Đang tải... (xem toàn văn)
hay
SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG §1. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chương trình lớp 10 đã đề cập đến khái niệm hàm đồng biến, hàm nghịch biến, hàm đơn điệu trên một khoảng. Ở đây, tôi không nhắc lại các khái niệm ấy mà chỉ đề cập đến việc xét sự biến thiên của hàm số bằng cách dùng đạo hàm. 1. Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( ) ;a b . Khi đó • ( ) ' 0f x > ( ) ;x a b∀ ∈ ⇒ f đồng biến trên ( ) ;a b ; • ( ) ' 0f x < ( ) ;x a b∀ ∈ ⇒ f nghịch biến trên ( ) ;a b ; • ( ) ' 0f x = ( ) ;x a b∀ ∈ ⇒ f không đổi trên ( ) ;a b . Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xét dấu của đạo hàm. Như vậy ta cần nắm được • Quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất; • Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai; • Quy tắc xét dấu của một biểu thức. 2. Quy tắc xét dấu một biểu thức Giả sử hàm ( ) y g x= không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm 1 x , 2 x , …, n x đôi một khác nhau và 1 2 n x x x< < <L . Ký hiệu I là một trong các khoảng ( ) 1 ; x−∞ , ( ) 1 2 ;x x , …, ( ) 1 ; n n x x − , ( ) ; n x +∞ . Khi nó nếu g liên tục trên I thì không đổi dấu trên đó. B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số 2 1 1 x x y x − + = − . Giải. Ta có TXĐ { } \ 1= ¡ , ( ) 2 2 2 ' 1 x x y x − = − . Ta thấy với mọi x∈ TXĐ, dấu của 'y chính là dấu của tam thức bậc hai 2 2x x− . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau: 1 ( ) 2 1 1 1 lim lim lim 1 1 1 x x x x x x x f x x x →+∞ →+∞ →+∞ − + − + = = = +∞ − − , ( ) 1 1 lim lim 1 1 x x x x f x x →−∞ →−∞ − + = = −∞ − , ( ) 1 2 lim x f x − → ÷ = +∞ , ( ) 1 2 lim x f x + → ÷ = −∞ . Kết luận. f đồng biến trên ( ) ;0−∞ và ( ) 2;+∞ , nghịch biến trên ( ) 0;1 và ( ) 1;2 . Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số 2 1y x= − . Giải. Ta có TXĐ [ ] 1;1= − , 2 ' 1 x y x − = − với mọi ( ) 1;1x∈ − . Do đó với mọi ( ) 1;1x∈ − , 'y trái dấu với x . Ta có bảng biến thiên của hàm số như hình bên. Kết luận. hàm số đồng biến trên ( ) 1;0− , nghịch biến trên ( ) 0;1 . Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số 1 1y x x= − + + . Giải. Ta có TXĐ [ ] 1;1= − và ( ) 1 1 ' 2 1 2 1 y x x x = − + − + 2 1 1 2 1 x x x − − + = − ( ) 2 1 1 1 x x x x − = − + + − ( ) 1;1x∀ ∈ − . Do đó với mọi ( ) 1;1x∈ − , 'y trái dấu với x . Ta có bảng biến thiên của hàm số như hình bên. Kết luận. hàm số đồng biến trên ( ) 1;0− , nghịch biến trên ( ) 0;1 . Nhận xét. Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm bằng cách giải một bất phương trình. 2 Ví dụ 4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 2 2 1y x x= + − . Giải. Ta thấy TXÑx∈ ⇔ 2 1 0x− ≥ ⇔ [ ] 1;1x∈ − . Vậy [ ] 1;1TXÑ = − . 2 2 2 2 1 ' 2 1 1 x x x y x x − − = − = − − , ( ) 1;1x∈ − ( ) 1;1x∀ ∈ − . Ta có ' 0y ≤ ⇔ 2 2 1 0x x− − ≤ ⇔ 2 2 1 x x− ≤ ⇔ ( ) 2 2 0 4 1 x x x ≥ − ≤ ⇔ 2 5 x ≥ . ' 0y = ⇔ 2 5 x = . Bảng biến thiên: Kết luận. hàm đã cho đồng biến trên 2 1; 5 − ÷ , nghịch biến trên 2 ;1 5 ÷ . Ví dụ 5. [ĐHA08] Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 4 4 2 2 2 6 2 6y x x x x= + + − + − . Giải. Ta có TXĐ [ ] 0;6= và ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 ' 2 2 6 2 6 y x x x x = − + − ÷ − − ( ( ) 0;6x∈ ). Ta thấy: • ( ) ' 2 0y = ; • ( ) 0;2x∈ ⇒ 2 6x x < − ⇒ ( ) ( ) 3 3 4 4 0 2 6 0 2 6 x x x x < < − < < − ⇒ ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 2 6 1 1 2 6 x x x x > − > − ⇒ ( ) ' 0y x > ; • Tương tự, ta có ( ) ' 0y x < ( ) 2;6x∀ ∈ . Bảng biến thiên Kết luận: hàm số đồng biến trên ( ) 0;2 , nghịch biến trên ( ) 2;6 . C. BÀI TẬP 3 Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây 1) 3 2 2 2 2y x x x= − + − − ; 2) 3 2 2 2 16 31 3 y x x x= − − + − ; 3) 3 2 3 3 5y x x x= − + + ; 4) 4 3 1 5 2 y x x x= + − + ; 5) 4 3 2 3 22 51 36 1y x x x x= − + − + + ; 6) 5 3 4 8 5 y x x= − + + ; 7) 2 1 x y x − = + ; 8) 3 3 2 3 x y x + = + ; 9) 2 2 4 2 x x y x − + − = − ; 10) 1 1 2 y x x = − − ; 11) 2 3 1 x y x = + ; 12) 1 3 x y x + = ; 13) 2 3y x x= + + − ; 14) 2 2 3x x+ + ; 15) 2y x= − ; 16) 2 2y x x= − ; 17) 4 4 2 5y x x= − + − ; 18) 3 3 4 4 3 3 3 4 3 1 3 1 4 1y x x x x x x= + + + + + + − + − + − ; 19) 2 1 2y x x x= − − − − . Bài 2. Chứng minh 1) 2 9y x= − đồng biến trên ( ) 3;+∞ . 2) 4 y x x = + nghịch biến trên các khoảng ( ) 2;0− , ( ) 0;2 . 3) 3 2 1 x y x − = + nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. 4) 2 2 3 2 1 x x y x + = + đồng biến trên mỗi khoảng xác định. 5) 2 8y x x= − + + nghịch biến trên ¡ . 6) 2 cosy x x= + đồng biến trên ¡ . D. HƯỚNG DẪN HOẶC ĐÁP SỐ Bài 1 1 Hàm số nghịch biến trên ¡ ; 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ; 4−∞ − và ( ) 2;+∞ , đồng biến trên ( ) 4;2− ; 3 Hàm số đồng biến trên ¡ ; 4 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ; 1−∞ − và 1 ;2 2 ÷ , đồng biến trên các khoảng 1 1; 2 − ÷ và ( ) 2;+∞ ; 5 Hàm số đồng biến trên các khoảng 1 ; 2 −∞ ÷ và ( ) 2;3 , nghịch biến trên các khoảng 1 ;2 2 ÷ và ( ) 3;+∞ ; 6 Hàm số nghịch biến trên các khoảng 3 ; 2 −∞ − ÷ ÷ và 3 ; 2 +∞ ÷ ÷ , đồng biến trên 3 3 ; 2 2 − ÷ ÷ ; 7 Hàm 4 số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;− +∞ ); 8 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng 3 ; 2 −∞ − ÷ và 3 ; 2 − +∞ ÷ ); 9 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;0−∞ và ( ) 4;+∞ , đồng biến trên các khoảng ( ) 0;2 và ( ) 2;4 ; 10 Hướng dẫn. { } \ 0;2TXÑ = ¡ , ( ) ( ) 2 2 4 1 ' 2 x y x x − = − . Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;0−∞ và ( ) 0;1 , đồng biến trên các khoảng ( ) 1;2 và ( ) 2;+∞ . 11 Hướng dẫn. TXÑ = ¡ , ( ) ( ) 2 2 2 3 1 1 x y x − ′ = + . Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;+∞ , đồng biến trên ( ) 1;1− . 