Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Xét hàm số ( ) 4 2 3 2 2 0 4 2 2 2 0 2 x y ax bx c y ax bx x ax b b x a =   ′ = + + ⇒ = + = + = ⇔  = −   DẠNG 1. BIỆN LUẬN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  Hàm s ố có m ộ t c ự c tr ị khi y ′ ch ỉ đổ i d ấ u m ộ t l ầ n, t ứ c là 0 2 − ≤ b a  Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu ba lần, tức là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt 0 2 ⇔ − > b a Ví dụ 1: Cho hàm số = − + − 4 2 2 3 1 y x mx m Tìm m để a) hàm s ố có 1 c ự c tr ị . b) hàm s ố có 3 c ự c tr ị . Hướng dẫn giải : Ta có ( ) 3 2 2 0 4 4 4 0 =  ′ = − = − ⇒ = ⇔  =  x y x mx x x m y x m a) Hàm s ố có m ộ t c ự c tr ị khi m ≤ 0. b) Hàm s ố có ba c ự c tr ị khi m > 0. Ví d ụ 2: Cho hàm s ố ( ) = + − + − 4 2 1 3 3 5 y m x mx m Bi ệ n lu ậ n theo m s ố c ự c tr ị c ủ a hàm s ố đ ã cho. H ướ ng d ẫ n gi ả i : Ta có ( ) ( ) 3 2 2 0 4 1 6 2 ( 1) 3 0 ( 1) 3 , 1 =    ′ = + − = + − ⇒ = ⇔    + −   x y m x mx x m x m y m x m TH1 : 1 6 ; 0 0 ′ = − ⇒ = = ⇔ = m y x y x Trong tr ườ ng h ợ p này hàm s ố có m ộ t c ự c tr ị , và đ ó là đ i ể m c ự c ti ể u. TH2 : ( ) 2 3 1, 1 1 ≠ − ⇔ = + m m x m + Hàm s ố có m ộ t c ự c tr ị khi 3 0 1 0 1 ≤ ⇔ − < ≤ + m m m + Hàm s ố có ba c ự c tr ị khi 0 3 0 1 1 >  > ⇔  < − +  m m m m Kết luận :  Hàm số có một cực trị khi 1 0 − ≤ ≤ m  Hàm s ố có ba c ự c tr ị khi 0 1 >   < −  m m BÀI T Ậ P LUY Ệ N T Ậ P: Bi ệ n lu ậ n theo m s ố c ự c tr ị c ủ a các hàm s ố sau : a) 4 2 2 (2 1) 3. = − − + + + y x m x m b) 4 2 (1 ) (3 1) 2 5. = − − + + + y m x m x m c) 2 4 2 3 (3 2) 1. = − − + − y m x mx m DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TH1: Hàm s ố có ba đ i ể m c ự c tr ị A, B, C. + Tìm đ i ề u ki ệ n t ồ n t ạ i ba đ i ể m c ự c tr ị : ( ) 0 * 2 − > b a 02. CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 + Với điều kiện (*) ta có 2 3 0 0 2 2   = = →   − ′ = ⇔ = = →    − = − = →   A A B B C C x x y b y x x y a b x x y a , t ừ đ ó ( ) 0; ; ; ; ; 2 2     − − −             A B C b b A y B y C y a a Do hàm ch ẵ n v ớ i x nên các đ i ể m B, C có y B = y C . Nh ậ n xét : A ∈ Oy, B ; C đố i x ứ ng nhau qua Oy nên tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A . Ta xét m ộ t s ố tính ch ấ t c ơ b ả n th ườ ng g ặ p c ủ a hàm s ố : Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. Do tam giác ABC đ ã cân t ạ i A nên ch ỉ có th ể vuông cân t ạ i đỉ nh A. Khi đ o ta có đ i ề u ki ệ n ( ) . 0, 1 =   AB AC v ớ i ; ; ; 2 2     − − = − = − −               B A C A b b AB y y AC y y a a T ừ đ ó ( ) ( ) 2 1 . 0 0 2 ⇔ = ⇔ + − =   B A b AB AC y y a Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán. Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân ABC : 2 2 2 2 2 2+ = ⇔ = AB AC BC AB BC Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Tam giác ABC đều khi ( ) 2 2 , 2 = ⇔ =AB BC AB BC với ; ; 2 ;0 2 2     − − = − = −               B A b b AB y y BC a a Từ đó ( ) ( ) 2 2 2 2 − − ⇔ + − = B A b b y y a a Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán. Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120 0 Tam giác ABC cân tại A nên  0 120 =BAC . G ọ i H là trung đ i ể m c ủ a ( ) 0;⇒ B BC H y Ta có  ( ) 0 2 2 cos cos60 2 4 , 3 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = AH AH HAB AB AH AB AH AB AB v ớ i ( ) ; ; 0; 2   − = − = −         B A B A b AB y y AH y y a , t ừ đ ó ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 2 − ⇔ + − = − B A B A b y y y y a Giá tr ị m tìm đượ c k ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n t ồ n t ạ i ở (*) cho ta k ế t qu ả cu ố i cùng c ủ a bài toán. Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S = S o cho trước G ọ i H là trung đ i ể m c ủ a ( ) 0;⇒ B BC H y . Khi đ ó ( ) 2 2 2 1 . 2 . 4 . , 4 2 ∆ = ⇔ = ⇔ = ABC o o S AH BC S AH BC S AH BC v ớ i ( ) 2 ;0 ; 0; 2   − = − = −         B A b BC AH y y a , t ừ đ ó ( ) ( ) 2 2 3 4 .4 2 −   ⇔ = −     o B A b S y y a Giá tr ị m tìm đượ c k ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n t ồ n t ạ i ở (*) cho ta k ế t qu ả cu ố i cùng c ủ a bài toán. Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước S ử d ụ ng công th ứ c di ệ n tích tam giác 2 . . 1 4 4 2 4. . 2 = ⇒ = ⇔ = ⇔ = abc abc AB AC BC AB S R R R R S AH AH BC Gi ả i ph ươ ng trình trên ta đượ c giá tr ị c ủ a m, đố i chi ế u v ớ i (*) cho ta k ế t lu ậ n cu ố i cùng. Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm G(0; α) cho trước Ta có điều kiện trong trường hợp này là α 2 3α 3 + + = ⇔ + = A B C A B y y y y y Ví dụ 1: (ĐH khối B - 2011) Cho hàm số = − + + 4 2 2( 1) y x m x m , v ớ i m là tham s ố . Tìm m để đồ th ị hàm s ố đ ã cho có ba đ i ể m c ự c tr ị A, B, C sao cho OA = BC, v ớ i O là g ố c t ọ a độ , A là đ i ể m c ự c tr ị thu ộ c tr ụ c tung, B và C là hai đ i ể m c ự c tr ị còn l ạ i. Hướng dẫn giải : Ta có 3 2 2 0 4 4( 1) 4 ( 1) 0 1 =  ′ ′   = − + = − + ⇒ = ⇔    = +  x y x m x x x m y x m Hàm s ố có ba đ i ể m c ự c tr ị khi ph ươ ng trình y ′ = 0 có ba nghi ệ m phân bi ệ t ( ) 1 0 1, * ⇔ + > ⇔ > −m m V ớ i m > −1 thì 1 1 2 2 2 2 3 3 0 0 1 ( 1) 1 ( 1) = ⇒ =   ′ = ⇔ = + ⇒ = − + +   = − + ⇒ = − + +  x y m y x m y m m x m y m m Theo bài ta có t ọ a độ các đ i ể m c ự c tr ị là ( ) ( ) ( ) 2 2 0; , 1; 1 , 1; 1 + − − − − + − − − A m B m m m C m m m T ừ đ ó ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 4 0 2 2 2  = + = ⇔ = ⇔ = + ⇔ − − = ⇔  = −   m OA BC OA BC m m m m m K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta đượ c 2 2 2 = ±m là các giá tr ị c ầ n tìm. Ví d ụ 2: (D ự b ị kh ố i B - 2003) Cho hàm s ố = − + 4 2 2 2 1 y x m x , v ớ i m là tham s ố . Tìm m để đồ th ị hàm s ố đ ã cho có ba đ i ể m c ự c tr ị là ba đỉ nh c ủ a m ộ t tam giác vuông cân. H ướ ng d ẫ n gi ả i : Ta có 3 2 2 2 2 2 0 4 4 4 0 =  ′ ′   = − = − ⇒ = ⇔    =  x y x m x x x m y x m Hàm s ố có ba đ i ể m c ự c tr ị khi ph ươ ng trình y′ = 0 có ba nghi ệ m phân bi ệ t ( ) 2 0 0, * ⇔ > ⇔ ≠m m V ớ i m ≠ 0 thì ( ) ( ) ( ) 1 1 4 4 4 2 2 4 3 3 0 1 0 1 0;1 , ;1 , ;1 1 = ⇒ =   ′ = ⇔ = ⇒ = − → − − −   = − ⇒ = −  x y y x m y m A B m m C m m x m y m Ta nh ậ n th ấ y tam giác ∆ABC luôn cân t ạ i A. Để ∆ABC vuông cân thì ph ả i vuông cân t ạ i A. T ừ đ ó suy ra ( ) ( ) 4 4 2 8 2 6 0 . 