Đang tải... (xem toàn văn)
toan hoc va tuoi tre
TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ HAY ÔN THI ĐẠI HỌC – Tạp chí THTT Phiên 1.0 GSTT GROUP tổng hợp Lovebook.vn | MỘT VÀI ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Nguyễn Tất Thu (GV THPT Lê Hồng Phong, Biên Hịa, Đồng Nai) Phương trình lượng giác (PTLG) xuất đề thi đại học gây khơng khó khăn cho thí sinh Trong viết chúng tơi trao đổi với bạn số điểm cần ý giải PTLG Về phương pháp chung để giải PTLG ta sử dụng công thức biến đổi lượng giác đưa phương trình ban đầu PTLG thường gặp Chúng ta biến đổi PTLG theo hướng sau: Đưa phương trình bậc sin cosin Với dạng ta cần lưu ý số biến đổi sau: sin √ cos sin ( ) cos ( ) cos sin ( ) cos ( ) ) √ cos ( ) ♠ Thí dụ 1: Giải phương trình √ √ sin sin cos √ sin ( ả Ta có sin √ cos (1) ) nên (1) sin ( sin ( ) sin k ,k [ k ♠ Thí dụ 2: Giải phương trình ( √ ) (Đề ĐH khối B – 2009) ả Phương trình cho tương đương với sin sin √ cos cos sin sin k sin √ cos cos cos ( ) cos [ k Biến đổi phương trình chứa hàm số lượng giác Với phương pháp cần lưu ý tới số đẳng thức sau: sin cos sin sin cos sin ♠ í ụ tan tan ả sin ươ ì (1 sin í ụ ả ả Ta có ( ) cos cos cos cos ) ( ) √ ) sin (Đề thi ĐH khối A – 2006) sin Đối chiếu điều kiện ta có ♠ ) √ ả Điều kiện sin ( ) tan tan ( ( cos ươ n ,n ì (1 sin ) cos sin cos sin k (k ) nghiệm c a phương trình cho cos 11 sin 1 cos 11 11 cos sin (cos cos cos ( ) sin ) 1 (cos k cos ,k ) Lovebook.vn – Nhà sách cung cấp sách đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | ♠ í ụ ả ươ ì ( ả Điều kiện cos ( 1( ) ) ) k tan tan 1 tan tan ♠ Thí dụ 6: Giải phương trình ( ) tan ( tan ) tan (1 tan ) k ,k ( ) (Đề thi ĐH khối B – 2004) ả Điều kiện cos ( ) (1 sin ( sin )(1 sin cos sin sin ) sin ) (1 sin sin sin ) sin sin sin sin sin sin k sin k sin ,k [ k Cả hai họ nghiệm thỏa mãn điều kiện nên hai họ nghiệm c a PT (5) ) ( ) ♠ Thí dụ 7: Giải phương trình √ ( ả ( ) cos ( sin ( ) sin ( ) sin ( ) k ) í ụ sin ( ) sin ( ) ả [ ,k k [ k Biến đổi phương trình tích Để biến đổi phương trình tích, cần tạo thừa số chung Một số lưu ý tìm nhân tử chung: Các biểu thức * sin cos tan cot có thừa số chung sin cos * sin cos tan cot có thừa số chung cos sin * sin tan có thừa số chung (1 cos )(1 cos ) * cos cot có thừa số chung (1 sin )(1 sin ) ♠ ươ ả Ta có ( ) sin ( sin ( ) í ụ ả (sin (1 cos )( sin sin ) sin (sin ươ ) (sin cos ) sin cos ì ( ( ) cos sin ( ) sin ( ) ) cos nên PT sin ả ) ( √ cos sin )(cos í ụ ,k √ ) sin ( ì (cos (Do ( sin k ươ Lời giải : Ta có ( ) ) k [ cos ♠ ( ) [ ♠ ì ) ( ) cos ) (sin cos ) cos k ,k vô nghiệm) ( ) ) (Đề thi ĐH khối D – 2003) ả Điều kiện cos ( ) (1 sin sin Lovebook.vn | k sin cos cos ( )) (1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) (1 (1 sin ) cos )(1 sin sin sin ) (1 (1 cos ) cos )(cos sin ) * cos sin cos k * k ,k k ết hợp với điều kiện ta có * ♠ í ụ ả ươ ,k tan ) ) (1 ) ( k ,k cos (tan tất nghiệm c a PT ( ) √ ì ả Điều kiện Ta có (1 ) k (Đề thi dự bị D – 2008) (sin cos ) (sin sin cos ) sin cos k (sin cos )( sin k 1) (k ) k [ Cả ba họ nghiệm thỏa