Thông tin tài liệu
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 0
www.vuihoc24h.vn - Kênh hc tp Online
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 1
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 2
LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình toán THPT, Bất Đẳng Thức là một phân môn khó
nhưng lại thường bắt gặp trong những kì thi quan trọng như tuyển sinh đại
học, thi học sinh giỏi các cấp, các kì thi Olympic trong và ngoài nước… Nhất
là đối với phần Bất Đẳng Thức Trong Tam giác, nó là một dạng toán logic,
người làm các bài toán này cần có những hiểu biết sâu về hình học, lượng
giác và cả đại số.Chính vì thế, tác giả đã tập hợp, phân loại, biên soạn nên
cuốn “Chuyên đề Bất Đẳng Thức Trong Tam Giác”. Cuốn sách trên tay các
bạn là tâm huyết của chúng tôi cùng với sự giúpđở của các thầy cô, nó là
một hệ thống kiến thức từ cơ bản đến chuyên sâu, tập hợp nhiều bài toán
khác nhau thuộc nhiều chuyên đề. Quyển sách gồm 3 phần:
I.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
II.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Trong đó, mở đầu bẳng phần kiến thức cơ bản và nâng cao, sau đó là
phần bài tập tham khảo, sau cùng là phần bài tập đề nghị có kèm hướng dẫn
giải.
Do là lần đầu tiên biên soạn chuyên đề, dù đã cố gắng hết sứi cố gắng
cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong các bạn thông cảm.Mọi
góp ý xin gởi về địa chỉ ngohoangtoan1994@gmail.com. Cuối lời, tác giả
chúc tất cả các bạn một mùa thi 2013 thành công và thắng lợi.Thân ái!
Thành Phố Cần Thơ, ngày 25 tháng 09 năm 2012
Ngô Hoàng Toàn
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 3
MỤC LỤC
Chương Trang
I.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 4
II.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 30
III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 51
-
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 4
CHƯƠNG 1:
CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
1. Định lí hàm số Cosin.
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cosA
b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cosB
c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab cosC
2. Định lí hàm số Sin
R
C
c
B
b
A
a
2
sin
sin
sin
(với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
3. Định lí trung tuyến.
2
2
2
222
BC
AMACAB
4. Công thức về diện tích
cba
cba
rcprbprapS
cpbpappS
cba
pprS
R
abc
S
CabBacAbcS
chbhahS
)()()(
))()((
)
2
(
2
sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
2
1
2
1
2
1
kính đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C ).
( với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC; r
a
, r
b
, r
c
lần lượt là bán
5. Công thức bán kính đường tròn nội tiếp
www.vuihoc24h.vn - Kênh hc tp Online
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 5
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin4
))()((
2
tan)(
2
tan)(
2
tan)(
C
BA
c
B
AC
b
A
CB
a
r
CBA
R
p
cpbpap
p
S
r
C
cp
B
bp
A
apr
6. Công thức về bán kính đường tròn bàng tiếp
2
cos
2
cos
2
cos
2
tan.
