Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 8 Đại học Đà Nẵng năm 2012 1 ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO SCHUR’S THEOREM AND CONVERSES SVTH: Lương Thị Hường Lớp 09ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Cho G là một nhóm, Z(G) và [ G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tử của G. Năm 1904, I. Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm thương G/Z(G) hữu hạn, thì nhóm [ G, G ] hữu hạn. Kết quả này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết nhóm và được gọi là Định lý Schur. Phần đảo của định lý Schur nói chung là không đúng, chẳng hạn các p – nhóm quá đặc biệt vô hạn, với p là một số nguyên tố lẻ. Mục đích chính của bài báo này là tìm hiểu định lý Schur và các phần đảo của nó, được phát biểu và chứng minh bởi 4 tác giả khác nhau. Đây là một mảng kiến thức về lý thuyết nhóm, rất bổ ích cho sinh viên ngành Toán, mà vốn chưa được học trong chương trình đào tạo. Từ khóa: nhóm, nhóm con tâm, nhóm con giao hoán tử, định lý Schur, các p-nhóm quá đặc biệt vô hạn. ABSTRACT Let G be a group, Z(G) and [ G, G ] denote the center and the commutator subgroup of G. In 1904, I. Schur proved that if G/Z(G) is finite, then [ G, G ] is finite. This result has many applications in group theory and is called Schur’s theorem. The conver of Schur’s theorem is generally not true, such the p-group too special the infinite, with p is a prime retail. The main purpose of this paper is to explore the Schur’s theorem and converses of it; be stated and proven by four different authors. This is an array of knowledge about group theory, very usefull for the students mathematics, that which has not been studied in the training program. Key words: group, the center subgroup, the commutator subgroup, Schur’s theorem, the p-group too special the infinite. 1. Mở đầu Cho G là một nhóm, Z(G) và [ G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tử của G. Năm 1904, I. Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm thương G/Z(G) hữu hạn, thì nhóm [ G, G ] hữu hạn. Kết quả này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết nhóm và được gọi là Định lý Schur. Phần đảo của định lý Schur nói chung là không đúng, chẳng hạn các p – nhóm quá đặc biệt vô hạn, với p là một số nguyên tố lẻ. Năm 1951, B. H. Neumann [3] đã chứng minh được: Nếu nhóm G hữu hạn sinh và Z 2 (G) hữu hạn thì nhóm G/Z(G) hữu hạn. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu phần đảo của Định lý Schur đã được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, chẳng hạn năm 2010, P. Niroomand [4] đã có chứng minh: Nếu [ G, G ] hữu hạn và G/Z(G) hữu hạn sinh thì nhóm G/Z(G) hữu hạn. Kết quả này của P. Niroomand đã được tổng quát hơn nữa bởi B. Sury [6] ( năm 2010 ) và bởi M. K. Yadav [9] ( năm 2011 ). Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 8 Đại học Đà Nẵng năm 2012 2 2. Định lý Schur và các phần đảo 2.1. Định lý Schur Đối với một nhóm G thì tính hữu hạn của G/Z(G) kéo theo tính hữu hạn của [ G, G ]. 2.2. Các phần đảo của định lý Schur 2.2.1. Định lý [3] Nếu G là một nhóm hữu hạn sinh sao cho [ G, G ] là hữu hạn thì G/Z(G) là hữu hạn. 2.2.2. Định lý [4] Cho G là một nhóm tùy ý sao cho d(G/Z(G)) và [ G, G ] là hữu hạn, khi đó d(G/Z(G)) , trong đó d(X) là số phần tử sinh nhỏ nhất của nhóm X. Chứng minh Cho G/Z(G) = , trong đó Z(G), Ta định nghĩa f: G/Z(G) (t lần) ↦ ( [ y, x 1 ],…, [ y, x t ] ) Do z với y Vì vậy f được xác định đúng đắn. Ta chứng minh f là 1 đơn ánh. Cho f( ) = f( ) . Ta có và theo ( Chương I, Bổ đề 2.1.6 ) Do G sinh bởi x i (1 ) mod Z(G) và nằm trong tâm của yx -1 , ta có yx -1 . Vậy , do đó f là một đơn ánh. Suy ra: d(G/Z(G)) . Áp dụng định lý 2.2 ta sẽ chứng minh được định lý 2.1 2.2.3. Hệ quả Cho G là một nhóm lũy linh sao cho d(G/Z(G)) và [G, G] là hữu hạn, khi đó chia hết . Chứng minh Do là hữu hạn theo định lý 2.2 nên ta có … , trong đó là một p i - nhóm con Sylow của Định lý 2.2 áp dụng với p i cho ta , điều này nghĩa là chia hết . Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 8 Đại học Đà Nẵng năm 2012 3 Do Z(P i ) = Z(G) P i , do đó ta có d(P i /Z(P i )) d(G/Z(G)). Mặt khác [G, G] = … kéo theo: chia hết . 2.2.4. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho G là một nhóm với các phần tử sinh x i , y i , i > 0 và z, thỏa mãn các quan hệ , và với mọi i j, và . Khi đó Z(G) = [G, G] = < z > là hữu hạn nhưng G/Z(G) không hữu hạn. Ví dụ 2: Cho G là một nhóm quaternion hoặc nhóm dihedral cấp 8, khi đó d(G/Z(G)) = 2. Ví dụ 3: Cho G là một nhóm dihedral cấp 10, khi đó , 5 và d(G/Z(G)) = 2. 2.2.5. Định lý [6] Cho G là một nhóm mà trong đó tập S các giao hoán tử của nó là hữu hạn. Khi đó [G, G] là hữu hạn. Hơn nữa, nếu G/Z(G) được sinh bởi r phần tử thì r . Chứng minh Cho S = { [ x i , y i ] } Xét nhóm con hữu hạn sinh H = { x 1 , y 1 ,…, x d , y d } của G Ta có S = { [ x i , y i ] } và x i , y i đều thuộc vào H. Do đó S còn là tập các hoán tử của H. Cho H/Z(H) được sinh bởi ảnh của g 1 , g 2 ,…, g r Ta có thể giả sử r nhưng ở đây nó không cần thiết. Chú ý rằng g Z(H) nếu và chỉ nếu g giao hoán với g 1 , g 2 ,…, g r . Thật vậy: + g Z(H) thì ta có ngay được g giao hoán với g 1 , g 2 ,…, g r . + g giao hoán với g 1 , g 2 ,…, g r ta phải chứng minh g Z(H), tức là phải chứng minh gg’ = g’g với mọi g’ Z(H). Xét ánh xạ: Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 8 Đại học Đà Nẵng năm 2012 4 g ↦ Ta đã có H/Z(H) được sinh bởi ảnh của g 1 , g 2 ,…, g r Nên với mọi g’ H, i g i Z(H). Ta có: (gg ’ ) = (g ’ ) = i i ) = i (g i ) = i (g i g) = i (g i ) (g) =( i (g i ) ) (g) = (g ’ ) (g) = (g ’ g) Suy ra gg ’ =g ’ g với mọi g ’ H. Do đó g Z(H). Tóm lại g Z (H) nếu và chỉ nếu g giao hoán với g 1 , g 2,…, g r . Nghĩa là Z(H) = H (g i ). Xét lớp liên hợp cl(g i ) trong H với mỗi g i ( i r ). Với mỗi g H ,tồn tại s S sao cho gg i g -1 = sg i . Xét tương ứng : cl(g i ) Sg i gg i g -1 ↦ sg i Rõ ràng, do mỗi gg i g -1 cl(g i ) tồn tại s S sao cho (gg i g -1 ) = sg i nên là một ánh xạ Vì thế . Do đó [ H: C H (g i ) ] Từ đó, ta có : = [ H: H (g i ) ] H: C H (g i )] r Ta có H là một nhóm mà H/Z(H) là hữu hạn. Do đó theo như Định lý Schur thì [ H, H ] là hữu hạn. Mặt khác [ G, G ] = < S > [ H, H ] điều này chỉ ra rằng [ G, G ] là hữu hạn.Lập luận trên chỉ ra rằng r ,sử dụng điều S là tập các hoán tử của H là hữu hạn , và H/Z(H) được sinh ra bởi r phần tử. Do đó, áp dụng điều này cho G, ta đạt được r trong đó G/Z(G) được sinh ra bởi r phần tử. 2.2.6. Định lý [9] Cho G là một nhóm bất kỳ sao cho Z 2 (G)/Z(G) hữu hạn sinh và nhóm [ G, G ] hữu hạn. Khi đó G/Z(G) là hữu hạn. Chứng minh Vì [ G, G ] hữu hạn, nên theo ( Chương I, Định lý 3.3.5 ), G/Z 2 (G) hữu hạn. Do Z 2 (G)/Z(G) hữu hạn sinh, nên G/Z(G) hữu hạn sinh, và Định lý được chứng minh bởi Định lý 2.5. 3. Kết luận Đề tài: “ Định lý Schur và các phần đảo ” đã tìm hiểu tường tận Định lý Schur và 4 phần đảo của nó, được phát biểu và chứng minh bởi 4 tác giả khác nhau. Đây là một mảng kiến thức về lý thuyết nhóm, rất bổ ích cho sinh viên ngành Toán, mà vốn chưa được học trong chương trình đào tạo. Tuy nhiên do trình độ còn hạn chế của người thực hiện, cũng như sự hạn hẹp về thời gian, nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Hy vọng rằng trong thời gian tới, đề tài sẽ tiếp tục được bổ sung và hoàn thiện hơn nữa. Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 8 Đại học Đà Nẵng năm 2012 5 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P. Hall (1956), “Finite – by – nilpotent groups”, Proc. Cambridge Phil. Soc. 52, [2] 611 – 616. [3] Nguyễn Văn Mến (2011), Định lý đảo của định lý Schur, Khóa luận tốt [4] nghiệp đại học, trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng. [5] B. H. Neumann (1951), “Groups with finite classes of conjugate”, Proc. [6] London Math. Soc. (3) 1, 178 – 187. [7] Peyman Niroomand (2010), “The converse of Schur’s theorem”, Arch. Math. [8] 94, 401- 404. [9] Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội. [10] B.Sury (2010), “A generalization of a converse to Schur’s theorem”, Arch. [11] Math. 95, 317 - 318. [12] Nguyễn Thị Kim Thứ (2009), Quan hệ đồng chất và lớp liên hợp của các [13] nhóm bậc thấp, Luận văn tốt nghiệp đại học, trường Đại học sư phạm - Đại [14] học Đà Nẵng. [15] Nguyễn Ngọc Tiến (2011), Tổng quát hóa định lý Schur đảo, Khóa luận tốt [16] nghiệp đại học, trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng. [17] Manoj K. Yadav (2011), “A note of the converse of Schur’s theorem”, arXiv: [18] 1011. 2083v2 [ math.GR ]. SV Lương Thị Hường, Lớp 09ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng ĐT: 01674 675 887, Email: luongthihuong44@yahoo.com.vn . 3. Kết luận Đề tài: “ Định lý Schur và các phần đảo ” đã tìm hiểu tường tận Định lý Schur và 4 phần đảo của nó, được phát biểu và chứng minh bởi 4 tác. Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 8 Đại học Đà Nẵng năm 2012 2 2. Định lý Schur và các phần đảo 2.1. Định lý Schur Đối