Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI TƯƠNG GIAO CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: Cho 2 3 ( ) : 1 x C y x + = + . Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua 2 (2; ) 5 A sao cho (d) cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N nhận A làm trung ñiểm. Giải: Vì ñường thẳng x=2 ñi qua A nhưng chỉ cắt (C) tại 1 ñiểm. Vậy phương trình ñường thẳng ñi qua A và cắt (C) tại M, N có dạng (d): 2 ( 2) 5 y k x = − + Hoành ñộ giao ñiểm của (C) và (d) là nghiệm của PT: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 3 5 ( 2) 2 ( 2) 1 5 1 5 5 3 5 ( 2) 1 2( 1) 5 15 5 ( 2) 2 2 5 ( 1) (5 2) (10 13) 0(*) x x k x k x x x x k x x x x k x x x x k k x k + + − + = − + ⇔ = + + ⇔ + = − + + + ⇔ + = − − + + ⇔ − − − − + = ðể C) và (d) cắt nhau tại M, N phân biệt nhận A làm trung ñiểm thì: 2 2 1 2 (5 2) 20( 1)(10 13) 0 225 40 256 0 5 2 5 2 20 20 4 2 5 5 4 4 145 4 4 145 ; 18 2 45 45 ( ) : ( 2) ( ) : 6 5 10 0 15 5 18 ( / ) 15 A M N k k k k k b k k k x x x x x a k k k d y x hay d x y k t m ∆  = − + − + >  + − >  ⇔   − − = − = = + = + = − =    −  − + − − > <   ⇔ ⇒ = − + − − =   =   Bài 2: Cho 3 ( ) : 3 C y x x = − CMR: ðường thẳng (d): ( 1) 2 y m x = + + luôn cắt (C) tại 1 ñiểm A cố ñịnh. Giải: Ta thấy hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình: ( ) 3 3 3 3 2 0 3 ( 1) 2 3 2 ( 1) 0 1 1 0 x x x x m x x x m x x x  − − = − = + + ⇔ − − + + = ⇔ ⇔ = −  + =  Vậy (d) luôn cắt (C) tại 1 ñiểm A cố ñịnh có tung ñộ là: ( 1;2) A − Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 6 Bài 3: Cho 3 ( ) : 3 C y x x = − . Tìm m ñể ñường thẳng (d): ( 1) 2 y m x = + + luôn cắt (C) tại 3 ñiểm A, B, C phân biệt và tiếp tuyến với (C) tại B và C vuông góc với nhau. Giải: Ta thấy hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình: − = + + ⇔ − + − + =   ⇔ + − − + = +   3 3 2 3 ( 1) 2 ( 3) ( 2) 0 ( 1) ( 2) ( 1) ( ) x x m x x m x m x x x m x g x Ta thấy (d) luôn cắt (C) tại 1 ñiểm cố ñịnh A(-1;2) nên ñể cắt tại 3 ñiểm phân biệt thì: 9 1 4( 2) 0 (*) 4 ( 1) 0 0 g m m g m m ∆  = + + >  > −  ⇔   − = − ≠   ≠  HSG tiếp tuyến tại B và C lần lượt là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 '( ) '( ) 3( 1) 1 . 9 1 '( ) '( ) 3( 1) 9 2 1 9 1 B B B C C C k f x f x x k k x x x x k f x f x x x x x x x x x x x x  = = = −    ⇔ − = = − + +    = = = −       = − + + + = + − +     Áp dụng ðL Viet ta lại có: 1 2 2 2 1 2 1 ( 1) 1 1 ( 1) 0 1 ( 2) x x m m m x x m + =  ⇒ − − = − ⇔ − = ⇔ =  = − +  Bài 4: Cho 2 1 ( ) : 1 x x C y x − + + = − . CMR: Với mọi m, ñường thẳng y=m luôn cắt (C) tại 2 ñiểm A, B. Tìm m ñể ñộ dài AB nhỏ nhất. Giải: Hoành ñộ giao ñiểm của (C) với y=m là nghiệm của PT: 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) 0(*) 1 1 ( 1) 1 1 g x x x m m x x m x x m x x x  = + − − + = − + + = ⇔ − + + = − ⇔  − ≠  Ta thấy: ( ) 2 2 2 1 4( 1) 2 5 ( 1) 4 4 0 (1) 1 0 g m m m m m g ∆  = − + + = + + = + + ≥ >   = − ≠   Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, nên (C) luôn cắt y=m tại A, B phân biệt. Gọi 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ; ); ( ; ) ( ) ( ) 4 A x m B x m AB x x x x x x ⇒ = − = + − Áp dụng ðL Viet vào ta có: Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 6 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( 1) 4( 1) 2 5 ( 1) 4 4 ( 1) x x m AB m m m m m x x m + = −  ⇒ = − + + = + + = + + ≥  = − +  Vậy AB nhỏ nhất là 2. Dấu “=” xảy ra khi m 1 = − Bài 5: Tìm m ñể ( ) : 2 d y mx m = − cắt (C): 2 2 3 2 x x y x − = − tại 2 ñiểm phân biệt thuộc 2 nhánh của ñồ thị. Giải: Hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của PT: 2 2 2 3 2 ( ) 2( 1) (3 5 ) 2 0(*) 2 x x mx m g x m x m x m x − = − ⇔ = − + − + = − ðể giao ñiểm nằm về 2 phía ñồ thị tức là 2 phía của TCð x-2=0 ta có: 1 2 2 x x < < ( 1) (2) ( 1)( 2) 0 1 m g m m ⇔ − = − − < ⇔ > Bài 6: Cho hàm số 1 2 1 x y x − + = + (C) Tìm m ñể (C) c ắ t ñườ ng th ẳ ng ( ) : 2 1 m d y mx m = + − t ạ i 2 ñ i ể m phân bi ệ t A, B: a. Thu ộ c 2 nhánh c ủ a ñồ th ị (C) b. Ti ế p tuy ế n t ạ i A, B vuông góc v ớ i nhau c. Th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 4 . 5 OAOB =   Giải: Xét ph ươ ng trình hoành ñộ giao ñ i ể m: ( ) ( ) 2 1 2 1 5 1 2 2 0 2 1 x mx m f x mx m x m x − + = + − ⇔ = + − + − = + v ớ i 1 2 x ≠ − ( ) C c ắ t ( ) m d t ạ i 2 ñ i ể m phân bi ệ t A, B ( ) 0 f x ⇔ = có 2 nghi ệ m phân bi ệ t khác 1 2 − 2 0 0 17 2 9 0 6 1 1 3 0 2 4 2 m m m m m f m   ≠  ≠   ⇔ ∆ = − + > ⇔   ≠ −      − = − − ≠       (*) a) Hai ñ i ể m A, B thu ộ c 2 nhánh c ủ a ñồ th ị ( ) 0 f x ⇔ = có 2 nghi ệ m phân bi ệ t 1 2 ; x x mà 1 2 1 2 x x < − < Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t Page 4 of 6 0 1 1 3 0 6 2 4 2 m mf m m m >      ⇔ − = − − < ⇔      < −      a. H ệ s ố góc c ủ a ti ế p tuy ế n t ạ i A. B l ầ n l ượ t là: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 ' ; ' 2 1 2 1 A A B B A B k y x k y x x x − − = = = = + + ( ) ( ) 2 2 3 3 . . 0 2 1 2 1 A B A B k k x x ⇒ = > + + nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông góc với nhau. Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán. b. Gọi 1 2 ; x x là 2 nghiệm của f(x). Giả sử ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 1 ; ; 2 1 A x mx m B x mx m + − + − Theo viet ta có: 1 2 1 2 5 1 2 2 m x x m m x x m −  + = −    −  =   Có: 5 4 . 5 . 0 4 OA OB OA OB = ⇔ − =     ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 2 5 2 1 2 1 0 4 5 1 2 1 2 1 0 4 5 1 2 2 2 1 5 1 2 1 0 4 3 3 1 3 4 2 0 2 1 0 4 4 2 4 x x mx m mx m m x x m m x x m m m m m m m m m m m m m m m ⇔ + + − + − − = ⇔ + + − + + − − = ⇔ + − − − − + − − = −   ⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ =     ðáp số: 1 3 ; 2 4 m −   =     Bài 7: Cho hàm số (C): 3 2 3 y x mx mx = − − và ñường thẳng d: y = x + 2. Tìm m ñể hàm số (C) cắt ñường thẳng d: a. Tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC b. Tại 3 ñiểm phân biệt lập thành cấp số nhân. Lời giải: a. Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm: ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 1 2 0 x mx mx x g x x mx m x − − = + ⇔ = − − + − = Hàm số (C) cắt ñường thẳng d tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 5 of 6 ( ) ' 0 g x ⇔ = có 2 nghiệm phân biệt và ñiểm uốn của ñồ thị hàm số ( ) y g x = nằm trên trục hoành Ox. - Phương trình ( ) ( ) 2 ' 3 6 1 0 g x x mx m = − − + = có 2 ' 9 3 3 0 m m ∆ = + + > nên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m - Hàm ( ) y g x = có ñiểm uốn là ( ) 3 2 ; 2 2 Ox U m m m m− − − − ∈ khi và chỉ khi: ( ) ( ) 3 2 2 2 2 0 1 2 2 0 1 m m m m m m m − − − − = ⇔ + − + = ⇔ = − Vậy 1 m = − b. ðk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ 1 2 3 ; ; x x x lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi ñó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 g x x x x x x x = − − − Suy ra: 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 3 1 2 x x x m x x x x x x m x x x + + =   + + = − −   =  Vì 2 3 3 1 3 2 2 2 2 2 x x x x x = ⇒ = ⇒ = nên ta có: 3 3 5 1 4 2.3 3 2 1 m m m − − = + ⇔ = − + ðk ñủ: Với 3 5 3 2 1 m = − + , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn. Vậy 3 5 3 2 1 m = − + Bài 8: Cho hàm số ( ) 4 2 2 1 2 1 y x m x m = − + + + a. Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt lập thành cấp số cộng; b. Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ nhỏ hơn 3. Lời giải: Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm: ( ) 4 2 2 1 2 1 0 x m x m − + + + = ; (1) ðặt 2 , 0 t x t = ≥ thì (1) thành: ( ) 2 ( ) 2 1 2 1 0 f t t m t m = − + + + = . a. ðiều kiện ñể hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt là f(t) phải có 2 nghiệm dương phân biệt ( ) 2 ' 0 1 2 1 0 2 0 2 1 0 m m S m m P m  ∆ = >  > −   ⇔ = + > ⇔     ≠  = + >  (*) Bài 10: Tương giao ñồ thị hàm số - Chuyên ñề giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 6 of 6 Với (*), gọi 1 2 t t < là 2 nghiệm của f(t), khi ñó hoành ñộ giao ñiểm của hàm số với Ox lần lượt là: 1 2 2 1 3 1 4 2 ; ; ; x t x t x t x t = − = − = = Các giao ñiểm lập thành cấp số cộng 2 1 3 2 4 3 2 1 9 x x x x x x t t ⇔ − = − = − ⇔ = ( ) ( ) 4 5 4 4 1 9 1 5 4 1 4 5 4 4 9 m m m m m m m m m m m m =  = +   ⇔ + + = + − ⇔ = + ⇔ ⇔   − = + = −   V ậ y 4 4; 9 m   = −     ……………………Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn