Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi hsg cấp tỉnh môn toán lớp 9 năm học 2012 - 2013 của tỉnh Bắc Giang
Trang 1/4 Câu 1 (5,0 điểm) 1. Tính giá trị của biểu thức sau: 1 4 1 4 1 1 4 1 1 4 x x A x x , biết 2 9 x . 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2 ( 1) (2 1) 1 0 m x m x m có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thoả mãn 2 2 1 2 1 2 2009 2012 x x x x . Câu 2 (4,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 2 2 4 1 2 3 4 9 2 7 x x x x x . 2. Giải hệ phương trình sau: 2 4 2 2 4 2 2 4 2 x y z y z x z x y . Câu 3 (4,0 điểm) 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x biết x và y là hai số thoả mãn đẳng thức 2 2 3 y xy y x x . 2. Tìm các số nguyên k để biểu thức 4 3 2 8 23 26 10 k k k k là số chính phương. Câu 4 (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H bất kì không trùng v ới A và O, kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại H, trên d lấy điểm C nằm ngoài đường tròn, từ C kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm, (M thuộc nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A). Gọi P và Q lần lượt là g iao điểm của CM, CN với đường thẳng AB. 1. Chứng minh HC là tia phân giác của MHN . 2. Đường thẳng đi qua O vuông góc với AB cắt MN tại K và đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại I. Chứng minh I là trung điểm của PQ. 3. Chứng minh rằng ba đường thẳng , PN QM và CH đồng quy. Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số dương , x y và z thoả mãn 6 x y z . Chứng minh rằng: 2 2 2 8 x y z xy yz zx xyz . Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN L ỚP 9 Ngày thi: 01/4/2012 Thời gian làm bài:150 phút (Không k ể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH TH ỨC YM: hatien2007@gmail.com Gmail: tnttruong1@gmail.com Skype: havanvt Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2009 For Evaluation Only. Trang 2/4 Câu 1 Hướng dẫn giải (5 điểm) 1. (2.5 điểm) Với 2 9 x thì ta có 9 4 2 9 4 2 9 3 9 4 2 9 3 9 4 2 A 0.5 9 4 2 9 4 2 9 3 2 2 1 9 3 2 2 1 0.5 9 4 2 9 4 2 12 6 2 12 6 2 0.5 1 9 4 2 9 4 2 6 2 2 1 2 1 9 4 2 2 1 9 4 2 2 1 1 6 2 2 1 2 1 0.5 Biến đổi được 5 3 A . KL: 0.5 2 (2.5 điểm) 2 ( 1) (2 1) 1 0 m x m x m (1) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì 0 0 a 1 5 4 m m (*) 0.5 Khi m thoả mãn (*), phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, gọi hai nghiệm đó là 1 2 , x x . T heo định lý Vi-ét ta có 1 2 2 1 1 m x x m và 1 2 1 1 m x x m 0.5 Mặt khác 2 2 1 2 1 2 2009 2012 x x x x 2 1 2 1 2 2011 . 2012 x x x x 2 2 1 1 2011. 2012 1 1 m m m m 0.5 2 4019 4020 0 m m 0.5 0 m (thoả mãn (*)) hoặc 4020 4019 m (thoả mãn (*)). KL: 0.5 Câu 2 (4 điểm) 1 (2 điểm) ĐK: 1 4 x . Với điều kiện đó ta có: 2 2 4 1 0 x x Biến đổi phương trình đã cho trở thành: 2 7 2 3 4 9 2 7 2 2 4 1 x x x x x 0.5 Trang 3/4 2 2 3 4 9 2 2 2 4 1 x x x x x (1) Đặt 2 2 4 1 t x x ( 7 t ) 2 2 8 9 4. 4 9 2 t x x x 2 2 9 2 4 9 2 4 t x x x 0.5 Thay vào (1) ta đư ợc 2 4 3 0 t t 1 t (lo ại) hoặc 3 t (t/m) 0.5 + với 3 t ta có 2 2 4 1 3 x x giải ra được 2 9 x (t/m) KL: Phương trình có một nghiệm duy nhất 2 9 x 0.5 2 (2 điểm) 2 4 2 (1) 2 4 2 (2) 2 4 2 (3) x y z y z x z x y ĐK: 2, 2, 2 x y z Từ (1), (2) và (3) ta được: 2 2 2 6 4 2 4 2 4 2 0 x y z x y z 0.5 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0 x y z 1.0 Lập luận được 3 x y z (t/m đk) KL: 0.5 Câu 3 (4 điểm) 1 (2 điểm) Biến đổi 2 2 3 y xy y x x 2 2 3 1 3 0 y x y x x (1) (coi đây là phương trình bậc hai ẩn y và x là tham số) 0.5 + 3 1 3 x x + Để phương trình (1) có nghiệm thì 0 0.5 Giải được 1 3 x + Với 1 x tìm được 0 y + Với 3 x tìm được 6 y 0.5 Khẳng định được: - Giá trị nhỏ nhất của x bằng -1 đạt được khi 0 y . - Giá tr ị lớn nhất của x bằng 3 đạt được khi 6 y . 0.5 2 (2 điểm) Đặt 4 3 2 8 23 26 10 M k k k k Ta có 4 2 2 2 2 1 8 2 1 9 18 9 M k k k k k k k 2 2 2 2 1 8 1 9 1 k k k k 2 2 1 . 3 1 k k 0.5 M là số chính phương khi và chỉ khi 2 1 0 k hoặc 2 3 1 k là số chính phương. 0.5 + 2 1 0 1 k k . + Xét 2 3 1 k là số chính phương, đặt 2 2 3 1k m m 0.5 Ta có 2 2 2 2 3 1 3 1 k m m k 0.5 Trang 4/4 3 3 1 m k m k vì m , 3 , 3m k m k nên 3 1 m k và 3 1 m k suy ra 3 0 3 k k V ậy với 1 k và 3 k thì 4 3 2 8 23 26 10 k k k k là s ố chính ph ương Câu 4 ( 6 đi ểm) d SR G E D I K Q P M C BOA H N 1 (2 điểm) + 0 90 CMO CNO CHO + Suy ra H, M và N cùng thuộc đường tròn đường kính CO. 0.5 Xét đường tròn đường kính CO có CM=CN suy ra CM CN MHC NHC 1.0 Suy ra CH là tia phân giác c ủa góc MHN 0.5 2 (2 điểm) Qua điểm K kẻ đường thẳng song song với AB lần lượt cắt đường thẳng CM và CN tại D và E. Ta có OK DE 0.5 + Khẳng định tứ giác OMDK nội tiếp suy ra OMK ODK (1). + Kh ẳng định tứ giác OKNE nội tiếp suy ra OEK ONK (2). Mà OMN cân đ ỉnh O nên OMK ONK (3). 0.5 Từ (1), (2) và (3) suy ra OEK ODK Suy ra ODE cân đỉnh O suy ra OK là đường trung tuyến của tam giác ODE suy ra KD=KE. 0.5 Vì / / DE AB nên KD CK IP CI và KE CK IQ CI KE KD IQ IP Suy ra IP=IQ, vậy I là trung điểm của PQ. 0.5 3 (2 điểm) Xét hai tam giác PMO và PHC có P chung và 0 90 PMO PHC Suy ra PMO và PHC đồng dạng PH CH PM OM . Ch ứng minh tương tự ta có QON và QCH đồng dạng ON QN CH QH . 0.5 Trang 5/4 . . . . . . 1 PH QN CM PH QN CM CH ON CM HQ CN MP PM HQ CN OM CH CN (4) ( v ì ON = OM , CM = CN ) 0.5 Gọi G là giao điểm của CH và QM. Giả sử PG cắt CQ tại điểm J. Ta ch ứng minh J và N trùng nhau. Th ật vậy kẻ đường thẳng a đi qua C và song song với PQ. Gọi R và S lần lượt là giao điểm của QM, PJ với đường thẳng a. Vì RS// PQ nên theo định lý Ta lét ta có: ; ; PH HQ QJ PQ CM CR CS CR JC CS MP PQ CR . . . . 1 PH QJ CM CS PQ HQ JC MP CR CS PQ (5) 0.5 Từ (4) và (5) . . . . 1 PH QN CM PH QJ CM HQ NC MP HQ JC MP C QN QJ NC J Chỉ ra được CN CJ N J V ậy CH, PN, QM đ ồng quy tại G (đpcm) 0.5 Câu 5 (1 điểm) Đặt A = 2 2 2 8 x y z xy yz xz xyz Vì x, y, z dương và có vai trò như nhau nên không giảm tính tổng quát giả sử 0 x y z , mà x + y + z = 6 2 z 3 0 z Vì x, y là hai số dương nên 2 2 6 4 4 x y z xy 0.5 2 3 8 A x y z xy yz zx xyz 28 3 3 6 xy z z z 2 2 3 2 6 1 1 28 3 3 6 3 4 1 2 0 4 4 4 z z z z z z z z (luôn đúng vì 0 z ) 0.5 Điểm toàn bài (20điểm) Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.