mãn điệu kiện tốn ♠ Thí dụ 12: Giải phương trình Lời giải: (11) sin cos sin sin cos ) ( sin cos ( sin 1) ( sin 1)(sin sin (11) 1)( cos sin ) k (Vì cos [ sin √ nên cos sin ) k *** Cuối chúng tơi in đưa số tốn để bạn tự luyện tập Giải phương trình lượng giác sau ) cot sin (1 tan tan ) 3) √ cos sin cos (cos 1) ) sin cos ) cos ) cot sin tan cos (1 sin ) ) sin ( sin (1 (1 4) cot sin cos ( sin ) 6) ) sin ) cos sin )(1 sin ) ( √ sin sin cos 8) sin cos 10) cos cos sin √ √ ) cos cos sin cos Lovebook.vn – Nhà sách cung cấp sách đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | SỰ PHÂN LOẠI TỨ DIỆN VÀ ỨNG DỤNG Lê Quốc Hán (GV Đại học Vinh) Tứ diện mô hình thường gặp hình học khơng gian, đặc biệt kì thi tuyển sinh vào Đại học hay kì thi Olympic Tốn Sự phân loại tứ diện theo tiêu chuẩn giúp xác định nhanh kết hay phương pháp giải toán liên quan đến tứ diện thể cách tường minh hay chìm khuất Bài viết khơng có ý định phân lớp tứ diện cách triệt nêu lên kinh nghiệm giải toán liên quan đến tứ diện phân loại theo đặc trưng khác (nhưng không loại trừ lẫn nhau) I TỨ DIỆN ĐỀU Định nghĩa Tứ diện tứ diện có tất cạnh Tính chất Trong tứ diện : a) Sáu mặt tam giác b) Chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đối diện trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường trịn nội tiếp c a mặt Mệnh đề Giả sử ABCD tứ diện cạnh a hi 1) Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp trọng tâm c a tứ diện trùng ) Đườ ) ứ í ặ ệ ầ √ ằ ế ứ ể í ứ √ ệ ệ í √ ằ ặ ầ ộ ế ứ √ ệ 4) Các cặp cạnh đối diện c a tứ diện đôi vng góc với ) Đoạn thẳng nối hai trung điểm c a hai cạnh đối diện đoạn vng góc chung c a đường thẳng chứa hai cạnh ) ả ) ì ữ ộ ạ ế ứ đố ệ ệ đề ấ √ ì ằ ì ậ ươ ó √ ằ Việc chứng minh mệnh đề đơn giản, đề nghị bạn tự giải em tập Bây nêu số thí dụ từ đơn giản đến phức tạp để bạn đọc bước đầu thấy lợi ích c a việc nắm vững kiến thức nêu ♠ Thí dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ vng góc Oxyz cho A(a ; ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; ; a) với a>0 a) Gọi H chân đường vng góc hạ từ O xuống mặt phẳng (ABC) Tìm tọa độ điểm H b) Gọi D điểm đối xứng c a H qua O Chứng minh ABCD tứ diện Lời giải a) Vì B BC C a√ nên BC tam giác Ta lại có B C a nên OABC hình chop Do H trọng tâm tam giác ABC a a a uy H ( ) b) Vì ( ⃗⃗⃗⃗⃗ uy |D | ) trung điểm c a DH nên D ( √ a a a a a ⃗⃗⃗⃗⃗ a√ Tương tự |DB| a ) Do ⃗⃗⃗⃗⃗ D ⃗⃗⃗⃗⃗ |DC| ( a a a ) a√ nên BCD tứ diện ♠ Thí dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a a) Gọi (α) mặt phẳng chứa BD song song với AC Chứng minh AB, AD, CB, CD tạo với mp (α) góc b) Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) I trung điểm c a AH Mặt phẳng ( ) quay quanh I, cắt cạnh AB, AC AD M, N, P ứ ằ 1 Lời giải a)Vẽ hình hộp B CD ậ ộ ị ô đổ BC D ngoại tiếp tứ diện BCD hi đó, dễ thấy B, D, CB CD tạo với mp (α) góc 45° (mặt phẳng (α) mặt đáy BC D c a hình lập phương) Lovebook.vn | b) (h.1) Gọi V thể tích tứ diện ABCD V N P V N P (1) hi V V V V Ta có hay V B C D V a V N I V N V N P V P hay Tương tự V B C H V a V a V a V N N P P ( ) Cộng vế đẳng thức cuối cùng, ta có V a N P N N P P Từ (1) ( ) suy a a N N P P a 1 (đpcm) Do hay N P a N P a II TỨ DIỆN GẦN ĐỀU Định nghĩa Tứ diện gần tứ diện có cặp cạnh đối đơi (Tứ diện gần cịn gọi tứ diện cân) Tính chất Trong tứ diện đều, có 1) Các mặt c a tứ diện tam giác 2) Các mặt c a tứ diện tam giác có ba góc nhọn ) Đoạn thẳng nối hai trung điểm c a hai cạnh đối diện đoạn vng góc chung c a đường thẳng chứa hai cạnh 4) Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp trọng tâm c a tứ diện trùng 5) Hình hộp ngoại tiếp tứ diện hình hộp chữ nhật Việc xét mệnh đề đảo c a tính chất hữu ích nhiều việc chứng minh (hay bác bỏ) tính đắn c a chúng khơng phải lúc dễ dàng Chẳng hạn xét mệnh đề sau Mệnh đề Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp tâm mặt cầu nội tiếp trùng Chứng minh ABCD tứ diện gần Chứng minh Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Kẻ H mp( BC), mp(BCD) hi H thứ tự tâm ̂ ̂ đường tròn ngoại tiếp c a tam giác ABC BCD (h.2), nên BHC B̂C B̂C BDC Vì hai tam giác vuông OHB OKB nhau, nên BH B Kết hợp với HB HC B C suy BHC B C (c c c) ̂ B̂C, dẫn đến B̂C BDC Vậy ta đặt B̂C BDC α ̂ ̂ Do BHC ̂ ̂ ̂ α C D CBD ̂ ̂ ̂ ̂ Tương tự ̂ BC ̂ DC CB ̂ DB BD CD B D BCD α α (1) { Ta có { α α α α ( ) α α Cộng vế (1) ( ) α α Tương tự có Do BC DCB (g.c.g) suy B CB C BD Tương tự có D BC nên ABCD tứ diện gần (h.3) ♠ Thí dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz cho A(1; 2; 2), ( 1), (1 1), ( 1, , ) a) Chứng minh ABCD tứ diện gần b) Xác định tọa độ trọng tâm c a tứ diện ABCD c) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp tứ diện ABCD ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ⃗⃗⃗⃗⃗ Lời giải a) Vì ⃗⃗⃗⃗⃗ ( B CD ( ) nên |⃗⃗⃗⃗⃗ | |CD| B ⃗⃗⃗⃗⃗ BD ( ) nên |⃗⃗⃗⃗⃗ | C diện gần ⃗⃗⃗⃗⃗ D ⃗⃗⃗⃗⃗ |BD| b) Vì G trọng tâm c a tứ diện BCD nên G ( c) Vì ⃗⃗⃗⃗⃗ G (1 ⃗⃗⃗⃗⃗ nên |G | ⃗⃗⃗⃗⃗ |GB| ) , ⃗⃗⃗⃗⃗ GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |GC| ) , ⃗⃗⃗⃗⃗ GC ( √ ⃗⃗⃗⃗⃗ |GC| ⃗⃗⃗⃗⃗ ), BC ( ( ) (1 ) , ⃗⃗⃗⃗⃗ GD (y ) (1 ) Do tâm c a mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCD G bán kính R nên PT mặt cầu C ( ), √1 Tương tự, có ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) nên |⃗⃗⃗⃗⃗ | |BC| D √ Do BCD tứ ( ) √ , Lovebook.vn – Nhà sách cung cấp sách đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | Ta lại có d(G, ( BC)) d(G, ( BD)) d(G, ( CD)) d(G, (BCD)) √ Do G tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện BCD bán kính mặt cầu r (y Vậy PT mặt cầu nội tiếp tứ diện BCD ) ( ) √ III TỨ DIỆN VNG Định nghĩa Tứ diện vng tứ diện có góc tam diện ba mặt vng Tính chất Giả sử OABC tứ diện vuông, , , , hi , 1) Tam giác ABC có ba góc nhọn; ) ọ ự â ế ì đườ ứ ệ 3) Gọi α, , góc tạo OH với OA, OB, OC hi 4) 5) (Định lí Pythagore không gian) ) ) ọ , , à √ ( để , y y 1 , ứ ệ (1 ầ đề 1 ), (1 ), ( ) a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua , N, P b) Gọi , B, C giao điểm c a mặt phẳng (α) với trục Ox, Oy, Oz Tính c) Chứng minh P, B , CN đồng quy điểm G Xác định tọa độ điểm G d) Gọi , , góc tạo ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ứ Lời giải (h ) Phương trình mặt phẳng (α) y nên ( y ) ♠ Thí dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz cho hi à ), B( ) C( ) nên P trung điểm c a BC Do P trung tuyến c a tam giác BC Tương tự, BM CN trung tuyến c a tam giác ABC nên AP, BM, CN đồng quy G, trọng tâm tam giác ABC Từ G ( ) , suy ⃗⃗⃗⃗⃗ G Vì ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( Tương tự cos ( (1 e , với e ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ √ ) cos ⃗ ⃗⃗⃗ u e |u| |e | ⃗ ⃗⃗⃗ ) Từ cos nên cos √ (1 ) ⃗ u, u ⃗ cos √ cos ♠ Thí dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz cho ( ), ( ), ( ) với a, b, c số dương a) Gọi R r thứ tự bán kính mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp tứ diện OABC ứ ) (1 đổ ả , , √ ) ô ỏ ã đề ệ 1 1 Chứng minh mặt phẳng ( BC) qua điểm cố định ả a) R r bc √a b b c c a ) abc √ √a b c ( √ab ac bc √ √a b b c c a ) √a b c (ab ac (1 √ ) (theo BĐT Cauchy) abc y 1 1 b) Phương trình mặt phẳng ( BC) Theo giả thiết nên a b c a b c a b c Vậy mặt phẳng ( BC) qua điểm M(2; 2; 2) cố định Để kết thúc báo Xin mời bạn ơn tập lại cách giải tốn sau Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi I, M, N trung điểm c a AB, AC CD a) Tính khoảng cách hai đường thẳng BM AN Lovebook.vn | b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AN CI Cho tứ diện gần ABCD a) Chứng minh mặt c a tứ diện tam giác b) Gọi α, , tương ứng góc tạo mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) với mặt phẳng (BCD) Tìm hệ thức liên hệ cos α , cos , cos Trong không gian với hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy cho (a ), B( b ) C( c), a, b, c số thực dương 1 a b c a) Chứng minh mặt phẳng ( BC) ln qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm b) Xác định tâm, tìm bán kính r c a mặt cầu nội tiếp tứ diện BC Đồng thời chứng minh √ r (1 √ ) Lovebook.vn – Nhà sách cung cấp sách đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | MỘT SỐ DẠNG T ÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC Nguyễn nh Dũng (Hà Nội) TĨM TẮT LÍ THUYẾT bi, a, b i Một số phức biểu thức dạng a ôđun c a số phức z | | √a b số phức liên hợp với ̅ a bi Các kết thường dùng : với , | | ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ | | | | | | | | | || | | | ̅ ̅̅̅̅̅̅ | | ̅̅̅̅̅̅ ̅̅ ( ) ̅ ̅ (a b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, số phức a bi có điểm biểu diễn M(a b) vectơ tương ứng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Trong báo đề cập đến số loại toán thường gặp số phức dạng đại số bỏ qua phép biến đổi đơn giản TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC Tìm tập hợp điểm biểu diễn c a số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải Giả sử yi ; thay vào giả thiết, tìm hệ thức x y Từ suy tập hợp điểm biểu diễn cần tìm ♠ í ụ ì ậ ợ để ể ễ ố ứ ộ ố ầ ả (y )i)( (y 1)i) yi i ( (y 1)i (y 1) ( Tử số y y y 1)i ; u số ảo ( (y 1) 1) y y { { y ( y) ( 1), ( y) ( ) Vậy tập hợp điểm biểu diễn c a z đường tròn tâm I( 1), bán kính √ khuyết hai điểm (0 ; 1) ( ) Lưu ý Số phức a bi số thực b số ảo a b yi ( , y ả Giả sử ♠ í ụ ì ậ ợ ), u để ể ễ ố ứ ỏ ã | Lời giải Giả sử (y yi, giả thiết tương đương với | ( ) (y ) ( ) (y 1) y Vậy tập hợp điểm biểu diễn c a đường thẳng có PT y TÌM SỐ PHỨC CĨ MƠĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT | ̅ )i| | (y 1)i| Tìm số phức z có mơđun lớn (hoặc nhỏ nhất) thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải Bước Tìm tập hợp (G) điểm biểu diễn c a z thỏa mãn điều kiện Bước Tìm số phức tương ứng với điểm biểu diễn (G) cho khoảng cách OM có giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) ( )( ̅ ♠ Thí dụ Biết số phức z thỏa mãn Lời giải Giả sử yi, (y 1)i)( )i) ta có u ( (y y Ta có u y Tập hợp điểm biểu diễn c a đường thẳng (d) : y | | (d) Tìm ( ) ♠ í ụ ế ả Giả sử ( ) ố ứ yi, ta có | ỏ ã | i | i √ | | √ ì (y ( y y )i Giả sử M(x y) điểm biểu diễn c a z i 1)i| ị ỏ √ | ấ (y ấ | | 1)i| (( (y 1) ) (y ) 1) 1) ), bán kính R √1 Giả sử điểm biểu diễn c a Tập hợp điểm biểu diễn c a z đường tròn tâm I( | | z | | Tìm min| | ( ( √1 , √1 )i ma | | √1 , √1 )i MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHỨNG MINH Lovebook.vn | (y ằ ) số thực Tìm giá trị nhỏ c a | | Lời giải toán chứng minh thường dựa tính chất môđun liên hợp c a số phức, | | | | | | ý số phức , có điểm biểu diễn tương ứng A, B ♠ Thí dụ Giả sử , số phức khác không thỏa mãn Gọi , B điểm biểu diễn tương ứng c a , Chứng minh tam giác B tam giác ( )( ) | | | | | | | | Lời giải Ta có , suy B ) ( ) Lại có ( nên | Suy B B Vậy tam giác B ♠ Thí dụ Cho ba số phức , , có mơđun | | | Chứng minh | ả Vì | | nên | | |̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅| uy | ♠ í ụ ứ ế | (a | | Ta a ằ | ả Đặt a uy a | | | (a | ỏ ã | B ì| | ) ( | |̅ | ̅| ̅ | ) a | )(a | B | ) Ta có ( | a ứ | | | | | | ố | a ) Vì a a , nên a | GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP HỢP SỐ PHỨC Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước (không phải phương trình bậc bậc hai thơng thường) Cách giải Giả sử yi; biến đổi hệ thức đầu dạng Bi ta hệ PT { B x, y suy z (1 ) ̅ 11 ♠ Thí dụ Tìm số phức z thỏa mãn (1 i)( Lời giải Giả sử yi, thay vào phương trình ta ( yi) yi) 11i, hay ( y)( y 1) y y y yi y ( y 11)i suy { { y y 11 y y 11 ), ( , y) ( , ) Vậy Giải hệ ( y) ( i i Giải phương trình bậc ba ( ) biết phương trình có nghiệm thực Cách giải Giả sử PT có nghiệm thực a ta f(a) ; biến đổi hệ thức dạng ; từ tìm Bi ta ) ; từ tìm a Phương trình f( ) phân tích thành ( a)( N B Nếu phương trình có nghiệm ảo bi, b ,b cách giải hồn tồn tương tự ( ) ( ) ♠ Thí dụ Giải phương trình , biết phương trình có nghiệm hệ PT { thực Lời giải Với , PT tương đương với PT đầu phân tích thành ( Tìm nghiệm c a PT i ( ) (1 ♠ Thí dụ 10 Giải phương trình ảo Lời giải Giả sử PT có nghiệm ảo (bi) { ( ( b i)( (1 i)(bi) b b b b i)(bi) b bi, b i ,b b nên ( )( i ) )i ( i) { i) , biết phương trình có nghiệm Thay vào PT ta )i b ( b b b i Phương trình đầu phân tích thành ) Các nghiệm c a phương trình BÀI TẬP ̅ a) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn | i 1 i | i √ i √ Lovebook.vn – Nhà sách