SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức 3 3 3 ( ) (3 2) (1 2 ) (1 )P x x x x= − + − + − thành nhân tử. 2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 4a b c abc+ + + = . Tính giá trị của biểu thức: (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )A a b c b c a c a b abc= − − + − − + − − − Câu II ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 4 6 2 2 3 2x x x− + = + + − . 2) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 5 ( ) 6 x y xy x y  + =   − =   . Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện 2 2 4 5 2( )x xy y x y− + = − . 2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2 3 4 1+ + + +p p p p là số hữu tỷ. Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. 1) Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 2) Chứng minh AO EF⊥ . 3) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất. Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z z zx x S x y z y z x z x y − + − + − + = + + + + + + + + Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Phân tích 3 3 3 ( ) (3 2) (1 2 ) (1 )= − + − + −P x x x x thành nhân tử 1,00 Đặt 3 3 3 3 2, 1 2 , 1 0= − = − = − ⇒ + + = ⇒ = + +a x b x c x a b c P a b c 0,25 3 3 ( ) 3 ( )= + + − +P a b c ab a b 0,25 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( )   = + + + − + + − +   a b c a b a b c c ab a b 0,25 3 ( ) 3 3(3 2)(1 2 )(1 )= − − = = − − −ab c abc x x x 0,25 I 2 (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )A a b c b c a c a b abc= − − + − − + − − − 1,00 4 4 4 4 4 16 (4 )(4 ) (16 4 4 ) + + + = ⇔ + + + = ⇒ − − = − − + a b c abc a b c abc a b c a b c bc 0,25 (4 4 4 4 4 4 ) (4 4 )= + + + − − + = + +a a b c abc b c bc a a abc bc 0,25 2 (2 ) (2 ) 2= + = + = +a a bc a a bc a abc 0,25 Tương tự (4 )(4 ) 2 , (4 )(4 ) 2− − = + − − = +b c a b abc c a b c abc 2( ) 3 2( ) 8⇒ = + + + − = + + + =A a b c abc abc a b c abc 0,25 II 1 Giải phương trình 2 4 6 2 2 3 2− + = + + −x x x 1,00 ĐK: 2 2 − ≤ ≤ x . Pt ( ) (2 )(2 ) 3 2 2 3 2 0⇔ − + − − + − + =x x x x 0,25 ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 0⇔ − + − − + − =x x x ( ) ( ) 2 3 0 2 3 2 2 0 2 2 0  + − = ⇔ + − − − = ⇔  − − =   x x x x 0,25 Giải pt 2 3 0 7+ − = ⇔ =x x (Loại) 0,25 Giải pt 2 2 0 2− − = ⇔ = −x x (TM). Vậy x = -2 0,25 II 2 Giải hệ phương trình 2 2 2 2 5 ( ) 6  + =   − =   x y xy x y 1,00 Hệ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 5 5 ( )( ) 6 ( )( ) 6  − + + =  + =  ⇔ ⇔   − + = − + =    x xy y xy x y xy x y x y x xy y xy Đặt 2 2 ,= − = +a x xy b y xy ta được hệ 5 6 + =   =  a b ab 0,25 Giải hệ pt này ta được 2 2 2 2 2, 3 2, 3 3, 2 3, 2  = = − = + =  ⇒   = = − = + =   a b x xy y xy a b x xy y xy 0,25 TH 1. 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 5 2 0 3  − =  ⇒ − = + ⇔ − − =  + =   x xy x xy y xy x xy y y xy 0,25 2 2 2 1 1, 2 1 1 3 3 , 2 2 2  = ⇒ = ⇒ = ± = ±   = − ⇒ = ⇒ = ± =   m x y y y x y x x x y TH 2. 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 5 3 0 2  − =  ⇒ − = + ⇔ − − =  + =   x xy x xy y xy x xy y y xy 2 2 1 1 3 3 , 2 2 2 2 1 1, 2  = ⇒ = ⇒ = ± = ±   = − ⇒ = ⇒ = ± =  m x y y y x y x x x y Vậy hệ pt có tám nghiệm là 1 3 1 3 3 1 3 1 (2;1), ( 2; 1), ; , ; , (1; 2), ( 1;2), ; , ; 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − −         − − − −  ÷  ÷  ÷  ÷         0,25 III 1 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2 2 4 5 2( )− + = −x xy y x y 1,00 Pt 2 2 2(1 2 ) 5 2 0⇔ − + + + =x y x y y Tồn tại x 2 2 ' (1 2 ) (5 2 ) 0⇔ ∆ = + − + ≥y y y 0,25 2 2 2 1 0 ( 1) 2 1 2 1 2 1 2⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +y y y y y 0,25 Do y là số nguyên nên 0, 1, 2= = =y y y 0,25 2 2 2 0 2 0 0, 2 1 6 7 3 2 2 10 24 0 4, 6 = ⇒ − = ⇔ = = = ⇒ − + ⇔ = ± = ⇒ − + = ⇔ = = y x x x x y x x x y x x x x Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (0;0), (2;0), (4;2), (6;2) 0,25 III 2 Tìm các số nguyên tố p sao cho 2 3 4 1+ + + +p p p p là số hữu tỷ 1,00 2 3 4 1+ + + +p p p p là số hữu tỷ 2 3 4 2 1 ,⇔ + + + + = ∈¥p p p p n n 0,25 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 (1) 4 4 4 4 4 4 4 4 5 (2 ) (2 ) (2 2) 2 2 2 2 ⇔ + + + + = ⇒ + + < < + + + + + ⇔ + < < + + ⇔ + < < + + p p p p n p p p n p p p p p p p n p p p p n p p 0,25 2 2 2 1⇒ = + +n p p . Thế vào (1) ta được 2 3 4 2 2 2 4 4 4 4 4 (2 1) 2 3 0+ + + + = + + ⇔ − − =p p p p p p p p 0,25 Giải pt tìm được 1= −p (loại) và 3=p Với 2 3 4 3 1 11= ⇒ + + + + =p p p p p . Vậy 3=p 0,25 IV 1 Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 1,00 Tứ giác DCEH nội tiếp suy ra · · HDE HCE⇒ = 0,25 Tứ giác DBFH nội tiếp suy ra · · HDF HBF⇒ = 0,25 Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra · · · · HCE HBF HDE HDF⇒ = ⇒ = Suy ra DH là tia phân giác của góc · EDF 0,25 Tương tự EH là tia phân giác của góc · DEF . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 0,25 IV 2 Chứng minh AO EF⊥ 1,00 Vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O) tại điểm A Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra · · AFE AHE⇒ = Tứ giác EHDC nội tiếp suy ra · · AHE DCE⇒ = 0,25 · · DCE xAB= (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung) 0,25 Suy ra · · AFE xAB Ax // EF= ⇒ 0,25 AO ⊥ xAy ⇒ AO ⊥ EF 0,25 IV 3 Chứng minh AO EF⊥ 1,00 AO ⊥ EF ⇒ S AEOF = 1 AO.EF 2 0,25 Tương tự BDOF CDOE 1 1 BO DF S BO.DF, CO DE S CO.DE 2 2 ⊥ ⇒ = ⊥ ⇒ = 0,25 ABC AEOF BDOF CDOE 1 S = S + S S (AO.EF BO.DF+CO.DE) 2 1 = R(EF DF+DE) 2 ⇒ + = + + 0,25 Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất ⇔ ABC S lớn nhất ⇔ khoảng cách từ A đến BC lớn nhất ⇔ A là điểm chính giữa của cung lớn BC. 0,25 V Tìm GTNN của 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − + − + − + = + + + + + + + + x xy y y yz z z zx x S x y z y z x z x y 1,00 Ta có 2 2 2 2 2 1 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 − + = + + − ≥ + = +x xy y x y x y x y x y 0,25 Tương tự suy ra 2 2 2 2 + + + ≥ + + + + + + + + x y y z z x S x y z y z x z x y 0,25 Đặt 2 , 2 , 2 , , 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + + = + + + − + − + − ⇒ + = + = + = + − + − + − ⇒ ≥ + + a x y z b y z x a z x y b c a c a b a b c x y y z z x b c a c a b a b c S a b c 0,25 4 3 2 2 2 3 3       ⇒ ≥ + + + + + − ≥ + + − =  ÷  ÷  ÷       b a c a c b S a b a c b c Do đó 3 4 ≥S . Đẳng thức xảy ra = =x y z . Vậy GTNN của S là 3 4 0,25 H F E D H F E D O O B C A B C A X Y Hình vẽ câu a Hình vẽ câu b Chú ý. Học sinh có cách giải khác với cách giải nêu trong đáp án nhưng đúng giáo viên vẫn cho đủ số điểm tương ứng. . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian. DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Phân tích