Thông tin tài liệu
Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM
Bài tập toán cao cấp A3
Mục lục
1 Vi phân hàm nhiều biến 3
1.1 Vi phân cấp 1, cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Tích phân bội hai 11
3 Tích phân bội ba 24
4 Tích phân đường 31
4.1 Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Phương trình vi phân 43
5.1 Phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Phương trình vi phân cấp II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6 Tích phân mặt 56
6.1 Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2
Chương 1
Vi phân hàm nhiều biến
1.1 Vi phân cấp 1, cấp 2
Câu 1. Cho hàm số z D f .x; y/ D e
2xC3y
, chọn đáp án đúng
A. z
.n/
x
n
D 5
n
e
2xC3y
. B. z
.n/
x
n
D 2
n
e
2xC3y
.
C. z
.n/
x
n
D 3
n
e
2xC3y
. D. z
.n/
x
n
D e
2xC3y
.
Câu 2. Cho hàm số z D f .x; y/ D cos.xy/, chọn đáp án đúng
A. z
.n/
y
n
D y
n
cos.xy C n
2
/ . B. z
.n/
y
n
D x
n
cos.xy C n
2
/ .
C. z
.2n/
x
n
y
n
D .xy/
n
cos.xy C n
2
/. D. z
.2n/
x
n
y
D y
n
x cos.xy C n
2
/.
Câu 3. Cho hàm số z D f .x; y/ D e
xCy
, chọn đáp án đúng
A. z
.nCm/
y
n
x
m
D z
.n/
y
n
C z
.m/
x
m
. B. z
.nCm/
y
n
x
m
D z
.n/
y
n
:z
.m/
x
m
.
C. z
.nCm/
y
n
x
m
D z
.n/
y
n
. D. z
.nCm/
y
n
x
m
D z
.m/
y
m
:z
.n/
x
n
.
Câu 4. Cho hàm số z D f .x; y/ D sin.x C y/, chọn đáp án đúng
A. z
.6/
x
3
y
3
D sin.x C y/. B. z
.6/
x
3
y
3
D cos.x C y/ .
C. z
.6/
x
3
y
3
D sin.x C y/. D. z
.6/
x
3
y
3
D cos.x C y/.
Câu 5. Cho hàm số z D f .x; y/ D x
20
C y
20
C x
10
y
11
, chọn đáp án đúng
A. z
.22/
x
3
y
19
D z
.22/
y
3
x
19
D 1. B. z
.22/
x
7
y
15
D z
.22/
y
6
x
16
D 0 .
C. z
.22/
x
13
y
9
D z
.22/
y
6
x
16
D 2 . D. z
.22/
x
11
y
11
D z
.22/
y
11
x
11
D 3.
Câu 6. Cho hàm số z D f .x; y/ D xy C y cos x C x sin y, chọn đáp án đúng
A. z
.4/
xyx
2
D 0 . B. z
.4/
xyx
2
D cos x .
C. z
.4/
xyx
2
D sin x . D. z
.4/
xyx
2
D 1.
Câu 7. Cho hàm số z D f .x; y/ D xe
y
. chọn đáp án đúng
3
A. z
.5/
y
4
x
D 0. B. z
.5/
y
4
x
D 1 .
C. z
.5/
y
4
x
D x . D. z
.5/
y
4
x
D e
y
.
Câu 8. Cho hàm số z D f .x; y/ D e
y
ln x, chọn đáp án đúng
A. z
.4/
yxy
2
D e
y
. B. z
.4/
yxy
2
D
e
y
x
.
C. z
.4/
yxy
2
D
e
y
x
. D. z
.4/
yxy
2
D
1
x
.
Câu 9. Cho hàm số z D f .x; y/ D e
xy
, chọn đáp án đúng
A. z
.5/
x
5
D y
5
e
xy
. B. z
.5/
x
5
D x
5
e
xy
.
C. z
.5/
x
5
D e
xy
. D. z
.5/
x
5
D 0.
Câu 10. Tìm đạo hàm riêng cấp hai z
2
xx
của hàm hai biến z D xe
y
C y
2
C y sin x
A. z
2
xx
D y sin x. B. z
2
xx
D e
y
y sin x .
C. z
2
xx
D e
y
C y cos x . D. z
2
xx
D y sin x.
Câu 11. Tìm vi phân cấp một của hàm z D x
2
C 4
y
A. dz D 2xdx C 4
y
dy. B. dz D 2xdx C 4
y
ln 4dy.
C. dz D 2xdx C y4
y1
dy. D. dz D 2xdx C y4
y
ln 4dy.
Câu 12. Tìm vi phân cấp một của hàm z D ln
p
x y
A. dz D
dx dy
x y
. B. dz D
dy dx
x y
. C. dz D
dx dy
2.x y/
. D. dz D
dy dx
2.x y/
.
Câu 13. Tìm vi phân cấp một của hàm z D arctan.y x/
A. dz D
dx C dy
1 C.x y/
2
. B. dz D
dx dy
1 C.x y /
2
. C. dz D
dy dx
1 C.x y/
2
. D. dz D
dx dy
1 C.x y/
2
.
Câu 14. Tìm vi phân dz của hàm z D x
2
2xy C sin.xy/
A. dz D .2x 2y C y cos.xy//dx.
B. dz D .2x C x cos.x y//dy.
C. dz D .2x 2y Cy cos.xy//dx C.2x C x cos.xy//dy.
D. dz D .2x 2y Ccos.xy//dx C.2x C cos.xy//dy.
Câu 15. Tính vi phân cấp 2 của hàm z D sin
2
x C e
y
2
A. d
2
z D 2 sin xdx
2
C 2ye
y
2
d y
2
. B. d
2
z D 2 cos 2xdx
2
C e
y
2
.4y
2
C 2/dy
2
.
C. d
2
z D 2 cos 2xd x
2
C 2ye
y
2
d y
2
. D. d
2
z D cos 2xd x
2
C e
y
2
d y
2
.
Câu 16. Tìm đạo hàm riêng cấp hai z
00
xx
của hàm hai biến z D xe
y
C y
2
C y sin x
A. z
00
xx
D y sin x. B. z
00
xx
D y sin x.
C. z
00
xx
D e
y
C y cos x. D. z
00
xx
D e
y
y sin x.
4
Câu 17. Cho hàm hai biến z D e
xC2y
. Kết quả nào sau đây đúng?
A. z
00
xx
D e
xC2y
. B. z
00
yy
D 4:e
xC2y
.
C. z
00
xy
D 2:e
xC2y
. D. Các kết quả trên đều đúng
Câu 18. Tìm vi phân cấp hai d
2
z của hàm hai biến z D y ln x: Biết x; y là các biến độc lập.
A. d
2
z D
1
y
dxdy C
x
y
2
d y
2
. B. d
2
z D
2
x
dxdy
y
x
2
d x
2
.
C. d
2
z D
2
y
dxdy C
x
y
2
d y
2
. D. d
2
z D
1
x
dxdy
y
x
2
d y
2
.
Câu 19. Tìm vi phân cấp hai d
2
z của hàm hai biến z D x
2
C xsin
2
y: Biết x; y là các biến độc
lập.
A. d
2
z D 2 cos 2ydxdy 2x sin 2yd y
2
. B. d
2
z D 2d x
2
C 2 sin 2ydxdy C 2x sin 2yd y
2
.
C. d
2
z D 2d x
2
2sin
2
yd x
2
2x cos 2ydy
2
. D. d
2
z D 2d x
2
C 2 sin 2ydxdy C 2x cos 2yd y
2
.
Câu 20. Tìm vi phân cấp hai d
2
z của hàm hai biến z D x
2
C xcos
2
y: Biết x; y là các biến độc
lập.
A. d
2
z D 2 cos 2xdxdy 2x sin 2yd y
2
. B. d
2
z D 2d x
2
C 2 sin 2ydxdy C 2x sin 2yd y
2
.
C. d
2
z D 2d x
2
2 sin 2ydxdy 2x cos 2yd y
2
. D. d
2
z D 2d x
2
2 sin 2ydxdy C 2x cos 2yd y
2
.
Câu 21. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z D x
2
y
3
: Biết x; y là các biến độc lập.
A. d
2
z D 2y
3
d x
2
C 12xy
2
dxdy C 6x
2
yd y
2
. B. d
2
z D 2y
3
d x
2
12xy
2
dxdy C 6x
2
yd y
2
.
C. d
2
z D y
3
d x
2
C 6x
2
yd y
2
. D. d
2
z D .2xy
3
dx C 3x
2
y
2
dy/
2
.
Câu 22. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z D sin.x Cy/ Ccos.x Cy/: Biết x; y là các biến
độc lập.
A. d
2
z D
dx
2
C dxdy C dy
2
Œsin.x Cy/ C cos.x Cy/.
B. d
2
z D
dx
2
C 2dxdy Cdy
2
Œsin.x C y/ Ccos.x C y/.
C. d
2
z D
dx
2
C 2dxdy C dy
2
Œsin.x C y/ cos.x C y/.
D. d
2
z D
dx
2
C 2dxdy C dy
2
Œsin.x Cy/ C cos.x Cy/.
1.2 Cực trị t ự do
Câu 23. Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng M.x
0
Iy
0
/. Đặt
A D f
00
xx
.x
0
; y
0
/; B D f
00
xy
.x
0
; y
0
/; C D f
00
yy
.x
0
; y
0
/, D B
2
AC . Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. Nếu < 0 và A > 0 thì f đạt cực đại tại M.
B. Nếu < 0 và A < 0 thì f đạt cực đại tại M.
5
C. Nếu > 0 và A > 0 thì f đạt cực t iểu tại M.
D. Nếu > 0 và A < 0 thì f đạt cực tiểu tại M.
Câu 24. Cho hàm z D x
2
2x C y
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tai M(1, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(1, 0).
C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z không có cực trị.
Câu 25. Cho hàm z D x
4
8x
2
C y
2
C 5. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại I(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại J(-2, 0) và K(2 , 0).
C. z chỉ có hai điểm dừng là I(0, 0) và K(2, 0). D. z không có cực trị.
Câu 26. Cho hàm z D x
2
2xy C 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tai M(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(0, 0).
C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z có một điểm dừng là M(0, 0).
Câu 27. Cho hàm z D x
2
C xy Cy
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại O(0, 0). B. z không có cực trị.
C. z đạt cực tiểu tại O(0, 0 ) . D. Các khẳng định trên sai.
Câu 28. Cho hàm z D x
2
y
2
C 2x y C 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M
1;
1
2
. B. z đạt cực tiểu tại M
1;
1
2
.
C. z không có cực trị. D. Các khẳng định trên sai.
Câu 29. Cho hàm z D x
3
C 27x C y
2
C 2y C1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z có hai điểm dừng. B. z có hai cực trị.
C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z không có cực trị.
Câu 30. Cho hàm z D 2x
2
6xy C 5y
2
C 4. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(0, 0).
C. z không có cực trị. D. z có một cực đại và một cực tiểu.
Câu 31. Cho hàm z D x
3
C y
3
12x 3y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M(2, 1). B. z đạt cực tiểu tại N(-2, 1).
C. z có đúng 4 điểm dừng. D. z có đúng 2 điểm dừng.
Câu 32. Cho hàm z D x
4
y
4
4x C 32y C 8. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M(1, 2). B. z đạt cực tiểu tại M(1, 2).
C. z không có điểm dừng. D. z không có điểm cực trị.
Câu 33. Cho hàm z D 3x
2
12x C 2y
3
C 3y
2
12y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z có một cực đại và một cực tiểu. B. z chỉ có một điểm cực đại.
6
C. z không có điểm dừng. D. z chỉ có một cực tiểu.
Câu 34. Cho hàm z D x
3
y
2
3x C 6y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M(1, 3). B. z đạt cực tiểu tại N(-1, 3).
C. z có hai điểm dừng. D. Các khẳng định trên đều đúng.
Câu 35. Cho hàm z D x
6
y
5
cos
2
x 32y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M(0, 2). B. z đạt cực tiểu tại N(0, -2).
C. z không có điểm dừng. D. z có một cực đại và một cực tiểu.
Câu 36. Cho hàm z D x
2
4x C 4y
2
8y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(2, 1). B. z đạt cực đại tại M(2, 1).
