Chương 3: Chứng minh các kết quả của bài toán NP_đầy đủ Giảng viên : PSG.TSKH.Vũ Đình Hòa I. Các khái niệm 1.1. Lớp bài toán P (polynomial time) 1.2. Lớp bài toán NP(Nondeterministic polynomial time) 1.3. Quan hệ giữa lớp P và lớp NP II. Các bài toán NP_Complete 2.1. Phép dẫn với thời gian đa thức 2.2. Bài toán NP_Complete (NPC) 2.3. Một số bài toán NPC Chương 3: Chứng minh các kết quả của bài toán NP_đầy đủ I. Các khái niệm 1.1. Lớp bài toán P (polynomial time) Lớp P là lớp bài toán quyết định giải được trong thời gian đa thức trên máy Turing tất định, hay lớp những bài toán dễ (có lời giải chấp nhận được). 1.2. Lớp bài toán NP Là lớp bt quyết định giải được trong thời gian đa thức trên máy Turing không tất định 1.3. Quan hệ giữa lớp P và lớp NP  Ta có thể thấy một cách trực quan là P ⊆ NP. Nhưng chúng ta vẫn chưa biết P=NP hay không, nhưng hầu hết các nhà nghiên cứu tin rằng P≠NP là sự tồn tại của của lớp bt NPC  Dù chúng ta chưa biết chắc chắn liệu P≠NP song việc chỉ ra được một bài toán là NPC chứng tỏ 1 sự thật là bt đó không thể giải được về phương diện tính toán với thuật toán chính xác, tốt hơn hết là lời giải theo thuật toán gần đúng.  Việc xem xét quan hệ giữa P và NP dẫn đến chúng ta đi đến nghiên cứu lớp NPC II. Các bài toán NP_Comlete (NPC) 2.1. Phép dẫn với thời gian đa thức Cho hai bài toán ∏ 1 và ∏ 2. Ta biết rằng 22 11 2 1 NY NY πππ πππ ∪= ∪= 2.1. Phép dẫn với thời gian đa thức Một phép biến đổi f mỗi dữ kiện ∏ 1 thành dữ kiện ∏ 2 và thỏa mãn 2 điều kiện sau được gọi là phép dẫn thời gian đa thức : 1. f được thực hiện trong thời gian đa thức 2. Định Nghĩa: Một bt quyết định ∏ 1 dẫn về bt quyết định ∏ 2 trong thời gian đa thức nếu tồn tại một phép dẫn đa thức từ bt ∏ 1 về bt ∏ 2 . Ký hiệu: ∏ 1 ∝ ∏ 2 21 21 )( )( NN YY f f ππ ππ ⊆ ⊆ The theory of NP-Completeness 7  Ví dụ 1: Chu trình Hamilton  Instance: Đồ thị G vô hướng.  Question: tồn tại hay không một chu trình đi qua tất cả đỉnh của đồ thị ? 1. Ví dụ phép dẫn thời gian đa thức The theory of NP-Completeness 8  Ví dụ 2: Traveling Salesman  Instance: Tập hữu hạn các thành phố: C = {c 1 , c 2 ,…c m }, khoảng cách giữa hai thành phố c i , c j là d(c i , c j ) ∈ Z + , một số B ∈ Z + .  Question: tồn tại hay không một đường đi nào qua tất cả các thành phố trong C mà có tổng độ dài không lớn hơn B? (Tồn tại một sắp thứ tự sao cho ) 1. BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH )()2()1( , ,, m CCC πππ BCCdCCd m m i ii ≤+ ∑ − = + ),()),(( )1()( 1 1 )1()( ππππ The theory of NP-Completeness 9  Phép dẫn f biến mỗi đồ thị G thành một đồ thị đầy đủ có trọng số bằng cách thêm các cạnh mới nối các cặp đỉnh của G và gán trọng số các cạnh cũ là 1, các cạnh mới thêm vào là 2 và chọn B = n là số đỉnh của đồ thị G. 1. Phép dẫn thời gian đa thức 3- 10 Proof of Hamiltonian ∝ TSP [...]... sau: 1) Chứng minh bt ∏ ∈ NP 2) Lựa chọn bt ∏ ’ ∈ NPC 3) Xây dựng hàm biến đổi f từ ∏ ’ sang ∏ 4) Chứng minh rằng f là một biến đổi đa thức 3.3 Một số bài toán NPC  Đây là con đường mới để chứng minh một số bt là NPC, chẳng hạn như bt người du lịch hay chu trình Hamilton Về nguyên tắc chúng ta thực hiện điều đó bằng cách tìm các phép dẫn với thời gian đa thức từ bt SAT về mỗi bài toán cần chứng minh. .. sự tồn tại các bt khác trong NP có thể với bt SAT cũng là bt khó giải nhất Ông ta minh chứng điều này bằng trường hợp đối với bt “liệu có một đồ thị G có chứa một đồ thị con hoàn chỉnh với k đỉnh không ?” 