12 Hướng dẫn. [ ) 0;TXÑ = +∞ , 1 6 x y x x − ′ = . Hàm số nghịch biến trên ( ) 0;1 , đồng biến trên ( ) 1;+∞ . 5 13 Hàm số nghịch biến trên 1 2; 2 − ÷ , đồng biến trên 1 ;3 2 ÷ ; 14 Hàm số nghịch biến trên ( ) ; 1−∞ − , đồng biến trên ( ) 1;− +∞ ; 15 Hướng dẫn. ( ) 2 2 2y x x= − = − ⇒ 2 ' 2 x y x − = − . Hàm số nghịch biến trên ( ) ;2−∞ , đồng biến trên ( ) 2;+∞ ; 16 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;0−∞ và ( ) 1;2 , đồng biến trên các khoảng ( ) 0;1 và ( ) 2;+∞ ; 17 Hướng dẫn. [ ] 2;5TXÑ = , ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 4 2 5 y x x ′ = − − − ( ( ) 2;5x∈ ). ' 0y = ⇔ 2 5x x− = − ⇔ 7 2 x = . 7 2; 2 x ∈ ÷ ⇒ ( ) ( ) 3 4 3 4 3 4 3 4 1 2 3 2 1 2 3 5 x x > ÷ − < ÷ − ⇒ ' 0y > . Tương tự: 7 ;5 2 x ∈ ÷ ⇒ ' 0y < . Hàm số nghịch đồng trên 7 2; 2 ÷ , nghịch biến trên 7 ;5 2 ÷ . 18 Hàm số đồng biến trên ( ) 3; 1− − , nghịch biến trên ( ) 1;1− ; 19 Hàm số nghịch biến trên ( ) 0;1 , đồng biến trên ( ) 1;2 . 6 7 §2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trong tiết học này, ta quan tâm đến các vấn đề sau: 1. Sự biến thiên của hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm “ baäc nhaát baäc nhaát ” a) Hàm bậc ba Hàm bậc ba có dạng 3 2 y ax bx cx d= + + + ( 0a ≠ ). Ta có 2 ' 3 2y ax bx c= + + là tam thức bậc hai có 2 ' 3b ac∆ = − . Ta có bảng sau: a ∆ Sự biến thiên của y + + • Đồng biến trên các khoảng ( ) 1 ; x−∞ và ( ) 2 ;x +∞ ; • Nghịch biến trên khoảng ( ) 1 2 ;x x . + 0 ≤ • Đồng biến trên ¡ . − + • Nghịch biến trên các khoảng ( ) 1 ; x−∞ và ( ) 2 ;x +∞ ; • Đồng biến trên khoảng ( ) 1 2 ;x x . − 0 ≤ • Nghịch biến trên ¡ . Trong đó, 1 2 x x< là các nghiệm của 'y trong trường hợp 'y có hai nghiệm phân biệt. b) Hàm bậc bốn trùng phương Hàm bậc bốn trùng phương có dạng 4 2 y ax bx c= + + ( 0a ≠ ). Ta có 3 2 ' 4 2 4 2 b y ax bx ax x a = + = + ÷ . a b Sự biến thiên của y + 0≥ • y nghịch biến trên ( ) ;0−∞ , đồng biến trên ( ) ;0−∞ ; + − • Nghịch biến trên các khoảng ( ) 2 ; b a −∞ − − và ( ) 2 0; b a − . • Đồng biến trên các khoảng ( ) 2 ;0 b a − − và ( ) 2 ; b a − +∞ . − + • Đồng biến trên các khoảng ( ) 2 ; b a −∞ − − và ( ) 2 0; b a − . • Nghịch biến trên các khoảng ( ) 2 ;0 b a − − và ( ) 2 ; b a − +∞ . − 0≤ • Đồng biến trên ( ) ;0−∞ , nghịch biến trên ( ) ;0−∞ . c) Hàm “ baäc nhaát baäc nhaát ” Hàm “ baäc nhaát baäc nhaát ” có dạng ax b y cx d + = + ( a , c , 0ad bc− ≠ ) Ta có ( ) 2 ' ad bc y cx d − = + không đổi dấu trên tập xác định. Do đó: • 0ad bc − > ⇔ y đồng biến trên từng khoảng xác định; • 0ad bc − < ⇔ y nghịch biến trên từng khoảng xác định . 2. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng f đồng biến (nghịch biến) trên ( ) ;a b ⇔ f có ít nhất một khoảng đồng biến (nghịch biến) và ( ) ;a b là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó. B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số 3 4y x mx= + . Giải. Ta có TXÑ = ¡ , 2 ' 12y x m= + . Ta có hai trường hợp sau • Trường hợp 1. 