HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Chuyên đề 14: A KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ y I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC mặt phẳng : x'Ox : trục hoành y'Oy : trục tung O : gốc toạ độ e1 , e2 : véc tơ đơn vị ( e1 = e2 = e1 ⊥ e2 ) • • • • e2 e1 x' x O y' Quy ước : Mặt phẳng mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy gọi mặt phẳng Oxy ký hiệu : mp(Oxy) II Toạ độ điểm véc tơ: Định nghóa 1: Cho M ∈ mp(Oxy ) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo e1 , e2 hệ thức có dạng : OM = xe1 + ye2 y Q e2 x' M e1 O x với x,y ∈ Cặp số (x;y) hệ thức gọi toạ độ điểm M Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M ) P M ( x; y ) y' • Ý nghóa hình học: đ/n ⇔ OM = xe1 + ye2 y M Q y x' x x O x = OP P vaø y=OQ y' Định nghóa 2: Cho a ∈ mp(Oxy ) Khi véc tơ a biểu diển cách theo e1 , e2 hệ thức có dạng : a = a1 e1 + a2 e2 với a1 ,a2 ∈ Cặp số (a1;a2) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a a = (a1; a2 ) Ký hiệu: x' đ/n a=(a1;a2 ) • Ý nghóa hình học: K A A2 e1 O a = a1 e1 + a2 e2 a1 = A1B1 x O A1 y' B1 91 vaø a2 =A2 B2 x P y' B H a e2 y B2 x' ⇔ y BÀI TẬP ÁP DỤNG: Trong mặt phẳng Oxy vẽ điểm sau: A(2;3), B(-1;4), C(-3;-3), D(4;-2), E(2;0), F(0;-4) III Các công thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : Định lý 1: Nếu A( x A ; y A ) B(x B ; yB ) B( x B ; y B ) AB = ( xB − x A ; yB − y A ) Định lý 2: A( x A ; y A ) Neáu a = (a1; a2 ) b = (b1; b2 ) a ⎧a1 = b1 * a=b ⇔ ⎨ ⎩a2 = b2 * a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ) b * a − b = (a1 − b1; a2 − b2 ) * k a = (ka1; ka2 ) (k ∈ ) BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho A(1;3), B(-2;-1), C(3;-4) Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 2: Cho A(1;2), B(2;3), C(-1;-2) Tìm điểm M thoả maõn MA − MB + 2CB = IV Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song • Định lý phương hai véc tơ: Định lý : Cho hai véc tơ a b với b ≠ a phương b a b b a Định lý : ⇔ ∃!k ∈ cho a = k b Nếu a ≠ số k trường hợp xác định sau: k > a hướng b a b k < a ngược hướng b a k = b a=− b , b=- a B A C A, B, C thẳng hàng ⇔ AB phương AC (Điều kiện điểm thẳng hàng ) Định lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ) b = (b1; b2 ) ta có : a phương b ⇔ a1.b2 − a2 b1 = 92 (Điều kiện phương véc tơ a = ( a1 ; a ) a = (1;2) VD : b = (b1 ; b2 ) b = ( 2;4) BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho A(0; −1); B (2;3); C ( ; 0) Chứng minh A, B, C thẳng hàng 1+ 1− Baøi 2: Cho A(1;1), B ( − 2; ) , C ( −2 − ; ) Chứng minh A, B, C thẳng hàng 4 V Tích vô hướng hai véc tơ: y Nhắc lại: b O a a.b = a b cos(a, b) B b ϕ a a =a A a⊥b b x' ⇔ a.b = Định lý 6: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ) b = (b1; b2 ) ta coù : a.b = a1b1 + a2 b2 x O a y' (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ) Định lý 7: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ) ta có : a = a12 + a22 (Công thức tính độ dài véc tơ ) Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ) vaø B(x B ; yB ) AB = ( x B − x A )2 + ( yB − y A )2 A( x A ; y A ) B( x B ; y B ) (Công thức tính khoảng cách điểm) Định lý 9: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ) b = (b1; b2 ) ta có : a⊥b ⇔ a1b1 + a2 b2 = (Điều kiện vuông góc véc tơ) Định lý 10: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ) b = (b1; b2 ) ta coù cos(a, b) = a.b a.b = a1b1 + a2 b2 a12 + a22 b12 + b2 (Công thức tính góc véc tơ) BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Chứng minh tam giác với đỉnh A(-3;-3), B(-1;3), C(11;-1) tam giác vuông Bài 2: Cho A( 2;3), B (8;6 + 3), C ( + 3;7) Tính góc BAC 93 VI Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghóa: Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ ) : MA = k.MB M A B Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ) , B(x B ; yB ) vaø MA = k.MB ( k ≠ ) x − k x B ⎧ xM = A ⎪ ⎪ 1− k ⎨ y A − k yB ⎪y = ⎪ M 1− k ⎩ Đặc biệt : x A + xB ⎧ ⎪ xM = ⎪ M laø trung điểm AB ⇔ ⎨ ⎪ y = y A + yB ⎪ M ⎩ VII Một số điều kiện xác định điểm tam giác : x A + x B + xC ⎧ ⎪x G = ⎪ G trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔ ⎨ y A + y B + yC ⎪y = ⎪ G ⎩ ⎧ AH ⊥ BC ⎧ AH BC = ⎪ ⎪ H trực tâm tam giaùc ABC ⇔ ⎨ ⇔⎨ A ⎪ BH ⊥ AC ⎪ BH AC = ⎩ ⎩ ⎧ AA' ⊥ BC ⎪ A chân đường cao kẻ từ A ⇔ ⎨ ⎪ BA' phương BC ⎩ ⎧ IA=IB I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giaùc ABC ⇔ ⎨ ⎩ IA=IC A G A H A' C B ' B C B A C I C B AB DC AC AB ' D' chân đường phân giác góc A ΔABC ⇔ D ' B = D C B AC A AB J tâm đường tròn nội tiếp ΔABC ⇔ JA = − JD BD J VIII Moät số kiến thức thường sử dụng khác: Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh : D B Định lý 12: Cho tam giác ABC Đặt AB = (a1; a2 ) AC = (b1; b2 ) ta coù : A SΔABC = a1b2 − a2 b1 A D chân đường phân giác góc A cuûa ΔABC ⇔ DB = − B 94 C D C C Các bất đẳng thức véc tơ : Định lý 13: Với hai véc tơ u,v ta có : v u u+v ≤ u + v u+v u.v ≤ u v Daáu xảy u, v hai véc tơ phương chiều có hai véc tơ véc tơ không BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tìm diện tích tam giác có đỉnh A(-2;-4), B(2;8), C(10;2) Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích với A(3;1), B(1;-3) Tìm C biết C Oy Tìm C biết trọng tâm G tam giác Oy Bài 3: Cho A(1;1), B(-3;-2), C(0;1) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC Chứng minh G, H, I thẳng hàng GH = −2GI Vẽ đường cao AA' tam giác ABC Tìm toạ độ điểm A' Bài 4: Cho tam giác ABC biết A(6;4), B(-4;-1), C(2;-4) Tìm toạ độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 5: Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh A( −1; 2), B (5; 7), C (4; −3) Bài 6: Cho ba điểm A(1;6), B(-4;-4), C(4;0) Vẽ phân giác AD phân giác AE Tìm toạ độ D E Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 7: Cho hai điểm A(0;2), B ( − ;−1) Tìm toạ độ trực tâm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB (TS A 2004) Bài 8: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với m ≠ Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G (TS D 2004) -Heát - 95 ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Các định nghóa VTCP PVT đường thẳng: VTCP đường thẳng : đn ⎧ a ≠ ⎪ a VTCP đường thẳng ( Δ ) ⇔ ⎨ ⎪a có giá song song trùng với (Δ) ⎩ đn ⎧ n ≠ ⎪ n VTPT đường thẳng ( Δ ) ⇔ ⎨ ⎪ n có giá vuông góc với (Δ) ⎩ a n (Δ) a (Δ ) * Chú ý: • Nếu đường thẳng ( Δ ) có VTCP a = (a1; a2 ) có VTPT n = (−a2 ; a1 ) • Nếu đường thẳng ( Δ ) có VTPT n = ( A; B ) có VTCP a = (− B; A) n a (Δ) BÀI TẬP ÁP DỤNG: Cho đường thẳng ( Δ ) qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3) Tìm VTCP VTPT ( Δ ) II Phương trình đường thẳng : Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng : a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng ( Δ ) qua M0(x0;y0) nhận a = (a1; a2 ) làm VTCP có : y a M ( x; y ) ⎧ x = x0 + t.a1 (t ∈ ) Phương trình tham số : (Δ) : ⎨ ⎩ y = y0 + t.a2 x O M ( x0 ; y ) Phương trình tắc : (Δ ) : x − x y − y0 = a1 a2 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2) Viết phương trình tham số tắc đường thẳng qua A, B Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) trung điểm cạnh tam giác Hãy lập phương trình tắc đường thẳng chứa cạnh tam giác 96 Phương trình tổng quát đường thẳng : a Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có VTPT n = ( A; B ) laø: y n M ( x; y ) x O (Δ) : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = M ( x0 ; y ) BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho tam giác ABC bieát A( −1; 2), B (5; 7), C (4; −3) Viết phương trình đường cao tam giác Viết phương trình đường trung trực tam giác Bài 2: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5) a) Viết phương trình đường vuông góc kẻ từ A đến trung tuyến BK tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ABK b Phương trình tổng quát đường thẳng : Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng ( Δ ) có daïng : y n = ( A; B ) M ( x0 ; y ) O Ax + By + C = với A + B ≠ x a = ( − B ; A) a = ( B ; − A) Chú ý: Từ phương trình ( Δ ):Ax + By + C = ta suy : VTPT ( Δ ) n = ( A; B ) VTCP ( Δ ) a = (− B; A) hay a = ( B; − A) M ( x0 ; y0 ) ∈ (Δ) ⇔ Ax0 + By0 + C = Mệnh đề (3) hiểu : Điều kiện cần đủ để điểm nằm đường thẳng tọa độ điểm nghiệm phương trình đường thẳng BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng biết phương trình tổng quát x − y + = Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M(-1;2) song song ( Δ ) : x − y + = Baøi 3: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua N(-1;2) vuông góc ( Δ ) : x − y + = Baøi 4: Cho hai điểm A(-1;2) B3;4) Tìm điểm C đường thẳng x-2y+1=0 cho tam giác ABC vuông C Bài 5: Cho A(1;1) ; B(-1;3) đường thẳng d:x+y+4=0 a) Tìm d điểm C cách hai điểm A, B b) Với C tìm Tìm D cho ABCD hình bình hành Tính diện tích hình bình hành 97 Các dạng khác phương trình đường thẳng : a Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA;yA) B(xB;yB) : ( AB ) : x − xA y − yA = x B − x A yB − y A ( AB) : x = x A y y M ( x; y ) O ( AB) : y = y A B( x B ; y B ) yA xA x A( x A ; y A ) y A( x A ; y A ) A( x A ; y A ) xB B( x B ; y B ) yA yB x x B( x B ; y B ) yB BÀI TẬP ÁP DỤNG: Cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(-2;1), C1;5) Viết phương trình ba cạnh tam giác b Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có hệ số góc k: Định nghóa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng Δ Gọi α = (Ox , Δ ) k = tgα gọi hệ số góc y củường thẳng Δ α O x Định lý 1: Phương trình đường thẳng Δ qua M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k laø : y M ( x; y ) y0 O x0 y - y = k(x - x ) x (1) Chú ý 1: Phương trình (1) chứa phương trình đường thẳng qua M0 vuông góc Ox nên sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng qua M0 vuông góc Ox x = x0 Chú ý 2: Nếu đường thẳng Δ có phương trình y = ax + b hệ số góc đường thẳng k = a Định lý 2: Gọi k1, k2 hệ số góc hai đường thẳng Δ1 , Δ ta có : • Δ1 // Δ ⇔ k1 = k • Δ1 ⊥ Δ ⇔ k1.k2 = −1 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) vuông góc với đường thẳng x − y + = c Phương trình đt qua điểm song song vuông góc với đt cho trước: i Phương trình đường thẳng (Δ1 ) //(Δ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m1 =0 ii Phương trình đường thẳng (Δ1 ) ⊥ (Δ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =0 98 Chú ý: m1; m2 xác định điểm có tọa độ biết nằm Δ1; Δ y Δ : Ax + By + m1 = y Δ1 : Bx− Ay+ m2 = Δ : Ax + By + C = O M1 x x0 x x0 O M1 Δ: Ax+ By+C1 = BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M(-1;2) song song ( Δ ) : x − y + = Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua N(-1;2) vuông góc ( Δ ) : x − y + = III Vị trí tương đối hai đường thẳng : y Δ2 Δ1 y y Δ1 x O Δ1 x O Δ2 Δ2 Δ caét Δ Δ // Δ O Trong mp(Oxy) cho hai đường thaúng : Δ1 ≡ Δ (Δ1 ) : A1 x + B1y + C1 = (Δ ) : A2 x + B2 y + C2 = Vị trí tương đối (Δ1 ) (Δ ) phụ thuộc vào số nghiệm hệ phương trình : ⎧ A1 x + B1y + C1 = ⎧ A1 x + B1y = −C1 (1) hay ⎨ ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C2 = ⎩ A2 x + B2 y = −C2 Chuù ý: Nghiệm (x;y) hệ (1) tọa độ giao điểm M (Δ1 ) (Δ ) Định lý 1: i Hệ (1) vô nghiệm ⇔ (Δ1 ) //( Δ ) ii Heä (1) có nghiệm ⇔ (Δ1 ) cắt (Δ ) iii Hệ (1) có vô số nghiệm Định lý 2: ⇔ (Δ1 ) ≡ (Δ ) Neáu A2 ; B2 ; C2 khác ⇔ A1 B1 ≠ A B2 ii (Δ1 ) // (Δ ) ⇔ A1 B1 C1 = ≠ A B2 C2 iii (Δ1 ) ≡ (Δ ) ⇔ i (Δ1 ) caét (Δ ) A1 B1 C1 = = A B2 C2 99 x BÀI TẬP ÁP DUÏNG: ( AB ) : x − y + 17 = Bài 1: Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh ( AC ) : x − y − 13 = ( BC ) : x + y − = Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C Bài 2: Cho tamgiác ABC có đỉnh A(2;2) Lập phương trình cạnh tam giác ABC.Biết đường thẳng 9x-3y-4=0 x+y-2=0 đường cao tam giác xuất phát từ B C Bài 3: Tuỳ theo m, biện luận vị trí tương đối hai đường thẳng sau: d1 : mx + y − m − = d : x + my − = IV Góc hai đường thẳng Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : (Δ1 ) : A1 x + B1y + C1 = (Δ ) : A2 x + B2 y + C2 = Goïi ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ 90 ) góc (Δ1 ) (Δ ) ta có : y cos ϕ = A1 A2 + B1B2 2 2 A1 + B1 A2 + B2 ϕ Δ1 x O Hệ quả: (Δ1 ) ⊥ (Δ ) ⇔ A1 A2 + B1B2 = Δ2 BAØI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1) tạo với đường thẳng : x+2y+3=0 góc 450 Bài 2: Lập phương trình cạnh hình vuông có đỉnh (-4;5) đường chéo có phương trình 7x-y+8=0 V Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng (Δ ) : Ax + By + C = điểm M0 ( x0 ; y0 ) Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng (Δ) tính công thức: M0 d ( M0 ; Δ) = y Ax0 + By0 + C A2 + B H x O (Δ ) Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : (Δ1 ) : A1 x + B1y + C1 = (Δ ) : A2 x + B2 y + C2 = y Δ1 Phương trình phân giác góc tạo (Δ1 ) (Δ ) laø : A1 x + B1y + C1 2 A1 + B1 =± A2 x + B2 y + C2 2 A2 + B2 100 O Δ2 x Chú ý: Δ1 λ = μ ≠ Δ ≡ Δ1 λ ≠ μ = Δ ≡ Δ Δ I Δ2 M Đặc biệt : Nếu λ ≠ μ ≠ Δ ≠ Δ1 Δ1 trường hợp phương trình Δ viết dạng sau: m(A1 x + B1y + C1 ) + (A x + B2 y + C2 ) = hoaëc (A1 x + B1y + C1 ) + n(A x + B2 y + C2 ) = BÀI TẬP ÁP DỤNG: Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng x − y + = & x − y + = vuông góc với đường thẳng ( d ) : x − y + = BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Phương trình hai cạnh tam giác mặt phẳng tọa độ 5x-2y+6=0 4x+7y-21=0 Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác biết trực tâm tam giác trùng với gốc tọa độ Bài 2: Cho tam giác ABC , cạnh BC có trung điểm M(0;4) hai cạnh có phương trình 2x+y-11=0 x+4y-2=0 a) Xác định đỉnh A b) Gọi C điểm đường thẳng x+4y-2=0, N trung điểm AC Tìm điểm N tính tọa độ B, C Bài 3: Cho tam giác ABC có M(-2;2) trung điểm BC , cạnh AB có phương trình x-2y-2=0, cạnh AC có phương trình : 2x+5y+3=0.Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5) đường cao kẻ từ A có phương trình 2x-5y+3=0 đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình x+y-5=0 a) Tính tọa độ điểm A b) Viết phương trình cạnh tam giác ABC Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1) có cạnh AB:4x+y+15=0 vàAC:2x+5y+3=0 a) Tìm tọa độ đỉnh A tọa độ trung điểm M BC b) Tìm tọa độ điểm B viết phương trình đường thẳng BC Bài 6: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3) a) Biết đường cao BH: 5x+3y-25=0, đường cao CK: 3x+8y-12=0 Tìm tọa độ đỉnh B , C b) Biết đường trung trực AB 3x+2y-4=0 trọng tâm G(4;-2) Tìm B, C Bài 7: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao trung tuyến ke û từ đỉnh có phương trình 2x-3y+12=0 2x+3y=0 Bài 8: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(1;3) hai đường trung tuyến có phương trình x-2y+1=0 y-1=0 102 Bài 9: Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE) 4x+13y-10=0.Lập phương trình ba cạnh Bài 10: Cho tam giác ABC biết A(2;-1) phương trình hai đường phân giác góc B C d: x-2y+1=0 x+y+3=0 Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh BC Bài 11: Cho điểm M(-2;3) Tìm phương trình đường thẳng qua M cách hai điểm A(-1;0) B(2;1) Bài 12: Cho A(2;-3) , B(3;-2) Trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng d: 3x-y-8=0, diện tích tam giác ABC 3/2 Tìm C Bài 13: Viết phương trình đường thẳng song song với d: 3x-4y+1=0 có khỏang cách đến đường thẳng d Bài 14: Cho tam giác cân ABC biết phương trình cạnh đáy AB:2x-3y+5=0 cạnh bên AC:x+y+1=0 Tìm phương trình cạnh bên BC biết qua điểm D(1;1) Bài 15: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm đường thẳng y=x , phân giác góc C nằm đường thẳng x+3y+2=0 Viết phương trình cạnh BC Bài 16: Cho đường thẳng d: 2x+y-4=0và hai điểm M(3;3) , N(-5;19).Hạ MK ⊥ d gọi P điểm đối xứng M qua d: a) Tìm tọa độ K P b) Tìm điểm A d cho AM + AN có giá trị nhỏ tính giá trị Bài 17: Cho tam giác ABC vuông A , phương trình BC 3x − y − = , đỉnh A B thuộc trục hòanh bán kính đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Bài 18: Cho hình chử nhật ABC có tâm I(1/2;0) , phương trình đường thẳng AB x-2y+2=0 AB=2AD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hòanh độ âm Bài 19: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng d1 : x − y = vaø d : x + y − = Tìm toạ độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 đỉnh B,D thuộc trục hoành -Heát 103 ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Phương trình đường tròn: Phương trình tắc: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R laø : y I ( a; b ) b R a O (C ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 = R M ( x; y ) x (1) Phương trình (1) gọi phương trình tắc đường tròn Đặc biệt: Khi I ≡ O (C ) : x + y = R (hay: y = ± R − x ) BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5) Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;2) tiếp xúc đường thẳng ( Δ ) : x − y + = Phương trình tổng quát: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : với a2 + b2 − c > x + y − 2ax − 2by + c = phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R = a2 + b2 − c BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Xác định tâm bán kính đường tròn (C ) : x + y + x − y − 20 = Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1) Bài 3: Cho phương trình : x + y + 4mx − 2my + 2m + = (1) Định m để phương trình (1) phương trình đường tròn (Cm) II Phương trình tiếp tuyến đường tròn: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : x + y − 2ax − 2by + c = điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) laø : M ( x0 ; y ) (C) (Δ ) (Δ) : x0 x + y0 y − a( x + x0 ) − b( y + y0 ) + c = I(a;b) BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) A IV Phương tích điểm đường tròn: Nhắc lại : Định nghóa: Cho đường tròn (O;R) điểm M cố định M/(O) số Phương tích điểm M đường tròn (O) ký hiệu ℘ 104 xác định sau: Chú ý : − R2 ( với d = MO ) ℘ M/(O) > ⇔ M đường tròn (O) ℘ M/(O) < ⇔ M đường tròn (O) ℘ M/(O) = ⇔ M đường tròn (O) (C) M ℘ M/(O) = d I Định lý: Trong mp(Oxy) cho điểm M ( x0 ; y0 ) đường troøn x + y − 2ax − 2by + c = với a2 + b2 − c > có tâm I(a;b) bán kính R = a2 + b2 − c Phương tích điểm M đường tròn (C) 2 M/(O) = x0 + y0 − 2ax0 − 2by0 + c ℘ BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Cho đường tròn (C): x + y + x − y − = điểm A(3;5) Xét vị trí điểm A đường tròn (C) IV Trục đẳng phương hai đường tròn: Nhắc lại: Định lý : Tập hợp điểm có phương tích hai đường tròn khác tâm đường thẳng vuông góc với đường nối hai tâm Đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn Cách xác định trục đẳng phương Δ ( C1 ) Δ ( C1 ) (C ) (C ) I1 I2 I2 I1 M Δ ( C1 ) (C ) I1 I2 I M I1 I2 (C ) Δ Δ2 I3 ( C1 ) (C ) Δ1 105 Định lý : Cho hai đường tròn (C1) (C2) không tâm có phương trình: (C1 ) : x + y − 2a1 x − 2b1y + c1 = (C2 ) : x + y − 2a2 x − 2b2 y + c2 = Phương trình trục đẳng phương (C1) vaø (C2) laø : (Δ) : 2(a1 − a2 ) x + 2(b1 − b2 )y + c2 − c1 = x + y − 2a1 x − 2b1y + c1 = x + y − 2a2 x − 2b2 y + c2 Caùch nhớ: BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Xác định phương trình trục đẳng phương hai đường tròn sau: (C1 ) : x + y − y − = (C2 ) : x + y − x + y + 16 = VI Các vấn đề có liên quan: Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn: (C ) (C ) (C ) I I R R M M ≡H H Định lý: I R H M (Δ ) ∩ (C ) = ∅ ⇔ d(I;Δ ) > R (Δ) tiếp xúc (C) ⇔ d(I;Δ) = R (Δ) cắt (C) ⇔ d(I;Δ) < R BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Cho đường tròn (C): ( x − 3) + ( y − 1) = Vieát phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(6;3) Bài 2: Cho đường tròn (C): x + y − x + y + = Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( d ) : x + y + 10 = Bài 3: Cho đường tròn (C ) : x + y − x − y + = điểm M(-3;1) Gọi T1, T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2 Vị trí tương đối hai đường tròn : C1 I1 R1 R2 I2 C1 C1 C2 I1 R1 R2 I2 C2 C2 I1 R1 R2 I2 C1 I1 I C2 106 (C1 ) vaø (C2 ) không cắt ⇔ I1I2 > R1 + R2 (C1 ) (C2 ) cắt ⇔ R1 − R2 < I1I2 < R1 + R2 (C1 ) (C2 ) tiếp xúc ⇔ I1I = R1 + R2 (C1 ) (C2 ) tiếp xúc ⇔ I1I2 = R1 − R2 BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Xác định vị trí tương đối hai đường tròn sau: (C1 ) : x + y − y − = (C2 ) : x + y − x + y + 16 = VII: Chùm đường tròn: Định lý: Cho hai đường tròn cắt : (C1 ) : x + y − 2a1 x − 2b1 y + c1 = (C2 ) : x + y − 2a2 x − 2b2 y + c2 = Phương trình đường tròn (C) qua giao điểm (C1) (C2) có daïng : λ ( x + y − 2a1 x − 2b1 y + c1 ) + μ ( x + y − 2a2 x − 2b2 y + c2 ) = (λ +μ ≠ 0) BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Viết phương trình đường tròn qua giao điểm hai đường troøn (C1 ) : x + y − 10 x = 0; (C2 ) : x + y + x − y − 20 = qua điểm A(1;-1) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1); B(-1;2); C(0;-1) Bài 2: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm ba đường thẳng x (d1 ) : y = − ;(d ) : y = x + 2;(d ) : y = − x 5 Bài 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1) Bài 4: Lập phương trình đường tròn qua điểm A(-1;1) B(1;-3) có tâm nằm đường thẳng (d):2x - y + = Bài 5: Lập phương trình đường tròn qua điểm A(-1;-2) tiếp xúc với đường thẳng (d): 7x-y-5=0 điểm M(1;2) Bài 6: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm đường thẳng 2x+y=0 tiếp xúc với đường thẳng x-7y+10=0 điểm A(4;2) Bài 7: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm đường thẳng 4x +3y - = tiếp xúc với hai đường thẳng : x + y + = vaø 7x - y + = Baøi 8: Viết phương trình đường tròn qua điểm A(2;-1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy Bài 9: Cho đường tròn (C):(x-1)2 +(y-2)2=4 đường thẳng (d):x-y-1=0 Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d) Tìm toạ độ giao điểm (C) (C') 107 Bài 10:Cho hai đường troøn: (C1): x + y − 10 x = vaø (C2): x + y + x − y − 20 = Viết phương trình đường tròn qua giao điểm (C1) (C2) có tâm nằm đường thaúng (d): x + 6y - = Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn (C1) (C2) Bài 11: Cho hai đường tròn: (C1): x + y − y − = vaø (C2): x + y − x + 8y + 16 = Vieát phương trình tiếp tuyến chung đường tròn (C1) (C2) Bài 12: Cho hai đường tròn : (C1 ) : x + y − 4x + 2y − = (C2 ) : x + y − 10x − 6y + 30 = có tâm I J 1) Chứng minh (C1) tiếp tiếp xúc với (C2) tìm tọa độ tiếp điểm H 2) Gọi (D) tiếp tuyến chung không qua H (C1) (C2) Tìm tọa độ giao điểm K (D) đường thẳng IJ.Viết phương trình đường tròn (C) qua K tiếp xúc với hai đường tròn (C1) (C2) H Bài 13: Cho điểm M(6;2) đường tròn (C): x + y − x − y = Laäp phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = 10 Bài 14: Cho đường tròn (C): x + y = điểm A(1;2) Hãy lập phương trình đường thẳng chứa dây cung cuả (C) qua A cho độ dài dây cung ngắn Bài 15: Cho đường tròn (C): x + y − x − y + = điểm M(2;4) Chứng tỏ điểm M nằm trongđường tròn Viết phương trình đường thẳng qua điểm M, cắt đường tròn hai điểm A B cho M trung điểm AB Viết phương trình đường tròn đối xứng với đường tròn cho qua đường thẳng AB Bài 16: Trong mp(Oxy) cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : x + y − (2m + 5)x + (4m − 1)y − 2m + = 1) Chứng tỏ (Cm) qua hai điểm cố định m thay đổi 2) Tìm m để (Cm) tiếp xúc trục tung Bài 17: Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : x + y − (m − 2)x + 2my − = 1) Tìm tập hợp tâm đường tròn (Cm) 2) Cho m = -2 điểm A(0;-1) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C-2) vẽ từ A Bài 18: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): x + y − x − y + = Tieáp tuyến song song với đường thẳng x-y=0 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x-4y=0 Bài 19: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C): ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = Xác định toạ độ điểm B, C biết điểm A(-2;2) Bài 20: Trong mp(Oxy) cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : x − 2mx + y + 2(m + 1)y − 12 = 1) Tìm tập hợp tâm đường tròn (Cm) 2) Với giá trị m bán kính họ đường tròn cho nhỏ nhất? Bài 21: Cho hai họ đường tròn : 108 (Cm ) : x + y − 2mx + 2(m + 1)y − = (Cm' ) : x + y − x + (m − 1)y + = Tìm trục đẳng phương hai họ đường tròn Chứng tỏ m thay đổi trục đẳng phương luôn qua điểm cố định Bài 22: Cho hai đường tròn : (C1 ) : x + y − 2x − 9y − = (C2 ) : x + y2 − 8x − 9y + 16 = 1) Chứng minh hai đường tròn (C1) (C2) tiếp xúc 2) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) (C2) Bài 23: Cho hai đường tròn : (C1 ) : x + y2 − 10x = (C2 ) : x + y2 + 4x − 2y − 20 = Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) (C2) Bài 24: Cho hai đường tròn : (C1 ) : x + y − 4x − = (C2 ) : x + y2 − 6x + 8y + 16 = Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) (C2) Bài 25: Cho hai điểm A(2;0), B(6;4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B (TS.K.B2005) Ứng dụng phương trình đường tròn để giải hệ có chứa tham số Bài 1: Cho hệ phương trình : ⎧x + y = ⎨ ⎩x − y = a Xác định giá trị a để hệ phương trình có nghiệm ⎧ x + y2 − x = Baøi 2: Cho hệ phương trình : ⎨ ⎩ x + ay − a = Xác định giá trị a để hệ phương trình có nghiệm phân biệt Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm nhaát ⎧(x − 2)2 + y = m ⎪ ⎨ 2 ⎪x + (y − 2) = m ⎩ 109 ĐƯỜNG ELÍP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I.Định nghóa: Elíp (E) tập hợp điểm M có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F1; F2 số * Hai điểm cố định F1; F2 gọi tiêu ñieåm * F1F2 = 2c ( c > ) gọi tiêu cự (E) M F1 2c (E) = {M / MF1 + MF2 = 2a} F2 ( a>0 : số a>c ) II Phương trình tắc Elíp yếu tố: Phương trình tắc: (E) : x2 a + y2 b = với b2 = a2 − c2 ( a > b) (1) y Q (E) B2 P M r1 -a -c A1 F1 R r2 O B1 c a F2 A2 S Các yếu tố Elíp: * Elíp xác định phương trình (1) có đặc điểm: - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) - Tiêu cự F1F2 = 2c - Trục lớn nằm Ox; độ dài trục lớn 2a ( = A1A2 ) - Trục nhỏ nằm Oy; độ dài trục lớn 2b ( = B1B2 ) - Đỉnh trục lớn : A1(-a;0); A2(a;0) - Đỉnh trục nhỏ :B1(0;-b); B2(0;b) - Bán kính qua tiêu điểm: B 110 x c ⎧ ⎪ r1 = MF1 = a + a x = a + ex ⎪ ⎨ ⎪ r = MF = a − c x = a − ex ⎪2 a ⎩ Với M(x;y) ∈ (E) - Tâm sai : e= c a - Đường chuẩn : x = ± (0 < e < 1) a e ⎧x = a cos t (E) : ⎨ ⎩y = b sin t III Phương trình tham số Elíp: IV Tiếp tuyến Elíp: Định lý: Phương trình tiếp tuyến với (E) : (Δ) : x0x a2 + y0y b2 x2 a2 + y2 b2 t ∈ [0;2π) = taïi M0(x0;y0) ∈ (E) laø : y =1 M (x0 ; y ) Δ (E) x O V Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với Elíp: x2 y2 Định lý: Cho Elíp (E) : + = đường thẳng (Δ ) : Ax + By + C = ( A2 + B2 > ) a b y ( Δ ) tiếp xúc (E) 2 2 ⇔ A a +B b =C Δ (E) x O BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho (E) có hai tiêu điểm F1 (− 3; 0); F2 ( 3;0) đường chuẩn có phương trình x = Viết phương trình tắc (E) M điểm thuộc (E) Tính giá trị biểu thức: P = F1M + F2 M − 3OM − F1M F2 M Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục hoành cắt (E) hai điểm A, B cho OA ⊥ OB Bài 2: Lập phương trình tắc (E) có tiêu điểm F1 (− 15; 0) , tiếp xúc với (d): x + y − 10 = Viết phương trình tiếp tuyến với (E) vuông góc với (d): x + y + = x y2 + = đường thẳng (d): mx − y − = Chứng minh với giá trị m, đường thẳng (d) cắt (E) hai điểm phân biệt Viết phương trình tiếp tuyến (E), biết tiếp tuyến qua điểm A(1;-3) Bài 4: Lập phương trình tắc (E) có tiêu điểm F1 (− 10,0); F2 ( 10; 0) , độ dài trục lớn Bài 3: Cho Elíp (E) : 111 18 Đường thẳng (d) tiếp xúc (E) M cắt hai trục toạ độ A B Tìm M cho diện tích ΔOAB nhỏ x y2 Bài 5: Cho Elíp (E) : + = đường thaúng (d): x − y + = CMR (d) cắt (E) hai điểm phân biệt A,B Tính độ dài AB Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) cho ΔABC có diện tích lớn x y2 x2 y2 Bài 6: Cho hai Elíp : (E1 ) : + = vaø (E2 ) : + = Viết phương trình tiếp tuyến chung hai 16 9 16 elíp x y2 Bài 7: Cho Elíp (E) : + = Xét hình vuông ngoại tiếp (E) ( tức cạnh hình vuông tiếp xúc 24 12 với (E) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình vuông x y2 Bài 8: Cho Elíp (E) : + = Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) a,b hai số thay đổi Xác định toạ độ giao điểm I đường thẳng AN BM Chứng minh điều kiện cần đủ để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) ab=4 Với a,b thay đổi , tiếp xúc với (E) Tìm quỹ tích điểm I 112 ĐƯỜNG HYPEBOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Định nghóa: M (H) = {M / MF1 − MF2 = 2a} ( a > : số a < c ) (1) 2c F1 F2 II Phương trình tắc Hypebol yếu tố: Phương trình tắc: (H) : y=− x2 a b x a − y2 b = với b2 = c2 − a2 y y= B2 −a F1 −c A M a O (1) A2 x F2 c B1 Các yếu tố Hypebol: * Hypebol xác định phương trình (1) có đặc điểm: - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) - Tiêu cự F1F2 = 2c - Trục thực nằm Ox; độ dài trục thực 2a ( = A1A2 ) - Trục ảo nằm Oy; độ dài trục ảo 2b ( = B1B2 ) - Đỉnh: A1(-a;0); A2(a;0) b - Phương trình tiệm cận : y = ± x a - Bán kính qua tiêu điểm: Với M(x;y) ∈ (H) : ⎧ r1 = MF1 = a + ex Với x > ⇒ ⎨ ⎩ r2 = MF2 = −a + ex ⎧ r1 = MF1 = −(a + ex) Với x < ⇒ ⎨ ⎩ r2 = MF2 = −(−a + ex) 113 B b x a - Taâm sai : e= c a - Đường chuẩn : x = ± IV Tiếp tuyến Hypebol: Định lý: (e > 1) a e Phương trình tiếp tuyến với (H) : x2 a2 − y2 b2 = taïi M0(x0;y0) ∈ (H) laø : y (Δ) : x0x a − y0y b =1 M 0• x O V Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với Hypebol: x2 y2 Định lyù: Cho Hypebol (H) : − = đường thẳng (Δ ) : Ax + By + C = ( A2 + B2 > ) a b ( Δ ) tiếp xúc (H) ⇔ A 2a2 − B2 b2 = C2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 2 x y − =1 16 Tìm độ dài trục ảo, trục thực , tâm sai , tiêu điểm F1,F2 (H) Tìm (H) điểm cho MF1 ⊥ MF2 Bài 1: Cho Hypebol (H): x y2 Baøi 2: Cho Hypebol (H): − = a b CMR tích khoảng cách từ điểm M0 (H) đến hai tiệm cận số không đổi Bài 3: Cho Hypebol (H): x − y = 10 Viết phương trình tiếp tuyến với (H) A( ; ) 3 Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết vuông góc với đường thẳng : Δ : x − y − = Viết phương trình tiếp tuyến với (H) kẻ từ M(2;-1) x y2 Bài 4: Cho Hypebol (H): − = maët phẳng Oxy a b Tìm a,b để (H) tiếp xúc với hai đường thẳng (D1 ) : x − y − 16 = vaø (D2 ) :13 x − 10 y − 48 = 114 ĐƯỜNG PARABOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Định nghóa : (P) = {M / MF = d(M, Δ} M K * F điểm cố định gọi tiêu điểm * ( Δ ) đường thẳng cố định gọi đường chuẩn * HF = p > gọi tham số tiêu p H II Phương trình tắc parabol: 1) Dạng 1: Ptct: y y Δ = 2px 2) Daïng 2: Ptct: y F = -2px y M -p/2 F(-p/2;0) x O p/2 x F(p/2;0) M (Δ) : x = p / ( ): x=-p/2 3) Daïng 3: Ptct: x = 2py 4) Daïng 4: Ptct : x = -2py y y ( ) : y = p/2 p/2 O F(0;p/2) M x F(0;-p/2) x M O -p/2 :y = -p/2 III.Tiếp tuyến parabol: Định lý: Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với (P): y2 = 2px M0(x0;y0) ∈ (P) : y ( Δ ) : y0y = p.(x + x0 ) • M0 x O 115 (P) IV Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với parabol: Định lý: Trong mp(Oxy) cho (P) : y2 = 2px đường thẳng (Δ ) : Ax + By + C = (A2 + B2 > 0) y ( Δ ) tiếp xúc (P) ⇔ B2 p = 2AC x o BÀI TẬP RÈN LUYỆN (P Bài 1: Cho (P): y = 16x Lập phương trình tiếp tuyến (P), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : 3x-2y+6=0 Lập phương trình tiếp tuyến với (P) kẻ từ M(-1;0) đến (P) x y2 Bài 2: Lập phương trình tiếp tuyến chung elíp : + = vaø parabol: y = 12 x Baøi 3: Cho A(3;0) vaø (P): y=x Cho M ∈ ( P ) vaø x M = a Tính AM Tìm a để AM ngắn Chứng minh AM ngắn AM vuông góc tiếp tuyến M (P) Bài 4: Cho (P):y2= 2x cho A(2;-2); B(8;4) Giả sử M điểm di động cung nhỏ AB (P) Xác định tọa độ M cho tam diác AMB có diện tích lớn Bài 5: Cho (P): y = x điểm I(0;2) Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) cho IM = IN Heát - 116 ... ba đỉnh A (-1 ;7); B(4 ;-3 ); C (-4 ;1) Bài 4: Lập phương trình đường tròn qua điểm A (-1 ;1) B(1 ;-3 ) có tâm nằm đường thẳng (d):2x - y + = Bài 5: Lập phương trình đường tròn qua điểm A (-1 ;-2 ) tiếp xúc... = -2 px y M -p/2 F(-p/2;0) x O p/2 x F(p/2;0) M (Δ) : x = p / ( ): x=-p/2 3) Daïng 3: Ptct: x = 2py 4) Daïng 4: Ptct : x = -2 py y y ( ) : y = p/2 p/2 O F(0;p/2) M x F(0;-p/2) x M O -p/2 :y = -p/2... r1 -a -c A1 F1 R r2 O B1 c a F2 A2 S Các yếu tố Elíp: * Elíp xác định phương trình (1) có đặc điểm: - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) - Tiêu cự F1F2 = 2c - Trục