Nguyễn Hữu Điển LÀM SÁCH BÀI TẬP TOÁN NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 51 89/176-05 GD-05 Mã số: 8I092M5 Mục lục Mục lục Chương Bài tập tự luận 1.1 Giới thiệu 1.1.1 Giới thiệu 1.2 Nguyên lý 1.3 Bài tập 1.4 Lời giải Chương Câu hỏi trắc nghiệm 2.1 Giới thiệu 2.2 Nguyên lý 2.3 Bài tập 2.4 Lời giải Chương Điền vào chỗ trống 10 3.1 Giới thiệu 10 3.2 Nguyên lý 10 3.3 Bài tập 10 3.4 Lời giải 11 Chương Câu hỏi sai 12 4.1 Giới thiệu 12 4.2 Nguyên lý 12 4.3 Bài tập 12 4.4 Lời giải 13 MỤC LỤC Chương Trắc nghiệm theo bảng 14 5.1 Giới thiệu 14 5.2 Nguyên lý 14 5.3 Bài tập 14 5.4 Lời giải 16 Chương Lời giải gợi ý 18 6.1 Bài tập chương 18 6.2 Bài tập chương 21 6.3 Bài tập chương 22 6.4 Bài tập chương 22 6.5 Bài tập chương 23 Tài liệu tham khảo 25 Chương Bài tập tự luận Nội dung chương 1.1 Giới thiệu 1.2 Nguyên lý 1.3 Bài tập 1.4 Lời giải 1.1 Giới thiệu 1.1.1 Giới thiệu 1.2 Nguyên lý 1.3 Bài tập 1.1 Cho công thức (A → B) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C)) Hãy thực a) Đưa công thức dạng chuẩn tắc hội b) Chỉ công thức 1.2 a) Phát biểu định nghĩa hạng từ công thức tân từ lý thuyết hệ tân từ b) Cho vị từ ba biến P (x, y, z) ≡ ”x.y = z” trường số thực Xác định giá trị chân lý mệnh đề: (∀x)(∀y)(∃z)P (x, y, z) (∃z)(∀x)(∀y)P (x, y, z) Diễn giải mệnh đề thành câu nói thơng thường 1.4 Lời giải 1.3 Trong mơn học giải tích tốn học người ta định nghĩa hàm liên tục sau: "Hàm f (x) gọi hàm liên tục x0 ∈ D cho trước số > tùy ý ta có số δ > tương ứng cho với x ∈ D thỏa mãn |x − x0 | < δ |f (x) − f (x0 )| < " a) Hãy viết lại định nghĩa theo ký hiệu hệ toán tân từ b) Hãy lập mệnh đề phủ định cho định nghĩa (nghĩa hàm không liên tục điểm x0 ) 1.4 a) Phát biểu định nghĩa phần lý thuyết tiên đề L b) Cho công thức A, B, C tùy ý Chứng minh ((A → B) ∧ (B → C)) A → C 1.4 Lời giải 1.1 Lời giải: a) Dạng chuẩn tắc hội (A → B) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C)) ¯ ¯ ≡A ∨ C ∨ B ∨ C ∨ A ∨ B ∨ C ¯ ¯ ¯ ¯ ≡(A ∧ C) ∨ (B ∧ C) ∨ (A ∧ B) ∨ C ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≡(A ∨ (B ∧ C) ∨ (A ∧ B) ∨ C) ∧ (C ∨ (B ∧ C) ∨ (A ∧ B) ∨ C) ¯ ¯ ¯ ≡(A ∨ (B ∧ C) ∨ C) ∨ (A ∧ B) ¯ ¯ ¯ ¯ ≡(A ∨ (B ∧ C) ∨ C ∨ A) ∧ (A ∨ (B ∧ C) ∨ C ∨ B) ¯ ¯ ≡(A ∨ C ∨ B ∨ (B ∧ C)) ¯ ¯ ¯ ≡(A ∨ C ∨ B ∨ B) ∧ (A ∨ C ∨ B ∨ C) ≡1 b) Với luật kết hợp suy công thức 1.2 Lời giải: a) Định nghĩa (a) Tất biến thể lượng tử (b) Nếu fin biến hàm t1 , i2 , tn hạng tử, fin (t1 , t2 , , tn ) hạng tử (c) Một biểu thức hạng tử lập nên (a) (b) Định nghĩa (a) Mỗi công thức sơ cấp công thức (b) Nếu A B công thức, y biến (¬A), (A → B), (∀yA) cơng thức 1.4 Lời giải (c) Nếu biểu thức lập nên (a) (b) cơng thức b) (∀x)(∀y)(∃z)P (x, y, z) mệnh đề đặt z = (x.y) (∃z)(∀x)(∀y)P (x, y, z) mệnh đề sai khơng thể có z mà với x, y có z = x.y 1.3 Lời