C. z có một điểm dừng là N(1, 2). D. z không có cực trị.
Câu 37. Cho hàm z D x
2
C 4xy 10y
2
2x C 16y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(1, 1). B. z đạt cực đại tại M(1, 1).
C. z đạt cực tiểu tại N(-1, -1). D. z đạt cực đại tại N(-1, -1).
Câu 38. Cho hàm z D x
3
2x
2
C 2y
3
C 7x 8y. Khẳng định nào sua đây đúng?
A. z có 4 điểm dừng. B. z không có điểm dừng.
C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z có hai cực đại và hai cực tiểu.
Câu 39. Cho hàm z D 2x
2
2y
2
C 12x C8y C 5. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(0, 0). B. z đạt cực đại tại M(0, 0).
C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng.
Câu 40. Cho hàm z D 3x
2
C 2e
y
2y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(0, 0). B. z đạt cực đại tại M(0, 0).
C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng.
Câu 41. Cho hàm z D x
2
y ln
j
y
j
2. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(0, -1). B. z đạt cực đại tại M(0, -1).
C. z luôn có các đạo hàm riêng trên R. D. z có điểm dừng nhưng không có cực trị.
Câu 42. Cho hàm z D 3x
3
C y
2
2x
2
C 2x C 4y C 2. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z có 4 điểm dừng. B. z không có điểm dừng.
C. z đạt cực tiểu tại M(-1, -2). D. z đạt cực đại tại M(-1, -2).
Câu 43. Cho hàm z D 2x
2
C 8x C 4y
2
8y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(2, 1). B. z đạt cực đại tại M(2, 1).
7
C. z có một điểm dừng là N(1, 2). D. z không có cực trị.
Câu 44. Cho hàm z D x
2
C 4xy C 10y
2
C 2x C 16y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại M(-1, 1). B. z đạt cực tiểu tại M(-1, 1).
C. z đạt cực đại tại N(1, -1). D. z đạt cực tiểu tại N(1, -1).
Câu 45. Cho hàm z D x
3
2x
2
C 2y
3
C x 8y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z có 4 điểm dừng. B. z không có điểm dừng.
C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z có hai cực đại và hai cực tiểu.
Câu 46. Cho hàm z D x
2
C 2y
2
C 12x C 8y C 5. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(6, 2). B. z đạt cực đại tại M(6, 2).
C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng.
Câu 47. Cho hàm z D x:e
y
C x
3
C 2y
2
4y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại M(0, 1). B. z đạt cực đại tại M(0, 1).
C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng.
Câu 48. Cho hàm z D 2x
2
4x C sin y y=2 với x 2 R; < y < . Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. z đạt cực đại tại M .1; =3 /. B. Z đạt cực tiểu tại M .1; =3 /.
C. Z đạt cực tiểu tại M .1; =3 /. D. Z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Câu 49. Cho hàm z D ln x x C ln
j
y
j
y
2
=2. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z không có cực trị. B. z có hai điểm cực đại.
C. z có hai điểm cực tiểu. D. z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Câu 50. Cho hàm z D xy.3 x y/. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại A(1,1), đạt cực đại tại các điểm B(1,0), C(0,1) và không đạt cực trị tại
D(0,0) .
B. z đạt cực đại tại A(1,1), đạt cực đại tại các điểm B(3,0), C(0,3) và không đạt cực trị tại
D(0,0).
C. z đạt cực đại tại A(1,1) và không đạt cực trị tại các điểm B(3,0), C(0,3), D(0,0).
D. z đạt cực đại tại A(1,1) và đạt cực tiểu tại các điểm B(3,0), C(0,3), D(0,0).
8
1.3 Cực trị có điều kiện
Câu 51. Tìm cực trị của hàm z D ln.x
2
2y/ với điều kiện x y 2 D 0. Khẳng định nào sau
đây đúng ?
A. z đạt cực đại tại M(1, -1). B. z đạt cực tiểu tại M(1, -1).
C. z không có cực trị. D. Các khẳng định trên đều sai.
Câu 52. Tìm cực trị của hàm z D ln
ˇ
ˇ
1 Cx
2
y
ˇ
ˇ
với điều kiện x y 3 D 0. Khẳng định nào sau
đây đúng ?
A. z không có cực trị.
B. z có hai điểm dừng là A(0, - 3) và D(3, 0).
C. z đạt cực đại tại A(0, -3) và B(2, -1).
D. z đạt cực tiểu tại A(0, -3) và đạt cực đại tại B(2, -1).
Câu 53. Tìm cực trị của hàm z D x
2
.y 1/ 3x C 2 với điều kiện x y C 1 D 0. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
A. z đạt cực đại tại A(-1, 0 ) và B(1, 2).
B. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, 2).
C. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, 2).
D. z đạt cực đại tại A(-1, 0) và đạt cực tiểu tại B(1, 2).
Câu 54. Tìm cực trị của hàm z D 2x
2
Cy
2
2y 2 với điều kiện x Cy C1 D 0. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
A. z đạt cực tiểu tại A .2=3I1=3 /.
B. z đạt cực đại tại A .2=3I1=3 /.
C. z đạt cực đại tại M(1, 0) và N .1=3I2=3 /.
D. z đạt cực tiểu tại M(1, 0) và N .1=3I2=3 /.
Câu 55. Tìm cực trị của hàm z D x
2
.y C 1/ 3x C 2 với điều kiện x Cy C 1 D 0. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
A. z đạt cực đại tại A(-1, 0 ) và B(1, -2).
B. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, -2).
C. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, -2).
D. z không có cực trị.
Câu 56. Tìm cực trị của hàm z D x
3
=3 3x C y với điều kiện x
2
C y D 1. Khẳng định nào
sau đây đúng ?
9
A. z đạt cực đại tại M(-3, 10) và N(1, 2).
B. z đạt cực tiểu tại M(-3, 10) và N(1, 2).
C. z đạt cực đại tại M(-3, 10) và cực tiểu tại N(1, 2).
D. Các khẳng định trên sai.
10
[...]... =1 C I = -1 D I = -3 ’ p Câu 113 Tính tích phân I D dxdy trong đó D là miền định bởi D W 0 Ä x Ä a; 0 Ä y Ä x I = 3 D A I D p 3 a2 B I D Câu 114 Tính tích phân I D A 3p 3 a 2 C I D 2p 3 a 3 D I D p a3 ’ y dxdy trong đó D là miền định bởi D W 2 Ä x Ä 4; x Ä y Ä 2x D x B I = 3 C I = 12 D I = 9 ’ Câu 115 Tính tích phân I D e x dxdy trong đó D là miền định bởi D W 1 Ä y Ä 2; 0 Ä x Ä ln y I = 1/9 D B... D là nửa hình tròn x D I D I D =8 0; x 2 C y 2 Ä 1 D A B I D C I D =2 D I D =4 ’p Câu 136 Tính tích phân I D x 2 C y 2 dxdy trong đó D là hình tròn D W x 2 C y 2 Ä a2 I D 0 D 3 B I D 2 a2 C I D 2 a3 =3 D I D 2 a2 =3 ’ 2 Câu 137 Tính tích phân I D x C y 2 /dxdy trong đó D là nửa hình tròn D W x 2 C y 2 Ä A 4; y I D2 a D 0 A B I D 4 C I D 8 D I D ’ Câu 138 Tính tích phân I D xydxdy trong đó D... tích phân đường I D x A C x Ä 1 A p B I D I D 1 Câu 207 Tính tích phân đường I D 0) và A(2, 2) A p C I D a2 2 I D a2 I D p 2 B I D R y/d l, trong đó C có phương trình x C y D 1; 0 Ä C I D 0 2 .x p D I D a3 2 D I D p y/d l, trong đó C là đoạn thẳng nối các điểm O(0, C p 2 C I D 2 2 31 D I D 0 x 5 y 2 d l, trong đó C có phương trình y D x; 0 Ä x Ä a R Câu 208 Tính tích phân đường I D C p p p C I D a8 2=4
Ngày đăng: 27/02/2014, 21:40
Xem thêm: Bài tập toán cao cấp A3