Bài 02: Lăng trụ biết góc giữa đường thẳng & mặt phẳng – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 1 of 3 BÀI 02: LĂNG TRỤ BIẾT GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I. Kiến thức cần nhớ: - Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. - Cách diễn đạt khác: 2 cách diễn đạt góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng hay đường thẳng nghiêng so với mặt phẳng đều giống nhau. Các em chú ý vì có nhiều đề bài ra dưới dạng khác nhau, khi đó không bở ngỡ nữa. Sau đây chúng ta cùng nhau xem xét các ví dụ cụ thể: II.Các ví dụ minh họa: Bài 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b, 0 60 ACB =  ,. Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 30 0 . Tính thể tích khối lăng trụ. Giải: Ta có: ( ) ( ) 0 ',( ' ') ', ' ' 30 BC ACC A BC AC AC B= = =    Và 2 0 1 1 3 . tan 60 . 2 2 2 ABC b S AB AC b b= = =  Mặt khác: do: ( ) AA '; ' ' ' AB AB AC AB ACC A AB AC ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Và ta có: 0 ' cot 30 3 3 AC AB AB b = = = ( ) ( ) 2 2 ' 3 3 2 3 BC b b b ⇒ = + = ; BC = B’C’ = ( ) 2 2 3 2 b b b + = 2 2 2 2 ' ' ' ' 12 4 2 2 h BB BC B C b b b ⇒ = = − = − = Vậy: 2 3 3 .2 2 6 2 b V Bh b b= = = Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. AC’ hợp với (BCC’B’) một góc 45 0 . Tính thể tích khối lăng trụ. Giải: Bài 02: Lăng trụ biết góc giữa đường thẳng & mặt phẳng – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3 Gọi M là trung điểm của BC ta thấy: ( ) ; ' ' ' AM BC AM BB AM BB C C ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ( ) 0 ';( ' ') ', ' ' 45 AC BCC B AC MC AC M⇒ = = =    Mặt khác: ' ' AM C M AMC ⊥ ⇒  vuông cân tại M và ta có: 3 ' 2 a AM C M= = 2 2 2 2 3 2 ' ' 2 2 2 a a a h CC C M CM     ⇒ = = − = − =           Vậy ta có: 2 3 3 2 6 . 4 2 8 a a a V Bh= = = Bài 3: . Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C. Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60 o . Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’. Giải: Gọi O là tâm ABC⇒ OA = OB = OC A’A = A’B = A’C (gt) ⇒A’O⊥ (ABC) (AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 60 0 A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC) Trong tam giác vuông A’OA có OA’ = OA tan 60 0 = a Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC = 4 3 2 a ⇒ V ABC.A’B’C’ = S∆ABC.A’O = 4 3 3 a Bài 4: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 .Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VA’ABC theo a? Giải: Gọi H là trung điểm BC ⇒A’H ⊥ (ABC) (gt) Ta có S∆ABC = 3. 2 2 1 2 1 aACAB = Bài 02: Lăng trụ biết góc giữa đường thẳng & mặt phẳng – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3 Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH Tam giác vuông A’HA có: A’H 2 = A’A 2 - AH 2 = (2a) 2 - 4 1 .(a 2 + 3a 2 ) hay A’H 2 = 4a 2 - a 2 = 3a 2 ⇒ A’H = a 3 ⇒ VA’ABC = 3 1 S∆ABC .A’H = 2 2 1 1 . 3. 3 3 2 2 a a a = Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương. Giải: Gọi 1 V là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ. Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’) Ta có: ( ) 1 . ' ' ' ' ' ' ' ' '. 1 1 . . . 3 3 1 1 1 3 1 . . . 3 2 2 2 2 B ACC A ACC M ACC AMC ACC ACC ACC C ABC V V h S h S S h S S h S V V ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = = = +   = + = = =     Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng 1 2 V nên ta có đ pcm ====================Hết=================== Giáo viên: Trịnh Hào Quang Nguồn: Hocmai.vn . Bài 02: Lăng trụ biết góc giữa đường thẳng & mặt phẳng – CĐ Thể tích khối đa. Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 1 of 3 BÀI 02: LĂNG TRỤ BIẾT GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I. Kiến thức cần nhớ: -