giải: a) (∀ )(∃δ)(∀x ∈ D) : |x − x0 | < δ → |f (x) − f (x0 )| < b) (∃ )(∀δ)(∃x ∈ D) : |x − x0 | < δ → |f (x) − f (x0 )| > 1.4 Lời giải: a) Định nghĩa: Lý thuyết tiên đề L bao gm: (1) Cỏc ký hiu ca L: ã ơ, → gọi hai phép tốn ngun thủy • Các dấu ngoặc (,) • Các chữ Latinh A, B, C, chữ la tinh có số A1 , B1 , C1 , ký hiệu gọi mệnh đề (2) Công thức xây dựng đệ quy: (a) Tất biến mệnh đề công thức (b) Nếu A B cơng thức (¬A), (A → B) công thức (c) Một biểu thức lập nên từ sở (a) (b) công thức (3) Các tiên đề: Đối với công thức A, B, C tùy ý A1 (A → (B → A)); A2 (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)); A3 (¬B → ¬A) → ((¬B → A) → B) (4) Quy tắc dẫn xuất Modus Ponens: Nếu A A → B B b) Ta xây dựng dẫn xuất sau đây: A → B (giả thiết) B → C (giả thiết) A (giả thiết) B (1, 3, MP) C (2, 4, MP) Từ - ta có A → B, B → C, A C Theo định lý suy diễn ta có A → B, B → C A → C Chương Câu hỏi trắc nghiệm Nội dung chương 2.1 Giới thiệu 2.2 Nguyên lý 2.3 Bài tập 2.4 Lời giải 2.1 Giới thiệu 2.2 Nguyên lý 2.3 Bài tập 2.1 Đơn giản biểu thức A sin α; + tan 2α + tan2 2α + cot 2α + cot2 2α B cos 2α; 2.2 Đơn giản biểu thức tan A cos α; π + B sin α; α C cot α; · D tan2 2α; 1−sin α cos α C 1; D 2; 2.3 Trong hình trịn hai phía tâm ta vẽ hai cung song song có độ dài tương ứng 12 16 Khoảng cách chúng 14 Tìm bán kính đường tròn A 9; B 10; C 8; D 7; 2.3 Bài tập 2.4 Giải hệ phương trình x(x + 3y) y(3y + x) = 18, =6 đại lượng n(x2 + y ), n số nghiệm hệ phương trình A 10; B 1; C 20; D 6; C 49; D 20; 2.5 Cho bc = 64, ba = 8, ca = Tính cc A 45; B 38; 2.6 Giải bất phương trình ||5x − 3| + 4x| < Chỉ nghiệm nguyên dương nhỏ A 1; B 3; C 0; D −1; 2.7 Which of the following is the derivative of x sin(x)? A sin(x) C x cos(x) B sin(x) + x cos(x) D x sin(x) 2.8 Trong cấp số nhân b1 = 54; S3 = 78 Tìm cơng bội cấp số Trong trả lời cơng bội tốn có nghiệm tổng nghiệm toán có nhiều nghiệm A 3; B 2; C − ; D −1; 2.9 Năm người làm số công việc Ba người họ làm để hồn thành cơng việc thời gian 7.5h; Người thứ nhất, thứ ba thứ năm - thời gian 5h; Người thứ nhất, thứ ba thứ tư - 6h; Người thứ hai, thứ tư thứ năm - 4h Hỏi cơng việc hồn thành năm người làm? A 2h; B 2.5h; C 3h; 2.10 Which of the following is the derivative of A sin(x) B cos(x) C D 4h; sin(x) x ? cos(x)x−sin(x) x2 D x cos(x) 2.11 Hai đầu đường kính cách xa tiếp tuyến tương ứng 1, m 0, m Tìm độ dài đường kính Đưa trả lời số thập phân A m; B m; C 3, m; D 2, m; 2.12 Đẳng thức 3n + 4n = 5n với n A 2; B 1; C 3; D 4; 2.4 Lời giải 2.4 Lời giải D 2.1 2.2 2.3 2.4 C B 2.5 2.6 2.7 C C 2.8 2.9 D B C 2.10 C 2.11 D 2.12 A D 3.4 Lời giải 11 3.4 Lời giải 3.1 Wittgenstein’s first work was the Tractatus-Logico Philosophicus 3.2 Hobbes thought that without a strong, centralized, effective government, chaos would