cung cấp sách đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 10 b) Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất, lớn thỏa mãn điều kiện Cho số phức Giải phương trình Lovebook.vn | 11 , có mơđun Chứng minh (1 i) (1 i) i số thực , biết phương trình có nghiệm ảo MỘT SỐ LOẠI TỐN TỔ HỢP THƯỜNG GẶP TRONG KÌ THI TUYỂN INH ĐẠI HỌC Nguyễn nh Dũng (Hà Nội) LOẠI Chọn phần tử từ tập hợp ♠ Thí dụ Tổ có người, tổ hai có người Có cách chọn nhóm gồm người cho tổ có người? Lời giải Giả sử ta chọn k người c a tổ ( k) người c a tổ hai Vì tổ có hai người nên k Số cách chọn k số người c a tổ C Ứng với cách chọn trên, ta có số cách chọn ( k) số người c a tổ hai C Theo quy tắc nhân, ta số cách chọn nhóm người C C Cho k , ,…, áp dụng quy tắc cộng, ta số cách chọn nhóm người thỏa mãn toán C C C C C C Bài tốn tổng qt Cho tập hợp A có n phần tử, tập hợp B có m phần tử Tính số cách chọn p phần tử từ hai tập hợp ( ) thỏa mãn điều kiện Cách giải chung 1) Tính trực tiếp Giả sử ta chọn k phần tử c a tập hợp A (p k) phần tử c a B (trường hợp giả thiết cho nhiều tập hợp con, ta làm tương tự) Số cách chọn C C Cho k thay đổi phù hợp với giả thiết toán lấy tổng c a tất số hạng tương ứng, ta kết cần tìm 2) Tính gián tiếp Số cách chọn k phần tử từ A, B cách C Kết phải tìm hiệu c a C với tổng số hạng , tương ứng với giá trị k khơng thỏa mãn giả thiết tốn ♠ Thí dụ Người ta sử dụng ba loại sách gồm: sách Toán học, sách Vật lí sách Hóa học Mỗi loại gồm sách đôi khác loại Có cách chọn sách số sách để làm giải thưởng cho loại có cuốn? Lời giải Sử dụng cách tính gián tiếp Số cách chọn số 19 sách cách C Các cách chọn không đ loại sách : Số cách chọn số 11 sách Lí Hóa C (khơng có sách Tốn) Số cách chọn số 13 sách Hóa Tốn C (khơng có sách Lí) Số cách chọn số 14 sách Toán Lí C (khơng có sách Hóa) Số cách chọn số sách Toán C (khơng có sách Lí Hóa) Vì cách chọn khơng có sách Lí Hóa thuộc hai phép chọn : khơng có sách Lí khơng có sách Hóa, nên số cách chọn phải tìm C C C C C Lưu ý hi tính theo phương pháp gián tiếp, số hạng ứng với trường hợp khơng thỏa mãn tốn đặt sau dấu trừ Số hạng đồng thời thuộc hai trường hợp không thỏa mãn toán đặt dấu cộng (bạn đọc tự suy luận cho số hạng đồng thời thuộc ba trường hợp khơng thỏa mãn tốn…) LOẠI Sắp xếp thứ tự vật từ họ vật ♠ Thí dụ Có viên bi xanh giống nhau, viên bi trắng giống viên bi đỏ đơi khác Có cách xếp số bi vào 12 ô theo hàng ngang cho có viên bi? Lời giải Nếu tất viên bi khác chúng tạo thành P hốn vị Nhưng hoán vị c a bi xanh hoán vị c a bi trắng cho cách xếp 12 viên bi nên số cách xếp phải tìm P 1 P P Bài tốn tổng qt Có tất n vật, có m vật giống từ hộp A; k vật giống từ hộp B…, ( ) Các vật cịn lại đơi khác số cách xếp chúng thành hàng ngang … ♠ Thí dụ Có cách xếp vị trí cho học sinh nam học sinh nữ quanh bàn tròn cho khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau? (hai cách xếp khác vị trí có thứ tự học sinh trên, coi một) Lời giải Giả sử ếp chỗ cho học sinh nam Vì học sinh nữ không ngồi cạnh nên họ chọn vị trí xen kẽ học sinh nam, số cách chọn Vì hai cách