0m ≥ ⇒ ' 0y ≥ x ∀ ∈ ¡ ⇒ hàm số đồng biến trên ¡ . • Trường hợp 2. 0m < ⇒ 'y có hai nghiệm phân biệt 1 12 m x = − − , 2 12 m x = − . Bảng biến thiên lim x y →−∞ = −∞ , lim x y →+∞ = +∞ . Trong trường hợp này, hàm số đồng biến trên ; 12 m −∞ − − ÷ ÷ và ; 12 m − +∞ ÷ ÷ , nghịch biến trên ; 12 12 m m − − − ÷ ÷ . Ví dụ 2. Tìm m để hàm số ( ) 3 2 1 2 2 1 3 2 3 y x x m x m= − + + + − + nghịch biến trên ¡ . Giải. Ta có 2 ' 4 2 1y x x m= − + + + . 'y là tam thức bậc hai có hệ số của 2 x là 1 0 − < , ' 2 5m ∆ = + . Do đó hàm số nghịch biến trên ¡ khi và chỉ khi ' 0 ∆ ≤ ⇔ 5 2 m ≤ − . • Chú ý (Điều kiện để tam thức bậc hai có dấu không đổi) Xét tam thức bậc hai ( ) 2 t x ax bx c= + + ( 0a ≠ , 2 4b ac∆ = − ). Ta có +) ( ) 0t x ≥ x ∀ ∈ ¡ ⇔ 0 0 a > ∆ ≤ ; +) ( ) 0t x ≤ x∀ ∈¡ ⇔ 0 0 a < ∆ ≤ . Ví dụ 3. Tìm m để hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 2 1 6 1 7y x m x m m x= − + + + + đồng biến trên ( ) 1;2 . Giải. Ta có ( ) ( ) 2 ' 6 6 2 1 6 1y x m x m m= − + + + . ' 0y = ⇔ 1 x m x m = = + . Bảng biến thiên: lim x y →−∞ = −∞ , lim x y →+∞ = +∞ . Ta thấy hàm số đồng biến trên ( ) ;m−∞ và ( ) 1;m + +∞ . Do đó hàm số đồng biến trên ( ) 1;2 khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) 1;2 ; 1;2 1; m m ⊂ −∞ ⊂ + +∞ ⇔ 2 0 m m ≥ ≤ . Ví dụ 4. [ĐHA13] Tìm m để hàm số 3 2 3 3 1y x x mx= − + + − nghịch biến trên khoảng ( ) 0;+∞ . Giải. Ta có 2 ' 3 6 3y x x m= − + + . Cách1. 'y là tam thức bậc hai có ' 9 9m ∆ = + . • TH1: ' 0∆ ≤ ⇔ 1m ≤ − . Khi đó ' 0y ≤ x∀ ∈¡ ⇒ hàm số nghịch biến trên ¡ nên cũng nghịch biến trên ( ) 0;+∞ . • TH2: ' 0∆ > ⇔ 1m > − . Khi đó, 'y có hai nghiệm phân biệt 1 2 1 1 1 1x m x m= − + < = + + . Do đó hàm số có hai khoảng nghịch biến là ( ) 1 ; x−∞ và ( ) 2 ;x +∞ (xem bảng biến thiên). Hàm số nghịch biến trên ( ) 0;+∞ ⇔ ( ) ( ) 2 0; ;x+∞ ⊂ +∞ ⇔ 2 0x ≤ ⇔ 1 1 0m+ + ≤ ⇔ m ∈∅ . Tóm lại hàm số đã cho nghịch biến trên ( ) 0;+∞ khi và chỉ khi 1m ≤ − . Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số 4 2 4y x mx= + + . Giải. Ta có ( ) 3 2 ' 4 2 2 2y x mx x x m= + = + . [...]... khi x đi qua 0 Bảng biến thi n: Ở đây, xlim y = +∞ →±∞ KL: hàm số đồng nghịch biến trên ( −∞;0 ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) • TH2: m < 0 ⇒ y ' có ba nghiệm phân biệt là 0 và ± − m và đổi dấu liên tiếp khi x đi qua 2 các nghiệm Bảng biến thi n: Ở đây, xlim y = +∞ →±∞ KL: hàm số đồng nghịch biến trên các khoảng ( −∞; − ) và ( 4; ) ( − ;0) và ( ; +∞ ) −m 2 −m 2 −m 2 −m 2 mx + 1 đồng biến trên từng khoảng... trường hợp, việc xét phương trình f ( x) = m (1) được đưa về xét sự tương giao giữa đường thẳng y = m với đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) Sau đây là một số kết luận hay gặp • (1) có nghiệm khi và chỉ khi d có điểm chung với (C) • Số nghiệm của (1) bằng số điểm chung của đường thẳng d với (C) • Nghiệm của (1) là hoành độ điểm chung của d và (C) B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1 Cho phương trình x + 1 − x = m (1)... 