reign in the state of nature 3.3 Nhất trí How much wood would a woodchuck chuck, if a woodchuck would chuck, wood? 3.4 Mill’s theory of morality is known as Utilitarianism 3.5 One main component of Nietzche’s moral philosophy is the will to power 3.6 According to Kant, we should always always always follow the categorical imperative Chương Câu hỏi sai Nội dung chương 4.1 Giới thiệu 12 4.2 Nguyên lý 12 4.3 Bài tập 12 4.4 Lời giải 13 4.1 Giới thiệu 4.2 Nguyên lý 4.3 Bài tập 4.1 Laden swallows fly faster than unladen swallows, unless they carry coconuts 4.2 4.3 This sentence is not false ‘Roger & Trường Me’ chronicles one man’s attempt to get into Disneyland so that he can visit Toontown 4.4 All animals are created equal, but some animals are more equal than others 4.5 ‘Monty Python and the Holy Grail’ is a very funny movie 4.4 Lời giải 13 4.4 Lời giải 4.1 Sai coconuts 4.2 Đúng Laden swallows fly faster than unladen swallows, unless they carry This sentence is not false 4.3 ‘Roger & Trường Me’ chronicles one man’s attempt to get into Đúng Disneyland so that he can visit Toontown 4.4 Sai All animals are created equal, but some animals are more equal than others 4.5 Đúng ‘Monty Python and the Holy Grail’ is a very funny movie Chương Trắc nghiệm theo bảng Nội dung chương 5.1 Giới thiệu 14 5.2 Nguyên lý 14 5.3 Bài tập 14 5.4 Lời giải 16 5.1 Giới thiệu 5.2 Nguyên lý 5.3 Bài tập Câu hỏi   toàn phương với Ma trậnM =  1  Với x ∈] − ∞ ; 2], f (x)     Trả lời     Sai Đúng 5.3 Bài tập 15 Trong phương án sau đây, phương án hàm mũ tiếp cận với y = ? lim ex = +∞ x→+∞ lim ex = x→−∞ ex = +∞ x→+∞ x lim Trong phương án sau đây, phương án hàm mũ tiếp cận với y = ? lim ex = +∞ x→+∞ lim ex = x→−∞ ex = +∞ x→+∞ x lim Cho f hàm xác định có đạo hàm khoảng] − ; + ∞[ bảng biến thiên: −2 +∞ −5 −1 x −3 nghiệm hai nghiệm bốn nghiệm f (x) 4, −∞ −5 Ký hiệu C tập hợ hàm f Trên khoảng ] − ; + ∞[, phương trình f (x) = −2 có exp(ln x) = x pour tout x appartenant Với số thực x, tập hợp ex − R ; +∞ ; +∞ ex + : − e−x − e−x + − e−x + 2e−x f (x) dx = −2 Đúng Sai 5.4 Lời giải 16 lim ex = +∞ Trong phương án sau đây, phương án hàm mũ tiếp cận với y = ? x→+∞ lim ex = x→−∞ ex = +∞ x→+∞ x lim 10 Hàm số F có cực đại Đúng Sai 11 exp(ln x) = x với x xác định R ; +∞ ; +∞ 5.4 Lời giải Câu hỏi   toàn phương với Ma trậnM =  1  Với x ∈] − ∞ ; 2], f (x)    ×  Trả lời     Sai × Đúng lim ex = +∞ Trong phương án sau đây, phương án hàm mũ tiếp cận với y = ? x→+∞ lim ex = x→−∞ × Trong phương án sau đây, phương án hàm mũ tiếp cận với y = ? ex = +∞ x→+∞ x lim lim ex = +∞ x→+∞ × lim ex = x→−∞ ex = +∞ x→+∞ x lim 5.4 Lời giải 17 Cho f hàm xác định có đạo hàm khoảng] − ; + ∞[ bảng biến thiên: −2 +∞ −5 −1 x −3 nghiệm × hai nghiệm bốn nghiệm f (x) 4, −∞ −5 Ký hiệu C tập hợ hàm f Trên khoảng ] − ; + ∞[, phương trình f (x) = −2 có exp(ln x) = x pour tout x appartenant Với số thực x, tập hợp ex − × R ; +∞ ; +∞ ex + : × − e−x − e−x + − e−x + 2e−x f (x) dx = −2 Trong phương án sau đây, phương án hàm mũ tiếp cận với y = ? × Đúng Sai lim ex = +∞ x→+∞ × lim ex = x→−∞ ex = +∞ x→+∞ x lim 10 Hàm số F có cực đại × Đúng Sai 11 exp(ln x) = x với x xác định R ; +∞ × ; +∞ Chương Lời giải gợi ý Nội dung chương 6.1 Bài tập chương 18 6.2 Bài tập chương 21 6.3 Bài tập chương 22 6.4 Bài tập chương 22 6.5 Bài tập chương 23 Tài liệu tham khảo 25 6.1 Bài tập chương 1.1 Cho công thức (A → B) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C)) Hãy thực a) Đưa công thức dạng chuẩn tắc hội b) Chỉ công thức 6.1 Bài tập chương 19 Lời giải: a) Dạng chuẩn tắc hội (A → B) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C)) ¯ ¯ ≡A ∨ C ∨ B ∨ C ∨ A ∨ B ∨ C ¯ ¯ ¯ ¯ ≡(A ∧ C) ∨ (B ∧ C) ∨ (A ∧ B) ∨ C ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≡(A ∨ (B ∧ C) ∨ (A ∧ B) ∨ C) ∧ (C ∨ (B ∧ C) ∨ (A ∧ B) ∨ C) ¯ ¯ ¯ ≡(A ∨ (B ∧ C) ∨ C) ∨ (A ∧ B) ¯ ¯ ¯ ¯ ≡(A ∨ (B ∧ C) ∨ C ∨ A) ∧ (A ∨ (B ∧ C) ∨ C ∨ B) ¯ ¯ ≡(A ∨ C ∨ B ∨ (B ∧ C)) ¯ ¯ ¯ ≡(A ∨ C ∨ B ∨ B) ∧ (A ∨ C ∨ B ∨ C) ≡1 b) Với luật kết hợp suy công thức 1.2 a) Phát biểu định nghĩa hạng từ công thức tân từ lý thuyết hệ tân từ b) Cho vị từ ba biến P (x, y, z) ≡ ”x.y = z” trường số thực Xác định giá trị chân lý mệnh đề: (∀x)(∀y)(∃z)P (x, y, z) (∃z)(∀x)(∀y)P (x, y, z) Diễn giải mệnh đề thành câu nói thông thường Lời giải: a) Định nghĩa (a) Tất biến thể lượng tử (b) Nếu fin biến hàm t1 , i2 , tn hạng tử, fin (t1 , t2 , , tn ) hạng tử (c) Một biểu thức hạng tử lập nên (a) (b) Định nghĩa (a) Mỗi công thức sơ cấp công thức (b) Nếu A B công thức, y biến (¬A), (A → B), (∀yA) công thức (c) Nếu biểu thức lập nên (a) (b) công thức b) (∀x)(∀y)(∃z)P (x, y, z) mệnh đề đặt z = (x.y) (∃z)(∀x)(∀y)P (x, y, z) mệnh đề sai khơng thể có z mà với x, y có z = x.y 1.3 Trong mơn học giải tích tốn học người ta định nghĩa hàm liên tục sau: "Hàm f (x) gọi hàm liên tục x0 ∈ D cho trước số > tùy ý ta có số δ > tương ứng cho với x ∈ D thỏa mãn |x − x0 | < δ |f (x) − f (x0 )| < " a) Hãy viết lại định nghĩa theo ký hiệu hệ toán tân từ b) Hãy lập mệnh đề phủ định cho định nghĩa (nghĩa hàm không liên tục điểm x0 ) 6.1 Bài tập chương 20 Lời giải: a) (∀ )(∃δ)(∀x ∈ D) : |x − x0 | < δ → |f (x) − f (x0 )| < b) (∃ )(∀δ)(∃x ∈ D) : |x − x0 | < δ → |f (x) − f (x0 )| > 1.4 a) Phát biểu định nghĩa phần lý thuyết tiên đề L b) Cho công thức A, B, C tùy ý Chứng minh ((A → B) ∧ (B → C)) A → C Lời giải: a) Định nghĩa: Lý thuyết tiên đề L bao gồm: (1) Cỏc ký hiu ca L: ã ơ, c gi hai phép tốn ngun thủy • Các dấu ngoặc (,) • Các chữ Latinh A, B, C, chữ la tinh có số A1 , B1 , C1 , ký hiệu gọi mệnh đề (2) Công thức xây dựng