xếp vị trí cho người với thứ tự Lovebook.vn – Nhà sách cung cấp sách đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 12 quanh bàn trịn coi nên ta chọn trước vị trí cho học sinh nam đó, số hốn vị c a học sinh nam cịn lại vào vị trí 4! (cách) Theo quy tắc nhân, số khả phải tìm Lưu ý Khi xếp n đối tượng theo vòng tròn với hai cách xếp khác phép quay quay một, ta định trước vị trí cho đối tượng chúng au tính cách xếp vị trí cho (n 1) đối tượng cịn lại LOẠI Phân chia vật từ họ vật ♠ Thí dụ Có cách chia đồ vật giống cho người cho người đồ vật? Lời giải Giả sử đồ vật xếp thành hàng ngang, chúng có 99 khoảng trống Đặt cách vạch vào 99 khoảng trống đó, ta cách chia đồ vật thành phần để gán cho người hi người đồ vật tổng số đồ vật c a người 100, thỏa mãn yêu cầu toán (cách) Vậy số cách chia C Lưu ý Bằng cách giải tương tự trên, ta chứng minh rằng, phương trình m (1) có tính chất: Với n m m, n PT (1) có số nghiệm tập hợp số nguyên dương C Với n m, n PT (1) có số nghiệm tập hợp số tự nhiên C ♠ Thí dụ Có cách chia đồ vật đơi khác cho người cho có người đồ vật hai người lại, người đồ vật? Lời giải Có cách chọn đồ vật Với cách chọn trên, ta có: Số cách chọn đồ vật cho người đồ vật C sau đó, số cách chọn đồ vật cịn lại cho người thứ đồ vật C đồ vật lại dành cho người thứ hai đồ vật (cách) Theo quy tắc nhân, số cách chia phải tìm C C Lưu ý Khi giải toán trên, nhiều bạn cho đáp số sai C C C C Trong trường hợp thứ nhất, bạn coi vai trò c a người đồ vật người đồ vật nhau( ) Trường hợp thứ hai, bạn coi vai trò c a hai người đồ vật khác nhau(!) BÀI TẬP LÀM THÊM (Trắc nghiệm) Hãy khoanh tròn vào câu trả lời với tập sau: Phương trình y có nghiệm tập hợp số tự nhiên? A C B C C C 1 D C Đem chia hết đồ vật đôi khác cho hai người, cho người đồ vật Hỏi số cách chia? A C B C D Có sách Tốn giống nhau, sách Lí giống sách Hóa giống Đem làm giải thưởng cho 10 học sinh, người sách khác loại Tính số cách nhận giải thưởng c a 10 học sinh A 1310 B 2520 C 417 D 2085 Có sách giáo khoa giống sách tham khảo đôi khác Đem làm giải thưởng cho học sinh, người sách Tìm số cách nhận giải thưởng c a học sinh A 336 B 274 C 246 D 546 Có chia người thành nhóm, nhóm người, trường hợp sau: a) Phân biệt thứ tự nhóm là: nhóm 1, nhóm 2, nhóm C C C C B C C C D C C b) Không phân biệt thứ tự nhóm .C C B C C C C C D C C Có cách chia đồ vật đôi khác cho người cho người đồ vật? A 360 B 495 C 540 D 600 Lovebook.vn | 13 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN Nguyễn nh Dũng (Hà Nội) Giới hạn sở để xây dựng khái niệm liên tục đạo hàm c a hàm số Bài viết giúp bạn hệ thống lại dạng toán giới hạn kĩ giải dạng tốn chương trình tốn phổ thong, chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng Nhắc lại lí thuyết Với x số thực, ta có sin e lim lim ) ln(1 lim Hai giới hạn hay sử dụng lim ết ( ) suy từ lim cos a lim sin a a lim a sin ( ) e (1 sin a lim cos a ) a ,a ( ) f( ) f( ) , ,a a a a ) f( ) giới hạn hữu hạn (nếu có) c a lim f( ) điểm Đạo hàm c a hàm số y ) ( lim f( ) f( ) liên tục điểm Hàm số y lim (1 kí hiệu f ( ) f( ) Giới