www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất:  x0  const Tìm số hạng tổng quát dãy số? ax n+1  bxn  Dạng 1: Cho dãy số {xn} :  n b b b Từ công thức truy hồi ta có : xn     xn1     xn2      x0        a  a  a n b Khi công thức tổng quát (CTTQ) dãy số xác định : xn  x0       a x  Thí dụ : Cho dãy số {xn} xác định :   xn 1  3xn  , n   Tìm số hạng tổng quát dãy số Giải: Từ cơng thức truy hồi ta có : xn  3xn1  32 xn2   3n x0 hay xn  5.3n  x0 , với Pk (n) đa thức bậc k n ax n+1  bxn  Pk (n) Dạng 2: Cho dãy số {xn} :  Tìm số hạng tổng quát dãy số ? b a Giải: Xét phương trình đặc trưng : a  b      * Đối với dạng ta xét thêm giá trị xn gọi nghiệm riêng phương trình sai phân * Khi số hạng tổng quát dãy xác định : xn  c. n  xn Trong nghiệm * riêng xn xác định sau : *  Nếu a + b ≠ nghiệm riêng xn  Qk (n) thay vào phương trình ta được: a.Qk (n  1)  b.Qk (n)  Pk (n) Đồng hệ số ta tìm Qk (n) *  Nếu a + b = nghiệm riêng xn  n.Qk (n) thay vào phương trình ta được: a(n  1).Qk (n  1)  bn.Qk (n)  Pk (n) Đồng hệ số ta tìm n.Qk (n) x  Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :   Tìm số hạng tổng quát xn  xn 1  xn  3n  4n  , n    Giải: Xét phương tình đặc trưng       * * Ta có : a + b = – = -1 ≠ nên nghiệm riêng pt có dạng : xn  an2  bn  c Thay xn vào pt, ta : a(n  1)2  b(n  1)  c  2an2  2bn  2c  3n2  4n    an2  (2a  b)n  a  b  c  3n2  4n  Đồng hệ số hai vế ta : a  a  3   2a  b   b  10 a  b  c  c  18   *  xn  3n  10n  18 CTTQ số hạng dãy : xn  c.2n  3n2  10n 18 Từ x0   c 18   c  25 Suy xn  25.2n  3n2  10n  18  x0  Tìm CTTQ xn  xn 1  xn  4n  , n   Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :  Giải: Xét phương trình đặc trưng  1     Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam * * Ta có : a + b = – = nên nghiệm riêng pt có dạng xn  n(an  b)  an2  bn xn vào pt, ta : a(n  1)2  b(n  1)  an2  bn  4n   2an  a  b  4n  Đồng hệ số hai vế ta :  2a  a  *   xn  2n2  3n  a  b  b  Số hạng tổng quát dãy có dạng : xn  c  2n2  3n Từ x0   c  Suy xn  2n2  3n   x0 ax n+1  bxn  d (d  const) , n   Dạng 3: Cho dãy số {xn} :    b  n  d     1  n  a     b   xn     x0   Khi số hạng tổng quát dãy số :   b    a a     1   a     xn  x0  nd  neu a  b  neu a  b   x0  Tìm CTTQ xn xn 1  xn  , n    Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :  Giải: Từ công thức truy hồi ta có : xn  xn1   xn2  2.6  xn3  3.6   x0  6n hay xn  6n   x0  Tìm CTTQ xn  xn 1  xn  , n   Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :  Giải: Từ cơng thức truy hồi, ta có : xn  xn 1   8 xn 2     82.xn 2  8  1  82.xn 2  82  8n    8n.x 4 1 1 Suy xn  3.8n  8n  1  25 n  7 x Dạng 4: Cho dãy số {xn} :  Tìm CTTQ xn  n axn 1  bxn  d  , n    b Giải: Xét phương trình đặc trưng : a  b       q a *  Nếu    nghiệm riêng phương trình xn  c. n thay vào pt, ta : a.c. n 