đệ quy: (a) Tất biến mệnh đề công thức (b) Nếu A B cơng thức (¬A), (A → B) công thức (c) Một biểu thức lập nên từ sở (a) (b) công thức (3) Các tiên đề: Đối với công thức A, B, C tùy ý A1 (A → (B → A)); A2 (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)); A3 (¬B → ¬A) → ((¬B → A) → B) (4) Quy tắc dẫn xuất Modus Ponens: Nếu A A → B B b) Ta xây dựng dẫn xuất sau đây: A → B (giả thiết) B → C (giả thiết) A (giả thiết) B (1, 3, MP) C (2, 4, MP) Từ - ta có A → B, B → C, A C Theo định lý suy diễn ta có A → B, B → C A → C 6.2 Bài tập chương 21 6.2 Bài tập chương 2.1 Đơn giản biểu thức A sin α; + tan 2α + tan2 2α + cot 2α + cot2 2α B cos 2α; 2.2 Đơn giản biểu thức tan A cos α; π + α C cot α; · D tan2 2α; 1−sin α cos α B sin α; C 1; D 2; 2.3 Trong hình trịn hai phía tâm ta vẽ hai cung song song có độ dài tương ứng 12 16 Khoảng cách chúng 14 Tìm bán kính đường trịn A 9; B 10; C 8; D 7; 2.4 Giải hệ phương trình x(x + 3y) y(3y + x) = 18, =6 đại lượng n(x2 + y ), n số nghiệm hệ phương trình A 10; B 1; C 20; D 6; C 49; D 20; 2.5 Cho bc = 64, ba = 8, ca = Tính cc A 45; B 38; 2.6 Giải bất phương trình ||5x − 3| + 4x| < Chỉ nghiệm nguyên dương nhỏ A 1; B 3; C 0; D −1; 2.7 Which of the following is the derivative of x sin(x)? B sin(x) + x cos(x) D x sin(x) A sin(x) C x cos(x) 2.8 Trong cấp số nhân b1 = 54; S3 = 78 Tìm công bội cấp số Trong trả lời cơng bội tốn có nghiệm tổng nghiệm tốn có nhiều nghiệm A 3; B 2; C − ; D −1; 2.9 Năm người làm số công việc Ba người họ làm để hồn thành cơng việc thời gian 7.5h; Người thứ nhất, thứ ba thứ năm - thời gian 5h; Người thứ nhất, thứ ba thứ tư - 6h; Người thứ hai, thứ tư thứ năm - 4h Hỏi cơng việc hồn thành năm người làm? 6.3 Bài tập chương A 2h; 22 B 2.5h; C 3h; 2.10 Which of the following is the derivative of A sin(x) B cos(x) C D 4h; sin(x) x ? cos(x)x−sin(x) x2 D x cos(x) 2.11 Hai đầu đường kính cách xa tiếp tuyến tương ứng 1, m 0, m Tìm độ dài đường kính Đưa trả lời số thập phân A m; B m; C 3, m; D 2, m; 2.12 Đẳng thức 3n + 4n = 5n với n A 2; B 1; C 3; D 4; 6.3 Bài tập chương 3.1 Wittgenstein’s first work was the Tractatus-Logico Philosophicus 3.2 Hobbes thought that without a strong, centralized, effective government, chaos would reign in the state of nature 3.3 Nhất trí How much wood would a woodchuck chuck, if a woodchuck would chuck, wood? 3.4 Mill’s theory of morality is known as Utilitarianism 3.5 One main component of Nietzche’s moral philosophy is the will to power 3.6 According to Kant, we should always always always follow the categorical imperative 6.4 Bài tập chương 4.1 Sai coconuts 4.2 Đúng Laden swallows fly faster than unladen swallows, unless they carry This sentence is not false 4.3 ‘Roger & Trường Me’ chronicles one man’s attempt to get into Đúng Disneyland so that he can visit Toontown 4.4 Sai All animals are created equal, but some animals are more equal than others 4.5 Đúng ‘Monty Python and the Holy Grail’ is a very funny movie 6.5 Bài tập chương 23 6.5 Bài tập chương Câu hỏi   toàn phương với Ma trậnM =  1  Với x ∈] − ∞ ; 2], f (x)    ×  Trả lời     Sai × Đúng lim ex = +∞ Trong phương án sau đây, phương án hàm mũ tiếp cận với y = ? x→+∞ lim ex = x→−∞ × Trong phương án sau đây, phương án hàm mũ tiếp cận với y = ? ex = +∞ x→+∞ x lim lim ex = +∞ x→+∞ × lim ex = x→−∞ ex = +∞ x→+∞ x lim Cho f hàm xác định có đạo hàm khoảng] − ; + ∞[ bảng biến thiên: −2 +∞ −5 −1 x −3 nghiệm × hai nghiệm bốn nghiệm f (x) 4, −∞ −5 Ký hiệu C tập hợ hàm f Trên khoảng ] − ; + ∞[, phương trình f (x) = −2 có exp(ln x) = x pour tout x appartenant × R ; +∞ ; +∞ 6.5 Bài tập chương Với số thực x, tập hợp 24 ex − ex + : × − e−x − e−x + − e−x + 2e−x f (x) dx = −2 Trong phương án sau đây, phương án hàm mũ tiếp cận với y = ? × Đúng Sai lim ex = +∞ x→+∞ × lim ex = x→−∞ ex = +∞ x→+∞ x lim 10 Hàm số F có cực đại × Đúng Sai 11 exp(ln x) = x với x xác định R ; +∞ × ; +∞ Tài liệu tham khảo [1] H Rademacher, Higher Mathematics from an Elementary point of view, Birkhauser, 1983 [2] Martin Aigner and Gunter M Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1999 [3] T Andreescu, R Gelca, Mathematical olympiad challenges, Birkhauser, 2002 [4] Loren C Larson, Problem-Solving through problems, Springer-Verlag, 1983 [5] L E Dickson, New first course in the theory of equations John Wiley & Sons, 1946 [6] Judita Cofman, What to solve? Problems and Suggestions for Young Mathematicians, Clarendon Press-Oxford, 1989 [7] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp Đirichle ứng dụng, NXBKHKT, 1999 [8] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp Quy nạp toán học, NXBGD, 2000 [9] Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp điển hình giải tốn phổ thơng, NXBGD, 2001 [10] Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp giải toán cực trị hình học, NXBKHKT, 2001 [11] Nguyễn Hữu Điển, Sáng tạo giải tốn phổ thơng, NXBGD, 2002 [12] Nguyễn Hữu Điển, Đa thức ứng dụng, NXBGD, 2003 [13] Nguyễn Hữu Điển, Giải phương trình vơ định nghiệm nguyên, NXBĐHQG, 2004 [14] Nguyễn Hữu Điển, Giải toán phương pháp đại lượng bất biến, NXBGD, 2004 ... 18 6.2 Bài tập chương 21 6.3 Bài tập chương 22 6.4 Bài tập chương 22 6.5 Bài tập chương... chương 6.1 Bài tập chương 18 6.2 Bài tập chương 21 6.3 Bài tập chương 22 6.4 Bài tập chương... Press-Oxford, 1989 [7] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp Đirichle ứng dụng, NXBKHKT, 1999 [8] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp Quy nạp toán học, NXBGD, 2000 [9] Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp điển hình giải tốn