấp nhất là ε0 Khi đó, ta yêu cầu hàm riêng tương ứng ϕ ε 0 thoa mãn thêm điều kiện: ˆ aϕε 0 = 0 Khi đó, nên: (10. 31) ˆ ˆ a + aϕ ε 0 = 0 ε 0ϕ ε 0... thái ứng với n¨ng lượng rút gọn ε + 1 Nói cách khác, việc áp dụng (tác dụng) ˆ a + lên trạng thái có nang lượng E xác định làm cho hệ chuyển sang trạng thái với nang lượng mới là Do đó, nếu ta gọi  ω E + ω là lượng tử nang lượng của dao động tử thi có thể gọi ˆ a + là toán tử sinh lượng tử nang lượng hay ngắn gọn hơn ta gọi là toán tử sinh HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa,... Viet nam Mặt khác, (10. 26) chính là: ˆ H1ϕ = εϕ (10. 27) Nếu ϕ ε là nghiệm của (10. 27) thi: h ay tức là ˆ ˆ ˆ a + H 1ϕ ε = εa +ϕ ε ˆ ˆ ˆ H − 1 a +ϕ = εa +ϕ ( 1 ( ) ) ε ε ˆ ˆ ˆ H1 a +ϕε = ( ε + 1) a +ϕε (10. 28) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Như vậy, nếu ϕε là trạng thái ứng với “nang lượng rút gọn” ε thi ˆ a +ϕ ε là trạng thái ứng với n¨ng lượng rút gọn ε + 1... năng lượng rời rạc Điều này có nghĩa là chỉ trong các trạng thái riêng ứng với các giá trị E = En thì hệ dao động mới tồn tại bền vững Các giá trị khác của năng lượng làm cho dao động tử chuyển sang trạng thái không dừng HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 10 DAO... BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ ... ) a k + 2ξ k dξ 2 k = 0 k =2 k =0 Do đó, (10. 13) trở thành: ∞ [ ( k + 1)( k + 2) ak + 2 + ( 2λ − 2k − 1) ak ]ξ k = 0 ∑ k =0 Do (10. 15) đúng với mọi tức là: ak + 2 (10. 15) ξ nên mọi hệ số của chuỗi đề phải bằng 0,  ( 2k − 2λ + 1)  =  ak  ( k + 1)( k + 2 )  (10. 16) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Thay thế trở lại (10. 14), ta dược:  1 − 2λ 2 (1 − 2λ )( 5 −... nên suy ra E có phổ rời rạc: 1  E = En =  ω  n +  2  (10. 20) n HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Có thể chứng minh rằng các hàm riêng tương ứng của toán tử năng lượng là: ϕ n ( ξ ) = cn e ξ2 − 2 H n (ξ ) (10. 21) với H n ( ξ ) là các đa thức Hermite H n ( ξ ) = ( − 1) e n ξ 2 ( ) d n −ξ 2 e n dξ (10. 22) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh... nam 1 Vậy ε 0 = 2 và εn = n + 1 2 Suy ra phổ nang lượng gồn các giá trị: tức là trùng với (10. 20) ˆ ˆ ˆ Bây giờ ta đặt N = a + a Khi đó Vi vậy: 1  E n =  n +  ω 2  ˆ ˆ 1 N = H1 − 2 1  ˆ Nϕ ε n =  ε n − ϕ ε n = nϕ ε n 2  HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ Do đó, trị riêng của N là số lượng tử nang lượng trong trạng thái ϕεn = ϕ εn + 1 2 Dùng các toán...HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam nên (10. 3) trở thành: dF ( ξ ) d 2 F ( ξ ) F ( ξ ) + 2ξ − = 2λF (ξ ) 2 dξ dξ hay: d 2 F (ξ ) dF ( ξ ) − 2ξ + ( 2λ − 1) F ( ξ ) = 0 2 dξ dξ (10. 13) Ta tìm nghiệm của (10. 13) dưới dạng chuỗi: ∞ F = ∑ ak ξ k Khi đó: k =0 ∞ dF = ∑ ka k ξ k −1 ; dξ k =0 (10. 14) ∞ dF ξ = ∑ ka k ξ k dξ k = 0 ξ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh... ( ξ ) là hàm lẻ (10. 17) Bây giờ ta chứng minh rằng λ phai có dạng một số bán nguyên, tức là 1 λ =n+ với n là số tự nhiên 2 2a 0 F0 ( ξ ) = F (ξ ) + F ( − ξ )  2a1 F1 (ξ ) = F (ξ ) − F ( − ξ ) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Thật vậy, vi F0 ( ξ ) là hàm chẵn, F1 ( ξ ) là hàm lẻ nên: F ( − ξ ) = a0 F0 ( ξ ) − a1 F1 ( ξ ) (10. 18) từ (10. 17) Và (10. 18) suy ra 2a0 . Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU. nam Suy ra: a = ±1, b = 0; 2ac + a = -2 λ . Như vậy, nếu chọn a = 1, ta có 2c + 1 = -2 λ hay c = - λ - 1/2 và (10. 6)         Θ+       + −== 2 1 1 2 1 ξξ λ ξ ff Mặt