hạn lim , f( ) g( ) dần tới tiến tới a, gọi giới hạn dạng g( ) Đây giới hạn thường gặp chương trình phổ thơng Các dạng tốn thường gặp ♠ í ụ ì lim ( ả dụng cơng thức ( ), ta có L cos cos cos ) Lưu ý Bằng cách tương tự, dễ dàng chứng minh kết sau: lim ♠ cos a cos b í ụ ì a lim ( lim ( cos cos e cos cos cos e lim ( lim e cos cos … cos n n n(n 1)( n 1) e Lại có lim lim ả Biến đổi L Ta có lim b cos e cos cos cos 1 cos ( cos e lim t ) 1, với t cos ) cos cos cos lim ) ) theo ( ) có cos Do L Lưu ý Làm tương tự ta thấy lim ♠ cos a cos b í ụ ì ả Ta có L b a e cos c ( lim lim ln(sin cos ) b a c ) lim ln(sin cos ) lim ( ln(1 sin sin ) sin ) Lovebook.vn – Nhà sách cung cấp sách đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 14 ) ln(1 t) sin 1, với t sin lim nên L 1.1 t ln f( ) ý hi gặp giới hạn dạng L lim , nhiều trường hợp ta biến đổi sau g( ) ln(1 f( ) 1) f( ) f( ) L lim lim f( ) g( ) g( ) Lại có lim ♠ ln(1 sin sin í ụ ì ( lim ( ả Ta có L lim (t L lim ) lim (1 lim ((1 ) t ) ) ) (1 t 1 ) Đặt ) t , ta có t t t e f( ) f( ) 1, ta làm sau ) , lim g( ) g( ) f( ) dụng ph p đổi biến số thỏa mãn g( ) t t đưa giới hạn lim (1 ) e t √ ♠ í ụ ì (√ 1) lim ý hi tìm giới hạn dạng L ( lim (( √ ả Ta có L (√ ) )) Xét giới hạn: lim ( √ ) lim (√ )B Do L lim ) B √(1 1 lim √ lim √ lim ) ) √( √1 ) 1 √1 n ý Giả sử P( ) đa thức bậc n, ta quy ước coi bậc c a √P( ) m f( ) 1) Để tìm giới hạn lim , f( ), g( ) đa thức c a đa thức ta làm sau g( ) f( ) f( ) Viết lim lim α bậc cao f( ) g( ) g( ) g( ) Tiếp theo tìm lim f( ) lim ( √a g( ) , từ suy kết cần tìm lim ( √a ) Để tìm giới hạn L L lim b c d b a ) c d lim (√a ♠ Thí dụ Tìm m để hàm số sau liên tục điểm ( ) ả X t giới hạn lim f( ) (Vì lim √ Lovebook.vn | 15 lim lim √a { √ m 1) (√( ) lim ( 1) 1 √ √ a ) sau tính giới hạn √ 1 ( n n) ta biến đổi sau √ √ m √ 1 ) lim 1 √ ( lim ( 1) 1)(√ Ta viết L lim ( lim f(1) √f( ) √g( ) √f(a) a √g( ) ) a √f( ) a Tìm giới hạn lim 1) 1) lim f( ) Do hàm số liên tục điểm ý Để tìm giới hạn L √f( ) m √g(a) , ta làm sau √g( ) , suy kết cần tìm a lim a ♠ Thí dụ Tính đạo hàm hàm số sau điểm ( ) ả X t giới hạn L (Vì lim e tan lim lim sin f( ) e f( ) lim 1, với t t { e tan sin tan , nên lim cos (1 cos ) Do f ( ) sin sin lim e tan tan sin lim ( tan sin ) sin sin sin (1 cos ) cos cos (1 cos ) 1 ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ) Tìm lim cos ) Tìm lim ( 1 ) ) Tìm lim (√ ) Tìm lim ) Tìm lim cos e √ ln(1 ) Tìm lim tan √ ) ) ) Tìm m để hàm số sau liên tục điểm tan f( ) y cot { m 8) Tính đạo hàm hàm số sau điểm y f( ) ln(cos { ) khi Lovebook.vn – Nhà sách cung cấp sách đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 16 ... cho đáp số sai C C C C Trong trường hợp thứ nhất, bạn coi vai trò c a người đồ vật người đồ vật nhau( ) Trường hợp thứ hai, bạn coi vai trò c a hai người đồ vật khác nhau(!) BÀI TẬP LÀM THÊM... (ABD) với mặt phẳng (BCD) Tìm hệ thức liên hệ cos α , cos , cos Trong không gian với hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy cho (a ), B( b ) C( c), a, b, c số thực dương 1 a b c a) Chứng minh mặt phẳng