LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY Bài 1. Tính các tích phân sau : 1 5 2 2 4 2 1 1 . 1 x a dx x x + + − + ∫ . 1 2 2 2 1 . 1 p p e p x b dx x + + + ∫ 1 4 0 1 . 1 c dx x + ∫ GIẢI 1 5 2 2 4 2 1 1 . 1 x a dx x x + + − + ∫ .(ĐHTM-2001) - Chia tử và mẫu cho 2 0x ≠ . Ta được : 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 x f x x x + = + − . Đặt 2 2 2 2 2 1 1 1 ; 2 1 ( ) ( ) 1 1 5 1 0; 1 2 dt dx t x x x dt t x f x dx f t dt x t x t x t    = + = + −  ÷     = − ⇒ ⇔ = = +  + = → = = → =   - Đặt : ( ) 2 2 1 4 4 2 2 2 0 0 0 ;1 1 tan os tan ( ) 4 4 os 1 tan 0 0 0; 1 4 du dt t u du c u t u f t dt du u c u u t u t u π π π π π  = + = +  = ⇒ ⇔ = = = =  +  = → = = → =   ∫ ∫ ∫ 1 2 2 2 1 . 1 p p e p x b dx x + + + ∫ . ( ĐHTNguyên-98) - Ta có : 2 2 2 2 ( ) 1 p p x dx f x dx x + =   +  ÷   . - Đặt : 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1; p e p p p dt x dx dt t x x I t x t x e t e + + +  =  = = ⇒ ⇔ =  +  = → = = → =  ∫ - Đặt : ( ) 1 1 2 1 1 2 2 2 1 4 4 os tan 4 os 1 tan 1 , 4 u u du dt du c u t u I du u c u u t u t e u u π π π π  =   = ⇒ ⇔ = = = − +  = → = = → =   ∫ ∫ - Từ : 1 tan artan e artan e 4 u e u u I π = ⇒ = = ⇔ = − 1 4 0 1 . 1 c dx x + ∫ . • Phân tích : ( ) 2 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 2 1 1 2 x x x x f x J K x x x x     + + − + − = = = + = +  ÷  ÷ + + + +     Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 1 LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang • Tính J : Phân tích : 2 2 4 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 x x g x x x x + + = = + + • 2 2 3/ 2 3/ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ; 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 1 0; 2 2 dt dx t x dt x x t x J dt x t t t x t x t    = + = + −  ÷       = − ⇒ ⇔ = = −  ÷ − − +    = → = = → =   ∫ ∫ • Vậy : 3/ 2 1 2 1 2 1 .ln ln 1 2 2 2 2 2 2 1 t J t   − − = =  ÷  ÷ + +   Tính K . Phân tích : 2 2 4 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 x x h x x x x − − = = + + • 2 2 5/ 2 2 2 2 2 1 1 1 ; 2 1 * 2 5 1 2; 2 2 dt dx t x dt x x t x J x t x t x t    = − = + +  ÷  −    = + ⇒ ⇔ = = +  = → = = → =   ∫ • Đặt : ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 tan 2 ; os 2 2 os .2 1 tan 2 ; 5/ 2 u u u u du du t u dt K du u u c u c u u t u u t u u = ⇒ = ⇒ = = = − + = → = = → = ∫ ∫ • Với : 1 2 5 5 2 5 tan 2 art2; tanu= art art -art2 2 2 2 2 u u u u u K   = → = = → = = ⇔ =  ÷   Thay hai kết quả của J và K vào ta tìm ra I Bài 2. Tính các tích phân sau : 1 4 6 0 1 1. 1 x dx x + + ∫ ( ) ( ) 1 0 1 2. 2 1 n x dx n x − ≥ + ∫ ( ) 1 0 1 3. 1 1 mm m x x+ + ∫ GIẢI 1 4 6 0 1 1. 1 x dx x + + ∫ • Phân tích : ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4 2 2 2 6 6 2 6 2 4 2 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x f x x x x x x x x − + + − + = = + = + + + + + + − + • Vậy : ( ) ( ) 3 1 1 2 2 3 0 0 1 1 1 1 3 4 3 4 3 d x I dx dx x x π π π = + = + = + ∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 1 2. 2 1 n x dx n x − ≥ + ∫ Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 2 LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang • Đặt : 2 2 1 1 1 ; 1 2 1 2 1 0 1, 1 2 n n n dx dt x t t t x I dt dt x t x t t t t − = = −  −   = + ⇒ ⇔ = = −  ÷  = → = = → =    ∫ ∫ • Vậy : ( ) 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 n n n n I n t n t n − − −   −   = − = +  ÷  ÷  ÷ − −     ( ) 1 0 1 3. 