1) x + ( m + 3) x − 4 đồng biến trên ( 0;3) ; 3 4 2 5) y = mx + ( 1 − m ) x + 4 đồng biến trên ( 1;3) ; 2x + 3 đồng biến trên từng khoảng xác định; x−m 2mx + 3 7) y = nghịch biến trên từng khoảng xác định 2x + m D ĐÁP SỐ 6) y = 1 m ≤ −3 hoặc m ≥ 2 ; 2 m ≤ −1 hoặc m ≥ 1 ; 3 m ≥ 3 m 0 0< x 4 1 1 2x > 6 − x Tương tự, f ' ( x ) < 0 ∀x ∈ ( 2;6 ) Bảng biến thi n: Kết luận:... (1) Giải Đặt f ( x ) là vế trái của phương trình (1) Sau đây ta khảo sát sự biến thi n của f ( x ) Ta có TXÑ=¡ , f ( x ) = x 2 (x 2 − 2) 2 ⇒ f '( x) = 2x x − 2 + x 2 = 2 2 ( x2 − 2) x x2 − 2 4 x ( x 2 − 2 ) ( x 2 − 1) x2 − 2 2 x ( x 2 − 2 ) + 2 x3 ( x 2 − 2 ) 2 = x2 − 2 ( x ≠ ± 2 ) 2 2 Ta thấy với x ≠ ± 2 , f ' ( x ) cùng dấu với 4 x ( x − 2 ) ( x − 1) Bảng biến thi n: Ở đây, xlim f ( x ) = +∞ ... 1− Bảng biến thi n 1 2 1− x −1 3 − 4x = = ( x < 1 ) 2 1− x 2 1− x 2 1− x 2 1− x +1 ( ) Kết luận 1) (1) có nghiệm ⇔ đường thẳng y = m có điểm chung với đồ thị hàm số y = f ( x ) ⇔ m ≤ 5 ; 4 2) ( 1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = m có 2 điểm chung với đồ thị hàm số y = f ( x ) ⇔ 1≤ m < 5 4 Ví dụ 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [ 1; 2] x 2 − mx + m = 0 (1) Giải Dễ thấy x = 1 không phải... Ta thấy vế trái của (1) không âm với mọi x ≥ 2 , do đó: (1) (1) ⇔ (x 2 + 2 x – 8) = m ( x – 2) ⇔ 2 x = 2 ⇔ 3 2 x + 6 x − 32 = m (2) ( x − 2 ) ( x – 2 ) ( x + 4 ) 2 – m = 0 3 2 2 Xét f ( x ) = x + 6 x − 32 , x > 2 Ta có f ' ( x ) = 3 x + 12 x > 0 , ∀x > 2 Từ bảng biến thi n suy ra: với m > 0 thì (2) luôn có đúng một nghiệm x > 2 ⇒ (1) có đúng 2 nghiệm (ĐPCM) Bảng biến thi n: Ví dụ 6 [ĐHD04]... nghiệm x ∈ [ 1; 2] x 2 − mx + m = 0 (1) Giải Dễ thấy x = 1 không phải nghiệm của (1) nên: 2 (1) ⇔ x = m ( x − 1) ⇔ m = x2 x −1 2 x ( x − 1) − x 2 x 2 − 2 x x2 f ′( x) = = Xét hàm f ( x ) = với x ∈ ( 1; 2] , ta có 2 2 x −1 ( x − 1) ( x − 1) Bảng biến thi n Kết luận (1) có nghiệm ⇔ đường thẳng y = m có điểm chung với đồ thị hàm số y = f ( x ) , x ∈ ( 1; 2] ⇔ m ≥ 4 Ví dụ 3 [ĐHA08] Tìm m để phương trình... là nghiệm của (1), ta có 5 5 5 x0 = ( x0 + 1) ⇒ x0 ≥ 0 ⇒ x0 ≥ 0 ⇒ ( x0 + 1) ≥ 1 ⇒ x0 ≥ 1 ⇒ x0 ≥ 1 2 2 Do đó, để chứng minh (1) có nghiệm duy nhất ta chỉ cần chứng minh (1) có nghiệm duy nhất 5 2 thuộc [ 1; +∞ ) Xét f ( x ) = x − x − 2 x − 1 , x ≥ 1 Ta có f ' ( x ) = 5 x 4 − 2 x − 2 = x 4 + 2 ( x 4 − x ) + 2 ( x 4 − 1) > 0 ∀x ≥ 1 Bảng biến thi n của f ( x ) , x ≥ 1 Ta thấy đồ thị hàm số y = f ( . ) 1;2 . 6 7 §2. Sự biến thi n của hàm số chứa tham số A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trong tiết học này, ta quan tâm đến các vấn đề sau: 1. Sự biến thi n của hàm bậc ba,. SỰ BIẾN THI N CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG §1. SỰ BIẾN THI N CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chương trình
