Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Mũ - Lôgarit từ cơ bản đến nâng cao. Lý thuyết +Tuyển chọn từ các đề thi.
Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit GV TRƯƠNG VĂN KÌM – 0902.789.015 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ y=a x ; TXĐ D=R Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x 0 + x 0 + y + 1 y + 1 Đồ thị f(x)=3^x -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y y=3 x f(x)=(1/3)^x -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y II. Hàm số lgarit y=log a x, ĐK: 10 0 a x ; D=(0;+) Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x 0 0 + x 0 0 + y + 1 y + 1 Đồ thị f(x)=ln (x)/ln(3) f(x)=3^x f(x)=x -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y y=x y=3 x y=log 3 x f(x)=ln (x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y y=x III. Các công thức 1. Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nR ta có: a n a m =a n+m ; mn m n a a a ;( n a 1 =a m ; a 0 =1; a 1 = a 1 ); (a n ) m =a nm ; (ab) n =a n b n ; m n n b a b a ; n m n m aa . 2. Công thức logarit: log a b=ca c =b (0<a1; b>0) Với 0<a1, 0<b1; x, x 1 , x 2 >0; R ta có: log a (x 1 x 2 )=log a x 1 +log a x 2 ; log a 2 1 x x = log a x 1 log a x 2 ; xa x a log ; log a x = log a x; Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit GV TRƯƠNG VĂN KÌM – 0902.789.015 2 xx a a log 1 log ;(log a a x =x); log a x= a x b b log log ;(log a b= a b log 1 ) log b a.log a x=log b x; a log b x =x log b a . IV. Phương trình và bất phương trình mũlogarit 1. Phương trình mũlogarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0<a1: a f(x) =a g(x) (1) f(x)=g(x). + 0<a1: a f(x) =b bxf b a log 0 . Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0 Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a x (t>0), để đưa về một phương trình đại số Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3 ), (7 43 ),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x ;b 2x ;a x b x } ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x . Phương pháp logarit hóa: a f(x) =b g(x) f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c1. b. Phương trình logarit: Đưa về cùng cơ số: +log a f(x)=g(x) xg axf a 10 +log a f(x)= log a g(x) xgxf xgxf a 00 10 . Đặt ẩn phụ. 2. Bất phương trình mũlogarit a. Bất phương trình mũ: a f(x) >a g(x) 01 0 xgxfa a ; a f(x) a g(x) 01 0 xgxfa a . Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x) f(x)>g(x); a f(x) a g(x) f(x)g(x). * Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x) f(x)g(x); a f(x) a g(x) f(x)g(x). b. Bất phương trình logarit: log a f(x)>log a g(x) 01 0,0 10 xgxfa xgxf a ; log a f(x)log a g(x) 01 0,0 10 xgxfa xgxf a . Đặt biệt: + Nếu a>1 thì: log a f(x)>log a g(x) 0xg xgxf ; + Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x) 0xf xgxf . * * * Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit GV TRƯƠNG VĂN KÌM – 0902.789.015 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 2 22 2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0 x x x x x x x x . Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích: 2 2 2 1 . 2 4 0 x x x . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 9 3 3 2 log log .log 2 1 1x x x . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: 3 3 3 log 2log 2 1 1 .log 0x x x . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 2( 2)3 2 5 0 xx xx . Đặt t = 3 x (*), khi đó ta có: 2 2 2 2 5 0 1, 5 2t x t x t t x . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 33 log 1 5 log 1 2 6 0x x x x . Đặt t = log 3 (x+1), ta có: 2 5 2 6 0 2, 3t x t x t t x x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có ()f u f v u v . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì bac ; : ab aFbF cF ' . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì ; : ' 0 ' 0c a b F c F x có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 log 2.3 3 x x . Hướng dẫn: 22 log log 2.3 3 2.3 3 xx xx , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 2 5 3 x x x x . Phương trình tương đương 6 5 3 2 x x x x , giả sử phương trình có nghiêm . Khi đó: 2356 . Xét hàm số tttf 1 , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại 2;5c sao cho: 1 '1 0 1 0 0, 1f c c c , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 12 2 2 ( 1) x x x x . Viết lại phương trình dưới dạng 2 12 2 1 2 x x x x x x , xét hàm số ttf t 2 là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng: 22 1 1 1f x f x x x x x x . Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 3 2 xx x . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. Xét hàm số 22 3 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0 x x x x f x x f x Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit GV TRƯƠNG VĂN KÌM – 0902.789.015 4 Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình 2 2 2007 1 2007 1 x y y e y x e x có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0. HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số 2 2007 1 x x f x e x . Nếu x < 1 thì 02007 1 exf suy ra hệ phương trình vô nghiệm. Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x 0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 6: chỉ tham khảo – câu khó Cho 0 ba . Chứng minh rằng 11 22 22 ba ab ab (ĐH Khối D2007) HD: BĐT 11 ln 2 ln 2 11 22 ln 2 ln 2 22 ab ab ab ab ba ab . Xét hàm số 1 ln 2 2 x x fx x với x > 0 Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với 0 ba ta có bfaf )( (Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình 73 log log ( 2)xx . Đặt t = 7 log 7 t xx Khi đó phương trình trở thành: 3 71 log ( 7 2) 3 7 2 1 2. 33 t t t t t t . 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình 4 22 5 6 log ( 2 2) 2log 2 3x x x x . Đặt t = x 2 – 2x – 3 ta có 65 log 1 logtt . Ví dụ 2: Giải phương trình 6 log 26 log 3 log x xx . Đặt 6 logtx , phương trình tương đương 3 6 3 2 3 1 2 t t t t t . 3. Dạng 3: log b xc ax ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình 7 log 3 4 x x . Đặt 7 log 3 7 3 t t x x , phương trình tương đương 41 4 7 3 3. 1 77 tt tt . Ví dụ 2: Giải phương trình 42 5log 3 x x . Đặt t = x+4 phương trình tương đương t t 1log 3 2 Ví dụ 3: Giải phương trình 33 log 1 log 1 4 1 2 0 xx xx . 4. Dạng 4: log ax b s s c dx e x , với ,d ac e bc Phương pháp: Đặt log ( ) s ay b dx e rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: ax b ay b s acx s acy . Xét at b f t s act . Ví dụ: Giải phương trình 1 7 7 6log (6 5) 1 x x . Đặt 7 1 log 6 5yx . Khi đó chuyển thành hệ 1 1 11 1 7 7 6 1 1 7 6 5 7 6 7 6 1 log 6 5 7 6 5 x x xy y y y xy yx x . Xét hàm số 1 76 t f t t suy ra x=y, Khi Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit GV TRƯƠNG VĂN KÌM – 0902.789.015 5 đó: 1 7 6 5 0 x x . Xét hàm số 567 1 xxg x Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. Ví dụ: Giải phương trình 1 1 1 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x HD: Viết phương trình dưới dạng 1 1 1 1 8 1 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x , đặt 11 2 1, 2 1. , 0 xx u v u v . Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: 8 1 18 . u v u v u v u v Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 2 3 2 3 4 0 xx b. 2 3 2 3 4 xx c. 7 4 3 3 2 3 2 0 xx d. 3 3 5 16 3 5 2 xx x e. 2 1 2 1 2 2 0 xx (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1. f. 3.8 x +4.12 x 18 x 2.27 x =0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1. g. 22 2 2 4.2 2 4 0 x x x x x (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1. k. 22 2 2 2 3 x x x x (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=1, x=2. i. 3.16 2.8 5.32 x x x j. 1 1 1 2.4 6 9 x x x Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: a. 3 2 3 4 128 51 xy xy b. 2 ( ) 1 5 125 41 xy xy c. 2 2 12 5 xy xy d. 22 22 22 log 1 log 3 81 x xy y x y xy (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2) e. 23 93 1 2 1 3log 9 log 3 xy xy (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). f. 14 4 22 1 log log 1 25 yx y xy (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) g. 32 1 2 5 4 42 22 x xx x yy y (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). Bài 4: Cho phương trình 22 33 log log 1 5 0xx (ĐH_Khối A 2002) ĐS: 3 3x Bài 5: Giải các phương trình sau: Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit GV TRƯƠNG VĂN KÌM – 0902.789.015 6 a. 5 5 5 log log 6 log 2x x x b. 5 25 0,2 log log log 3xx c. 2 log 2 5 4 2 x xx d. 2 3 lg( 2 3) lg 0 1 x xx x e. log 2x1 (2x 2 +x1)+log x+1 (2x1) 2 =4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4. f. 2 22 log 1 6log 1 2 0xx (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. g. 22 1 log 4 15.2 27 2log 0 4.2 3 xx x (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log 2 3. Bài 7: Giải bất phương trình: nên chú ý giải phương trình là chính, bất phương trình là phụ, đặt biệt các bài có tham số thì ko nên giải. a. 31 3 2log (4 3) log 2 3 2xx (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 x 3. b. 2 0,7 6 log log 0 4 xx x (ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4< x < 3, x > 8. c. 2 5 5 5 log 4 144 4log 2 1 log 2 1 xx (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. d. 2 1 2 32 log 0 xx x (ĐH_Khối D 2008) ĐS: 2 2;1 2;2 2 . Các bài từ năm 2009 đến 2013 thì xem trong thư mục đề thi . f(x)=3^x -1 7 -1 6 -1 5 -1 4 -1 3 -1 2 -1 1 -1 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -1 5 -1 4 -1 3 -1 2 -1 1 -1 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y y=3 x f(x)=(1/3)^x -1 6 -1 5. (x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x -1 5 -1 4 -1 3 -1 2 -1 1 -1 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 5 -1 4 -1 3 -1 2 -1 1 -1 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y y=x III. Các công
