Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1: Cho hàm số: 3 2 3 1 ( ) m y x x mx C = + + + a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 3 (C 3 ) b. Chứng minh rằng: (C m ) cắt (C): 3 2 2 7 y x x = + + tại 2 ñiểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung ñiểm I của ñoạn AB. c. Tìm m ñể (C m ) cắt ñường thẳng (d): y = 1 tại 3 ñiểm phân biệt C, D, E với C(0; 1). Tìm m ñể tiếp tuyến tại D, E với (C m ) vuông góc nhau. Giải: a) Với m = 3 3 2 3 3 3 1 ( ) y x x x C ⇒ = + + + Học sinh tự khảo sát và vẽ ñồ thị (C 3 ) b) Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (C m ) và (C): 3 2 3 2 2 2 3 1 2 7 6 0 (1) 24 0 x x mx x x x mx m m + + + = + + ⇔ + − = ∆ = + > ∀ ⇒ (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x . Vậy (C m ) và (C) luôn cắt nhau tại 2 ñiểm phân biệt 1 1 2 2 ( ; ); ( ; ) A x y B x y ( ) ( ) 1 2 3 3 2 2 1 2 1 2 2 2 14 2 I I x x x x x x x y +  =   ⇒  + + + +  =   Áp dụng ñịnh lý Viet cho phương trình (1) ta có: 1 2 1 2 . 6 b x x m a c x x a  + = − = −     = = −   Vậy ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 14 2 I I m x x x x x x x x x x x y  = −   ⇒    + + − + + − +    =   ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 3 2 12 14 2 I I m x m x x x x m y −  =   ⇔    − + − + + +    =   HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KỲ SỐ 01 Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - 2 2 3 2 2 ( 18) 2 24 14 2 18 38 2 2 I I m x m m m m m m y −  =   ⇔  − + + + + − + − +  = =   Thay 2 I m x = − ta ñược: 3 2 3 2 3 2 ( 2 ) 2( 2 ) 18( 2 ) 38 8 8 36 38 2 2 4 4 18 19 I I I I I I I I I I I x x x x x x y y x x x − − + − − − + + + + = = = + + + Vậy quỹ tích của I là ñường cong có phương trình: 3 2 4 4 18 19 y x x x = + + + c) Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (C m ) và (d): 3 2 3 2 2 2 3 1 1 3 0 0 (2) ( 3 ) 0 3 0 (3) x x mx x x mx x x x x m x x m + + + = ⇔ + + = =  ⇔ + + = ⇔  + + =  Yêu cầu bài toán ⇔ pt (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 ñều khác 0, ñồng thời: 1 2 '( ). '( ) 1 f x f x = − . Trong ñó 3 2 ( ) 3 1 f x x x mx = + + + ycbt ( )( ) 2 2 1 1 2 2 9 4 0 0 3 6 3 6 1 m m x x m x x m  ∆ = − >   ⇔ ≠   + + + + = −   Do x 1 , x 2 là nghiệm của (3) nên 2 1 1 3 0 x x m + + = và 2 2 2 3 0 x x m + + = 2 1 1 2 2 2 3 3 x m x x m x  = − −  ⇒  = − −   [ ][ ] 1 1 2 2 9 4 0 3( 3 ) 6 3( 3 ) 6 1 m m x m x m x m x m  <   ⇔ ≠   − − + + − − + + = −   2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 9 0 0 4 4 9 6( ) 4 1 9 6( ) 4 1 0 m m x x x x m m x x x x m m   ≠ < ≠ <   ⇔ ⇔     + + + = − + + + + =   Áp dụng ñịnh lý Viet vào phương trình (3) ta có: 1 2 1 2 3 . b x x a c x x m a  + = − = −     = =   2 2 9 0 9 9 0 0 4 4 4 9 65 9 18 4 1 0 4 9 1 0 8 m m m m m m m m m  ≠ <    ≠ < ≠ <    ⇔ ⇔ ⇔    ±    − + + = − + = =     Kết luận : Vậy với 9 65 8 m ± = Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Câu 2: Cho hàm số: 3 2 3 (2 1) 3 ( ) m y mx mx m x m C = − + + + − Tìm m sao cho hàm số có cực