Mục lục 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC 4 1.1 Không gian Mêtric. Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian Mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tập mở và tập đóng. Vị trí tương đối giữa điểm và tập con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Tập mở, tập đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Phần trong và bao đóng của một tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Điểm trong, điểm ngoài, điểm biên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Tập trù mật. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Ánh xạ liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Không gian mêtric đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 Không gian mêtric đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Định lý Baire về phạm trù. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Không gian mêtric compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.1 Tập compact. Tập hoàn toàn bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.2 Các điều kiện tương đương với tính compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 KHÔNG GIAN TÔPÔ 15 2.1 Tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Tôpô. Không gian Tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 So sánh tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Cơ sở và tiền cơ sở. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4 Lân cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.5 Phần trong và bao đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Vị trí tương đối giữa điểm và tập con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Ánh xạ liên tục. Không gian con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 Ánh xạ liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2 Không gian con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Tổng, tích và thương của các không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1 Tổng và tổng trực tiếp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2 Tích Descartes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 Các tiên đề tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô 2.6.2 Không gian compact địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6.3 Compact hóa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 2 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô LỜI MỞ ĐẦU Tôpô là một trong những ngành cơ bản của Toán học hiện đại. Nó ra đời vào những năm đầu của thế kỷ XX. Từ đó cho đến nay, Tôpô được nhiều nhà Toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu và phát triển. Nội dung học phần “Không gian mêtric - Không gian Tôpô” cho phép chúng ta hiểu rõ những vấn đề như: Tập mở, tập đóng, điểm biên, điểm trong, Ánh xạ liên tục, không gian Compact, liên thông, Tiểu luận này trên cơ sở tóm tắt những nội dung chính về lý thuyết “Không gian Mêtric - Không gian Tôpô”. Với hệ thống bài tập nhằm giúp sinh viên đi sâu vào nghiên cứu kỹ hơn phần “Không gian Mêtric” và “Không gian Tôpô”. Với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Chung cùng những tài liệu, giáo trình và bài giảng của Thầy giúp tôi hoàn thành được tập tài liệu này. Trong quá trình làm tiểu luận này, tôi đã cố gắng để nội dung của nó ngắn gọn mà vẫn đầy đủ, nhưng do khả năng có hạn nên chắc chắn có những vấn đề còn thiếu sót mong nhận được sự bổ sung và ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để tiểu luận này hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Tạ Minh Thanh GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 3 SVTH: Tạ Minh Thanh Chương 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC A. LÝ THUYẾT 1.1 Không gian Mêtric. Dãy hội tụ 1.1.1 Không gian Mêtric Cho X là một tập hợp. Một hàm d : X 2 → R là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện: m 1 ) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0 ⇔ x = y m 2 ) d(x,y) = d(y, x) m 3 ) d(x,z) ≤ d(x,y)+ d(y,z) với mọi x,y, z ∈ X. Không gian mêtric (X,d) là một tập X cùng với một mêtric d trên X. Nếu (X,d) là một không gian mêtric thì mỗi x ∈ X gọi là một điểm và với mọi x,y ∈ X ta gọi d(x,y) là khoảng cách từ x đến y. Ví du 1. a) Với mọi x = (x 1 ,x 2 , ,x n ),y = (y 1 ,y 2 , ,y n ) ∈ R n . Đặt d(x, y) = ( n ∑ i=1 |x i − y i | 2 ) 1 2 . d là một mêtric trên R k . Thật vậy, m 1 ) và m 2 ) là hiển nhiên. Với mọi x = (x 1 ,x 2 , ,x k ),y = (y 1 ,y 2 , ,y k ), z = (z 1 ,z 2 , ,z k ) ∈ R n , sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có: d 2 (x,z) = k ∑ i=1 |x i − z i | 2 ≤ k ∑ i=1 (|x i − y i | +|y i − z i |) 2 = k ∑ i=1 |x i − y i | 2 + 2 k ∑ i=1 |x i − y i ||y i − z i | + k ∑ i=1 |y i − z i | 2 ≤ k ∑ i=1 |x i − y i | 2 + 2  k ∑ i=1 |x i − y i | 2  1 2  k ∑ i=1 |y i − z i | 2  1 2 + k ∑ i=1 |y i − z i | 2 =    k ∑ i=1 |x i − y i | 2  1 2 +  k ∑ i=1 |x i − y i | 2  1 2   2 4 Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô = (d(x , y) +d(y,z)) 2 Từ đó suy ra d(y,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) và ta có m 3 ) b) Kí hiệu C[a, b] là tập các hàm thực liên tục trên đoạn [a, b]. Với mọi x, y ∈ [a,b], đặt: d(x, y) = max t∈[a,b] |x(t) −y(t)| Dễ thấy d thỏa mãn m 1 ) và m 2 ), ta kiểm tra m 3 ). Với mọi x,y,z ∈ C[a,b] ta có: d(x, z) − max t∈[a,b] |x(t) −y(t)| ≤ max t∈[a,b] (|x(t) −y(t)| +|y(t) −z(t)|) ≤ max t∈[a,b] |x(t) −y(t)| + max t∈[a,b] |y(t) −z(t)| = d(x , y) +d(y,z) Từ đó d là một mêtric trên C[a,b]. 1.1.2 Dãy hội tụ Cho (X,d) là một không gian mêtric. Dãy {x n } trong X gọi là hội tụ đến a ∈ M nếu: limd(x n ,a) = 0, kí hiệu: lim n∞ x n = a; lim x n = a, hoặc x n → a Nếu limx n = a thì a gọi là giới hạn của dãy x n . Nếu dãy {x n } không hội tụ đến a thì ta kí hiệu x n  a. Định lý 1. Giới hạn của một dãy hội tụ trong không gian mêtric là duy nhất. Chứng minh: Giả sử {x n } hội tụ và x n → a,x n → a  . Khi đó: 0 ≤ d(a,a  ) ≤ d(a,x n ) +d(x n ,a  ) → 0 Do đó d(a, a  ) = 0 và a = a  . Định lý 2. Trong một không gian mêtric cho các dãy {x n } và {y n } hội tụ đến a và b tương ứng. Khi đó d(x n ,y n ) → d(a,b). Ví dụ 2. a) Xét dãy {x n },x n = (x (n) 1 , ,x (n) k ) trong R k ,x 0 = (x (0) 1 , ,x (0) k ). Ta có: limx n = x 0 ⇔ lim  k ∑ i=1 |x (n) i − x (0) i |  1 2 = 0 ⇔ limx (n) i = x (0) i với i = 1, ,n. Vì vậy sự hội tụ mêtric Euclide trong R n chính là sự hội tụ theo tọa độ. b) Xét dãy {x n } và x 0 ∈ C[a,b]. theo mêtric hội tụ đều ta có limx n = x 0 ⇔ ∀ε > 0,∃n 0 ,∀n > n 0 đều có d(x n ,x 0 ) < ε. ⇔ max t∈[a,b] |x n (t) −x 0 (t)| < ε ⇔ |x n (t) −x 0 (t)| < ε với mọi t ∈ [a,b] ⇔ dãy hàm {x n } hội tụ đều đến x 0 trên [a,b]. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 5 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô 1.2 Tập mở và tập đóng. Vị trí tương đối giữa điểm và tập con. 1.2.1 Tập mở, tập đóng. Cho (X,d) là một không gian mêtric. Với mỗi a ∈ và ε > 0, đặt B(a,ε) = {x ∈ X|d(x,a) < ε}. B(a,ε) gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính ε hay ε-lân cận của a. Tập con G của X gọi là tập mở nếu mọi a ∈ G, tồn tại ε > 0 sao cho B(a,ε) ⊂ G. Tập con F của X gọi là tập đóng nếu X \ F là tập mở. Định lý 3. Trong họ các tập con của một không gian mêtric X ta có: a) φ và X là tập mở. b) Hợp tùy ý các tập mở là tập mở. c) Giao hữu hạn các tập mở là tập mở. Ví dụ 3. Mọi a không thuộc không gian mêtric X và số r > 0, hình cầu mở B(a,r) là tập mở. Thật vậy, mọi x ∈ B(a,r) ta sẽ chỉ ra có ε > 0 sao cho B(x,ε) ⊂ B(a, r), chọn ε = r − d(x,a). Khi đó ε > 0 và mọi y ∈ B(x,ε) ta có: d(y,a) ≤ d(y,x) + d (x,a) ≤ (r −d(x,a) + d(x,a) = r Từ đó y ∈ B(a,r). Vậy B(x,ε) ⊂ B(a,r) 1.2.2 Phần trong và bao đóng của một tập. Cho A là một tập con của không gian mêtric X. Khi đó ta gọi hợp của tất cả các tập con mở của X được chứa trong X là phần trong của A, kí hiệu là 0 A . Giao của tất cả các tập con đóng của X chứa A là bao đóng của A, kí hiệu là A. A mở ⇔ A = 0 A A đóng ⇔ A = A Mọi tập con A,B của X, nếu A ⊂ B thì 0 A ⊂ 0 B và A ⊂ B. 1.2.3 Điểm trong, điểm ngoài, điểm biên. Cho không gian mêtric X và tập con của X. +) Điểm x ∈ X gọi là điểm trong của A nếu tồn tại ε > 0 sao cho B(x,ε) ⊂ A. +) Điểm x ∈ X gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại ε > 0 sao cho B(x,ε) ⊂ X \ A. +) Điểm x ∈ X gọi là điểm biên của A nếu tồn tại ε > 0 đều có A ∩B(x,ε) = /0 và (X \A)∩ B(x,ε) = /0. Tập tất cả các điểm biên của A, kí hiệu ∂ A và gọi là biên của A. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 6 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô 1.2.4 Tập trù mật. +) Tập con A của không gian mêtric X gọi là trù mật trong X nếu A = X. +) Tập con A của không gian mêtric X gọi là không đâu trù mật nếu (A) 0 = /0 +) Không gian mêtric X gọi là khả li nếu X có một tập con A đếm được và trù mật trong X. 1.3 Ánh xạ liên tục. Định nghĩa ánh xạ liên tục. Cho hai không gian mêtric (X,d) và (Y, p). Một ánh xạ f : X → Y gọi là liên tục tại x 0 ∈ X nếu mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho d(x,x 0 ) < δ thì p( f (x), f (x 0 )) < ε. Ánh xạ f gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X . Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên X nếu moi ε > 0, tồn tại δ  > 0 sao cho với x 1 ,x 2 ∈ X, d(x 1 ,x 2 ) < δ  thì p( f (x 1 ), f (x 2 )) < ε. Định lý 4. Ánh xạ f : X → Y liên tục tại x 0 ∈ X nếu và chỉ nếu mọi dãy {x n } ⊂ X,x n → x 0 đều có f (x n ) → f (x 0 ). 1.4 Không gian mêtric đầy đủ. 1.4.1 Không gian mêtric đầy đủ. Cho (X,d) là một không gian mêtric. Một dãy {x n } trong X gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu mọi ε > 0, tồn tại n 0 sao cho d(x n ,x m ) < ε với mọi m,n ≥ n 0 . Điều này được viết dưới dạng giới hạn là: d(x n ,x m ) → 0 khi n,m → ∞ Không gian mêtric gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. 1.4.2 Định lý Baire về phạm trù. Không gian mêtric X gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X = ∞  i=1 A n , trong đó A n là các tập không đâu trù mật trong X. Không gian không thuộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai. Định lý 5 (Định lý Baire về phạm trù). Mọi không gian mêtric đầy đủ đều thuộc phạm trù thứ hai. 1.5 Không gian mêtric compact. 1.5.1 Tập compact. Tập hoàn toàn bị chặn. Cho không gian mêtric X, tập con A của X gọi là tập compact nếu mọi dãy {x n } trong A đều có một dãy con {X n k } hội tụ đến một điểm thuộc A. Tập con A gọi là compact tương đối nếu bao đóng A là tập compact trong X. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 7 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô Ví dụ 4. Với mọi a,b ∈ R,a < b,[a,b] là tập compact, (a,b) là tập compact tương đối; [a, b]∩Q là tập compact tương đối. +) Tập con A của X gọi là tập bị chặn nếu đường kính của A: d(A) = sup{d(x, y)|x, y ∈ A} < ∞ Với mọi hình cầu B(x,r) trong không gian mêtric ta có: d(B(x, r)) ≤ 2r +) Tập con A của X gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu mọi ε > 0, tồn tại hữu hạn điểm x 1 ,x 2 , ,x n ∈ X sao cho: A ⊂ n  i=1 B(x i ,ε) Chú ý: Mọi tập hoàn toàn bị chặn là bị chặn. Một tập bị chặn có thể không hoàn toàn bị chặn. 1.5.2 Các điều kiện tương đương với tính compact. Một họ {  α } α∈I các tập con của không gian mêtric X được gọi là một phủ của tập con A của X nếu A ⊂  α∈I  α . Nếu mọi  α đều là tập mở thì phủ gọi là phủ mở. Định lý 6. Cho X là một không gian mêtric, khi đó với mọi tập con A của X các điều kiện sau đây tương đương: a) A là compact. b) A đầy đủ và hoàn toàn bị chặn. c) Mọi phủ mở {  α } α∈I của A đều có một phủ mở con hữu hạn. Định lý 7. Cho ánh xạ f : X → Y liên tục và K là một tập con compact của X. Khi đó f (K) là tập compact của Y . Chứng minh: Lấy tùy ý dãy {y n } ⊂ f(K). Chọn x n ∈ K sao cho f (x 0 ) = y n ta được dãy {x n } ⊂ K. Do K compact nên có dãy con {x n k },x n k → x 0 ∈ K. Vì f liên tục nên: y n k = f (x n k ) → f (x 0 ) ∈ f (K). Vậy {y n k } là một dãy con hội tụ của {y n }. B. BÀI TẬP Bài 1. Cho mọi tập con A,B của một không gian mêtric, chứng minh: a) (A ∪ B) 0 ⊃ A 0 ∪ B 0 ; (A ∩B) 0 = A 0 ∩ B 0 . b) A ∪B = A ∪ B ; A ∩ B ⊂ A ∩ B. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 8 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô Giải: a) • Ta có: A,B ⊂ A ∪B ⇒  A 0 ⊂ (A ∪B) 0 B 0 ⊂ (A ∪B) 0 ⇒ A 0 ∪ B 0 ⊂ (A ∪B) 0 • Ta có:  A ∩B ⊂ A A ∩B ⊂ B ⇒  (A ∩B) 0 ⊂ A 0 (A ∩B) 0 ⊂ B 0 ⇒ (A ∩B) 0 ⊂ A 0 ∩ B 0 ; Mặt khác ta có: A 0 ∩ B 0 ⊂ A∩ B và A 0 ∩ B 0 là tập mở nên A 0 ∩ B 0 = (A ∩B) 0 . Vậy (A ∩B) 0 = A 0 ∩ B 0 . b) • Ta có A ∪B ⊂ A ∪ B ⇒ A ∪ B ⊂ A ∪ B; Mặt khác: A,B ⊂ A ∪B ⇒ A,B ⊂ A ∪B ⇒ A ∪B ⊂ A ∪B. Vậy A ∪B = A ∪B. • Ta có: A ∩ B ⊂ A ∩ B ⇒ A ∩ B ⊂ A ∩ B. Bài 2. Cho U,V là các tập mở không giao nhau của không gian mêtric X. Chứng minh U ∩V = U ∩V = /0 Giải: Theo giả thiết ta có: U ∩V = /0 ⇒ U ⊂ X \V , vì V mở ⇒ X \V đóng ⇒ V ⊂ X \U ⇒ V ∩U = /0. Vậy U ∩V = V ∩U = /0. (đpcm) Bài 3. Cho không gian mêtric X và tập con A của X. Với mọi x ∈ X, đặt d(x,A) = inf{d(x, y)|y ∈ A}. Chứng minh rằng: a) d(x,A) là hàm liên tục trên X. b) d(x,A) = d(x,A). c) d(x,A) = 0 ⇔ x ∈ A. Giải: a) ∀x,y ∈ X,a ∈ A Theo tính chất mêtric ta có: d(a, A) ≤ d(x,y) +d(y,a) ⇔ inf a∈A d(x, a) ≤ d(x, y) + inf a∈A d(y,a) ⇔ d(x,A) ≤ d(x,y) +d(y,a) ⇒ d(x,A) − d(y,a) ≤ d(x, y). Đổi vai trò của x và y ta được: d(y,A) − d(x,A) ≤ d(x,y). Vậy |d(x, A) −d(y,A)| ≤ d(x,y) với mọi x,y ∈ X . Ta có d(x,A) là ánh xạ liên tục đều. b) • Ta có d(x, A) = inf a∈A d(x, A) ≤ inf x∈A