3.3 Một số bài toán NPC  Sau khi đã biết SAT là bt NPC chúng ta sẽ trình bày một khuôn mẫu cho một quá trình dẫn một bt NPC thành chứng minh bài toán khác cũng là NPC  Chứng minh bài toán ∏ ∈ NPC:... rút gọn của bt SAT, bt 3SAT dễ dẫn về các bt cần chứng minh hơn nhiều so với bt SAT 3.3 Một số bài toán NPC * Bài toán SAT  Bài toán SAT được phát biểu dưới dạng bt quyết định như sau: Instance: Cho trước n biến logic {x1, x2, x } là tập hợp C …… , n các bộ biến hoặc phủ định của biến, gọi là tục biến, ví dụ C = {x1 v x2, x1 v x2 v ¬x4, x5} Question: Tồn tại hay không một phép gán giá trị cho các biến... biến mỗi dữ kiện của bt1 thành dữ kiện tương ứng của bt2, nhờ đó mà có thể chuyển thuật toán giải quyết bt2 thành thuật toán tương đương để giải quyết bt1  Trong một bài báo của Stephen Cook, giới thiệu năm 1971 đã nêu nên một số vấn đề quan trọng như những nền tảng cho việc nghiên cứu về các bài toán NPC, đó là: 3.3 Một số bài toán NPC  Một là, S.Cook đã nhấn mạnh sự cần thiết của “phép dãn với... bt ∏ 2∈ P => bt ∏ 1∈ P 2.2 Bài toán NP_Comlete (NPC) * Đ/L2: - Nếu có một bài toán NPC bất kỳ giải được trong thời gian đa thức thì P=NP - Ngược lại, nếu một bt bài toán NP bất kỳ không giải được trong thời gian đa thức thì tất cả các bài toán NPC đều không giải được trong thời gian đa thức 3.3 Một số bài toán NPC  Bằng việc sử dụng kỹ thuật dẫn bt1 về bt2 (đã có thuật toán giải quyết) với 1 phép...  Định lý: Bài toán SAT là NPC 3.3 Một số bài toán NPC * Bài toán 3SAT  Bài toán 3SAT được phát biểu dưới dạng bt quyết định như sau: Instance: Cho trước n biến logic {x1, x2, x } là tập hợp C …… , n các tuyển gồm 3 tục biến, ví dụ C = {x1 v x2v x3 , x1 v x2 v ¬x4} Question: Tồn tại hay không một phép gán giá trị cho các biến sao cho mỗi c∈ C có ít nhất một gia trị đúng?  Định lý: Bài toán 3SAT là... mãn 3 Một số bài toán NPC  Bài toán vỏ phủ định (Vertex Cover) Instance: Cho đồ thị G=(V,E) và một số nguyên dương k≤|V| Question: Tồn tại hay không một vỏ phủ định có kích cỡ ≤ k?  Bài toán Clique Instance: Cho đồ thị G=(V,E) và một số nguyên dương k≤|V| Question: Tồn tại hay không trong G một đồ thị con đầy đủ với ít nhất k đỉnh? 2.2 Bài toán NP_Comlete (NPC) * Đ/L2: - Nếu có một bài toán NPC bất... bài toán NPC  Tiếp theo phần này trình bày nhiều bt NPC có liên quan đến lý thuyết đồ th ị Những bt này trong số những bài toán đồ thị được sử dụng thường xuyên cho lời giải của những bt rất quan trọng trong ứng dụng thực tế Sơ đồ chứng minh một số bài toán NPC  Theo sơ đồ thì biến đổi đầu tiên là bt SAT vì nó là bt NPC đầu tiên được biết Sơ đồ trên chỉ dẫn cho chúng ta biết phải chọn bt nào để chứng. .. thức thì P=NP - Ngược lại, nếu một bt bài toán NP bất kỳ không giải được trong thời gian đa thức thì tất cả các bài toán NPC đều không giải được trong thời gian đa thức Chứng minh: + Giả sử L∈ NPC và L∈ P, bất kỳ L’∈ NP => có một phép dẫn L’ ∝ L với thời gian đa thức + Mặt khác theo tính chất ∏ 1 ∝ ∏ 2 và ∏ 2 ∈ P thì ∏ 1∈ P, do đó ta có L’ ∈ P -> đpcm P=NP 2.2 Bài toán NP_Comlete (NPC) * Đ/L1: Ta có...2.2 Bài toán NP_Comlete (NPC)  Định Nghĩa: Chúng ta nói L là bài toán thuộc NPC nếu khẳng định sau là đúng 1) L ∈ NP 2) ∀ L’ ∈ NP, có phép dẫn với thời gian đa thức từ L’ về L 2.2 Bài toán NP_Comlete (NPC)  Sau đây là các định lý NPC, nó cũng là điểm then chốt của việc quyết định P thực tế có bằng NP hay không? * Đ/L1: Ta có một phép . thức 2.2. Bài toán NP_ Complete (NPC) 2.3. Một số bài toán NPC Chương 3: Chứng minh các kết quả của bài toán NP_ đầy đủ I. Các khái niệm 1.1. Lớp bài toán P. Chương 3: Chứng minh các kết quả của bài toán NP_ đầy đủ Giảng viên : PSG.TSKH.Vũ Đình Hòa I. Các khái niệm 1.1. Lớp bài toán P (polynomial