A
CB
a
A
pr
a
2
cos
2
cos
2
cos
2
tan
2
cos
2
cos
2
cos
2
tan
C
BA
c
C
pr
A
CA
b
B
pr
c
b
7. Công thức tính độ dài đường phân giác trong
)(
2
2
cos2
)(
2
2
cos2
)(
2
2
cos2
cpabp
baba
C
ab
l
bpacp
caca
B
ac
l
apbcp
cbcb
A
bc
l
c
b
a
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 6
BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1:
Cho
ABC
nhọn, M nằm trong ABC
, x, y, z là khoảng cách từ M đến ba
cạnh BC, AC, AB . CMR:
R
cba
zyx
2
222
Hướng dẫn giải
Ta có
2
222
222
222
111
2
2
42
1
2
1
2
1
zyx
yzxzxyzyxz
b
c
y
c
b
z
a
c
x
c
a
y
a
b
x
b
a
zyx
czbyax
cba
abc
czbyaxacbcab
abc
czbyax
cba
R
cba
R
abc
czbyax
R
abc
czbyaxS
Vậy
R
cba
zyx
2
222
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh
ABC
có chu vi là 2p. Chứng minh rằng:
a)
8
abc
cpbpap
b)
cbacpbpap
111
2
111
Hướng dẫn giải
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 7
a)Theo BĐT Cauchy
)3(
2
2
)2(
22
)1(
22
acpbp
cpbp
cbpap
bpap
bcpap
cpap
Lấy (1)(2)(3) ta được
8
abc
cpbpap Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
b) Theo BĐT Cauchy
acpbp
cpbp
a
cpbp
cpbp
cpbpcpbpa
411
4
11
211
2
Chứng minh tương tự
capbp
bcpap
411
411
Vậy
cbacpbpap
111
2
111
Bài 3: Cho
ABC
có S là diện tích và a,b,c là độ dài các cạnh. Chứng minh
rằng
4442
16
1
cbaS
Hướng dẫn giải
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 8
Theo công thức Hê rông
4442
444444444
222222444
22222244422
2
22222
222222
2
22
2
2
16
1
16
1
222
16
1
2224
16
1
4
16
1
22
16
1
16
1
cbaS
cbacbacba
cbcabacba
cbcabacbacb
acbcb
acbbcbcacb
cbaacbS
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Bài 4: Cho
cba
hhh
,,
là độ dài ba đường cao của tam giác có bán kính đường
tròn nội tiếp là r
Chứng minh rằng
r
h
h
h
h
h
h
a
b
b
c
c
a
1
222
Hướng dẫn giải
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 9
Ta có
r
h
h
h
h
h
h
rS
cba
cbacba
S
cbaa
a
c
c
c
b
b
b
a
S
Sa
c
Sc
b
Sb
a
h
h
h
h
h
h
rcbachbhahS
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
c
a
cba
1
1
2
222
2
1
2
1
222
2
222
222
222
222
Dấu “=” xảy ra khi
ABC
đều
Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là
51, 5 ,1
Hướng dẫn giải
Cách 1
Giả sử tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là 15h ,5h ,1
cb
a
h ,
các cạnh tương ứng là cba ,,
Ta có :
ca
h
S
a
h
2S
c ,
h
2S
b ,
2
b
405625 )59(25
5925 5555420
4
15
5
5
1
51
1
5
1
1
1
111
222
22
cbacba
hhhh
S
h
S
h
S
(Vô lí)
Vậy không tồn tại một tam giác mà độ dài ba đường cao là 5,1 5 ,1
Cách 2
Tương tự trên ta có :
)51.(5.1.2 cbaS
Do đó
[...]... BB2 CC 2 (b c ) 2 (a c) 2 (a b) 2 12 A1 A2 B1 B2 C1C 2 a2 b2 c2 Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện Page 23 Ngơ Hồng Tồn YD-K38 2012 Vậy Tmin=12 khi tam giác ABC đều Bài 19: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1 Đặt B1C1 = a1,... thấy: Nếu K nằm ngồi AC thì N nằm trong AB AB BN AN MN MN MN AC AK CK MK MK MK 2 4 h v n BN CK MN MK AK BH Tam giác MAK và tam giác MBH đồng dạng MK MH AN CH Tam giác MAN và tam giác MCH đồng dạng MN HM BC AB AC BC CH BH BC Vậy: 2 MH MN MK MH MH MH MH BC AB AC Vậy nhỏ nhất MH lớn nhất MH = R M là điểm MH MN MK Tam giác MCK và tam giác MBN đồng dạng => o c chính... CHƯƠNG 2: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 2 n a 1 a 2 a n a 1 a n Dấu = xảy ra a a1 0 i j Bất đẳng thức Cauchy Cho hai số a,b 0 ta có ab ab 2 4 a b a b v Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a b a b Dấu = xảy ra ab 0 h 1 ih o c 2 Dấu = xảy ra a = b a1 a 2 a n n a1a 2 a n , ta có: Cho n số n Dấu = xảy ra a1 = a2 = = an 3 Bất đẳng thức Bunhiacopski... ta có: ( n BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ h v Bài 1: Gọi R, r lần lượt là bán kính vòng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC, d là khoảng cách giữa trọng tâm G và tâm O của vòng tròn ngoại tiếp tam giác ấy Chứng minh rằng: d2 < R(R-2r) 2 4 Bài 2: Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có các đường phân giác trong AA’, BB’, CC’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại A1, B1, C1 Chứng minh rằng: (Đề thi Olympic 30-4,... ABC đều Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện Page 12 Ngơ Hồng Tồn YD-K38 2012 Bài 9 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác bất kỳ , S là diện tích Hãy tìm số thực q nhỏ nhất thỏa mãn : S 2 q(a 4 b 4 c 4 ) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : p a p b p c S p( p a )( p b)( p c ) p 3 p4 1 S2 S2 ( a b c) 4 27 16.27 3 2 Theo bất đẳng thức. .. minh trong một tam giác ta có: 1 1 1 9 a) a b c P b) P 2 12 3.S 4 3 SP 3 9c 2 2 2 d )ma mb 8 1 1 1 1 e) 2r ha hb r v n c) a 3 b 3 c 3 g ) la h f )ha hb hc 9r p( p a) 2 4 h)la 2 lb2 lc2 p 2 Bài 7: Cho điểm O nằm trong tam giác ABC, chứng minh rằng o c p OA OB OC p 2 ih Với p là chu vi của tam giác ABC Bài 8: Xác định vị trí của điểm M trong tam giác ABC sao... c1 ab bc ac ab bc ac a b c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều Bài 20: Cho tam giá c ABC nộ i tiep đương trò n (C) Ba chieu cao AA’ ,BB’ , CC’ ̀ lan lươt cat đương trò n ngoạ i tiep tạ i A1, B1, C1 Chứng minh rằng: ̣ ̀ AA' BB' CC ' 9 AA1 BB1 CC1 4 ih o c 2 4 h v n Hướng dẫn giải V u Gọi H là trực tâm tam giác ABC Ta dễ dàng chứng minh được :A’H = A’A1... c 2b) 0 a b a b 2 2 b a b a Tương tự , ta nhận được ih a c b c 2 và 2 c a c b a b và có : b a o c 2 Áp dụng bất đẳng thúc Cauchy với hai số dương V u Cộng ba bắt đẳng thức cùng chiều , ta được điều phải chứng minh Dấu bất đẳng thức xảy ra a = b = c, tức ABC đều Cách 2 a,b,c>0 nên ta có : a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) a.2bc b.2ca c.2ab ab 2 ac 2 ab 2 bc... vi tam giác BMN (Đề thi Olympic 30-4, 2001) Bài 5: Gọi R, r, p lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, nửa chu vi của tam giác ABC Chứng minh: Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện Page 26 Ngơ Hồng Tồn YD-K38 2012 tan A A B B C C p ( R r ) R(4 R r ) 1 cos tan 1 cos tan 1 cos 2 2 2 2 2 2 pR (Đề thi Olympic 30-4, 1999) Bài 6: Chứng minh trong. .. a 4 b 4 c 4 27 1 S 2 (a 4 b 4 c 4 ) 16 Dấu “=” xảy ra ABC đều o c 2 Chú ý : Có hai cách chứng minh bất đẳng thức (*) 1/ Nếu dùng BCS hai lần (a b c ) 2 3(a 2 b 2 c 2 ) 3 3(a 4 b 4 c 4 ) 4 ih a4 b4 c4 abc (a b c ) 27(a b c ) 3 3 Dấu “=” xảy ra a b c (bất đẳng thức đúng cho a, b, c R ) 4 4 4 u 4 2/ Nếu dùng Cauchy : V (a b c . thức từ cơ bản đến chuyên sâu, tập hợp nhiều bài toán
khác nhau thuộc nhiều chuyên đề. Quyển sách gồm 3 phần:
I.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
II.BẤT ĐẲNG THỨC.
MỤC LỤC
Chương Trang
I.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 4
II.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 30
III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 51
-
Con đường dẫn đến thành
Ngày đăng: 09/03/2014, 06:20
Xem thêm: Chuyên đề bất đẳng thức trong tam giác docx, Chuyên đề bất đẳng thức trong tam giác docx