d(x, a) = d(x, A). ⇒ d(x,A) ≤ d(x,A) (1) • ∀ε > 0, ∀a ∈ A : d(a, b) < ε. (Lấy ε = 1/n, n ∈ N) Theo tính chất mêtric ta có: d(x,b) ≤ d(x,a) + d(a,b) ⇒ inf b∈A d(x, b) ≤ inf a∈A (x,a) + inf x∈A b∈A d(a, b) ⇔ d(x,A) ≤ d(x,A) + ε (∀ε > 0) ⇒ d(x,A) ≤ d(x,A (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: d(x,A) = d(x,A) (đpcm). c) Lấy x ∈ A ⇔ ∃{x n } ⊂ A,x n → x ⇔ d(x n ,x) → 0 ⇔ d(x,A) = 0. (đpcm) GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 9 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô Bài 4. Với mọi a thuộc không gian mêtric X và r > 0 ta gọi tập B  (a,r) = {x ∈ X|d(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính r. a) Chứng minh hình cầu đóng là tập đóng, B(a,r) ⊂ B  (a,r). b) Cho một ví dụ B(a,r) = B  (a,r). Giải: a) Ta chứng minh X \ B  (a,r) mở. Lấy tùy ý x ∈ X \ B  (a,r). Khi đó ε = d(x, a) − r > 0. Mọi y ∈ b(x, ε), theo tính chất mêtric ta có: d(x, y) +d(y,a) ≥ d(x,a) ⇒ d(y,a) ≥ d(x, a) −d(x, y) > d(x, a) −ε = r) ⇒ y ∈ X \B  (a,r). Vậy B(x,ε) ⊂ X \B  (a,r) hay X \B  (a,r) mở. b) Xét X là không gian mêtric rời rạc có nhiều hơn một điểm. Với mọi x ∈ X ta có B(x,1) = B(x,1) = {x}, B  (0,1) = X. Bài 5. Cho A và B là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric X thỏa mãn: A ∩ B = A ∩ B = /0. Chứng minh rằng tồn tại hai tập mở U và V sao cho A ⊂ U,B ⊂ V và V ∩U = /0. Giải: Xét hàm số liên tục f (x) = d(x,A) − d(x,B) trên X. Đặt U = f −1 (∞,0),V = f −1 (0,∞). Khi đó U,V là mở và U ∩V = /0. +) Nếu x ∈ A thì x ∈ B (vì A∩ B = /0) nên f (x) < 0, tức là x ∈ U. Vậy A ⊂ U. +) Tương tự nếu x ∈ B thì x ∈ A (vì B ∩A = /0) nên f (x) > 0, tức là x ∈ V. Vậy B ⊂ V . Bài 6. Kí hiệu l 1 là tập các dãy số x = {x k } có ∞ ∑ k=1 |x k | < ∞. Với x = {x k },y = {y k } thuộc l 1 , đặt d(x, y) = ∞ ∑ k=1 |x k − y k | có ∞ ∑ k=1 |x k | < ∞. Với x = {x k }. Chứng minh: a) d là một mêtric trên l 1 . b) (l 1 ,d) là không gian mêtric đầy đủ và khả li. Giải: a) Chứng minh d là một mêtric trên l 1 , tức là ta cần kiểm tra ba tiên đề sau: Với x = (x 1 ,x 2 , ,x k );y = (y 1 ,y 2 , ,y k ) (k ∈ N) +) ∀x,y ∈ X, ta có: d(x, y) = ∞ ∑ k=1 |x k − y k | ≥ 0 d(x, y) = 0 ⇔ ∞ ∑ k=1 |x k − y k | = 0 ⇔ |x k − y k | = 0 ⇔ x k = y k ⇔ x = y. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 10 SVTH: Tạ Minh Thanh [...]... (hay T1 - không gian) nếu với hai điểm khác nhau trong X thì sẽ tồn tại một lân cận của điểm này mà không chứa điểm kia - Không gian tôpô X được gọi là T2 -không gian hay không gian Hausdorff nếu với hai điểm x, y ∈ X, x = y thì sẽ tồn tại các lân cận U của x, lân cận V của y sao cho U ∩V = 0 / - Không gian tôpô X được gọi là một T3 -không gian hay là không gian chính quy nếu X là T1 -không gian và... các tập mở U x và V ⊃ F sao cho / U ∩V = 0 / - Không gian tôpô X được gọi là một T4 -không gian và với hai taaph đóng A, B không giao nhau, sẽ tồn tại hai tập mở U ⊃ A,V ⊃ B sao cho U ∩V = 0 / GVHD: TS Nguyễn Thành Chung 17 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô 2.6 Bài tập Tôpô Không gian compact 2.6.1 Định nghĩa Tập K ⊂ X của không gian tôpô X được gọi là một tập compact nếu mỗi phủ... Thanh Chương 2 KHÔNG GIAN TÔPÔ A LÝ THUYẾT 2.1 Tôpô 2.1.1 Tôpô Không gian Tôpô Cho một tập X, một họ τ các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thảo mãn các điều kiện: (τ1 ) X và 0 thuộc τ; / (τ2 ) Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ; (τ3 ) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ +) Một tập X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô Để chỉ rõ τ là tôpô của không gian X ta viết là... mọi x ∈ X đều tồn tại một lân cận đóng Định lý a) Không gian con đóng của một không gian compact địa phương là một không gian compact địa phương b) Không gian con mở của một không gian Hausdorff compact địa phương là compact địa phương 2.6.3 Compact hóa Định nghĩa: Cho X là một không gian tôpô không compact và cho cặp (Y, ϕ) trong đó Y là một không gian compact, ϕ : X → ϕ(X) ⊂ Y là một phép đồng phôi... τ)}α∈I là một họ các không gian tôpô Đặt X = ∏ Xα và πα : X → Xα là phép chiếu hay ánh xạ α∈I tọa độ thứ α Các không gian Xα gọi là không gian tọa độ Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu πα liên tục Định lý 3 2.5 Với mọi α, phép chiếu ∏α : ∏α∈I Xα → Xα là ánh xạ mở Các tiên đề tách Các định nghĩa và tính chất: - Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian thỏa mãn tiên... τ) là một không gian tôpô Tập G ∈ τ được gọi là tập mở của X Tập con F của X gọi là tập đóng nếu X \ F là tập mở Ví du 1 a) Với mọi X, P(X) là tập tất cả các tập con của X, P(X) là một tôpô trên X, ta gọi là tôpô rời rạc Tập X cùng với tôpô rời rạc là không gian tôpô rời rạc b) Với mọi tập X, họ {0, X} là một tôpô trên X, gọi là tôpô tầm thường Tập X với tôpô tầm thường gọi là / không gian tôpô tầm... \ X0 Trên X xét tôpô có cơ sở là các tập mở của X1 theo tôpô Euclide trong R2 và các tập dạng B(a, a2 ) ∪ {(a1 , 0)} , Ở đây B(a, a2 ) là hình tròn mở tâm a; bán kính a2 , với mọi a = (a1 , a2 ) ∈ X1 Chứng minh rằng X là không gian hoàn toàn chính quy nhưng không là không gian chuẩn tắc GVHD: TS Nguyễn Thành Chung 22 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô Giải Với mọi... Mêtric - Không gian Tôpô 2.3.2 Bài tập Tôpô Không gian con Cho (X, τ) là hai không gian tôpô và A là một tập con của X Khi đó họ τA = {G ∩ A|A ∈ τ} là một tôpô trên A, gọi là không gian con của không gian X Kí hiệu i : A → X, i(x) = x là phép nhúng chính tắc Hiển nhiên phép nhúng chính tắc là phép nhúng đồng phôi Định lý 1 Cho A là một tập con của không gian tôpô X Khi đó: a) A mở ⇔ i : A → X là ánh... phép đồng phôi sao cho ϕ(X) = Y Khi đó ta gọi cặp (Y, ϕ) là một compact hóa của không gian tôpô X GVHD: TS Nguyễn Thành Chung 18 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô B BÀI TẬP Bài 1 Cho {τα }α∈I là một họ các tôpô trên tập X Chứng minh τ = τα là một tôpô trên X α∈I Giải Ta chứng minh τ là một tôpô trên X, tức là ta cần kiểm tra có tiên đề sau: i) 0, X ∈ τα với mọi α ∈ I,... của định lý chỉ đúng nếu như X là một T2 -không gian Đính lý 5 Nếu X là một T2 -không gian thì mọi tập con compact của X đều là tập đóng Định lý 6 Cho X là một T2 -không gian và A, B là hai tập compact của X và A ∩ B = 0 Lúc đó tồn tại hai tập / mở U,V trong X sao cho A ⊂ U, B ⊂ V và U ∩V = 0 / 2.6.2 Không gian compact địa phương Định nghĩa: và compact Không gian tôpô X được gọi là compact địa phương . Chung 16 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô 2.3.2 Không gian con. Cho (X, τ) là hai không gian tôpô và A là một tập con của. SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô 2.6 Không gian compact 2.6.1 Định nghĩa. Tập K ⊂ X của không gian tôpô X được gọi là