1 1 mm m x x+ + ∫ • Đặt : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 0 1, 1 2 m m m m m m m m m m m m m t dt t x x t dx t mt dt m t x t x t x t − − − −  = + ⇔ = − → = − =   = + ⇒ −   = → = = → =  • Vậy : ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) 1 1 . 1 m m m m m m m m m m dt dt t f x dx t t t t t t − − + − −   −  ÷   = = = =   − −  ÷   • Đặt : 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 0, 2 2 m m m m m m m du mt dt dt t u t f t dt u du t m t u t u − − + − −  = =  = − = − ⇒ ⇔ =   = → = = → =   • Vậy : 1/2 1 1 1 1 0 1/ 2 1 1 1 0 2 m m m u du u m m − − = = = ∫ I Bài 3. Tính các tích phân sau : ( ) ( ) 1 2001 1002 2 0 1. 2000 1 x dx DHQG A x − − + ∫ 2. Chứng minh rằng : ( ) 2 0 sin sinx+n 0dx π π = ∫ . ( ĐH-Thái Nguyên KG-2001 ) GIẢI ( ) 1 2001 1002 2 0 1. 1 x dx x+ ∫ • Đặt : ( ) ( ) ( ) ( ) 2000 2 2 2000 2 2 2 1 2 1 2 2 ; 1; 1 1 ( ) 2 1 1 0 1, 1 2 x xdx dt xdx x t x t t x f x dx x x x t x t   = = − = − = + ⇒ ⇔ =  + +  = → = = → =   • ( ) 1000 1000 1000 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 2 2 t dt f x dx d t t t t −     ⇔ = = − −  ÷  ÷     • Vậy : 1000 1001 2 1001 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 2 1001 2002.2 I d t t t       = − − = − =  ÷  ÷  ÷       ∫ Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 3 LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang 2. Chứng minh : ( ) 2 0 sin sinx+n 0dx π π = ∫ . - Đặt : 2 2 ; 0, 2 . 2 ; 0t x x t x t x t π π π π = − ⇒ = − → = = = = . Khi đó : - f(x)dx= sin ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) sin 2 sin sin 2 sin sinx+nxt n t dt t nt n I π π π − + − = − + + = − = −    - Vậy : 2I=0 hay I=0 ( đpcm) Bài 4 . Tính các tích phân sau : ( ) 1 2 2 0 1 . 1 x x a e dx x + + ∫ . ( ĐHLâm Nghiệp - 2000) . : ( ) ( ) 2 2cos 2b Cho f x f x x+ − = + . Tính 3 2 3 2 ( )I f x dx π π − = ∫ . ( ĐHSPI-98) GIẢI ( ) 1 2 2 0 1 . 1 x x a e dx x + + ∫ . • Đặt : ( ) 2 2 1 1 2 2 2 1. 1 1 2 2 2 2 1 ( ) 1 0 1, 1 2 t t x t dx dt t t t t x f x dx dt e dt e dt x t x t t t t t − − = − = − +  − +   = + ⇒ = = = + −  ÷  = → = = → =    • Vậy : ( ) 2 2 2 t 1 2 1 1 1 2 2 (*) t t e e I e dt dt dt H J K e t t e −   = + − = + −     ∫ ∫ ∫ - Tính H : 1 2 . 1 1 t H e e − = = − - Tính J : ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 (1) 1 2 2 t t t dt e e e J e e dt e K J K e t t t     = − =− + = − + + ⇔ − = − +  ÷  ÷     ∫ ∫ - Vậy : I= 2 2 1 1 2 e e e e   − + − + =  ÷   b. Ta có : ( ) 3 3 0 2 2 0 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 1I f x dx f x dx f x dx π π π π − − = = + ∫ ∫ ∫ - Tính : 0 3 2 ( )f x dx π − ∫ . - Đặt : ( ) 3 3 0 0 2 2 0 0 3 3 2 2 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 , 0 0 2 2 dx dt f x f t x t f x dx f t dt f t dt f x dx x t x t π π π π π π − = − = −   = − ⇒ = − − = − = −  = − → = = → =  ∫ ∫ ∫ ∫ Thay vào (1) ta được : Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 4 LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang [ ] ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 ( ) ( ) 2 1 os2x 2 osx 2 osx osxI f x f x dx c c dx c dx c dx π π π π π π     = − + = + = = −       ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy : 3 / 2 2 sin sin 6 2 0 2 I x x π π π     = − =       Bài 5 . Tính các tích phân sau : ( ) 1 osx 2 0 1 sinx . ln 1 osx c a dx c π +   +   +     ∫ 1 2 0 1 . ln 1 x b x dx x +    ÷ −   ∫ 3 2 2 . 