QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 1   : Ths 1   tín : 2 (30 .   tiên :   xong  trình toán C2.     : Trang  cho sinh viên các      mô hình   trong kinh .    :    các khái   bài toán quy   tính, bài toán   bài toán  .    các  pháp  toán:  pháp  hình,  hình    pháp  . 2               Giáo trình: [1] ,   . 3   [1] ,   TP.HCM. [2] ,  , NXBGD 1998.    :       :    :   4     5   j (j=1,2, ,n)  i (i = 1,2, ,m). :  i   j là: a ij  i là: b i  j là: c j   Bài  6 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 2    Nguyên  S 1 S 2  S n  nguyên  N 1 a 11 a 12  a 1n b 1 N 2 a 21 a 22  a 2n b 2       N m a m1 a m2  a mn b m    c 1 c 2  c n  7   j  j (j=1,2, ,n)  j  N 1 dùng cho  a 11 x 1 + a 12 x 2 a 1n x n  1 N 2  a 21 x 1 + a 22 x 2 a 2n x n b 2  N m  a m1 x 1 + a m2 x 2 a mn x n b m lãi là: f = f(x 1 , x 2 , , x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 c n x n  8   Tìm x = (x 1 , x 2  n ) sao cho f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2  n x n   a 11 x 1 + a 12 x 2 a 1n x n b 1 . a 21 x 1 + a 22 x 2 a 2n x n b 2  a m1 x 1 + a m2 x 2 a mn x n b m x 1 , x 2 x n .  9    xí   lý  có n phân  S j (j=1,2,,n)  lý m   N i (i=1,2,,m). : +    N i mà   phân  S j có   lý  cùng       vào các phân  là: a ij +   N i      lý theo   lao  là: b i       xí  hoàn thành   lao       là  . 10  Phân    S 1 S 2  S n    N 1 a 11 a 12  a 1n b 1 N 2 a 21 a 22  a 2n b 2       N m a m1 a m2  a mn b m  11   j  j (j=1,2, ,n). x j   1  a 11 x 1 + a 12 x 2 a 1n x n  1 N 2  a 21 x 1 + a 22 x 2 a 2n x n  b 2  N m  a m1 x 1 + a m2 x 2 a mn x n  b m là: f = f(x 1 , x 2 , , x n ) = x 1 + x 2 x n  12 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 3   Tìm x = (x 1 , x 2  n ) sao cho f(x) = x 1 + x 2  n   a 11 x 1 + a 12 x 2 a 1n x n  b 1 . a 21 x 1 + a 22 x 2 a 2n x n  b 2 .  a m1 x 1 + a m2 x 2 a mn x n  b m x 1 , x 2 x n .  13   Xí     hàng hoá  m  phát P i (i=1,2,,m)  n  thu T j (j=1,2,,n).  +  hàng có   phát P i là: a i +  hàng     thu T j là: b j + Phí     hàng  P i  T j là: c ij     hàng có  các  phát    hàng   các  thu. Hãy      hàng hoá   chi phí là   và   yêu  thu phát. 14   thu  phát T 1 :b 1 T 2 :b 2  T n :b n P 1 :a 1 c 11 c 12  c 1n P 2 :a 2 c 21 c 22  c 2n      P m :a m c m1 c m2  c mn  15   ij  i (i=1,2, ,m)  j (i=1,2, ,m). x ij   i là: x i1 + x i2 + x in = a i   j là: x 1j + x 2j  mj = b j  : f = f(x 11 , x 12  mn ) = c 11 x 11 + c 12 x 12 c mn x mn  16   Tìm x = (x 11 , x 12  mn ) sao cho f(x) = c 11 x 11 + c 12 x 12  mn x mn   x 11 + x 12 x 1n = a 1  x m1 + x m2 x mn = a m x 11 + x 21 x m1 = b 1  x 1n + x 2n  mn = b n x 11 , x 12  mn . 17      nguyên  20, 40, 30.    xí   lãi B lãi C lãi . QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 4    là: D1D2 và D3D1D2 D3D1 D2 D3     cho    lý  III   AB C, phân AB, C, phân A, 1 C. Xí    hoàn  .   5000  nhóm II và 2000  trang .  nhóm nhóm nhóm III.  nhóm nhóm nhóm III.  bán giá  nhóm nhóm nhóm III.              .     3    3    3    .          QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 5      600m/phút và có  có giá là 22  máy B có giá 42   .  BÀI   26   Tìm x = (x 1 , x 2  n ) sao cho f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2  n x n max(min) (1)  a i1 x 1 + a i2 x 2 a in x n b i , i  I 1 (2) a i1 x 1 + a i2 x 2 a in x n b i , i  I 2 (3) a i1 x 1 + a i2 x 2  in x n = b i , i  I 3 (4) x j  0, j  J 1 (5) . x j  0, j  J 2 (6) . x j  , j  J 3 (7) .  