S GIO DC & O TO BC NINH TRƯờNG THPT THUậN THàNH Số II khảo sát chất lợng ôn thi đại học LN 1 Nm hc: 2012 2013 Mụn thi: Toỏn, Khi A, B, D Thi gian lm bi: 180 phỳt a. phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) Cõu I ( 2, 0im). Cho hm s 1 2 + + = x mx y (1) (m là tham số ) 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi 1- =m . 2. Cho hai điểm A ),43( - B( )23 - . Tìm m để trên đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt P, Q cách đều hai điểm A, B và diện tích tứ giác APBQ bằng 24. Cõu II ( 2,0im). 1. Gii phng trỡnh: ).sin1).(cos1(2 1cos 2sincos2cos2 3 xx x xxx + + = - - - 2. Giải hệ phơng trình: ù ợ ù ớ ỡ = + + + - + + + + = + + + 44842)1( 36)2(4121 22 2 xyxxxx yxyxyx ( ), Ryx ẻ . Cõu III (1,0 im). Tính tích phân sau : ũ + + - = - 3ln2 2ln2 2 2 2 )1)(1( 1 dx ee e I x x x Cõu IV ( 1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD = DC, AB = 2AD, BC = 2a . Tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA hợp với đáy một góc 0 45 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA, BC thea a. . Cõu V ( 1,0 im) Cho a, b, c l ba s thực thoả mãn: abccbacba = + + + 2,1,1,1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: c c b b a a P 111 222 - + - + - = . b. PHN RIấNG(3,0điểm). (Thí sinh chỉ đợc chọn một trong hai phần) a. Phn dnh cho chơng trình chuẩn. Cõu VIa ( 2,0 im). 1. Trong mt phng vi h tọa Oxy cho tam giỏc ABC với A ),23( - B(1; 0). Tam giác ABC có diện tích bằng 4 và bán kính đờng tròn ngoại tiếp bằng 2. Tìm tọa độ đỉnh C. Biết đỉnh C có tung độ dơng. 2. Trong khụng gian vi h tọa độ Oxyz cho hai điểm A )103( - , B )101( . Tìm tọa độ các điểm C thuộc mp(Oxy) sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng .24 Cõu VIIa (1,0 im). Cho hai đờng thẳng song song 1 d và d 2 . Trên đờng thẳng 1 d có 12 điểm phân biệt, trên đờng thẳng d 2 có n điểm phân biệt ( n 2 ). Biết rằng có 3.600 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n thoả mãn điều kiện. b. Phn dnh cho ban nõng cao. Cõu VIb ( 2,0 im). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E): 1 28 22 = + yx . Tìm bốn đỉnh hình chữ nhật nằm trên (E). Biết hình chữ nhật này nhận hai trục tọa độ là hai trục đối xứng và có diện tích lớn nhất. 2. Trong khụng gian vi h tọa Oxyz cho hình vuông ABCD, biết A(3; 0; 8), C )045( - - , đỉnh B có tung độ dơng và thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ đỉnh D. Cõu VIIb ( 1,0 im ). Giải phơng trình: 6416 24 2. )2(4 2 2 12 + = + + + - + + x xx x x x x www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn HNGDNCHM Mụn:Toỏn im CõuI (2im) 1.(1.0 ) *) Với m = -1 hàm số trở thành 1 2 + + - = x x y 1) TX: RD = \ { } 1 - 2)Sbinthiờn: Chiubinthiờn: 1,0 )1( 3 2 - ạ " < + - = x x y , Hmsnghchbintrờn mikhong ( ) 1 -Ơ - v ( ) 1+Ơ . Cctr:Hàm số không có cực trị. Tiệm cận: +Ơ = + + - = -Ơ = + + - = + + - - - đ - đ - đ - đ 1 2 limlim, 1 2 limlim )1()1()1()1( x x y x x y xxxx Do đó, đờng thẳng 1 - =x là tiệm cận đứng. 1 1 2 limlim - = + + - = Ơ đ Ơ đ x x y xx . Do đó, đờng thẳng 1 - =y là tiệm cận ngang. Bngbinthiờn: x Ơ 1 +Ơ y y 1 +Ơ Ơ 1 3)th: thhmsiquacỏcim (2 0), (02) Vẽ đồ thị đúng chính xác thì cho điểm tối đa. 0,25 0,25 0,25 0,25 www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn 2. Ta có + phơng trình AB: 01 = ++ yx , 26 =AB . + M(0; -1) là trung điẻm AB nên phơng trình trung trực AB là d: 1 - =xy . + Do P, Q cách đều hai điểm A, B nên P, Q thuộc đờng thẳng d. + Phơng trình hoành độ giao điểm của d với đths (1): (*),03 2 = - - mxx với 1 - ạx + Tìm đkiện để d cắt đths (1) tại 2 điểm phân biệt P, Q là 2 ạm + Ta có P, Q thuộc d nên giả sử P babbQaa ạ - - ),1,(),1,( . Với a, b là hai nghiệm của (*) +Theo định lí viet ta có ợ ớ ỡ - = = + 3.ba mba + Theo giả thiết diện tích tứ gác APBQ bằng 24 nên ta đợc PQ.AB = 48 mà 2.baPQ - = Suy ra 164)(4 2 = - + = - abbaba 24 2 = ị = ị mm . So sánh đkiện ta đợc 2 - =m . 0.25 0,25 0,25 0,25 CõuII (2điểm) 1(1.0 ) ĐK : cosx ạ 1. Đa về pt dạng: cosxsinx(sinx+1)=(1 cos x 2 )(1 + sinx) cosxsinx(sinx + 1) = sin x 2 (1 + sinx) 0)sin)(cos1(sinsin = - + xxxx . +)sinx=0suyracosx= 1 so sánh đk ta đợc p p kxx 21cos + = - = +) p p kxx 2 2 1sin + - = - = (tmđk) +) p p kxxxx + = = = - 4 1tan0sincos (tmđk). Vậy phơng trình có 3 họ nghiệm: p p p p p p kxkxkx + = + - = + = 4 ,2 2 ,2 0,25 0,25 0.25 0,25 2(1.0) ĐK: 2x + y 0 . Từ phơng trình ban đầu của hệ ta đợc: 0)124)(124( 1236 124 01)24()1236( 2 = + + - + + + + + + - + = - + + + + - + yxyx yxyx yx yxyxyx 01)2(2 1236 1 )124( = ỳ ỳ ỷ ự ờ ờ ở ộ + + + + + + + - + yx yxyx yx (*). 0,25 www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn Do 2x + y 0 nên (*) tơng đơng với 1240124 = + = - + yxyx (1) Biến đổi phơng trình hai trong hệ ta đợc 04)24(242)1( 2 = - + + + - + yxxxxx (2). Từ (1) và (2) ta đợc phơng trình: 04242)1( 2 = - + + - + xxxx (3) Xét hàm số 4242)1()( 2 - + + - + = xxxxxf trên R. Ta có Rx xx xx xx xx xxxf ẻ " > + + - + + = + + - - + + + - = 02 422 78 2 422 )14)(1( 42)( 2 2 2 2, Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R mà 0) 2 1 ( =f nên 2 1 =x là nghiệm duy nhất của (3) Với )( 2 1 2 1 tmdkyx - = ị = . Thành thử hệ có nghiệm ) 2 1 2 1 ()( - =yx 0,25 0,25 0,25 CõuIII (1im) Biến đổi ta có dx e ee I x xx ũ + - = 3ln2 2ln2 2 2 )1( )1( . Đặt tdtdxeetet xx x 2 2 2 = ị = ị = Đổi cận với 33ln222ln2 = ị = = ị = txtx Ta đợc ũ ũ ũ + + - = + - = + - = 3 2 3 2 2 3 2 2 2 ) 1 2 2(2 1 2 )1( )1( 2 dt t tdt t tt dt t tt I Suy ra 3 2 3 2 3 2 2 1ln44 + + - = tttI Từ đó tính đợc 3 4 ln41+ =I 0,25 0,25 0,25 0,25 CõuIV (1im) * Tính thể tích hình chóp S.ABCD Gọi I là trung điểm AB suy ra IBC D vuông cân tại I mà 2aBC = aDCADIAICIB = = = = = ị Từ đó ta đợc 2 2 3 2 )( a ADABDC S ABCD = + = (dvdt). Gọi H là trung điểm BC do SBC D cân tại S ,BCSH ^ ị mà )()()( ABCDSHABCDSBC ^ ị ^ , theo giả thiết SA hợp với đáy một góc 0 45 suy ra góc SAH bằng 0 45 Ta có A DC D vuông cân tại D 2aAC = ị Từ đó ta đợc ACB D vuông cân tại C aCHACAH 2 5 22 = + = ị . Từ đó ta đợc aAHSH 2 5 = = . Vậy 3 . 4 10 . 3 1 aSSHV ABCDABCDS = = * Tính khoảng cách giữa SA và BC theo a. Trong mặt phẳng đáy ABCD dựng hình bình hành ABHP, từ H dựng APHQ ^ , trong (SHQ) ta dựng SQHK ^ (1). Theo giả thiết ta có SHAP ^ do đó ta đợc HKA PSHQAP ^ ị ^ )( (2). Từ (1) và (2) ta đợc )(SAPHK ^ . Mặt khác BC // AP nên d(BC, SA) = d(BC, (SAP)) = d(H, (SAP)) = HK. 0,25 0,25 0,25 www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn Trong SHQ D ta cã 22 . HQSH HQSH HK + = , trong ®ã aSH 2 5 = . Trong h×nh b×nh hµnh ABHP ta cã 22 45sin.. 2 1 22 0 a S a BHABS AHPABH = Þ = = D mµ 2 2 ,. 2 1 a BHAPAPHQS AHP = = = 2aHQ = Þ . Suy ra aHKSABCd 3 10 ),( = = (Kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai kh«ng chÊm ®iÓm) 0,25 A B C D H I P Q K S www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online Vuihoc24h.vn * Theo bất đẳng thức bunhiacopki ta có 2 222222222 ) 111 (9) 111 (39) 111 (33 1 1 1 1 1 1 cbacbacbacba P + + - Ê + + - = ỳ ỷ ự ờ ở ộ + + - Ê - + - + - = Từ gt ta có 1 2111 = + + + abccabcab (*). Ta có 2 ) 111 ( 3 1111 cbacabcab + + Ê + + , 3 ) 111 ( 27 11 cbaabc + + Ê Ta đặt cba t 111 + + = thay vào (*) ta đợc 4 9 2 3 0)3)(32(027921 27 2 3 1 232332 + - - + + tttttttt . Suy ra 2 33 4 9 99 2 = - Ê - Ê tP . Thành thử 2 33 =MaxP đạt đợc khi 2 = = = cba 1.(1điểm) +) Phơng trình cạnh AB : x + y 1 = 0, 22 =AB . +) Gọi M là trung điểm AB ta đợc M(2 ; -1) suy ra phơng trình trung trực cạnh AB là d : y = x - 3 +) Gọi I là tâm đơng tròn ngoại tiếp )3( - ịẻị xxIdI +) AI = R = 2 10344)1()3( 222 = ị = + - = - + - xxxxx hoặc x = 3. 0.25 0,5 0,25 0,25 TH1. Với x = 1 suy ra I(1 ; -2) +) Phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 4)2()1( 22 = + + - yx +) Ta có toạ độ C thoả mãn pt : 4)2()1( 22 = + + - CC yx theo giả thiết 4)2(0 2 > + ị > CC yy Do đó phơng trình vô nghiệm suy ra không tồn tại toạ độ C. 0.25 TH2. Với x = 3 suy ra I(3 ; 0) +) Pt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là : 4)3( 22 = + - yx +) Ta có ờ ở ộ - - = - = = - + = = D CC CC CCABC xy xy yxABCdABS 3 5 414),(. 2 1 +) Với ờ ở ộ = ị = ị = ị = - + - ị - = )(05 )23(3 4)5()3(5 22 loaiyx Cx xxxy CC C CCCC +) Với 4)3()3(3 22 = + + - ị - - = CCCC xxxy phơng trình vô nghiệm Thành thử ta có tọa độ điểm C thoả mãn C(3 ; 2) 0.5 CõuV (1im) Câu VIa(2đ) 2. 1điểm +) Do )(OxyC ẻ nên giả sử C(a ; b ; 0). +) Ta có CA = CB suy ra : 21)1(1)3( 2222 = ị + + - = + + - ababa 0,25 www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn Câu VIIa.(1đ +) Gọi I là trung điểm AB suy ra I(2; 0 0), CI = b +) Do tam giác ABC cân tại C nên ta có : 442422. 2 1 . 2 1 = ị = = = = D bbbABCIS CAB +)Với a=2, b = -4 suy ra C(2; -4; 0) +) Với a = 2, b = 4 suy ra C(2; 4; 0) Thành thử có hai điểm C thoả mãn điều kiện bài toán. +) Số tam giác có một đỉnh thuộc 1 d , hai đỉnh thuộc 2 d là: 2 .12 n C +) Số tam giác có một đỉnh thuôc 2 d , hai đỉnh thuộc 1 d là: 2 12 .Cn +) Theo đề bài ta có: 600.3 12 2 12 2 = + CnC n +) Giải phơng trình ta đợc n = 20 hoặc n = -30 (loại) Thành thử n = 20 thoả mãn bài toán. 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 Câu VIIb(2đ) 1.1điểm +) Giả sử M(a; b) ẻ(E) 1 28 22 = + ị ba +) Theo giả thiết ta đợc diện tích hình chữ nhật là: baOyMdOxMdS .4),(2).,(2 = = Theo bất đẳng thức Côsi ta có đợc Sba baba = + = .48 2 . 22 .2) 2 () 22 (1 22 Do đó ợ ớ ỡ = = ù ợ ù ớ ỡ = = ù ù ợ ù ù ớ ỡ = + = = 1 2 1 2 1 28 222 8 2 22 max b ba b ba ba ba S Thành thử có bốn điểm cần tìm thoả mãn bài toán là: (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; 1) 0,25 0,5 0,25 2.1điểm +) Gọi I là giao điểm hai đờng chéo suy ra I(-1; -2; 4), AC = 12 +) Điểm B có tung độ dơng và thuộc mặt phẳng (Oxy) nên giả sử B(a;b; 0), (b > 0) +) ABCD là hình vuông ù ợ ù ớ ỡ = + + + + + + + = + + - ù ợ ù ớ ỡ = = ị 3616)2()1( )4()5(64)3( 4 1 22 2222 22 22 ba baba ACBI BCBA 0,25 0,25 www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn +) Giả hệ tìm đợc nghiệm ợ ớ ỡ = = 2 1 b a hoặc ù ù ợ ùùù ớ ỡ < - = = )(0 5 14 5 17 loaib a Với a = 1, b = 2 ta đợc B(1; 2; 0) suy ra D(-3; -6; 8) là điểm cần tìm. 0,25 0,25 Cõu VIIb (1 im) ĐK: ù ợ ù ớ ỡ ạ + + + ạ 024 0 2 xx x . Biến đổi phơng trình ta đợc: 0)24(4)24(244 )24)(24( )24.(2.4 )2(4 22 1 2 22 2 1 = - - + - - - + + = - - + + + + - - + - + xxxxx xxxx xxx x x x 0)24)(42( 2 1 = - - + - xx x +) Với 0 )2(4 2 24024 22 22 = ợ ớ ỡ + = + - + = + = - - + x xx x xxxx không thỏa mãn điều kiện. +) Với 2 1 42042 11 = = = - x xx thỏa mãn điều kiện. Thành thử phơng trình đã cho có nghiệm 2 1 =x . 0.5 0,25 0,25 Chỳ ý: Nu hc sinh lm cỏch khỏc ỳng thỡ cho im ti a cõu ú. www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn . có 2 222222222 ) 11 1 (9) 11 1 (39) 11 1 (33 1 1 1 1 1 1 cbacbacbacba P + + - Ê + + - = ỳ ỷ ự ờ ở ộ + + - Ê - + - + - = Từ gt ta có 1 211 1 = + + + abccabcab (*). Ta có 2 ) 11 1 ( 3 11 11 cbacabcab. + + - = + + - - - đ - đ - đ - đ 1 2 limlim, 1 2 limlim )1( )1( )1( )1( x x y x x y xxxx Do đó, đờng thẳng 1 - =x là tiệm cận đứng. 1 1 2 limlim - = +