********* HÀ DUY NGHĨA GIỚI HẠN TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐỒNG ĐIỀU i ********* HÀ DUY NGHĨA GIỚI HẠN CAO HỌC TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐỒNG ĐIỀU Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN ĐỨC MINH 1 MỤC LỤC Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1 Một số bài tập về phạm trù và hàm tử 3 1.1 gghfhfh-pham tru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 2 Giới hạn 10 2.1 Giới hạn thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Tập thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Hệ thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.3 Giới hạn thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Tính chất của giới hạn thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 LỜI MỞ ĐẦU Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết phạm trù đã được các nhà toán học quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả xuất sắc, vào những năm 1940 Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane là những người đầu tiên đưa lý thuyết Phạm trù, cho đến nay nó được phát triển mạnh mẽ. Một trong những khái niệm hay trong lý thuyết phạm trù đó là giới hạn trực tiếp và giới hạn ngược đã được giới thiệu rất nhiều ở một số tài liệu. Trong tiểu luận này, phần chính tôi giới thiệu khái niệm giới hạn và một số tính chất của nó qua tài liệu tham khảo [2]. Tiểu luận gồm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Giới thiệu các khái niệm về phạm trù, hàm tử và giải các bài tập về hàm tử. Chương 2: Là nội dung chính của tiểu luận bao gồm khái niệm giới hạn, các ví dụ về giới hạn, các định lý mô tả tính chất đặc trưng của giới hạn. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng trong học tập, nghiên cứu và được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để tiểu luận được hoàn thiện hơn. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Đức Minh người đã tận tình giúp đỡ, cùng tập thể lớp cao học toán khoá 11 tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tiểu luận này. 3 Chương 1 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ] 1.1 Phạm trù Quy ước 1.1.1. Trong lý thuyết tập hợp mới, phần tử , lớp thuộc là những khái niệm cơ bản không định nghĩa. Để chỉ phần tử x thuộc lớp ta kí hiệu x ∈ , lớp được gọi là tập hợp nếu tồn tại lớp nhận làm phần tử của nó. Định nghĩa 1.1.2. Cho một Phạm trù là cho các dữ kiện sau: 1. Cho một lớp Ob( ) mà các phần tử của nó thường gọi là các vật( và kí hiệu bởi các chữ cái in hoa A,B,C ) 2.Với mỗi cặp có (kể thứ tự)(A,B) của Ob( ), cho một tập hợp (có thể rỗng), kí hiệu là Mor (A, B) và gọi là tập các xạ từ A đến B thường được ký hiệu là A f GG B hay f : A −→ B ta thường goi A là nguồn còn B là đích của xạ f. 3.Với mỗi bộ 3 vật (A, B, C) cho một ánh xạ thường gọi là luật hợp thành Mor (A, B) × Mor −→ Mor (A, C), (f, g) −→ g ◦ f các dữ kiện trên phải thỏa mãn hai tiên đề sau: a)Phép hợp thành có tính kết hợp :với 3 xạ A f GG B g GG C h GG D bất kỳ ta luôn có h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f b)Với mỗi vật A ∈ Ob( ) tồn tại một xạ 1 A ∈ Mor (A, A) ( Gọi là xạ đồng nhất trên A, sao cho ∀B, C ∈ Ob( )và∀ A f GG B ∈ Mor (A, B), ∀ C g GG A ∈ Mor (C, A) ta luôn có f ◦ 1 A = f, 1 A ◦ g = g Ví dụ 1.1.3. a) Phạm trù các tập hợp: Ob( ) là lớp tất cả các tập hợp, 4 các xạ là các ánh xạ, luật hợp thành là luật hợp thành các ánh xạ, các xạ đồng nhất là các ánh xạ đồng nhất. b)Phạm trù các môđun trên vành giao hoán R, R: Ob( ) là các môđun trên vành giao hoán R (cố định cho trước) các xạ là các đồng cấu R-môđun , luật hợp thành là luật hợp thành là luật hợp thành các đồng cấu, các xạ đồng nhất là các đồng cấu đồng nhất.Trong phạm trù này các Mor(A, B) kí hiệu Hom(A, B). c)Phạm trù các nhóm . Ob( ) là các nhóm, các xạ là các đồng cấu nhóm, luật hợp thành là luật hợp thành các đồng cấu, các xạ đồng nhất là các đồng cấu đồng nhất. 1.2 Hàm tử Định nghĩa 1.2.1. Cho và là hai phạm trù. Một hàm tử thuận biến (tương ứng phản biến ) từ phạm trù vào phạm trù kí hiệu : −→ được hiểu là cặp ánh xạ ( O , M ) trong đó( O : Ob( ) −→ Ob( ) vỔ M : −→ sao cho: 1.∀A, B ∈ Ob( ), ∀ϕ ∈ Mor (A, B), ta có M (ϕ) ∈ Mor ( O (A), O (B) ( tương ứng M (ϕ) ∈ Mor ( O (B), O (A) 2.∀A ∈ Ob( ), M (1 A ) = 1 O (A) . 3.∀A, B, C ∈ Ob( ), ∀f ∈ Mor (A, B), ∀g ∈ Mor (B, C) ta có M (g ◦ f) = M (g) ◦ M (f) ( tương ứng M (g ◦ f) = M (f) ◦ M (g). Quy ước 1.2.2. Để dơn giản mỗi A ∈ Ob( ) ta ký hiệu (A) thay cho O (A) và với mỗi f ∈ Mor (A, B) ta ký hiệu (f) thay cho M (f). Minh họa định nghĩa trên là hình vẽ sau GG A f ÐÐÒ Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò g◦f 00 ` ` ` ` ` ` ` ` (A) (f) {{ w w w w w w w w w (g)◦ (f ) 55 q q q q q q q q q B g GG C (B) (g) GG (C) (Hàm tử thuận biến) 5 GG A f ÐÐÒ Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò g◦f 00 ` ` ` ` ` ` ` ` (A) B g GG C (B) (f) YY w w w w w w w w w (C) (g) oo (g)◦ (f )  q q q q q q q q q (Hàm tử phản biến) Ví dụ 1.2.3. a) Hàm tử : −→ xác định bởi : ∀A ∈ Ob( ), (A) = A, ∀ A f GG B ∈ Mor (A, B), (f) = f. b) Hàm tử Hom, hàm tử tensor là các hàm tử phạm trù. R vào chính nó. 1.3 Bài tập Trong các bài tập sau, ta cho : R −→ R , là hàm tử thuận biến cộng tính. Bài tập 1.3.1. Nếu là khớp trái thì với mọi dãy khớp các R-môđun 0 GG X f GG Y g GG Z ta luôn có 0 GG (X) (f) GG (Y ) (g) GG (Z) (1.1) cũng là khớp. Giải Đặt U = Im g, V = Z/Im g, α : U → Z, β : Z → V , khi đó ta có hai dãy sau là khớp: 0 GG X f GG Y g  GG U GG 0 0 GG U α GG Z β GG V GG 0 Vì là hàm tử cộng tính khớp trái nên hai dãy 0 GG (X) (f) GG (Y ) (g  ) GG (U) 6 0 GG (U) (α) GG (Z) (β) GG (V ) cũng là khớp, do đó (f) là đơn cấu. Vì vậy để chứng minh (1.1) là khớp ta cần chứng minh : Im (f) = Ker (g). Trước hết phân tích g : Y −→ Z thành hợp thành của hai đồng cấu g  , α theo sơ đồ sau: Y g GG g  00 a a a a a a a a Z GG (Y ) (g) GG (g  ) 55 r r r r r r r r r (Z) U α dd Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ (U) (α) YY w w w w w w w w w Khi đó ta có : (g) = (α) (g  ), Suy ra :Ker (g) = Ker (g  ) = Im (f),( (α) đơn cấu). Vậy dãy 0 GG (X) (f) GG (Y ) (g) GG (Z) là khớp. Bài tập 1.3.2. Nếu là khớp phải thì với mọi dãy khớp các R-môđun 0 GG X f GG Y g GG Z ta luôn có 0 GG (X) (f) GG (Y ) (g) GG (Z) (1.2) cũng là khớp. Giải Tương tự, đặt :U = Ker f, V = X/Ker f, α : U → X, β : X → V , khi đó ta cũng có hai dãy khớp ngắn 0 GG U α GG X β GG V GG 0 (1.3) 0 GG V f  GG Y g GG Z GG 0 (1.4) Trong đó : f  : X/Ker f → Y x + Ker f → f(x) 7 1) Trước hết ta chứng minh hai dãy(1.3),(1.4) là khớp. Dãy (1.3) khớp là bình thường. Ta kiểm tra tính khớp của dãy (1.4) Trước hết ta chứng minh f  là ánh xạ, thật vậy ta có : ∀x + Ker f = x  + Ker f ⇒ x + x  ∈ Ker f ⇒ f(x) = f(x  ) Ngoài ra ta cũng có : Ker f  = {x ∈ X/Ker f|f  (x) = f(x) = 0} = {0}(x ∈ Ker f), nên f  là đơn cấu, do đó để chứng minh (1.4) khớp ta cần chứng minh Im f  = Ker g. i) Imf  ⊂ Ker g Ta có ∀y ∈ Imf  tồn tại x + Imf ∈ V sao cho f  (x + Im f) = y = f(x) khi đó g(f  (x + Im f)) = g(f(x)) = g(y) = 0 ⇒ y ∈ Ker g. Vậy Im f  ⊂ Ker g. ii) Ker g ⊂ Im f  ∀x ∈ Ker g ⊂ Y ⇒ g(x) = 0, vì f  là đơn cấu nên tồn tại z ∈ V sao cho f  (z) = x từ đó suy ra x ∈ Im f  . 2)Áp dụng tính chất khớp phải của để chứng minh dãy(1.2) khớp Ta có là thuần biến và khớp phải nên hai dãy (V ) (f  ) GG (Y ) (g) GG (Z) GG 0 (1.5) (U) (α) GG (X) (β) GG (V ) GG 0 (1.6) là khớp, do đó (g) là toàn cấu. Ta cần chứng minh Im (f) = Ker (g). Trước hết phân tích f : X → Y thành hợp thành của hai đồng cấu β  và f  sao cho f = f  ◦ β như sơ đồ sau : X f GG β 00 a a a a a a a a Y GG (X) (f) GG (β) 55 r r r r r r r r r (Y ) V f  dd Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ (V ) (f  ) YY v v v v v v v v v 8 Khi đó (f) = (f  ) ◦ (β), Ngoài ra ta cũng có (1.5) và (1.6) cũng khớp nên (β) là toàn cấu và Ker (g) = Im (f  ), do đó Im (f) = Im (f  ) = Ker (g) Vậy dãy (1.2) là khớp. Bài tập 1.3.3. Nếu là khớp thì với mọi dãy khớp X f GG Y g GG Z ta luôn có dãy (A) (f) GG (Y ) (g) GG (Z) (1.7) Cũng là khớp. Giải Đặt A = Ker f, B = Imf = Ker g, C = Im g, khi đó ta có các dãy sau là khớp. 0 GG A α GG X β GG B GG 0 0 GG Y γ GG B θ GG C GG 0 0 GG C g  GG Z h GG Z/C GG 0 Theo đề bài là khớp nên ta có các dãy sau là khớp 0 GG (A) (α) GG (X) (β) GG (B) GG 0 (1.8) 0 GG (B) (γ) GG (Y ) (θ) GG (C) GG 0 (1.9) 0 GG (C) (g  ) GG (X) (h) GG (Z/C) GG 0 (1.10) Với cách đặt như trên ta có thể phân tích f, g thành những hợp thành của các đồng cấu tương ứng theo sơ đồ giao hoán sau. X f GG β 00 a a a a a a a a Y GG (X) (f) GG (β) 55 r r r r r r r r r (Y ) B γ dd Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ (B) (γ) YY v v v v v v v v v . NGHĨA GIỚI HẠN TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐỒNG ĐIỀU i ********* HÀ DUY NGHĨA GIỚI HẠN CAO HỌC TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐỒNG ĐIỀU Người. trước) các xạ là các đồng cấu R-môđun , luật hợp thành là luật hợp thành là luật hợp thành các đồng cấu, các xạ đồng nhất là các đồng cấu đồng nhất.Trong phạm