Bài 11: Luyện tập – Sự tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI LUYỆN TẬP SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số ( ) 2 3 3 2 1 x x y x − + − = − (1) a. Tìm m ñể ñường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2 b. Tìm m ñể ñường thẳng d: ( ) 2 3 y m x = − + và ñường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung ñiểm của AB. Giải: a. Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 3 2 0 2 1 x x m f x x m x m x − + − = ⇔ = + − + − = − ; với 1 x ≠ ðể hàm số (1) cắt ñường thẳng y = m tại 2 ñiểm phân biệt ( ) 0 f x ⇔ = có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 4 3 2 0 2 1 1 0 2 m m m f m  >   ∆ = − − − >  ⇔ ⇔   ≠    < −   (*) Với ñiều kiện (*), gọi 1 2 ; x x là nghiệm của ( ) 0 f x = . Theo viet có: 1 2 1 2 3 2 3 2 x x m x x m + = −   = −  Tọa ñộ A, B là: ( ) ( ) 1 2 ; ; ; A x m B x m . Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 2 AB x x x x x x = ⇔ − = ⇔ + − = ( ) ( ) 2 2 1 6 3 2 4 3 2 2 4 4 5 0 2 m m m m m ± ⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ = ðáp số: 1 6 2 m ± = b. Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 2 1 3 1 2 4 3 0 2 1 x x m x f x m x m x m x − + − = − + ⇔ = + + − + − = − ; với 1 x ≠ ðể hàm số (1) cắt ñường thẳng ( ) 2 3 y m x = − + tại 2 ñiểm phân biệt ( ) 0 f x ⇔ = có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Bài 11: Luyện tập – Sự tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 4 ( ) ( )( ) ( ) 2 7 2 7 2 2 1 0 7 2 7 9 1 2 4 2 1 4 3 0 2 1 0 1 2 m m m m m m f m  + >  + ≠      − ⇔ ∆ = − − + − > ⇔  <       ≠    ≠ −     Với ñiều kiện trên, gọi 1 2 ; x x là nghiệm của ( ) 0 f x = ( ) 1 2 3 1 2 2 1 m x x m − ⇒ + = − + Gọi 2 giao ñiểm là ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 3 ; ; 2 3 A x m x B x m x − + − + . ðiểm ( ) 2;3 M d ∈ là trung ñiểm của AB ( ) 1 2 3 1 2 7 4 4 2 1 2 m x x m m − ⇔ + = ⇔ − = ⇔ = − + Vậy 7 2 m = − Bài 2: Cho hàm số ( ) 1 m x m y x m − + = − ( ) m C Dựa vào ñồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình: a. 2 2 3 1 log 3 x m x + − = − b. 2 3 2 1 0 3 x m x + − + = − Giải: Số nghiệm của phương trình ( ) ( ) f x g m = là số giao ñiểm của ñường cong ( ) y f x = và ñường thẳng ( ) y g m = song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa ñộ Oxy. a. Vẽ ñồ thị hàm số ( ) 2 3 : 3 x C y x + = − nh ư sau: - Giữ nguyên phần ñồ thị nằm trên trục hoành Ox của ( ) 3 C - kí hiệu là ( ) t C - Lấy ñối xứng phần ñồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu ( ) ' t C ( ) ( ) ( ) ' t t C C C ⇒ = ∪ (Các bạn tự vẽ hình) Kết luận: - 1 2 m ≤ phương trình vô nghiệm - 1 ;2 2 m   =     ph ương trình có nghiệm duy nhất - ( ) 1 ; 2 2; 2 m   ∈ ∪ +∞     phương trình có 2 nghiệm phân biệt Bài 11: Luyện tập – Sự tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 4 b. Vẽ ñồ thị hàm số ( ) 2 3 ' : 3 x C y x + = − như sau: - Giữ nguyên nhánh phải của ( ) 3 C - kí hiệu là ( ) p C - Lấy ( ) ' p C ñối xứng nhánh trái của ( ) 3 C qua trục hoành Ox ( ) ( ) ( ) ' p p C C C ⇒ = ∪ (Các bạn tự vẽ hình) Kết luận: + 1 2 m ≤ − ph ươ ng trình vô nghi ệ m + 1 3 2 2 m − < ≤ ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t + 3 2 m ≥ ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m phân bi ệ t Bài 3: Tìm m ñể ñồ th ị ( ) 3 2 : ( ) 18 2 m C y f x x x mx m = = − + − . C ắ t Ox t ạ i 1 2 3 0 x x x < < < phân bi ệ t. Giải: Xét 3 2 ( ) 18 2 0 f x x x mx m = − + − = 3 2 2 (9 1) (*) m x x x⇔ − = − + ( ) ( ) 2 3 2 2 2 3 1 ( ) 2 '( ) 9 1 9 1 x x x g x m g x BBT x x − − − + ⇔ = = ⇒ = ⇒ − − Nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình f(x)=0 là hoành ñộ giao ñ i ể m c ủ a ñườ ng th ẳ ng y = 2m v ớ i (L): y=g(x). Nhìn b ả ng bi ế n thiên ta có ( ) 0 f x = có nghi ệ m thõa mãn : 1 2 3 0 2 0 0 x x x m m < < < ⇔ < ⇔ < Bài 4: Tìm m ñể ñồ th ị hàm s ố ( ) 3 2 : ( ) 3 3(1 ) 1 3 m C y f x x x m x m = = − + − + + c ắ t Ox t ạ i 1 2 3 1 x x x < < < Giải: Xét ph ươ ng trình 3 2 ( ) 3 3(1 ) 1 3 0 f x x x m x m = − + − + + = Bài 11: Luyện tập – Sự tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t Page 4 of 4 ( ) ( ) 3 2 3 2 2 3 3 1 3 ( 1) 3 3 1 ( ) 1 2 2 1 '( ) '( ) 0 2 1 x x x m x x x x g x m x x x x g x g x x BBT x ⇔ − + + = − − + + ⇔ = = − − − + ⇒ = ⇒ = ⇔ = ⇒ − Bài 5: Tìm m ñể c ắ t (C): = = − + + + 4 2 ( ) : ( ) 2( 1) 2 1 m C y f x x m x m c ắ t Ox t ạ i 4 ñ i ể m phân bi ệ t. Giải: Xét ph ươ ng trình: 4 2 ( ) 0 2( 1) 2 1 0(1) f x x m x m= ⇔ − + + + = . ðặ t ( ) 2 2 ; ( ) 2( 1) 2 1 t x f x g t t m t m = = = − + + + . Yêu c ầ u bài toán ( ) 0 f t ⇔ = có 2 nghi ệ m 1 2 0 t t < < sao cho (1) có s ơ ñồ nghi ệ m: Ta có: 4 3 3 2 2 1 x x x x x x − = − = − ( ) 4 3 3 2 2 1 1 1 2 1 2 1 3 9 0 x x x x t t t t t t t t ⇔ − = − ⇔ − = − − ⇔ = ⇔ = > Yêu c ầ u bài toán ' 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 0 0 2 0; 9 4 2 9 2( 1) 0 9 4 5 2( 1) 2 1 0 9 1 9 2 1 9 2 1 5 m m m t t m t t t t m t t m t m t t m m m t m   ≠ > −  ≠ > −   ∆ = > = =       =  ⇔ + = + > ⇔ ⇔ = ⇔     = −    = + = + >  +      = +   = +       ……………………Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn . ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 2 AB x x x x x x = ⇔ − = ⇔ + − = ( ) ( ) 2 2 1 6 3 2 4 3 2 2 4 4 5 0 2 m m m m m ± ⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ = ðáp số: 1 6 2 m ± = . Yêu c ầ u bài toán ' 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 0 0 2 0; 9 4 2 9 2( 1) 0 9 4 5 2( 1) 2 1 0 9 1 9 2 1 9 2 1 5 m m m t t m t t t t m t t m t