ñại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi ñó ñường thẳng nối hai ñiểm cực ñại, cực tiểu của (C m ) luôn ñi qua 1 ñiểm cố ñịnh. Giải: TXð: D = R • 2 ' 3 6 2 1 y mx mx m = − + + (C m ) có cực ñại và cực tiểu ' 0 y ⇔ = có 2 nghiệm phân biệt. 2 2 0 0 0 0 9 3 (2 1) 0 3 3 0 0 0 1 0 1 m m m m m m m m m m m m m ≠ ≠ ≠    ⇔ ⇔ ⇔    ∆ > − + > − >    ≠  ⇔ ⇔ < ∨ >  < ∨ >  • Lấy y’ chia cho y ta ñược: 1 2(1 ) 10 ' 3 3 3 3 x m m y y x − −   = − + +     Gọi (x 1 ; y 1 ) và (x 2 ; y 2 ) là tọa ñộ 2 ñiểm cực trị , , 1 1 2 2 '( ) '( ) 0 y f x y f x ⇒ = = = = 1 1 2 2 2(1 ) 10 3 3 2(1 ) 10 3 3 m m y x m m y x − −  = +   ⇒  − −  = +   ⇒ Hai ñiểm cực trị của (C m ) cùng nằm trên ñường thẳng có phương trình: 2(1 ) 10 ( ): 3 3 m m y x − − ∆ = + ( ) ⇒ ∆ chính là ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị của (C m ) • Gọi A(x 0 ; y 0 ) là ñiểm cố ñịnh: 0 0 2(1 ) 10 0 1 3 3 m m y x m m − − ⇔ = + ∀ < ∨ > 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 2 10 0 1 (2 1) 3 2 10 0 0 1 1 2 1 0 2 3 2 10 0 3 y x mx m m m m x y x m m x x y x y ⇔ = − + − ∀ < ∨ > ⇔ + + − − = ∀ < ∨ >  + = = −   ⇔ ⇔   − − =  =  • Vậy ( ) ∆ luôn ñi qua ñiểm 1 ;3 2 A −       cố ñịnh. Câu 3: Cho hàm số: 1 ( ) 2 x y C x + = − Tìm ñiểm M trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ M ñến 2 trục tọa ñộ là nhỏ nhất. Giải: Xét ñiểm M(x; y) 1 ( ): 2 x C y x + ∈ = − 1 ( ,Ox) ( , ) 2 x d M d M Oy x y x x + + = + = + − Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Xét 1 ( ) 2 x f x x x + = + − Ta có: 1 (0) 2 f = TH 1 : 1 1 ( ) 2 2 x f x x > ⇔ ≥ > TH 2 : 1 1 ( ) 2 2 x x f x x x + ≤ ⇔ = + − (vì 1 0 x + > và 1 2 0 2 x x − > ∀ ≤ ) 1 1 0 2 2 ( ) 1 1 0 2 2 x x khi x x f x x x khi x x +  − + − ≤ ≤   − ⇒ =  +  + < ≤  −  Từ ñó ta có bảng biến thiên x -1/2 0 1/2 f’(x) - + f(x) 7/10 3/2 1/2 1 1 ( ) 2 2 f x x ⇒ ≥ ∀ ≤ 1 ( ) 2 f x = khi và chỉ khi x = 0. Vậy 1 0; 2 M −       Câu 4: Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm: 3 3 1 1 x x m + + − = Giải: ðặt 3 3 ( ) 1 1 f x x x = + + − 2 2 3 3 1 1 '( ) 3 (1 ) 3 (1 ) f x x x = − + − 2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 '( ) 0 0 3 (1 ) 3 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 0 f x x x x x x ≥ ⇔ − ≥ + − ≠ ±    − − + ≥   2 2 2 2 1 1 1 1 0 4 0 (1 ) (1 ) 1 2 1 2 x x x x x x x x x x x ≠ ± ≠ ± ≠ ±    ⇔ ⇔ ⇔ − ≠ ≤    − ≥ − ≥ + − + ≥ + +    Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Bảng biến thiên: x −∞ -1 0 1 +∞ f’(x) + + 0 - - f(x) 2 3 2 3 2 0 0 3 3 2 2 2 3 3 3 1 1 lim ( ) lim ( 1 1 lim 0 (1 ) (1 ) ( 1) x x x x x f x x x x x x →±∞ →±∞ → ∞   + − +   = + + − = =   + + − + −   ∓ Tập giá trị của [ ] ( ) 0;2 f x ∈ Vậy ñể phương trình có nghiệm 0 2 m ⇔ ≤ ≤ Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn . HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KỲ SỐ 01 Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01 Hocmai. vn – Ngôi trường chung của. Thầy Trần Phương ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01 Hocmai. vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài