Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 1 Biên dịch: Kim Chi Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh GIẢI PHÁP THƯƠNG LƯỢNG NASH 2.1 Dẫn nhập Một giải pháp thương lượng có thể được diễn giải như một công thức xác định một kết quả duy nhất cho từng tình huống thương lượng của một lớp các tình huống thương lượng nào đó. Trong chương này, tôi sẽ nghiên cứu giải pháp thương lượng do Nash đề xuất. 1 Giải pháp thương lượng Nash được định nghĩa bằng một công thức tương đối đơn giản, và có thể được áp dụng cho một lớp tình huống thương lượng rộng lớn – và những đặc điểm này tạo nên tính hấp dẫn cho giải pháp Nash trong các ứng dụng. Tuy nhiên, lý do quan trọng nhất khiến chúng ta nghiên cứu và áp dụng giải pháp thương lượng Nash là bởi nó có những nền tảng chiến lược vững chắc; một số mô hình thương lượng trong lý thuyết trò chơi đã nghiêng về việc sử dụng giải pháp này. Các mô hình thương lượng chiến lược này sẽ được nghiên cứu trong những chương sau, trong đó tôi sẽ đề cập đến những lý do tại sao, khi nào, và làm thế nào sử dụng giải pháp thương lượng Nash. Mặt khác, mục đích chính của chương này là tìm hiểu thấu đáo về định nghĩa giải pháp thương lượng Nash, mà trong bối cảnh cụ thể, sẽ giúp chúng ta có thể dễ dàng mô tả đặc điểm và sử dụng giải pháp này trong các ứng dụng khác. Trong phần kế tiếp, tôi sẽ định nghĩa và mô tả giải pháp thương lượng Nash của một tình huống thương lượng cụ thể, trong đó có hai người tham gia thương lượng về việc phân chia một ổ bánh (hay “thặng dư”) có độ lớn cố định. Mặc dù trong thực tế loại tình huống thương lượng này không hiếm nhưng mục đích chính của phần này là giới thiệu một vài khái niệm chính có liên quan trong việc định nghĩa giải pháp thương lượng Nash trong một bối cảnh cụ thể và tương đối đơn giản. Phần 2.3 bao gồm hai ứng dụng của giải pháp thương lượng Nash. Ứng dụng thứ nhất là hối lộ và kiểm soát tội phạm, và ứng dụng thứ hai là sự sở hữu tài sản tối ưu (phần này không dịch – ND). Sau khi đã hiểu các khái niệm và kết quả trong phần 2.2, chúng ta sẽ có thể hiểu phần 2.4 một cách tương đối dễ dàng; trong phần này, tôi định nghĩa và mô tả giải pháp thương lượng Nash dưới dạng tổng quát hơn và tương đối trừu tượng. Phần 2.5 bao gồm ba ứng dụng sâu hơn của giải pháp thương lượng Nash - một là thương lượng giữa công ty và công đoàn, hai là sản xuất tập thể trong tâm lý ỷ lại, và ba là mở rộng ứng dụng về tình huống hối lộ và kiểm soát tội phạm đã nghiên cứu trong phần 2.3.1. Phần 2.6 chứng minh rằng giải pháp thương lượng Nash là giải pháp thương lượng duy nhất khả dĩ thỏa mãn bốn thuộc tính. Cho dù những thuộc tính này thường được gọi là các tiên đề, nhưng người ta vẫn có thể tranh luận liệu một thuộc tính nào đó trong những thuộc tính này có thật sự có tính chất tiên đề hay không. Bất luận trong trường hợp nào, các nền tảng “tiên đề” đều thú vị và mang lại những ý nghĩa nhất định cho giải pháp thương lượng Nash. Một ý nghĩa then chốt là: giải pháp 1 Giải pháp thương lượng Nash và khái niệm về trạng thái cân bằng Nash là những khái niệm không liên quan gì với nhau, ngoại trừ sự kiện là cả hai khái niệm này đều là thành quả sáng tạo của cùng một người. Vuihoc24h.vn Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 2 Biên dịch: Kim Chi Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh thương lượng Nash có thể bị tác động bởi thái độ đối với rủi ro của những người tham gia. Trong phần 2.7, tôi chỉ ra rằng định nghĩa về giải pháp thương lượng Nash trình bày trong phần 2.2 và phần 2.4 không thể mang lại một cách diễn giải tự nhiên cho giải pháp này. Một định nghĩa khác (tương đương) sẽ được trình bày trong phần 2.7, cho thấy rằng giải pháp thương lượng Nash có thể được diễn giải như một thông lệ thương lượng ổn định. Phần 2.8 định nghĩa và mô tả các giải pháp thương lượng Nash bất cân xứng. Các dạng khái quát hoá của giải pháp thương lượng Nash này tạo điều kiện thuận lợi để chúng ta xem xét đến những yếu tố bổ sung của một tình huống thương lượng, có thể được xem là phù hợp với kết quả thương lượng. (Các phần 2.6, 2.7, và 2.8 không dịch – ND). 2.2 Thương lượng chia bánh Hai người A và B thương lượng về việc phân chia một ổ bánh có độ lớn π, trong đó π > 0. Tập hợp các thỏa thuận có thể có là x = {(x A , x B ) : 0 ≤ x A ≤ π và x B = π - x A }, trong đó x i là phần bánh dành cho người tham gia i (i = A, B). Đối với mỗi i ∈ [0, π ], U i (x i ) là độ thoả dụng của người tham gia i khi thu được phần bánh x i trong ổ bánh, trong đó hàm thỏa dụng của người tham gia i là U i : [0, π ] → ℜ . Hàm này có tính tăng dần nghiêm ngặt và có dạng lồi. Nếu những người tham gia không đạt được thỏa thuận, thì người tham gia i sẽ đạt được độ thoả dụng d i trong đó d i ≥ U i (0). Có một thỏa thuận x ∈ X sao cho U A (x) > d A và U B (x) > d B , điều này đảm bảo rằng có một thỏa thuận giúp đôi bên cùng có lợi. Cặp độ thỏa dụng d = (d A , d B ) được gọi là điểm bất đồng (disagreement point). Để định nghĩa giải pháp thương lượng Nash của tình huống thương lượng này, trước tiên ta cần định nghĩa tập hợp Ω bao gồm những cặp độ thỏa dụng có thể có (possible utility pairs) mà đôi bên có thể đạt được thông qua thỏa thuận. Ứng với tình huống thương lượng vừa mô tả trên đây, Ω = {(u A , u B ) : có một x ∈ X sao cho U A (x A ) = u A và U B (x B ) = u B }. Chọn một độ thỏa dụng u A tuỳ ý cho người tham gia A, trong đó u A ∈ [U A (0, U A ( π )]. Từ tính đơn điệu nghiêm ngặt của U i , có một phần bánh x A ∈ [0, π ] sao cho U A (x A ) = u A ; nghĩa là, x A = 1− A U(u A ), trong đó 1− A U là ký hiệu hàm nghịch đảo của U A . 2 Vì vậy: ))(()( 1 AABA uUUug − −≡ π Trong đó, g(u A ) là độ thỏa dụng mà người tham gia B sẽ đạt được khi người tham gia A đạt được độ thỏa dụng u A . Ngay lập tức, ta suy ra rằng Ω = {(u A , u B ) : U A (0) ≤ u A ≤ U A ( π ) và u B = g(u A )}; nghĩa là, Ω là đồ thị của hàm số g : [U A (0), U A ( π )] → ℜ . 2 Ta nên lưu ý rằng hàm nghịch đảo 1− A U là một hàm số có tính tăng dần nghiêm ngặt và có dạng lõm, miền xác định của hàm số này là đoạn [U A (0), U A (π)] và miền giá trị của hàm số này là đoạn [0, π]. Vuihoc24h.vn Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 3 Biên dịch: Kim Chi Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh Giải pháp thương lượng Nash (NBS – Nash bargaining solution) của tình huống thương lượng mô tả trên đây là một cặp độ thỏa dụng duy nhất, ký hiệu ( N B N A uu , ), là nghiệm của bài toán tối đa hoá sau đây: max (u A – d A )(u B – d B ) (u A , u B ) ∈ Θ trong đó, Θ ≡ {(u A , u B ) ∈ Ω : u A ≥ d A và u B ≥ d B } ≡ {(u A , u B ) : U A (0) ≤ u A ≤ U A ( π ), u B = g(u A ), u A ≥ d A và u B ≥ d B }. Bài toán tối ưu vừa phát biểu trên đây có một nghiệm duy nhất, vì (u A – d A )(u B – d B ), thường được gọi là tích số Nash (Nash product), thì liên tục và gần như có dạng lồi nghiêm ngặt (lồi về phía gốc tọa độ - ND), hàm số g giảm dần nghiêm ngặt và có dạng lồi (như được phát biểu dưới đây trong Bổ đề 2.1), và tập hợp Θ là một tập hợp không rỗng. 3 Hình 2.1 minh họa giải pháp thương lượng Nash. Vì N A u> d A và N B u> d B , cho nên trong giải pháp thương lượng Nash, những người tham gia đạt được thỏa thuận về phần bánh được chia cho mỗi bên là: ))(),(),( 11 N BB N AA N B N A uUuUxx −− = . Bổ đề 2.1. Hàm số g có tính giảm dần nghiêm ngặt và có dạng lồi. Chứng minh: Xem phần Phụ lục.  3 Thật ra, có một thể liên tục của các cặp độ thỏa dụng (u A , u B ) ∈ Θ sao cho u A > d A và u B > d B . Hằng số Vuihoc24h.vn Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 4 Biên dịch: Kim Chi Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh Hình 2.1: u N là giải pháp thương lượng Nash của tình huống thương lượng mà trong đó tập hợp Ω của các cặp độ thỏa dụng khả dĩ có thể đạt được thông qua thỏa thuận là đồ thị của hàm số g, và d là điểm bất đồng. 2.2.1 Mô tả đặc điểm Định đề 2.1. Trong tình huống thương lượng mô tả trên đây, nếu đạo hàm của hàm số g tồn tại (differentiable), thì giải pháp thương lượng Nash là nghiệm duy nhất của hệ phương trình sau: AA BB A du du ug − − =− )(' và u B = g(u A ), trong đó, g’ là ký hiệu đạo hàm của g. Chứng minh: Vì giải pháp thương lượng Nash là giải pháp sao cho N A u> d A và N B u> d B , giải pháp này có thể được mô tả bằng cách tìm giá trị của u A mà làm cho (u A – d A )(g(u A ) – d B ) đạt giá trị tối đa. Định đề được suy ra ngay lập tức bằng đạo hàm bậc nhất.  Hình 2.2: Khi đạo hàm của hàm số g tồn tại, giải pháp thương lượng Nash là điểm duy nhất trên đồ thị g có độ dốc của đường thẳng L N bằng với giá trị tuyệt đối của độ dốc của tiếp tuyến duy nhất T N . Điều cần lưu ý trong một số ứng dụng là đặc điểm hình học sau đây của giải pháp thương lượng Nash – đặc điểm này có giá trị khi hàm số g có thể lấy đạo hàm và Vuihoc24h.vn Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 5 Biên dịch: Kim Chi Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh được suy ra từ Định đề 2.1. Giải pháp thương lượng Nash là điểm u N duy nhất trên đồ thị có đặc điểm là độ dốc của đường thẳng nối giữa điểm u N và d bằng với giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp tuyến với đồ thị g tại u N . Điều này được minh hoạ trong hình 2.2. Ta hãy xem một điểm u bất kỳ về phía bên trái của u N . Độ dốc của đường L nối các điểm d và u tăng lên so với độ dốc của đường L N , trong khi giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp tuyến T với đồ thị g tại u giảm xuống so với giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp tuyến T N . Do đó, độ dốc của đường L lớn hơn so với giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp tuyến T. Bằng lập luận đối xứng, ta suy ra rằng độ dốc của đường nối điểm d với một điểm trên đồ thị g về phía bên phải giải pháp thương lượng Nash sẽ nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp tuyến với đồ thị g tại điểm đó. Kết quả trong hệ quả sau đây của Định đề 2.1 có thể hữu ích trong việc ứng dụng. Hệ quả 2.1. Trong tình huống thương lượng mô tả trên đây, nếu hàm số g có thể lấy đạo hàm, thì phần bánh N A x mà người tham gia A được hưởng trong ổ bánh theo giải pháp thương lượng Nash là nghiệm duy nhất của phương trình: )(' )( )(' )( AB BAB AA AAA xU dxU xU dxU − −− = − π π , và phần bánh của người tham gia B trong giải pháp thương lượng Nash là N A N B xx −= π . Chứng minh. Kết quả được suy ra ngay lập tức từ Định đề 2.1 sau khi lấy đạo hàm của hàm số g (theo u A ) và lưu ý rằng U i (x i ) = u i và x i = 1− i U(u i ).  Bây giờ tôi sẽ mô tả đặc điểm của giải pháp thương lượng Nash khi không giả định rằng hàm số g có thể lấy đạo hàm. Tuy nhiên, vì g có dạng lồi, cho nên nó có thể lấy đạo hàm “gần như tại mọi điểm”. Nhưng cũng có thể giải pháp thương lượng Nash nằm chính xác tại điểm mà g không thể lấy đạo hàm. 4 Vì g có dạng lồi, cho nên đạo hàm về phía bên trái và bên phải của điểm đó đều tồn tại. Gọi g’(u A -) và g’(u A +) lần lượt là đạo hàm bên trái và bên phải của hàm số g tại u A . Vì g có dạng lồi, nên g’(u A -) ≥ g’(u A +). Kết quả sau đây có thể dễ dàng được chứng minh, và được minh họa trong hình 2.3. Định đề 2.2. Trong tình huống thương lượng mô tả trên đây, nếu hàm số g không thể lấy đạo hàm tại giải pháp thương lượng Nash, thì sẽ tồn tại một số k, trong đó, g’ ( N A u-) ≥ k ≥ g’( N A u +), sao cho giải pháp thương lượng Nash là nghiệm duy nhất của hệ phương trình sau đây: AA BB du du k − − =− và u B = g(u A ), Như minh họa trong hình 2.3, giải pháp thương lượng Nash là điểm u N duy nhất trên đồ thị g có đặc điểm là độ dốc của đường L N nối điểm u N và d bằng với giá trị tuyệt đối (tức là -k) của độ dốc tiếp tuyến T N nào đó với đồ thị g tại u N . 4 Trong chương 8, chúng tả sẽ nghiên cứu một mô hình thương lượng ứng với trường hợp này. Vuihoc24h.vn Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 6 Biên dịch: Kim Chi Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh Hình 2.3. Khi hàm số g không thể lấy đạo hàm, giải pháp thương lượng Nash là điểm duy nhất trên đồ thị g có độ dốc đường L N bằng với giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp tuyến T N nào đó. Nhận xét 2.1 (So sánh tĩnh – comparative-statics). Ta có thể chứng minh được những kết quả sau đây bằng cách sử dụng các đặc điểm hình học của giải pháp thương lượng Nash, như minh họa trong hình 2.2 và 2.3. Vì giải pháp thương lượng Nash của tình huống thương lượng mô tả trên đây phụ thuộc vào điểm bất đồng, tôi nhấn mạnh điều này bằng cách viết giải pháp thương lượng Nash là N A u(d), N B u (d)). Gọi d và d’ là hai điểm bất đồng khác nhau sao cho d’ i > d i và d’ j = d j (j ≠ i). Nếu hàm số g có thể lấy vi phân tại N A u(d), thì N i u (d’) > N i u(d) và N j u (d’) < N j u (d). Mặt khác, nếu hàm số g không thể lấy vi phân tại N A u(d), thì N i u(d’) ≥ N i u(d) và N j u (d’) ≤ N j u (d). 2.2.2 Các ví dụ Ví dụ 2.1. (Qui tắc chia phần còn lại). Giả sử U A (x A ) = x A đối với mọi x A ∈ [0, π ] và U B (x B ) = x B đối với mọi x B ∈ [0, π ]. Điều này có nghĩa là đối với mỗi u A ∈ [0, π ], g(u A ) = π - u A và d i ≥ 0 (i = A, B). Áp dụng Định đề 2.1, ta suy ra: )( 2 1 AB N A ddu +−= π và )( 2 1 BA N B ddu +−= π Như vậy, Vuihoc24h.vn Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 7 Biên dịch: Kim Chi Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh )( 2 1 BAA N A dddx −−+= π và )( 2 1 BAB N B dddx −−+= π , vốn có thể được gán cho cách diễn giải sau đây. Trước tiên những người tham gia đồng ý cho mỗi người tham gia i (i = A, B) được hưởng một phần bánh d i trong ổ bánh (phần bánh này mang lại cho người tham gia đó một độ thỏa dụng bằng với độ thỏa dụng mà người này đạt được nếu không có thỏa thuận), rồi sau đó họ chia đều phần bánh còn lại π – d A – d B . Lưu ý rằng phần bánh N i x của người tham gia i tăng dần một cách nghiêm ngặt theo d i và giảm dần nghiêm ngặt theo d j (j ≠ i). Ví dụ 2.2 (Ghét rủi ro). Giả sử U A (x A ) = γ A x đối với mọi x A ∈ [0, π ] , trong đó 0 < γ < 1, U B (x B ) = x B đối với mọi x B ∈ [0, π ] và d A = d B = 0. Điều này có nghĩa là đối với mỗi u A ∈ [0, π ], g(u A ) = π - γ /1 A u. Áp dụng Hệ quả 2.1, ta suy ra: γ γ π + = 1 N A x và γ π + = 1 N B x. Khi γ tăng dần, N A x giảm dần và N B x tăng dần. Ở mức giới hạn, khi γ → 0, N A x → 0 và N B x → 1. Người tham gia B có thể được xem là một người trung tính với rủi ro (vì hàm thỏa dụng của B là hàm tuyến tính), trong khi người tham gia A là người ghét rủi ro (vì hàm thỏa dụng của A có dạng lồi nghiêm ngặt), trong đó mức độ ghét rủi ro của A giảm dần trong γ. Ứng với cách diễn giải theo hàm thỏa dụng này, ta thấy phần bánh của người tham gia A giảm dần khi A trở nên ghét rủi ro hơn. 2.3 Các ứng dụng 2.3.1 Hối lộ và kiểm soát tội phạm Một cá nhân C quyết định xem có nên đánh cắp một số tiền nhất định π hay không, trong đó π > 0. Nếu C đánh cắp số tiền, thì xác suất xảy ra tình huống C bị viên cảnh sát P bắt được là ζ. Viên cảnh sát này có thể bị mua chuộc, và thương lượng với tội phạm về số tiền hối lộ b mà C sẽ trao cho P để đổi lấy việc P không báo cáo vụ đánh cắp của C với chính quyền. Tập hợp những thỏa thuận có thể có giữa hai người là tập hợp những cách phân chia số tiền đánh cắp có thể đạt được giữa hai người (giả định rằng số tiền đánh cắp có thể được phân chia một cách hoàn hảo); tập hợp những cách phân chia này là : {( π - b, b) : 0 ≤ b ≤ π }. Viên cảnh sát sẽ báo cáo vụ đánh cắp với chính quyền khi và chỉ khi họ không thể đạt được thỏa thuận. Trong trường hợp đó, kẻ phạm tội sẽ phải nợp một khoản tiền phạt. Điểm bất đồng (d C , d P ) = ( π (1 – v), 0), trong đó v ∈ (0, 1] là tỷ lệ nộp phạt. Độ thỏa dụng đối với mỗi người tham gia nhờ thu được x đơn vị tiền tệ là x. Tình huống thương lượng mô tả trên đây là một trường hợp đặc biệt của ví dụ 2.1, và như vậy, ngay lập tức ta suy ra rằng giải pháp thương lượng Nash là N C u = π [1 – (v/2)], và N P u= π v/2. Số tiền hối lộ gắn liền với giải pháp thương lượng Nash là b N = π v/2. Lưu ý rằng, cho dù tiền phạt không bao giờ được nộp cho chính quyền, tỷ lệ Vuihoc24h.vn Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 8 Biên dịch: Kim Chi Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh nộp phạt vẫn ảnh hưởng đến số tiền mua chuộc mà kẻ phạm tội trao cho viên cảnh sát ăn hối lộ. Ứng với kết quả này của tình huống thương lượng trên đây, bây giờ tôi sẽ đề cập đến vấn đề liệu kẻ phạm tội có nên thực hiện hành vi phạm tội hay không. Độ thỏa dụng kỳ vọng đối với kẻ phạm t ội khi đánh cắp được số tiền trên là ζπ [1 – (v/2)] + (1 – ζ ) π , vì với xác suất ζ, kẻ phạm tội sẽ bị cảnh sát bắt (trong trường hợp đó, độ thỏa dụng của kẻ phạm tội là N C u, và với xác suất 1 - ζ , kẻ phạm tội sẽ không bị cảnh sát bắt (trong trường hợp đó, hắn sẽ giữ toàn bộ số tiền đánh cắp được). Vì độ thỏa dụng của kẻ phạm tội khi không đánh cắp số tiền là bằng không (0), vụ đánh cắp sẽ không xảy ra nếu và chỉ nếu π [1 – ( ζ v/2)] ≤ 0. Nghĩa là, vì π > 0, hành vi phạm tội sẽ không xảy ra nếu và chỉ nếu ζ v ≥ 2. Vì ζ < 1 và 0 < v < 1 có nghĩa là ζ v < 1, ứng với tỷ lệ nộp phạt bất kỳ v ∈ (0, 1], và xác suất bị bắt bất kỳ ζ < 1, hành vi phạm tội sẽ xảy ra. Vì vậy, phân tích này khẳng định nhận thức thông thường rằng nếu người ta trốn được khoản tiền phạt thông qua hành vi hối lộ, thì tiền phạt không có vai trò gì trong việc ngăn ngừa tội phạm. 5 2.3.2 Sở hữu tài sản tối ưu (không dịch) 2.4 Định nghĩa tổng quát Một vấn đề thương lượng là một cặp ( Ω , d), trong đó Ω ⊂ ℜ 2 và d ∈ ℜ 2 . Tôi diễn giải Ω là một tập hợp những cặp độ thỏa dụng khả dĩ mà hai bên có thể đạt được thông qua thỏa thuận, và điểm bất đồng d = (d A , d B ) là cặp độ thỏa dụng có thể đạt được nếu những người tham gia không thể đi đến thỏa thuận. 6 Chúng ta chỉ giới hạn sự chú ý trong phạm vi những vấn đề thương lượng thỏa những điều kiện được trình bày dưới đây trong các giả định 2.1 và 2.2. Giả định 2.1 Biên giới Pareto Ω e của tập hợp Ω là đồ thị của một hàm số có dạng lồi, được ký hiệu là h, mà miền xác định của hàm số này là một đoạn I A ⊆ ℜ . Ngoài ra, có một độ thỏa dụng u A ∈ I A sao cho u A > d A và h(u A ) > d B . 7 Giả định 2.2. Tập hợp Ω w của các cặp độ thỏa dụng có hiệu quả Pareto yếu là một tập hợp đóng. 8 Lưu ý rằng (theo định nghĩa biên giới hiệu quả Pareto), h có tính giảm dần nghiêm ngặt. Tập hợp tất cả những vấn đề thương lượng thỏa Giả định 2.1 và Giả định 2.2 được ký hiệu là ∑. Nghĩa là, ∑ ≡ {(Ω, d) : Ω ⊂ ℜ 2 , d ∈ ℜ 2 , và cặp (Ω, d) thỏa Giả định 2.1 và Giả định 2.2}. Định nghĩa 2.1. Giải pháp thương lượng Nash (NBS) là một hàm số f N : ∑ → ℜ 2 , được định nghĩa như sau: Đối với mỗi vấn đề thương lượng (Ω, d) thỏa Giả định 2.1 5 Ứng dụng nghiên cứu ở đây sẽ được mở rộng trong phần 2.5.3. 6 Nếu (u A , u B ) ∈ Ω , thì điều này có nghĩa là có một thỏa thuận giúp mang lại cho người tham gia i (i = A, B) một độ thỏa dụng u i ∈ ℜ . 7 Một cặp độ thỏa dụng (u A , u B ) ∈ Ω e nếu và chỉ nếu (u A , u B ) ∈ Ω và không tồn tại một cặp độ thỏa dụng khác (u’ A , u’ B ) ∈ Ω sao cho u’ A ≥ u A , u’ B ≥ u B và đối với một i nào đó, u’ i > u i . 8 Một cặp độ thỏa dụng (u A , u B ) ∈ Ω w nếu và chỉ nếu (u A , u B ) ∈ Ω và không tồn tại một cặp độ thỏa dụng khác (u’ A , u’ B ) ∈ Ω sao cho u’ A > u A , u’ B > u B . Lưu ý rằng Ω e ⊆ Ω w . Vuihoc24h.vn Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 9 Biên dịch: Kim Chi Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh và Giả định 2.2, giải pháp thương lượng Nash f N ( Ω , d) ≡ N A f( Ω , d), N B f( Ω , d) là nghiệm duy nhất của bài toán tối đa hoá sau đây: max (u A – d A )(u B – d B ) (u A , u B ) ∈ Θ trong đó, Θ ≡ {(u A , u B ) ∈ Ω e : u A ≥ d A và u B ≥ d B } ≡ {(u A , u B ) : u A ∈ I A , u B = h(u A ), u A ≥ d A và u B ≥ d B }. Bài toán tối đa hoá trên đây có một nghiệm duy nhất, vì (u A – d A )(u B – d B ), thường được gọi là tích số Nash, thì liên tục và gần như có dạng lồi nghiêm ngặt (về phía gốc tọa độ - ND), và vì Giả định 2.1 ngụ ý rằng hàm số h có tính giảm dần nghiêm ngặt và có dạng lồi, và tập hợp Θ là một tập hợp không rỗng. Ta cũng nên lưu ý rằng giải pháp thương lượng Nash có đặc điểm là N i f( Ω , d) > d i (i = A, B). Chọn một vấn đề thương lượng tuỳ ý ( Ω , d) ∈ ∑ . Giải pháp thương lượng Nash của vấn đề thương lượng này sẽ nằm trên đồ thị h. Gọi I A ≡ [ A A uu , ], trong đó, A A uu ≥ . Miền giá trị của hàm số h là h(I A ) = {u B ∈ ℜ : có một u A ∈ I A sao cho u B = h(u A )}. Từ Giả định 2.1, ta suy ra rằng h(I A ) = [ B B uu , ], trong đó, h( A u) = B u ≥ B u = h( A u ). Ngoài ra, Giả định 2.1 ngụ ý rằng d A < A u , và d B < B u . Tuy nhiên, đối với một i nào đó (i = A hoặc i = B hoặc i = A, B), Giả định 2.1. không loại trừ khả năng xảy ra d i ≤ i u . Nếu d A ∈ I A và d B ∈ h(I A ) – từ thảo luận trên đây, điều này có nghĩa là d i ≥ i u (i = A, B) – thì giải pháp thương lượng Nash được minh họa trong hình 2.1 với g được thay bằng h. 9 Một cách cụ thể, giải pháp thương lượng Nash nằm bên trong của đồ thị h; nghĩa là, N A f( Ω , d) ∈ ( A A uu , ) và N B f( Ω , d) ∈ ( B B uu , ). Tuy nhiên, nếu đối với một i nào đó, ( i = A, hoặc i = B, hoặc i = A, B), d i ≤ i u , thì giải pháp thương lượng Nash có thể (nhưng không nhất thiết) là một trong hai góc của đồ thị h; nghĩa là, giải pháp thương lượng Nash N A f( Ω , d) có thể bằng ( B A uu , ) hoặc ( B A uu , ), như được minh họa trong hình 2.5. Hình 2.5. Nếu d B < B u, thì giải pháp thương lượng Nash có thể nằm ở góc bên phải của đồ thị h, nghĩa là u N = ( B A uu , ). Nhận xét 2.2. Vấn đề thương lượng (Ω, d), mà từ đó chúng ta định nghĩa giải pháp thương lượng Nash, là một khái niệm trừu tượng. Dù vậy, vấn đề này có giá trị trong một vài khía cạnh nhất định, nó giúp làm tăng khả năng ứng dụng của giải pháp thương lượng Nash, và hữu ích trong việc diễn giải khái niệm về vấn đề thương lượng theo những yếu tố cơ bản sau đây của một tình huống thương lượng: (i) Tập hợp X của các thỏa thuận vật chất có thể có, (ii) Kết quả “bất đồng” D, là kết quả hay 9 Ta nên lưu ý rằng trong tình huống thương lượng cụ thể được nghiên cứu trong phần 2.2, biên giới Pareto Ω e = Ω, tập hợp các cặp độ thỏa dụng có thể đạt được thông qua thỏa thuận, và vì thế, Ω e là đồ thị hàm số g. Ngược lại, trong một vấn đề thương lượng tuỳ ý ( Ω , d) ∈ ∑ , biên giới Pareto Ω e ⊆ Ω, nghĩa là, biên giới Pareto không nhất thiết phải bằng Ω. Vuihoc24h.vn Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 10 Biên dịch: Kim Chi Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh biến cố xảy ra nếu những người tham gia không đạt được thỏa thuận, và (iii) Các hàm thỏa dụng của những người tham gia i, U A : X ∪ {D} → ℜ và U B : X ∪ {D} → ℜ . Khi đó, một vấn đề thương lượng (Ω, d) có thể được suy ra từ những yếu tố này như sau: Ω = {(u A , u B ) : có một x ∈ X sao cho U A (x) = u A và U B (x) = u B } và d = (U A (D), U B (D)). 2.5. Các ứng dụng 2.5.1. Thương lượng giữa công ty và công đoàn Một công ty và công đoàn thương lượng về mức lương w và mức lao động L. Tập hợp các thỏa thuận có thể có là tập hợp các cặp tiền lương và mức lao động (w, L) sao cho w ≥ w u , R(L) – wL ≥ 0 và L ≤ L 0 , trong đó, w u ≥ 0 là mức phúc lợi thất nghiệp, R(L) là doanh thu công ty đạt được nếu tuyển dụng L người lao động, và L 0 là qui mô của công đoàn. R(0) = 0, hàm R có tính tăng dần nghiêm ngặt và có dạng lồi nghiêm ngặt. Điều kiện w ≥ w u diễn tả sự việc là không một người lao động nào làm việc với mức lương thấp hơn mức phúc lợi thất nghiệp, trong khi điều kiện R(L) – wL ≥ 0 diễn tả sự việc là công ty thà đóng cửa doanh nghiệp hơn là nhận được lợi nhuận âm, trong đó lợi nhuận của công ty ứng với một cặp (w, L) là R(L) – wL. Ta giả định rằng công ty không thể tuyển dụng nhiều hơn L 0 người lao động. Như vậy, tập hợp những thỏa thuận có thể có là x = {(w, L) : w ≥ w u , L ≤ L 0 , và R(L) – wL ≥ 0}. Nếu những người tham gia không đạt được thỏa thuận, thì công ty phải đóng cửa và L 0 người lao động sẽ trở nên thất nghiệp. Nếu những người tham gia đạt được thỏa thuận về (w, L) ∈ X, thì lợi nhuận của công ty là ∏ (w, L) = R(L) – wL, và độ thỏa dụng của công đoàn là U(w, L) = wL + (L 0 – L)w u , tạo thành tổng thu nhập mà các thành viên công đoàn sẽ nhận được. Vì R(0) = 0, lợi nhuận của công ty nếu các bên không đạt được thỏa thuận cũng bằng không. Độ thỏa dụng của công đoàn trong trường hợp này là w u L 0 , vì L 0 thành viên công đoàn sẽ trở nên thất nghiệp. Vì vậy, điểm bất đồng d = (w u L 0 , 0). Ta có thể suy ra biên giới Pareto Ω e của tập hợp các cặp độ thỏa dụng khả dĩ có thể đạt được thông qua thỏa thuận bằng cách giải bài toán tối đa hoá sau đây: max (w, L) ∈ X ∏ (w, L), phụ thuộc vào điều kiện U(w, L) ≥ u , trong đó u là một hằng số nào đó lớn hơn hoặc bằng w u L 0 . Tại nghiệm số duy nhất của bài toán này, L = L*, trong đó L* là mức lao động tốt nhất trước tiên, nghĩa là R’(L*) = w u . 10 Như vậy, một cặp độ thỏa dụng (u, π) ∈ Ω e chỉ khi mức lao động L = L*. Do đó, biên giới Pareto Ω e là đồ thị của hàm số h được định nghĩa như sau: Đối với mỗi mức thỏa dụng của công đoàn u ∈ [w u L 0 , s], h(u) = s – u, trong đó s ≡ R(L*) + (L 0 – L*)w u . Áp dụng Hệ quả 2.2, ta suy ra rằng giải pháp thương lượng Nash là π N = (s - w u L 0 )/2 và u N = w u L 0 + (s - w u L 0 )/2. Bây giờ ta suy ra cặp tiền lương-lao động (w N , L N ) gắn liền với giải pháp thương lượng Nash. Trên đây, ta đã thấy rằng ứng với giải pháp thương lượng Nash, mức lao động L N = L*. Tiền lương w N có thể được suy ra từ π N = R(L*) – w N L*. Sau khi thay thế π N và s, ta suy ra rằng w N = [w u + (R(L*)/L*)]/2. Do đó, tiền lương bằng với bình quân của mức trợ cấp thất nghiệp và doanh thu bình quân. Tuy nhiên, vì R’(L*) = w u , cho nên tiền lương bằng với bình quân của doanh thu biên và doanh thu bình quân. 10 Ta giả định rằng L* ≤ L 0 và R(L*) – w u L* > 0. Vuihoc24h.vn [...].. .Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 2.5.2 Tâm lý ỷ lại trong tập thể (adverse selection in team) (không dịch) 2.5.3 Hối lộ và kiểm soát tội phạm: phần mở rộng Một giả định ngầm ẩn... h(uC ) = π - uC Điểm bất đồng (dC, dP) = (π(1 – v), 0) n v h 4 2 Áp dụng Bổ đề 2.2, lưu ý rằng u C = –∞ và u P = 0, ta suy ra rằng giải pháp N N thương lượng Nash là u C = π[1 – (v/2)] và u P = πv/2 Khoản tiền hối lộ là bN = πv/2 Cho dù đây cũng là giải pháp thương lượng Nash thu được trong phần 2.3.1, nhưng bây giờ không có giới hạn đối với v, nghĩa là nếu v > 2, thì số tiền C được hưởng có giá trị âm . Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải pháp thương lượng Nash 1 Biên dịch:. huống thương lượng của một lớp các tình huống thương lượng nào đó. Trong chương này, tôi sẽ nghiên cứu giải pháp thương lượng do Nash đề xuất. 1 Giải pháp