0 ; . ; 0 0 ( 1) 0 1 =  ⊥ ⇔ = ⇔ − − − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔  = ±    m AB AC AB AC m m m m m m m m m K ết hợp với điều kiện (*) ta được 1 = ± m là các giá trị cần tìm. Ví d ụ 3: Cho hàm s ố = + − − 4 2 2 1 y x mx m , v ớ i m là tham s ố . Tìm m để hàm s ố có ba đ i ể m c ự c tr ị đồ ng th ờ i các đ i ể m c ự c tr ị c ủ a đồ th ị t ạ o thành m ộ t tam giác a) có di ệ n tích b ằ ng 4 2 . b) đề u. c) có m ộ t góc b ằ ng 120 0 Hướng dẫn giải : Ta có ( ) 3 2 2 0 4 4 4 0 =  ′ ′ = + = + ⇒ = ⇔  = −  x y x mx x x m y x m Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m < 0, (*) Với m < 0 thì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 0 1 0; 1 , ; 1 , ; 1 1 = ⇒ = − −   ′ = ⇔ = − ⇒ = − − − → − − − − − − − − − − −   = − − ⇒ = − − −  x y m y x m y m m A m B m m m C m m m x m y m m Ta nh ận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A. Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 a) Gọi H là trung điểm của ( ) 2 0; 1 ⇒ − − − BC H m m Khi đó, ( ) 2 2 1 . 4 2 . 8 2 . 128, 1 2 ∆ = = ⇔ = ⇔ = ABC S AH BC AH BC AH BC Ta có ( ) ( ) 2 2 ;0 ; 0; , = − − = −   BC m AH m t ừ đ ó ( ) 4 5 1 4 . 128 32 2 ⇔ − = ⇔ = − ⇒ = − m m m m Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta th ấ y m = − 2 là giá tr ị c ầ n tìm. b) Tam giác ABC đề u khi ( ) 2 2 , 2 = ⇔ = AB BC AB BC Ta có ( ) ( ) 2 ; , 2 ;0 , = − − = − −   AB m m BC m t ừ đ ó ( ) 4 4 3 0 2 4 3 3 =  ⇔ − + = − ⇔ = − ⇔  = −  m m m m m m m Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta đượ c 3 3 = − m là giá tr ị c ầ n tìm. c) Tam giác ABC cân t ạ i A nên để có m ộ t góc b ằ ng 120 0 thì  0 120 =BAC G ọ i H là trung đ i ể m c ủ a ( ) 2 0; 1 ⇒ − − − BC H m m Trong tam giác vuông HAB có  ( ) 0 2 2 3 sin sin 60 3 2 3 , 3 2 = = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = BH BH HAB AB BH BC AB BC AB AB Ta có ( ) ( ) 2 ; , 2 ;0 , = − − = − −   AB m m BC m khi đ ó ( ) ( ) 4 3 0 3 3 4 1 3 =   ⇔ − + = − ⇔  = −   m m m m m Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta đượ c 3 1 3 = −m là giá tr ị c ầ n tìm. Ví dụ 4: Cho hàm số = − + − 4 2 2 1 y x mx m , với m là tham số. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. H ướ ng d ẫ n gi ả i : Ta có ( ) 3 2 2 0 4 4 4 0 =  ′ ′ = − = − ⇒ = ⇔  =  x y x mx x x m y x m Hàm s ố có ba đ i ể m c ự c tr ị khi ph ươ ng trình y′ = 0 có ba nghi ệ m phân bi ệ t, t ứ c là m > 0, (*) V ớ i m > 0 thì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 0 1 0; 1 , ; 1 , ; 1 1 = ⇒ = −   ′ = ⇔ = ⇒ = − + − → − − + − − − + −   = − ⇒ = − + −  x y m y x m y m m A m B m m m C m m m x m y m m Ta nh ậ n th ấ y A thu ộ c Oy, B ; C đố i x ứ ng qua Oy nên tam giác ABC cân t ạ i A. G ọ i H là trung đ i ể m c ủ a ( ) 2 0; 1 ⇒ − + − BC H m m Di ệ n tích tam giác ABC : ( ) 2 . . . , 1 2 4 2 ∆ = = ⇒ = ABC AH BC AB BC AC AB S R R AH Ta có ( ) ( ) 2 4 2 2 2 ; ; 0;  = +  = − = − ⇒  =     AB m m AB m m AH m AH m Khi đ ó, ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 1 1 2 2 1 0 1 1 0 1 5 2 =  +  ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇔ − ±  =   m m m m m m m m m m Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 5 1 1; 2 − = =m m là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 5: (Khối A - 2012) Cho hàm số ( ) ( ) = − + + 4 2 2 2 1 1 y x m x m , với m là tham số. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông Hướng dẫn giải : Ta có 3 2 2 0 4 4( 1) 4 ( 1) 0 1 =  ′ ′   = − + = − + ⇒ = ⇔    = +  x y x m x x x m y x m Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ( ) 1 0 1, * ⇔ + > ⇔ > −m m V ớ i m ≠ 0 thì ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 3 3 0 0 1 2 1 0; , 1; 2 1 , 1; 2 1 1 2 1  = ⇒ =  ′ = ⇔ = + ⇒ = − − → + − − − + − −   = − + ⇒ = − −   x y m y x m y m A m B m m C m m x m y m Ta nh ậ n th ấ y tam giác ∆ABC luôn cân t ạ i A. Để ∆ABC vuông cân thì ph ả i vuông cân t ạ i A. Ta có ( ) ( ) 2 2 1; ( 1) ; 1; ( 1) = + − + = − + − +   AB m m AC m m T ừ đ ó suy ra 4 1 0 1 . 0 ( 1) ( 1) 0 1 1 0 + = = −   ⊥ ⇔ = ⇔ − + + + = ⇔ ⇔   + = =     m m AB AC AB AC m m m m K ết hợp với điều kiện (*) ta được m = 0 là các giá trị cần tìm. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số 4 2 4 2 1 = − + + y x mx m , với m là tham số. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác a) có diện tích bằng 3 2. b) có trọng tâm là 2 0; . 3       G c) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Bài 2: Tìm m để hàm số 4 2 2 2 1 = − + y x m x có ba điểm cực trị A, B, C sao cho a) tam giác ABC đều. b) 2 , = OA BC trong đ ó O là g ố c t ọ a độ , A là đ i ể m c ự c tr ị thu ộ c Oy, B ; C là hai đ i ể m c ự c tr ị còn l ạ i. Bài 3: Tìm m để hàm s ố ( ) 4 2 2 2 2 5 5 = + − + − + y x m x m m có ba đ i ể m c ự c tr ị và là ba đỉ nh c ủ a m ộ t tam giác vuông cân. Đ/s : m = 1. Bài 4: Tìm m để hàm s ố 4 2 2 2 = + + + y x mx m m có ba đ i ể m c ự c tr ị đồ ng th ờ i các đ i ể m c ự c tr ị c ủ a đồ th ị t ạ o thành m ộ t tam giác có m ộ t góc b ằ ng 120 0 . Đ/s : . = − 3 1 3 m Bài 5: Cho hàm s ố 4 2 4 2 2= − + + y x mx m m có đồ th ị (C m ) . V ớ i nh ữ ng giá tr ị nào c ủ a m thì đồ th ị (C m ) có ba đ i ể m c ự c tr ị , đồ ng th ờ i ba đ i ể m c ự c tr ị đ ó l ậ p thành m ộ t tam giác có di ệ n tích b ằ ng 4. Đ/s : . = 5 16 m Bài 6: Cho hàm s ố 4 2 2 2 1 = − + y x m x (1) Tìm m để đồ th ị hàm s ố (1) có ba đ i ể m c ự c tr ị A, B, C và di ệ n tích c ủ a tam giác ABC b ằ ng 32. Bài 7: Cho hàm s ố 4 2 2 1 = − + − y x mx m có đồ th ị (C m ) . V ớ i nh ữ ng giá tr ị nào c ủ a m thì đồ th ị (C m ) có ba đ i ể m c ự c tr ị , đồ ng th ờ i ba đ i ể m c ự c tr ị đ ó l ậ p thành m ộ t tam giác có bán kính đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p b ằ ng 1 . Đ/s : ; . − = = 5 1 1 2 m m . tìm. Ví dụ 4: Cho hàm số = − + − 4 2 2 1 y x mx m , với m là tham số. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành. t ồ n t ạ i ba đ i ể m c ự c tr ị : ( ) 0 * 2 − > b a 02. CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt