GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 CHÝÕNG II: TÍCH PHÂN BỘI §1 Tích phân kép I ÐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT Ðịnh nghĩa Cho hàm f(x,y) xác ðịnh miền ðóngờ bị chặn D Chia miền D thành n mảnh rời D1, D2, , Dn có diện tích lần lýợt  S1,  S2, ,  Sn Trong mảnh Di , lấy tùy ý ðiểm Mi(xi, yi) Lập tổng ậgọi tổng tích phân hàm f(x,y)) n v Gọi d(Di) khoảng cách lớn hai ðiểm Di Nếu tồn giới hạn h c2 o hữu hạnờ không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn ðiểm Mi(xi,yi), hàm f(x,y) gọi khả tích miền D, S gọi tích phân kép hàm f(x,y) miền D, ký hiệu ih u V Nếu f(x,y) khả tích miền D, tích phân kép khơng phụ thuộc vào cách chia miền D Do ðóờ ta chia miền D ðýờng thẳng song song với trục tọa ðộề ẩhi ðóờ  Si =  x   y dS = dx dy Vì viết Ngýời ta chứng minh ðýợc rằngầ ổàm f(x,y) liên tục miền ðóngờ bị chặn D khả tích miền ðóề Tính chất: a) (diện tích D) 29 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 b) c) d) Nếu D = D1 D2 , D1 D2 =  e) Nếu f(x,y)  g(x,y)  (x,y) D f) Nếu m  f(x,y)  M  (x,y) D, m ∞ sốờ n v g) Nếu f(x,y) liên tục miền ðóngờ bị chặn D tồn ðiểm M(x0,y0) cho (Ðịnh lý giá trị trung bìnhấề h c2 o gọi giá trị trung bình hàm f(x,y) Ðại lýợng D ih u V Ý nghĩa hình học Ta xét tốnầ ộ Tìm thể tích vật thể  giới hạn dýới miền D (Oxy), giới hạn mặt cong có phýõng trình z = f(x,y)  giới hạn xung quanh mặt trụ có ðýờng sinh song song với ẫz ðýờng chuẩn biên ắ ộề Ta tính thể tích  phýõng pháp gần ðúngề 30 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Chia miền D thành n mảnh rời D1,D2, ,Dn có diện tích  S1,  S2, , Sn Lấy mảnh nhỏ làm ðáyờ dựng hình trụ có ðýờng sinh song song với Oz, mặt phía giới hạn mặt z = f(x,y) Xét hình trụ thứ iầ ðáy Di, Lấy tùy ý ữ ðiểm ∞i(xi,yi) ta tích hình trụ thứ i  Vi  f(xi,yi). Si Thể tích gần ðúng  : Phép xấp xỉ xác n lớn mảnh Di có ðýờng kính nhỏ ậ d(Di): ðýờng kính Di ) n v Vậy h c2 o II CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP Ðýa tích phân lặp ih u V Nếu 31 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Nếu y = 0, y = x, x = y = 0, y = x2, x + y = Giải: n v h c2 o Ví dụ 1: Xác ðịnh cận tích phân ðýờng với miền D xác ðịnh ih u V Có hai cách biểu diễn D: Do ðó Có ị cách biểu diễn D: 32 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Ví dụ 2: Tính , D giới hạn ðýờng y = x – 4, y2 = 2x Giải: Hoành ðộ giao ðiểmầ Do ðóờ miền D ðýợc biểu diễn Vậy n v h c2 o ih u V Ðổi biến tích phân kép a Ðổi biến tổng quát Giả sử x = x(u,v), y = y(u,v) hai hàm có ðạo hàm riêng liên tục miền ðóngờ bị chặn Duv Gọi Nếu f(x,y) khả tích Dxy ðịnh thức ỹacobi Duv ta có 33 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Ví dụ 3: Tính với D giới hạn ðýờng Giải: Các ðýờng thẳng viết lại Ðặt u = x + y, v = 2x – y n v h c2 o Vậy b Tích phân kép tọa ð cực ộ Công thức liên hệ tọa ðộ ih u V x = r.cos y = r.sin Ta cóầ Do vậyầ Ví dụ 4: Tính , với ắ giới hạn bởiầ ậx –1)2 + y2  1, y  Giải: 34 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 Rõ ràng Thay x = rcos , y = rsin vào ậx –1)2 + y2 = 1, ta ðýợc r ụ ịcos Vậy Do ðóầ với ắ hình trịn x2 + y2  R2 Ví dụ 5: Tính n v Giải: Chuyển sang hệ tọa ðộ cựcờ ta cóầ h c2 o Do ðóầ ih u V BÀI TẬP -Tính tích phân kép a) b) c) 35 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 d) 2-Tính tích phân kép a) , D:  x  2; x2  y  2x b) , D:  x  2; -1  y  c) , D: xy = 1; y = ;x=2 3- Ðổi thứ tự biến lấy tích phân n v a) h c2 o b) c) d) ih u V 4- Tính tính phân d) e) , D: ;y=0 , D: y = x; ;y=0 f) , D: x2 + y2  g) , D: ; a, b > 36 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 h) , D: i) , D: y = x + 1; y = x – 3; 5-Tính diện tích miền ắ giới hạn j) D: y = x2; y = x + k) D: y2 = x; y = 2x – x2 l) D: ; x =  1; y = -1 m) D: y = 2x; y = -2x; y = §2 Tích phân bội n v h c2 o I ÐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Ðịnh nghĩa Cho hàm số  (x,y,z) xác ðịnh miền ðóngờ giới nội  khơng gian ẫxyzề ih u V Chia miền  thành n miền nhỏ tích  V1,…ờ Vn Lấy tùy ý ðiểm Mi(xi,yi,zi) miền nhỏ thứ iề Lập tổng Nếu giới hạn : hữu hạnờ không phụ thuộc vào cách chia miền  , ∞i,  (x,y,z) gọi khả tích miền  , ỗ gọi tích phân bội ĩ hàm   , ký hiệu Týõng tự nhý tích phân képờ ta ký hiệu dxdydz thay cho dV tích phân bội ĩ thýờng viết 37 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Chú ýầ ỷếu  (x,y,z) = (thể tích  ) Tính chất Nếu n v Nếu  (x,y,z)  g(x,y,z)  (x,y,z)   Nếu  (x,y,z) liên tục miền ðóng, bị chặn  tồn ðiểm ậx0,y0,z0)   cho h c2 o (Ðịnh lý giá trị trung bìnhấ ih u V II CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BộI Tích phân bội hệ tọa ð Descartes ộ Cho  giới hạn bỡiầ Mặt trênầ z ụ  2(x,y) Mặt dýớiầ z ụ  1(x,y) Xung quanh: mặt trụ có ðýờng sinh song song với trục ẫz ðýờng chuẩn biên miền ắ thuộc mặt phẳng ẫxyề ậắ hình chiếu  xuống mặt phẳng ẫxyấề Khi ðó 38 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Nếu miền Ví dụ 1: Cho miền Ù giới hạn mặtầ x ụ ếờ y ụ ếờ z ụ ếờ x ự y ự ịz ụ ịề Viết tích phân bội ĩ theo thứ tự ầ a) dxdydz b) dxdzdy c) dydzdx Giải: n v a) Hình chiếu Ù xuống mặt phẳng ẫxy miền h c2 o ih u V Giới hạn Ùầ Giới hạn dýới Ùầ Vậyầ 39 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 b) Hình chiếu Ù xuống mặt phẳng ẫxz miền Giới hạn Ùầ Giới hạn dýới Ùầ Vậyầ n v c) Hình chiếu  xuống mặt phẳng ẫyz Giới hạn  ầ x ụ ị-y-2z h c2 o Giới hạn dýới  ầ x ụ ế Vậy ih u V Ví dụ 2: Tính ,  miền giới hạn mặtầ z = x2+y2; z = 4; x = 0; y = Giải: 40 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Hình chiếu miền Ù xuống mặt phẳng ẫxy h c2 o Mặt Ùầ zụởờ Mặt dýới Ùầ zụx2+y2 Vậy: n v hình trịn ầ ih u V Tính tích phân bội hệ toạ ð trụ ộ 41 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 n v Toạ ðộ trụ ðiểm ∞ậxờyờzấ ba số ậrờöờzấờ với ậrờưấ toạ ðộ cực hình chiếu ∞ xuống mặt phẳng ẫxy ậổình vẽấ h c2 o Ta ln cóầ r ≥ ếủ ế≤ ≥ịðủ -∞≥z≥ự∞ề Mối liên hệ toạ ðộ ắescartes toạ ðộ trụ x = r cosö ih u V y = r sinư z=z Ta có ầ Ví dụ 3: Tính với Ù miền giới hạn z ụ x2+y2; z = Giải: Hình chiếu Ù xuống mặt phẳng ẫxy hình trịn x2+y2 ≤ Chuyển sang toạ ðộ trụ 42 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Ù giới hạn bởiầ o ≤ ö ≥ ịðủ ế ≤ r ≤ ịủ r2 ≤ z ≤ ởề Vậyầ Tính tích phân bội hệ toạ ð cầu ộ Toạ ðộ cầu ðiểm ∞ậxờyờzấ ĩ số ậrờèờö), với r ụ ẫ∞ờ è góc trục Oz , góc trục ẫx phẳng ẫxyề , với ∞’ hình chiếu ∞ xuống mặt Ta cóầ Với ðiểm ∞ khơng gian r ≥ ếủ ế ≤ è ≤ ðủ ế ≤ ö ≤ ịð Mối liên hệ toạ ðộ ắescartes toạ ðộ cầuầ n v x = r sinè cosö y = r sinè sinö h c2 o z = r cosè Cơng thức tích phân hệ toạ ðộ cầu ih u V Ví dụ 1: Tính với Ù miền giới hạn hai mặt cầu x2+y2+z2 = 1; x2+y2+z2 = Chuyển sang hệ toạ ðộ cầuờ ta cóầ Miền Ù xác ðịnh ữ ≤ r ≤ ịủ ế ≤ è ≤ ðủ ế ≤ ö ≤ ịðề Vậyầ 43 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 với Ù miền giới hạn x2+y2+z2 ≤ zề Ví dụ 4: Tính Chuyển sang hệ toạn ðộ cầu ta cóầ Miền Ù xác ðịnh ế ≤ r ≤ cosèủ ế ≤ è ≤ ; ≤ ö ≤ ịðề Vậyầ n v §3 Ứng dụng tích phân bội I ỨNG DỤNG HÌNH HỌC h c2 o Tính diện tích hình phẳng Diện tích miền ắ mặt phẳng ẫxy ih u V Thể tích vật thể Vật thể Ù không gian ẫxyz làầ Nếu Ù giới hạn mặt z ụ f2(x,y) , giới hạn dýới mặt z ụ f1(x,y) giới hạn xung quanh mặt trụ có ðýờng sinh song song với ẫz có ðýờng chuẩn biên miền ắ mặt phẳng ẫxy nằm mặt cầu x2+y2+z2 = Ví dụ 1: Tính thể tích phần hình nón Giải: 44 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 nằm hình cầu x2+y2+z2 ≤ Gọi Ù vật thể hình nón Chuyển sang hệ toạ ðộ cầu Miền giới hạn ế ≤ r ≤ ịủ ế ≤ è ≤ ; ≤ ≤ ịðề Vậy Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu có bán kính Ở n v h c2 o Giải: Ta tích hình cầu hình cầu ih u V Hình cầu Ùầ x2+y2+z2 ≤ Ở2 Chuyển sang hệ toạ ðộ cầu , Và miền Ùầ ế ≤ r ≤ Ởờ ế ≤ è ≤ ðờ ế ≤ ö ≤ ịð Vậyầ II ỨNG DỤNG CÕ HỌC 45 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Tính khối lýợng a Khối lýợng vật thể Ù có khối lýợng riêng ðiểm ∞ậxờ yờ zấ fậxờ yờ z) thìầ b Nếu phẳng ắ mặt phẳng ẫxy có khối lýợng riêng fậxờ yấ : Momem quán tính vật thể Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) ð với ối n v c trục ẫxầ h c2 o d trục ẫyầ e trục ẫzầ ih u V f ðýờng thẳng ỡầ từ ðiểm ∞ậxờ yờ zấ ðến ỡ , r(x, y, z) khoảng cách g Mặt ẫxyầ h Mặt ẫxzầ i Mặt ẫyzầ j Gốc tọa ðộầ Momen tĩnh Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) ð với ối a) Mặt ẫxyầ 46 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 b) Mặt ẫxzầ c) Mặt ẫyzầ Trọng tâm Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) BÀI TẬP 1- Tính với Ù n v a) giới hạn ế ≤ x ≤ ữủ ữ ≤ y ≤ ịủ ị ≤ z ≤ ĩề h c2 o b) giới hạn mặtầ x ự y ự z ụ ữủ x ụ ếờ y ụ ếờ z ụ ếề 2-Tínhầ a) b) 3- Tínhầ a) b) c) d) e) , Ùầ z ụ x2 + y2; z = 4, x = 0, y = (lấy miền x ≥ ếờ y ≥ ếấề ih u V , Ùầ y ụ x2, y + z = 1, z = , Ùầ z ụ x2 + y2; x2 + y2 = 4; z = , Ùầ x2 + z2 = 1, y = 0, y = , z = x2 + y2 , Ùầ , Ùầ góc phần tám thứ khối cầu ðõn vịề , Ùầ x2 + y2 + z2 = 2; 47 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 f) , Ùầ x2 + y2 + z2 ≤ Ở2, x ≤ ếề 4-Tính thể tích vật giới hạn bởiầ a) z = x2 + 3y2, z = – x2 – y2 b) y + z = 2; x = – y2, mặt phẳng tọa ðộ nằm góc phần tám thứ c) x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2 d) z = – x2 – y2, mặt phẳng tọa ðộ nằm góc phần tám thứ nhấtề 5- Tính momen qn tính ðối với trục ẫxờ ẫyờ ẫz khối chữ nhật ðồng chất ¿ầ a) Tìm tọa ðộ trọng tâm vật thể ðồng chất giới hạn mặt z ụ ếờ x2 + y2 + z2 = n v b) Tìm tọa ðộ trọng tâm nửa hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ a2, z ≥ ế khối lýợng riêng ðiểm tỷ lệ với khoảng cách từ ðiểm ðó ðến gốc tọa ðộề h c2 o ih u V 48 Sýu tầm by hoangly85 ... CẤP A2 d) 2-Tính tích phân kép a) , D:  x  2; x2  y  2x b) , D:  x  2; -1  y  c) , D: xy = 1; y = ;x=2 3- Ðổi thứ tự biến lấy tích phân n v a) h c2 o b) c) d) ih u V 4- Tính tính phân d)... ta tích hình trụ thứ i  Vi  f(xi,yi). Si Thể tích gần ðúng  : Phép xấp xỉ xác n lớn mảnh Di có ðýờng kính nhỏ ậ d(Di): ðýờng kính Di ) n v Vậy h c2 o II CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP Ðýa tích phân. .. i) , D: y = x + 1; y = x – 3; 5-Tính diện tích miền ắ giới hạn j) D: y = x2; y = x + k) D: y2 = x; y = 2x – x2 l) D: ; x =  1; y = -1 m) D: y = 2x; y = -2x; y = §2 Tích phân bội n v h c2 o I