1 I 2 I 3  I 1 I 2 I 3 = và J 1 J 2 J 3 ={1,2 J 1 J 2 J 3 =   + f(x) = x 1  2x 3  x 4  2x 6  max x 1 + 2x 2  x 4 + x 5  8 x 1  3x 3  x 4 + 3x 6  2 2x 1 + x 2 + x 3  x 4 = 5  x 1 + x 3 + 2x 4  3x 5  6 2x 2  2x 3  x 4  2x 6  11 x 1 , x 4  0 x 2 , x 3 , x 6  0 x 5    : hàm f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2  n x n  1 , x 2  n        .   Tìm x = (x 1 , x 2  n ) sao cho f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2  n x n (min) a i1 x 1 + a i2 x 2  in x n = b i , i m x j  0, j . hay f(x) = c j x j max(min) a ij x j = b i  x j  n .   . QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 6     max thành g   g =  f. a ij x j b i thành a ij x j + x n+i = b i sung thêm  n+i  0. + a ij x j  b i thành a ij x j  x n+i = b i sung thêm x n+i  0.  j  0 thành  j  0  j =  x j +  j   thành  j   j  j ,  j  0  j   j = x j    + f(x) = x 1  3x 2 + 2x 3  x 4  max 2x 1 + x 2 + x 3  x 4  8 x 1  x 3 + x 4 = 5 x 1  2x 2  x 3 + 3x 4  7 x 1 , x 3  0 x 2  0 x 4  g(x) =  x 1  2x 3  3x 7 + x 8  x 9  min 2x 1 + x 3 + x 5  x 7  x 8 + x 9 = 8 x 1  x 3 + x 8  x 9 = 5 x 1  x 3  x 6 + 2x 7 + 3x 8  3x 9 = 7 x j    + f(x) = 2x 1  x 2 + x 3  3x 4  min x 1 + 2x 2 + 2x 3  x 4  6 2x 1  x 2  2x 3 + x 4 = 9 3x 1 x 2 + x 3 + 2x 4  12 x 2 , x 4  0 x 1  0 x 3  f(x) =  x 2  3x 4  2x 7 + x 8  x 9  min 2x 2  x 4  x 5  x 7 + 2x 8  2x 9 = 6  x 2 + x 4  2x 7  2x 8 + 2x 9 = 9 x 2 + 2x 4 + x 6  3x 7 + x 8  x 9 = 12 x j     tìm min.  biên Xét bài toán f(x) = c j x j in a ij x j = b i  x j  n .  liên    x j là   A j = [a ij ] m1 có các thành  là       x j .  án  biên:  án mà   liên   các  x j > 0  thành       tính.     là  x j > 0,  A j        là     phi   là  x j = 0.  án  biên không suy  là  án có  m   ,      bé  m ta có  án  biên suy .  các  án  biên   bài toán quy   tính là  .  Ví : + Xét bài toán f(x) = 4x 1 + x 2 + x 3  min x 1 +2x 2  x 3 = 5 x 1  x 2 + 2x 3 = 5 x j  0, j=1,2,3  nào sau là  án  biên không suy : x 0 = (1, 4, 4), x 1 = (5, 0, 0), x 2 = (0, 5, 5)? : x 2 = (0, 5, 5) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 7  + Xét bài toán f(x) = x 1 + 2x 2  x 3  min x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 1  x 2 = 0 x j  0, j=1,2,3  nào sau là  án  biên không suy : x 0 = (1, 1, 2), x 1 = (2, 2, 0), x 2 = (0, 0, 4)? : x 1 = (2, 2, 0)   Cách  bài toán quy  + Xác  + Tìm các con {A i    +    b theo  con {A i }  trên, ta  các    . Thành   x có các thành  là    .  còn . 38  Tìm các bài toán + f(x) = 2x 1 + x 3 + 5x 4  min x 1 + x 3 + x 4 = 5 x 2  x 3 + 2x 4 = 1 x j  0, j=1,2,3,4 + f(x) = 2x 1  x 3 + 2x 4  min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10 2x 2 + x 3  x 4 = 6 x j  0, j=1,2,3,4  (5, 1, 0, 0), (   , 0, 0,   ), (0, 6, 5, 0), (0, 0, 3, 2) : (0, 0, 8, 2), (0,   , 0,   ), (4, 0, 6, 0), (7, 3, 0, 0) 39   Do  thành      án  biên không suy  là  m nên suy ra  thành   0  là n  m.   suy ra  tìm  án  biên ta có  cho n  m thành   0  tính giá   m thành  còn   cách   m  trình m . 40  Tìm các bài toán + f(x) = x 1 + 6x 3  5x 4  min x 1 + 2x 3 + 3x 4 = 5 3x 2  x 3 + 2x 4 = 8 x j  0, j=1,2,3,4 + f(x) = x 1  6x 3 + x 4  x 5  max x 1 + 2x 4 + x 5 = 8 x 2 + x 4  x 5 = 4 x 3 + x 4 + x 5 = 6 x j  0,   (5,   , 0, 0), (0,   ,   , 0), (0,   , 0,   ) : (8,4,6,0,0), (2,10,,0,6), (0,0,2,4,0), (0,6,0,2,4) 41    +  các  án  bài toán quy   tính là     là  x, y là hai  án    bài toán thì    x + (1 )y,   : 0    1  là   án  bài toán. +  các  án    bài toán quy   tính  là   . +  bài toán quy   tính  chính  có   án khác  thì nó có ít    án  biên. 42 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 8  +    và   bài toán quy   tính  chính  có  án   là nó có   án khác  và hàm  tiêu  . +  bài toán quy   tính  chính  có  án   thì nó có ít    án  biên là  án  .  ý:   ta có   bài toán quy   tính  chính    nó có  án    cách tìm   các  án  biên  bài toán,  án   là  án mà giá  hàm  tiêu   (hay  . 43  toán  + f(x) = x 1 + 6x 3  5x 4  min x 1 + 2x 3 + 3x 4 = 5 3x 2  x 3 + 2x 4 = 8 x j  0, j=1,2,3,4 + f(x) = x 1  6x 3 + x 4  x 5  max x 1 + 2x 4 + x 5 = 8 x 2 + x 4  x 5 = 4 x 3 + x 4 + x 5 = 6 x j  0,   x* = (0,   , 0,   ), f min =    : x* = (0,6,0,2,4), f max = 2 44    : + f(x) = 2x +3y  min 3x + y  3 x  4y  6 x + 2y  6 x  0, y  0 f min  45  + f(x) = x + 3y  max x + 2y  6 2x + y  10  4 x  0, y  0 f max  46    47  hình  vào  án  có, ta tìm cách  giá  án  có là  án   hay    án  xét  là  án   thì    ta      là  án   thì ta thay   nó   án   . Xét bài toán chính  f(x) = c j x j in a ij x j = b i  x j   48 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 9                 1 , x 2  m   i                      .                     j = (x 1j , x 2j , x mj  j  i  j .  {A i }  ij = a ij . 49  (              là  (P) sao cho  j  thì . lý:   ngoài   liên    án  biên   j sao cho  j > 0 và x j  0  là x ij  0   i = 1,2,,m thì (P) không có  án  . Rõ  là hàm  tiêu không    trên   án. 50   + Xét bài toán f(x) = x 1 + 6x 2 + 9x 3 in x 1 + 2x 3 = 6 x 2 + x 3 = 8 x j  0, j = 1, 2, 3.  không?  min = 54. 51  + Xét bài toán f(x) = 7x 1  2 + 9x 3 in x 1  2x 2 = 5  2 + x 3 = 7 x j  0, j = 1, 2, 3.  không?  52   biên j sao cho  j > 0 và x ij > 0 i thì    53  hình Xét bài toán f(x) = c j x j in a ij x j = b i  x j   b i     i                 54 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 10  hình       án x 1 x 2  x n  c 1 c 2  c n x 1 c 1    x 11 x 12  x 1n x 2 c 2    x 21 x 22  x 2n        x m c m    x m1 x m2  x mn f(x 0 )  1  2   n 55  +   quay: Xác  s > 0  x s vào. Dòng quay r là dòng mà  r         , (x is x r  ra. x rs   56   1                                           x ij                                      57   + f(x) = x 1  2  4 + 2x 5  6 in x 1 + x 4 + x 5  x 6 = 2 x 2 + x 4 + x 6 = 12 x 3 + 2x 4 + 4x 5 + 3x 6 = 9 x j  0, j = 1,  (0, 8, 0, 3, 0, 1).  f min  58  + f(x) =  1  2 + x 3 x 4 min x 1 + 3x 2 + x 5 = 4 2x 1 + x 2 x 3 + x 6 = 3 x 2 + 4x 3 + x 4 = 3 x j  0, j = 1,  (1, 1, 0, 2, 0, 0) f min  59    i   ta    : bài toán + f(x) =  1 + x 2 + 3x 3  4 min x 1 + 2x 2  x 3 + x 4 = 2 2x 1  2 + 3x 3 + 3x 4 = 9 x 1  x 2 + x 3  4 = 6 x j  0, j = 1,2,3,4. 60 [...].. .QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐS: Bài toán trở thành f(x) = ‒ 3x1 + x2 + 3x3 ‒ x4 ⟶ min + f(x) = 3x1 ‒ 4x2 ‒ 5x3 + 6x4 ⟶ min x1 + x2 + x3 + 13x4 = 14 2x1+ x2 + 14x4 = 11 3x2 + x3 + 14x4 = 16 xj ≥ 0, j = 1,2,3,4 6 x 1 + x4 = 3 x2 ‒ x3 ‒ 5 12 x = 5 4 23 x = 5 4 2 5 xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4 61 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN... + 3x5 = 6 x1 – 2x2 + 4x3 – x4 – x5≥ 3 x2, x5 ≥ 0 x3, x4 ≤ 0 x1 ∊ ℝ 83 Chuongnn-hui.blogspot.com 82 84 14 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Mối liên hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu Xét bài toán quy hoạch tuyến tính gốc dạng chính tắc tìm min Định lý 1 (Đối