1c x dx− ∫ . (ĐHYHN-2001) GIẢI ( ) 1 osx 2 0 1 sinx . ln 1 osx c a dx c π +   +   +     ∫ ; f(x)= ( ) ( ) ( ) ( ) 1 osx 1 sinx ln 1 osx ln 1 sinx ln 1 osx 1 osx c c c c +   + = + + − +   +     • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln 1 sinx ln 1 sinx 1 sinx ln 1 osxf x d c⇔ = + + + + − + • Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 ln 1 sinx ln 1 osx 1 sinx ln 1 sinx sinx 2ln 2 1 2 2 0 0 I dx c dx π π π π = + − + + + + − = − ∫ ∫ (1) • Tính : ( ) 2 2 0 0 x ln 1 sinx 2ln 2 2ln os 2 4 dx c dx π π π     + = + −  ÷       ∫ ∫ . Sử dụng phương pháp tích phân từng phần : • Tương tự : ( ) 2 2 2 2 0 0 0 x ln 1 osx ln 2cos ln 2 2ln cos 2 2 x c dx dx dx π π π       + = = +  ÷  ÷  ÷       ∫ ∫ ∫ 1 2 0 1 . ln 1 x b x dx x +    ÷ −   ∫ ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 ln 3 ln3 1 ln 1 2 2 1 1 8 1 8 1 1 0 x x I x x dx dx dx x x x x x     +       = − = + = + +    ÷  ÷   − − − − +           ∫ ∫ ∫ Vậy : 1 ln3 1 1 ln3 1 1 2 ln ln 2 8 2 1 8 2 2 3 0 x I x x  −  = + + = + +   +   . 3 2 2 . 1c x dx− ∫ . Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 5 LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang * Nhắc nhở học sinh không được áp dụng cách đặt : 1 ost x c = ,vì hàm số cosx không xác định với mọi x thuộc [ ] 2;3 1;1   ∉ −   .Mà phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần . 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 . 5 2 1 5 2 1 2 1 1 1 x dx I x x x dx x dx x dx x x x   ⇔ = − − = − − + = − − −   − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 1 5 2 ln 1 2 5 2 ln(3 2 2) ln 2 2 2 I I x x I⇔ = − − + − ⇒ = − + + ( ) 5 2 1 ln 2 1 ln 2 2 4 I⇔ = − + + Bài 6. Tính các tích phân sau : ( ) ( ) 1 2 1 2 2 0 . , 0 1 m m x a dx a b x + + > + ∫ . Áp dụng tính : ( ) 1 7 5 2 0 1 x dx x+ ∫ ( ) 0 . 0 a a x b dx a a x − + > − ∫ . Áp dụng : tính : 0 1 1 1 x dx x − + − ∫ GIẢI ( ) ( ) 1 2 1 2 2 0 . , 0 1 m m x a dx a b x + + > + ∫ • Phân tích : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 m m m m x xdx x d x f x x x + + + = = + + . Đặt : 2 2 1 , 2 ; 1 0 1, 1 2 x t dt xdx x t x t x t  + = = = −  = → = = → =  • Do đó : ( ) 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 2 2 2 2( 1) m m m m m t dt dx I d t t t t t m t + + −         = = − = − − = − =  ÷  ÷  ÷  ÷ +         ∫ ∫ ∫ • Vậy : ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 0 1 1 , 0 . 1 2 1 m m m x dx a b m x + + + > = + + ∫ • ( ) ( ) 1 7 5 5 2 0 1 1 . 3 4 2 1 x dx m x ⇒ = = + ∫ ( ) 0 . 0 a a x b dx a a x − + > − ∫ • Đặt : 2 2 dx=-a.sintdt;a+x=2acos ; 2 sin 2 2 . ost ; 0 ; 2 2 t t a x a x a c x a t x t t π π π π  − =   = ⇒    = − → = = → = → ∈       • Do đó : ( ) 2 2 t t os os t 2 2 .sin 2 sin os 2 2 sin sin 2 2 c c t I a tdt a c dt t t π π π π = = ∫ ∫ . Vì : ; ; 2 2 4 2 t t π π π π     ∈ ⇒ ∈         Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 6 LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang • Cho nên : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 t sin , os 0 2cos 1 ost sin 2 2 2 2 2 a t t c I a dt a c dt a t t π π π π π π π + > ⇔ = = + = + = ∫ ∫ • ( ) 0 1 1 1 1 1 2 x dx a x π − + ⇔ = + = − ∫ Bài 7. Tính các tích phân sau : / 2 1 2 2 0 . n a n n x a dx a x − − ∫ . Với : *; 2n N n∈ ≥ . Áp dụng tính : 1 2 6 0 4 x dx x− ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 . , 0 b a x b dx a b a x − > + ∫ . Áp dụng tính : ( ) ( ) 2 1 2 2 0 1 1 x dx x − + ∫ GIẢI / 2 1 2 2 0 . n a n n x a dx a x − − ∫ Đặt : 1 2 2 1 ( ) / 2 / 2; 0 0 n n n dt nx dx dt t x f x dx n x a t a x t a t −  = = → ⇒ =  = → = = → = −   - Đặt : 2 2 . osudu; a . osu 1 .sin ( ) / 2 ; 0 0 6 dt a c t a c t a u f t dt du n x a u x u π  = − =  = → ⇒ =  = → = = → =   - Vậy : 6 0 1 6 6 0 I du u n n π π π = = = ∫ Do đó : 1 1 2 2 6 6 0 0 ; 3, 2 12 4 4 x dx x dx n a x x π = = ⇒ = − − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 . , 0 b a x b dx a b a x − > + ∫ • Đặt : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 tan 1 tan ( ) 1 tan os os 1 tan os 0 0, tan a t dt adt x a t dx f x dx t c tdt c t a a t c t b x t x b t t c a − = → = ⇒ = = − + = → = = → = ⇔ = • Vậy : ( ) 2 2 0 0 1 1 1 1 os sin os2tdt= sin 2 sin 2 0 2a 2 c c c I c t t dt c t c a a a = − = = ∫ ∫ Áp dụng : a=1,b=1 suy ra : c= 4 π . Ta có : ( ) ( ) 2 1 2 2 0 1 1 2 1 x dx x − = + ∫ Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 7 LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang Bài 8 . Tính các tích phân sau . 2 3 3 1 2 0 . . 1 x x e dx a x + + ∫ 2 5 3 1 . dx b x x+ ∫ GIẢI 2 3 3 1 2 0 . . 1 x x e dx a x + + ∫ • Đặt : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1; 1 ( ) 1 0 1, 3 2 t t t e tdt x t xdx tdt t x f x dx t e dt t x t x t −  = − = = + ⇒ ⇔ = = −  = → = = → =   • Vậy : ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 t t I t e dt e J e e= − = − − ∫ • Tính : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 4 2 4 2 1 1 1 t t t t t t t J t e dt t e te dt e e te e dt e e te e   = = − = − − − = − − −  ÷  ÷   ∫ ∫ ∫ • Do đó : 2 2J e e= − . Thay vào (1) : 2 I e= 2 5 3 1 . dx b x x+ ∫ Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 3 2 3 2 3 2 1 ( ) 1 1 1 A D x B E x A C x Bx C A B C Dx E f x x x x x x x x x + + + + + + + + = = + + + = + + + Đồng nhất hệ số hai tử số : 3 2 0 1 0 1 1 1 0 0 ( ) 1 0 1 1 0 A D C B E A x A C B f x x x x B D C E + = =     + = = −     + = ⇒ = ⇔ = − + +   +   = =   = =     Vậy : ( ) 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln 1 ln 2 ln5 1 2 2 2 2 8 I x x x   = − − + + = − + +     Chú ý : Ta có thể sử dụng kỹ thuật " Nhẩy tầng lầu " phân tích : f(x)= ( ) ( ) ( ) 6 6 4 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x t x x x x x x x x x x x x   + − + = − = − = − + − = +  ÷ + + + + +   Bài 9. Tính các tích phân sau . 2 3 3 2 0 . 4 x dx a x+ ∫ 4 2 3 3 0 os sin . os sin c x x b dx c x x π + ∫ GIẢI 2 3 3 2 0 . 4 x dx a x+ ∫ . Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 8 LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang HỌC SINH CHÚ Ý : Phải sử dụng hai lần đổi biến số . • Đặt : 2 3 2 . ( ) 0, 0. 2; 4 2 4 dt xdx t dt t x f x dx x t x t t =  = → ⇒ =  = = = = +  • Đặt : ( ) ( ) 3 2 4 3 2 3 3 4 .3 4 4; 3 3 4 ( ) 2 2 0, 4; 4, 2 u u du u u du t u dt u du u t f t dt u t u t u − −  = − = = + ⇒ = =  = = = =   • Vậy : ( ) 3 2 5 4 2 3 3 4 2 3 3 3 8 4 2 4 2 2 2 5 2 5 4 u I u u du u     = − = − = − +  ÷  ÷     ∫ ( ) 4 2 3 3 0 os sin . 1 os sin c x x b dx c x x π + ∫ • Đặt : 2 0, . , 0 2 2 dx dt x t x t x t π π π = −   = − ⇒  = = = =  • ( ) 4 4 3 3 3 3 os sin sin cos ( ) 2 2 ( ) os sin sin os 2 2 c t t dt t t dt f x dx c t t t c t π π π π     − − −  ÷  ÷ −     ⇔ = = +     − + −  ÷  ÷     • Do đó : ( ) 0 4 4 2 3 3 3 3 0 2 sin cos ( ) sin cos 2 sin os sin os t t dt x xdx I t c t x c x π π − = = + + ∫ ∫ . Cộng (1) và (2) vế với vế : • Suy ra : ( ) 3 3 4 4 2 2 2 3 3 3 3 0 0 0 sinxcosx sin os os sin sin cos 1 2 sin 2 sin os sin os 2 x c x c x x x x I dx dx xdx x c x x c x π π π + + = = = + + ∫ ∫ ∫ • Vậy : 1 1 os2x 2 8 4 0 I c π = − = Bài 10. Tính các tích phân sau . ( ) ( ) 2 2 2 0 1 . tan osx os sinx a c dx c π   −     ∫ ( ) 2 0 . sinxln 1+sinxb dx π ∫ GIẢI ( ) ( ) 2 2 2 0 1 . tan osx os sinx a c dx c π   −     ∫ . Áp dụng công thức : ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 1 1 tan ; sinx osx os x f dx f c dx c x π π + = = ∫ ∫ . Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 tan osx cotan sin x os sinx sin osx I c dx dx c c π     = − = −         ∫ ∫ Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 9 LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 1 1 2 cot sinx tan osx os sinx sin osx I an c dx c c π   = − + − =  ÷  ÷   ∫ Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4cos2 sinx 1 cot sinx 1 tan sinx cot sinx 1 os sinx sin 2 sinx an c − = + − = − Tương tự : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4cos2 osx 1 tan osx 1 sin osx sin 2 osx c c c c − = + ( ) 2 0 . sinxln 1+sinxb dx π ∫ . Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ,ta có : ( ) 2 2 2 2 0 0 0 cosx 1 sin sinxln 1+sinx osx.ln(1+sinx) + osx. 0 2 1+sinx 1 sinx 0 x I dx c c dx dx π π π π − = = − = + + ∫ ∫ ∫ Vậy : ( ) ( ) 2 0 1 sinx osx 1 2 2 0 I dx x c π π π = − = + = − ∫ Bài 11. Tính các tích phân sau : a. ( ) 1 2 0 .ln 1x x x dx+ + ∫ b. ( ) 4 2 0 cos2 1 sin 2 x x dx x π + ∫ c. Chứng minh : 2 2 6 5 0 0 cos . os6 os sin .sin 6x c xdx c x x xdx π π = ∫ ∫ . Từ đó tính : J= 2 5 0 os . os7xdxc x c π ∫ Giải . a. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 3 .ln 1 .ln 1 ln3 0 0 2 2 1 2 2 4 1 x x dx x x x dx x x x dx x x x x x x + + + = + + − = − − − + + + + ∫ ∫ ∫ 1 1 2 2 2 0 0 3 3 ln3 ; 4 4 1 1 3 2 2 dx dx J J x x x = − = = + +     + +  ÷  ÷     ∫ ∫ Đặt : 3 6 1 3 2 3 3 tan , ; 2 2 6 3 3 9 x t t J dt π π π π π   + = ∈ ⇒ = =  ÷   ∫ . Vậy : 3 3 ln3 4 12 I π = − b. ( ) 4 4 4 2 2 0 0 0 cos2 1 1 1 1 1 1 1 . . . 4 2 1 sin 2 2 1 sin 2 16 2 2 1 sin 2 os x- 0 4 x x dx x dx dx x x x c π π π π π π   = − + = − +  ÷ + +     +  ÷   ∫ ∫ ∫ Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 10 . Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY Bài 1. Tính các tích phân sau : 1 5 2 2 4 2 1 1 . 1 x a dx x x + + − + ∫ . 1 2 2 2 1 . 1 p p e p x b. art2; tanu= art art -art2 2 2 2 2 u u u u u K   = → = = → = = ⇔ =  ÷   Thay hai kết quả của J và K vào ta tìm ra I Bài 2. Tính các tích phân sau : 1 4 6 0 1 1. 1 x dx x + + ∫ (