ngẫu yếu) Cho x, y theo thứ tự là phương án của bài toán gốc... (5, 4, 0, 0, 11, 0) Giá trị tối ưu fmax = 11 69 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Giải bài toán quy hoạch tuyến tính với EXCEL Cài thêm công cụ Add-ins Solver + Options ⟶ Add-Ins ⟶ Excel Add-Ins + Trong hộp thoại Add-Ins ta click chọn Solver Add-In Tổ chức dữ liệu trên bảng tính Tiến hành nhập liệu trên bảng tính Excel như sau 71 Chuongnn-hui.blogspot.com 70... thể xem lại sau này Lưu ý: Có 3 loại báo cáo là Answer, Sensitivity và Limits 75 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 76 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Định nghĩa bài toán đối ngẫu Chương 2: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT 77 Chuongnn-hui.blogspot.com Xét bài toán quy hoạch tuyến tính gốc (P) f(x) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn ⟶ max(min) ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn ≤ bi,... Chuongnn-hui.blogspot.com ∆j ≥ 0 ⇔ αj > αk αj > 0 , ∆ ≥ ∆k ⇔ αj = αk , βj ≥ βk αj = 0, βj ≥ 0 j và các hệ số A, B, ,  được trình bày trên 2 dòng 11 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Ví dụ: Giải bài toán + f(x) = ‒ 3x1 + x2 + 3x3 ‒ x4 ⟶ min x1 + 2x2 ‒ x3 + x4 = 2 2x1‒ 6x2 + 3x3 + 3x4 = 9 x 1 ‒ x2 + x3 ‒ x 4 = 6 xj ≥ 0, j = 1,2,3,4... ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn ≥ bi, i ∊ I2 (2) ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi, i ∊ I3 (3) xj ≥ 0, j ∊ J1 (4) xj ≤ 0, j ∊ J2 (5) xj ∊ ℝ, j ∊ J3 (6) 78 13 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài toán đối ngẫu của bài toán (P) là bài toán (Q): g(y) = b1y1 + b2y2 + … + bmym ⟶ min(max) a1jy1 + a2jy2 + … + amjym ≤ cj, j ∊ J1 (4′) a1jy1... bảng tính Excel như sau 71 Chuongnn-hui.blogspot.com 70 trong đó ở dòng phương án, ta gán các giá trị ban đầu là 1 (hay 0) cho các biến xj ≥ 0 72 12 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Tiến hành giải bài toán + Data ⟶ Solver + Trong hộp thoại Solver Parameters: Set Objective: click chọn ô chứa giá trị mục tiêu B8 Max/Min/Equal... ≥ 0, j=1,2,3,4,5 có phương án tối ưu là x* = (0, 1, 0, 2, 3), fmin = 6 Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu 89 Chuongnn-hui.blogspot.com 90 15 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐS: phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là y* = (5, 1, 1) và gmax = 6 = fmin Dùng bảng đơn hình của bài toán gốc Ví dụ: + Giải bài toán gốc... 12x2 + 10x3 ⟶ min 3x1 + 4x2 + 2x3 ≥ 160 x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 140 xj ≥ 0, j=1,2,3 ĐS: Phương án tối ưu là x* = (0, 25, 30), giá trị tối ưu fmin = 600 96 16 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Định nghĩa bài toán vận tải Chương 3: BÀI TOÁN VẬN TẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI VÀ MỘT SỐ KHÁI NIỆM Xí nghiệp cần vận chuyển hàng hoá từ m kho (điểm phát)... thành chu trình là m + n  1 Với m + n  1 ô không tạo thành chu trình ta có thể bổ sung thêm một ô bất kỳ để có ít nhất một chu trình    xmn 102 17 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH + Ma trận cước phí là ma trận (cij) với cij là cước phí vận chuyển một đơn vị hàng từ Pi đến Tj + Phương án hay ma trận phương án là ma trận (xij) . biên. 42 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 8  +    và   bài toán quy .   Bài  6 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 02/09/2012 Chuongnn-hui.blogspot.com 2 