1 d d n d n *  b.c.  d   c   xn   a  b a  b a   q  n n * Số hạng tổng quát dãy : xn  c1.q n  xn  c1.q n   b  qa  d n a   q    n d d d d n d  n  qn  c1  x0   xn   x0  q   x0 q n   a(  q) a(  q) a(  q)  a(  q) a  q  *  Nếu    nghiệm riêng phương trình xn  cn n thay vào pt, ta : d d d ac(n  1) n1  bcn n  d n  c    (do q   ) a(n  1)  bn a(n  1)  aqn aq Từ x0  c1  Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam * Suy xn  dnq n dnq n1  aq a dnq n 1 Số hạng tổng quát dãy : xn  c1.q  x  c1.q  a dnq n 1 Từ x0  c1  xn  x0 q n  a  d qn   n neu q     a q  n Vậy từ ta có : xn  x0 q   d  nq n 1 neu q   a  n * n n x  Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :   n  xn 1  3xn  2.5 , n    Tìm CTTQ xn b a Ta có :   q    ; d  ;   Vì q   nên ta có số hạng tổng quát dãy : d qn   n 3n  5n xn  x0 q n   5.3n   4.3n  5n a q  35 x  Thí dụ 2: Cho dãy {xn} :  Tìm CTTQ xn  n  xn 1  3xn  5.3 , n    b Ta có:   q    ;   ; d  Vì q   nên ta có số hạng tổng quát dãy : a d xn  x0 q n  nq n 1  2.3n  5n.3n 1  (5n  6).3n 1 a x Dạng 5: Cho dãy số {xn} :  Xác định  n n n (1) , n   axn 1  bxn  d11  d 2   d k k  sô hạng tổng quát dãy *1 Gọi xn nghiệm riêng phương trình axn1  bxn  d11n *2 n xn nghiệm riêng phương trình axn1  bxn  d2 *k xn nghiệm riêng phương trình axn1  bxn  dk kn * *1 *2 * Khi nghiệm riêng phương trình (1) xn  xn  xn   xnk b * Khi số hạng tổng quát xn  c. n  xn         a x  Thí dụ: Cho dãy {xn} :   Tìm CTTQ xn n n  xn 1  xn  3.2  5.7 (*) , n    Giải: Xét phương trình đặc trưng :       *1  Do 1   nên nghiệm riêng xn  d1n.2n , thay vào phương trình, ta : *1 d1 (n  1).2n1  2d1n.2n  3.2n  d1   xn  3n.2n1 *2  Do    nên nghiệm riêng xn  d2 7n , thay vào phương trình, ta : *2 d2 7n1  2d2 7n  5.7n  d2   xn  7n *1 *2 Số hạng tổng quát xn  c.2n  xn  xn  c.2n  3n.2n1  7n Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam Từ x0   c    c  Suy xn  2n  3n.2n1  7n x Dạng 6: Cho dãy số {xn} :   n axn 1  bxn  Pk (n)  d , n    *1 Ta gọi xn nghiệm riêng axn1  bxn  Pk (n) Tìm CTTQ xn *2 xn nghiệm riêng axn1  bxn  d n *1 *2 Công thức tổng quát dãy số xác định xn  c. n  xn  xn Từ giá trị x0 ta tìm giá trị c x  Thí dụ: Cho dãy số {xn} :   n  xn 1  xn  3n   2.3 , n    Giải: Xét Phương trình đặc trưng :       Tìm CTTQ xn *1 *1 Gọi xn nghiệm riêng phương trình xn1  5xn  3n   xn   n  11 16 *2 *2 xn nghiệm riêng phương trình xn1  5xn  2.3n  xn  3n 11 * Số hạng tổng quát dãy cho bởi: xn  c. n  xn  c.5n  n   3n 16 11 75 75 11 Từ x0   c     c  Suy xn  5n  n   3n 16 16 16 16 II-Phƣơng trình sai phân bậc hai: Dạng 1: Dạng có phương trình đặc trưng bậc hai tồn nghiệm thực  x0 ; x1 Tìm CTTQ xn axn   bxn 1  cxn  , n   Cho dãy số {xn} :  Xét phương trình đặc trưng a  b  c  (1)  Phương trình (1) có nghiệm 1 ; 2 (1  2 ) số hạng tổng qt có dạng : xn  c1.1n  c2 2n Từ x0 ; x1 ta tìm c1 c2  Phương trình (1) có nghiệm 1  2   số hạng tổng quát có dạng : xn  (c1  nc2 ). n Từ x0 ; x1 ta tìm c1 c2  x0  2; x1  Tìm CTTQ xn  xn   xn 1  xn , n   Thí dụ 1: Cho dãy {xn} :  Giải: Xét phương trình đặc trưng   5    1   2  Số hạng tổng quát dãy có dạng xn  c1.2n  c2 3n  x0  c1  c2  c    Suy xn  2n  3n 2c1  3c2  c2   x1  Từ   x0  3; x1  10 Tìm CTTQ xn  xn   xn 1  xn , n   Thí dụ 2: Cho dãy {xn} :  Giải: Xét phương trình đặc trưng   4    1,2  Số hạng tổng quát dãy có dạng xn  (c1  nc2 ).2n  x0  c  c    Suy xn  (2n  3).2n c2  x1  10 2(c1  c2 )  10   Từ  Dạng 2: Dạng phương trình đặc trưng vơ nghiệm thực Mai Xn Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam  x0 ; x1 Tìm CTTQ xn axn   bxn 1  cxn  , n   Cho dãy số {xn} :  Xét phương trình đặc trưng a  b  c  (2) Ta có phương trình (2) khơng tồn nghiệm thực, số hạng tổng quát dãy có dạng : xn  r n (c1cosn +c2 sin n ) Trong r  A2  B ;   arctan  b B với A   ; B  A 2a 2a Từ hai giá trị x0 x1 ta tìm c1 c2  x  ; x1  3  Thí dụ: Cho dãy số {xn} :   Tìm CTTQ xn  xn   xn 1  16 xn , n    Giải: Xét phương trình đặc trưng   2  16  co   22  16  12  Suy phương trình sai phân khơng có nghiệm thực  b B  1 ; B   r  A2  B  ;   arctan  2a 2a A n n Khi số hạng tổng quát xn có dạng : xn  2n  c1cos  c2 sin    3   c1   x0  c   n n      c1 c2   Suy xn  2n  cos  3sin Từ  3    3  c2   x1  3  2    2     x ; x Dạng 3: Cho dãy số {xn} :  Tìm CTTQ xn axn   bxn 1  cxn  d , n   Đặt A      * * Gọi xn nghiệm riêng phương trình Khi nghiệm riêng xn xác định sau: d  *  xn  a  b  c a  b  c    x*  dn a  b  c  ; 2a  b   n 2a  b  *  xn  n(n  1) d a  b  c  ; 2a  b   2a  Xét phương trình đặc trưng, xét nghiệm phương trình đặc trưng trường hợp Kết hợp với nghiệm riêng ta có cơng thức x n  x0  4 ; x1  Tìm CTTQ xn 2 xn   xn 1  xn  , n   Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :  d *   3 Do a+b+c ≠ nên nghiệm riêng phương trình xn  a bc 25 Số hạng tổng quát dãy số : xn  c1.2n  c2 n  c  c   4  x0  4  c    Suy xn  3.2n  n   Từ  c2  x1  2c1    c2  4  Xét phương trình đặc trưng : 2  5    1   2  Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam 89   x0  5; x1  Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :  Tìm số hạng tổng quát xn  xn   xn 1  xn  11, n    Giải: Xét phương trình đặc trưng   7    1   2  dn 11n 11 * Do a+b+c=0 2a+b ≠ nên nghiệm riêng xn     n 2a  b  11 Số hạng tổng quát dãy có dạng xn  c1  c2 6n  n , n    x0  c1  c2  c1  11   Từ  Suy xn   3.6n  n 11 89   89   c2   x1  c1  6c2      x  3; x1  Thí dụ 3: Cho dãy {xn} :  Xác định công thức tổng quát xn  xn   xn 1  xn  , n   Giải: Xét phương trình đặc trưng   2    1,2  d  3n(n  1) 2a Số hạng tổng quát dãy : xn  c1  nc2  3n(n  1) , n   * Có a+b+c=0 2a+b=0 nên nghiệm riêng xn  n(n  1)  x0  c2  c  1   c2   x1  c1  c2  Từ  Suy xn  3n2  4n  , n   x ; x Dạng 4: Cho dãy số {xn} :   n axn   bxn 1  cxn  dq , n    Xác định CTTQ xn * Gọi xn nghiệm riêng phương trình sai phân Khi nghiệm riêng xác  * dq n  xn  aq  bq  c q  1  q  2   * ndq n 1 q  1  q  2 đinh sau :  xn  2aq  b   * d n2 q  1  2  xn  n(n  1) q 2a   Xét phương trình đặc trưng, lập cơng thức nghiệm ta có cơng thức xn  x  ; x1  Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :   Lập cơng thức tính xn n  xn   xn 1  15 xn  3.4 , n    Giải: Xét phương trình đặc trưng :   8  15   1   2  dq n 3.4n   3.4n Ta có q  1  q  2 nên nghiệm riêng phương trình x  aq  bq  c 16  32  15 n n n Số hạng tổng quát dãy : xn  c1.3  c2  3.4 , n   * n  x0  c1  c2   c    Suy xn  4.3n  5n  3.4 n , n   3c1  5c2  12  c2   x1  Từ   x  ; x1  Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :   Tìm CTTQ xn n  xn   11xn 1  28 xn  6.7 , n    Giải: Xét phương trình đặc trưng   11  28   1   2  Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam ndq n1 6n.7n1   2n.7n1 2aq  b 2.1.7  11 n n Số hạng tổng quát dãy có dạng : xn  c1.4  c2  2n.7n1 * Ta có: q  2 nên nghiệm riêng phương trình xn   x0  c1  c2  c  10  Suy xn  10.4n  2.7 n  2n.7 n 1 , n    x1  4c1  7c2   28 c2  2 Từ   x  ; x1  5 Thí dụ 3: Cho dãy {xn} :   n  xn   10 xn 1  25 xn  2.(5) , n    Giải: Xét phương trình đặc trưng   10  25   1  2  5 Tìm CTTQ xn d n2 q  n(n  1).(5)n2 2a Số hạng tổng quát dãy : xn   c1n  c2  (5)n  n(n  1).(5)n , n   * Ta có q  1  2 nên nghiệm riêng phương trình xn  n(n  1) Từ  x0  c2  c  3  Suy xn  (3n  4).(5) n  n(n  1).(5) n  (n  76n  100).(5) n n     x1  5(c c2 )  5 c2  x ; x Dạng 5: Cho dãy số {xn} xác định :  với Pk (n) axn   bxn 1  cxn  Pk (n) , n   đa thức bậc k theo n Xác định số hạng tổng quát dãy số * Nghiệm riêng xn cua phương trình đượ xác định sau: *  xn  Qk (n) a  b  c   *  xn  nQk (n) a  b  c   2a  b   x*  n 2Q (n) a  b  c   2a  b  k  n Xác định công thức tổng quát theo trình tự bước trình bày ví dụ  x  31 ; x1  60 Thí dụ : Cho dãy số {xn} :   Tìm CTTQ xn n  xn   xn 1  10 xn  8n  12n  14, n    Giải: Xét phương trình đặc trưng dãy :   7  10   1   2  * Ta có : a+b+c ≠ nên nghiệm riêng phương trình xn  an2  bn  c Thay vào công thức * truy hồi, tiến hành đồng hệ số ta : xn  2n2  8n  15 Số hạng tổng quát dãy : xn  c1.2n  c2 5n  2n2  8n  15  x0  c1  c2  15  31 c  15  Suy xn  15.2n  5n  2n2  8n  15, n   x1  2c1  5c2  25  60 c2   Từ  x ; x Dạng 6: Cho dãy xác định {xn} :   n axn   bxn 1  cxn  Pk (n). , n    Tìm CTTQ xn * Nghiệm riêng xn phương trình dạng xác định sau : *  xn  Qk (n). n   1    2  * n  xn  n.Qk (n).   1    2 Từ tìm cơng thức tổng quát cảu xn  x*  n Q (n). n      k  n  x  5; x1  18 Thí dụ: Cho dãy {xn} :   n2  xn   xn 1  xn  2(3n  1).3 , n    Xác định công thức xn Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam Giải: Xét phương trình đặc trưng   6    1  2  * * Ta có   1  2 nên nghiệm riêng pt xn  n2  an  b  3n Thay xn vào công thức truy hồi, * rút gọn đồng hệ số, ta xn   n3  2n2  3n Số hạng tổng quát dãy xn  (c1n  c2 ).3n  (n3  2n2 ).3n , n    x0  c2  c   Suy xn  (2n  5).3n  (n3  2n ).3n   n3  2n  2n   3n x1  3(c1  c2 )   18 c2   Từ  Dạng 7: Cho dãy số xác định {xn} :  x0 ; x1 Xác định số hạng tổng quát dãy  axn   bxn 1  cxn   cosn + sinn , n   * Đối với phương trình dạng này, nghiệm riêng có dạng : xn  Acosn +Bsinn * Thay xn vào công thức truy hồi để xác định hai hệ số A B Thí dụ: Cho dãy {xn} : xác định :  x0  4 ; x1  4   Tìm số hạng tổng quát dãy  n n  sin , n    xn   3xn 1  xn   cos  4 Giải: Xét phương trình đặc trưng :   3    1   2  n n * Nghiệm riêng phương trình có dạng : xn  Acos  B sin Thay vào công thức truy 4   hồi, ta : (n+2) (n  2)   (n+1) (n  1)  n n     Acos  B sin    Acos  B sin    Acos  B sin         n n  cos  sin 4   Phân tích vế trái rút gọn ta : A 3B n  A 3B n n n      A  cos   A    B  sin   cos  sin B  4 2 2    A 3B  B    A   A 1 n n *   xn  cos  sin Đồng hệ số, ta :   4 B    A  A  3B  A   2  n n Số hạng tổng quát dãy : xn  c1  c2 2n  cos  sin 4 x0  c1  c2   4  c  6 n n Từ   Suy xn  2n   cos  sin , n    4  x1  c1  2c2   4  c2      x0 ; x1 axn   bxn 1  cxn  d n1  d n   d nk (1), n   Dạng 8: Cho dãy số dạng sau { xn} :  Trong d ni dạng sau : hắng số d, d  n , Pk (n) ,  n Pk (n) , *i Khi ta gọi xn nghiệm riêng phương trình axn2  bxn1  cxn  dni Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam k * Nghiệm riêng (1) xác định x   xni Sau ta thiết lập cơng thức tổng * n i 1 quát thí dụ cho III-Phƣơng trình sai phân bậc ba: Loại 1: Phƣơng trình :  x0 ; x1 ; x2 Xác định số hạng tổng quát axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n   Dạng 1: Cho dãy {xn} :  xn dãy số Xét phương trình đặc trưng a  b  c  d  Phương trình có nghiệm phân biệt 1 ; 2 va 3 Khi số hạng dãy xác định : xn  c1.1n  c2 2n  c3 3n Từ giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định giá trị c1 ; c2 va c3  x0  1; x1  ; x2  Tìm CTTQ xn  xn3  xn  11xn1  xn  n   Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  Giải: Xét phương trình đặc trưng :   6  11    1  ; 2  ; 3  Số hạng tổng quát dãy có dạng : xn  c1  c2 2n  c3.3n 11  c1    x0  c1  c2  c3   11 Từ  x1  c1  2c2  3c3   c2  Suy xn    9.2n  3n n    2  x  c  4c  9c    c3    x ; x ; x Dạng 2: : Cho dãy {xn} :  Xác định số hạng tổng axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n   quát xn dãy số Xét phương trình đặc trưng a  b  c  d  có hai nghiệm phân biệt 1 va 2  3   Khi số hạng tổng quát dãy số cho : xn  c1.1n   c2 n  c3   n Từ giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định giá trị c1 ; c2 va c3  x0  5; x1  11 ; x2  16 Tìm CTTQ dãy  xn 3  11x n  32 xn 1  28 xn  , n   Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  Giải: Xét phương trình đặc trưng   11  32  28   1   2  3  Số hạng tổng quát dãy có dạng : xn  c1.7n   c2n  c3  2n  c1   35  x0  c1  c3   13 181  n    13 Suy xn   n   n  Từ  x1  7c1  2c2  2c3  11  c2   , n   14 35 35   14  x  49c  4c  4c  16   181  c3  35  x ; x ; x Dạng 3: Cho dãy {xn} :  Xác định số hạng tổng quát axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n   xn dãy số Xét phương trình đặc trưng a  b  c  d  có nghiệm kép 1  2  3   Khi cơng thức nghiệm tổng quát có dạng : xn   c1n2  c2n  c3   n Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam Từ giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định giá trị c1 ; c2 va c3  x0  ; x1  ; x2  Xác định số hạng tổng  xn 3  3xn   3xn 1  xn  , n   Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  quát dãy Giải: Xét phương trình đặc trưng :   3  3 1   1  2  3  Số hạng tổng quát dãy có dạng : xn  c1n2  c2 n  c3  c1    x0  c3   9 Từ  x1  c1  c2  c3   c2   Suy xn  n  n  3, n     2  x  4c  2c  c    c3     x ; x ; x Dạng 4: Cho dãy {xn} :  Xác định số hạng tổng quát axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n   xn dãy số Xét phương trình đặc trưng a  b  c  d  có nghiệm thực  hai nghiệm phức Khi số hạng tổng qt phương trình có dạng : xn  c1. n  c2 cosn +c3 sin n Từ giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định giá trị c1 ; c2 va c3  x  3; x1   ; x2   Thí dụ: Cho dãy số {xn} :   Tìm CTTQ xn  xn 3  xn   22 xn 1  48 xn  , n    Giải: Xét phương trình đặc trưng   5  22  48      3    2  16      Phương trình sai phân bậc hai   2  16  khơng có nghiệm    2  16  VN   thực nên theo thí dụ dạng phương trình sai phân bậc hai ta có số hạng tổng ' quát xn  c2 cos n n n n  c3 sin Vậy số hạng tổng quát xn  c1.3n  c2 cos  c3 sin 3 3   x0  c1  c2   c c Từ  x1  3c1      2   c2 c3  8  x2  9c1    2 c1  n n    c2  Suy xn  3n   cos  sin 3   c3    , n    Loại 2: Phƣơng trình khơng  x0 ; x1 ; x2 axn 3  bxn   cxn 1  dxn  d n , n   Cho dãy số dạng {xn} :  Trong d n hăng số, m n , đa thức bậc k theo n Pk (n) , Ta tiến hành tìm nghiệm riêng dạng phương trình bậc trình bày IV-Phƣơng trình sai phân bậc cao Dạng 1: Phương trình : a0 xnk  a1 xnk 1   ak xn  Xét phương trình đặc trưng : a0 k  a1 k 1   ak  TH1: có k nghiệm thực phân biệt, số hạng tổng quát dãy có dạng : Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam k xn  c1.  c2   c3    ck    ci in n n n n k i 1 TH2: Có s nghiệm , (k – s) nghiệm khác khác với s nghiệm Khi k  s 1 p n số hạng tổng quát dãy có dạng : xn    c p 1.n     ci in i  s 1  p 0  TH3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức : x j  A  Bi  r  cos +isin  r  A2  B ;   arctan B k – nghiệm thực khác số hạng tổng quát dãy A k 2 số có dạng : xn   ci in  r n  c1' cosn +c'2 sin n  i 1 Dạng 2: Phương trình khơng nhất: a0 xnk  a1 xnk 1   ak xn  bn * Ta xét thêm nghiệm riêng xn tuỳ theo dạng bn hệ số Thiết lập công thức tổng quát xn từ giả thiết V-Một số dạng đặc biệt khác thƣờng gặp dãy số kì thi Dạng 1: Phương trình sai phân dạng " Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một"  xn 1  axn  byn  yn 1  cxn  dyn Cho dãy số {xn} , {yn} xác định sau :  Tìm số hạng tổng quát xn yn Đưa hệ phương trình sai phân tuyến tính cập dãy {x n} {yn} : xn2  axn1  byn1  axn1  b(cxn  dyn )  axn1  bcxn  d ( xn1  axn )  (a  d ) xn1  (bc  ad ) xn yn2  cxn1  dyn1  c(axn  byn )  dyn1  dyn1  bcyn  a( yn1  dyn )  (a  d ) yn1  (bc  ad ) yn Đưa hệ dạng phương trình bản, từ ta dễ dàng tìm CTTQ số hạng dãy cho u0  2; un 1  2un  n   v0  1; 1  un  2vn Thí dụ: Tìm CTTQ dãy số {xn} {yn} :  Giải: Ta có : un2  (a  d )un1  (bc  ad )un  4un1  3un u1  1 Từ đây, ta có : un  n1   un 1  2un  1  3n 1 Dạng 2: Phương trình sai phân dạng phân thức tuyến tính: Tìm CTTQ dãy số có cơng thức xác định sau : x0   ; xn1  Cách 1: Đặt xk  yn 1 zn 1 axn  b n   cxn  d yk ( zk  0) Khi dãy biến đổi thành : zk yn b  yn 1  ayn  bzn  yn   (a  d ) yn 1  (bc  ad ) yn zn ay  bzn   n   n   yn cyn  dzn  zn 1  cyn  dzn  zn   (a  d ) zn 1  (bc  ad ) zn c  d zn a Từ công thức tổng quát {yn} {zn} ta suy CTTQ {xn} Cách 2: Đặt xn  un  t , thay vào công thức truy hồi dãy ta có : aun  at  b (a  ct ) xn  ct  (a  d )t  b un 1  t  cun  ct  d cun  ct  d (*) Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam Ta chọn t cho ct  (d  a)t  b  Khi ta chuyển (*) dạng : Từ ta tìm 1 m  n un un 1 , suy un un u1  Thí dụ: Tìm CTTQ dãy số {un} :  9un 1  24  un  5u  13 n  n 1  x Cách 1: Đặt un  n , thay vào công thức truy hồi ta : yn x 9 n 1  24  xn 1  9 xn  24 yn  xn   xn 1  3xn xn yn 1 9 xn 1  24 yn 1     n   x yn xn 1  13 yn 1  yn 1  xn  13 yn  yn   yn 1  yn n 1  13 yn 1  x  ; x2  42 42 Ta chọn  23  y1  ; y2  23  x  22.3n 1  24 22.3n 1  24 Từ ta tìm :  n Suy un  n   n 1 11.3 n 1 10  yn  11.3 10  Cách 2: Đặt un  xn  t , thay vào công thức truy hồi ta : Từ u1   u2   9 xn  9t  24 (9  5t ) xn 1  5t  22t  24 xn  t   xn  xn  5t  13 xn 1  5t  13 Ta chọn t : 5t  22t  24   t  2  x1   xn  xn1 11.3n 1  10 22.3n 1  24   5   xn   un  xn   xn 1  xn xn 1 xn 11.3n 1  10 11.3n 1  10 Dạng 3: Hệ phương trình tuyến tính bậc 2 un  un 1  a.vn 1 ; u1    Tìm CTTQ dãy số (un) (vn) xác định :  vn  2un 1.un 1 ; v1            2  un  u  a.v un  a  un 1  a 1   u1  a v1    n1 a  a un 1.vn 1 u  av  u  a v   u  a v   n n 1 n 1 1  n 2n1 2n1   1 un      a    a   2    n1 n1 v      a     a    n a    n 1 n 1      n1    Thí dụ: Xác định CTTQ hai dãy số {un} {vn} thoả : u1   v1  Giải: 2 un  un 1  2vn 1  n   vn  2un 1.vn 1    u  2v  u  2v 2 un  un 1  2vn 1 n n 1 n 1   n  Ta có:   2vn  2un 1vn 1 un  2vn  un 1  2vn 1     2 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com a     www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam    un  2vn  u1  2v1  u  2v  u  2v n 1  n   2n1 2n1    2    2 2n1 2n1 2n1 2n1   1 un     2   2    2n1 2n1   v  2  2   n 2            Dạng 4: Dạng phân thức bậc bậc 1:  x1   n  Tìm CTTQ dãy {xn} :  xn 1  a  xn   a      xn 1  u Đặt xn  n , dãy chuyên hai dãy {un} {vn} un  u  a.v   vn  2un 1vn 1  n 1 n 1 ; u1   ; v1  n  Khi xn  un  a     a   a 2n1 2n1 sau :      a    a 2n1 2n1  x1  Thí dụ: Xác định CTTQ dãy số {xn} :  x2   xn  n 1 n   xn 1  2  u1  un  un 1  2vn 1 Giải: Xét hai dãy số {un} {vn} :   n  vn  2un 1vn 1 v1   u Ta dễ dàng chứng minh quy nạp xn  n Theo kết tốn trên, ta có : xn    2   2 2n1 n1    2    2 2n1 2n1 Dạng 5: Dạng có thức cơng thức truy hồi u1   a) Với dãy số {un} :   , với a2  b  ta xác định CTTQ sau: un  aun 1  bu  c n   2 Từ dãy truy hồi   un  aun1   bun1  c  un  2aunun1  un1  c  n 1 2 Thay n n – 1, ta un2  2aun2un1  un1  c  Ta ta dễ thấy un un2 nghiệm phương trình bậc hai X  2aun1 X  un1  c  Theo định lý Vi-et, ta có un  un2  2aun1 Từ ta dễ dàng xác định CTTQ xn b) Một cách biểu diễn khác : Cho dãy số {un} : u1    un 1 u  n  n  a  cun 1  b  ,   0; a  ; a  b  ta xác định CTTQ sau : Ta viết lại công thức tổng quát dạng : a b   c un un 1 un 1 Đặt xn  un Ta có xn  axn1  bxn21  c dãy mà ta xét u1  Thí dụ: Cho dãy số {un} :   un  5un 1  24un 1  n   Tìm un ? Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam Giải: Từ công thức truy hồi dãy ta có :  un  5un1   24un1  (1) Thay n n – ta : 2 un2  10un2un1  un1   (2) Từ (1) (2)  un2 , un hai nghiệm phương trình : Áp dụng định lý Vi-et, ta có : un  un2  10un1 2  un  10unun1  un1   t  10un1t  un1   n 1 n 1 Ta dễ dàng tìm un           6 Dạng 6: Công thức truy hồi bậc hai dạng phân thức u1   ; u2   Cho dãy số {un} :  Tìm un ? u2  a  un  n 1 n   un   Đối với dạng từ công thức truy hồi u 3, u4, u5 Ta giả sử un  xun1  yun2  z u3  xu2  yu1  z Lập hệ phương trình u4  xu3  yu2  z  x, y, z  u  xu  yu  z  Từ công thức truy hồi ta dễ dàng tìm cơng thức tổng qt un u1  u2  Thí dụ: Tìm CTTQ dãy số {un} :  u2   un  n 1 n   un   Giải: Ta có : u3  3; u4  11; u5  41 Ta giả sử un  xun1  yun2  z u3  xu2  yu1  z x  y  z  x     Ta có hệ pt : u4  xu3  yu2  z  3x  y  z  11   y  1  un  4un1  un2 u  xu  yu  z 11x  y  z  41  z     n n 95 95 2  2 n  Ta dễ dạng tìm xn  6     VI-Sử dụng lƣợng giác để tìm cơng thức tổng quát dãy số : u1 Dạng 1: Xác định công thức dãy số dạng {un} :  un  2un 1  n   Nếu u1  : ta đặt u1  cos Khi ta có : ta làm sau : un  cos2n-1 1  Nếu u1  : ta đặt u1   a    a  va au1  0 Khi   2 a 1 1  1   n1   u2   a       a    u3   a    un   a  2n1  2 a 2 a  2 a  2  a  Với cách xác định số a, ta có a nghiệm (cùng dấu với u1) phương trình a  2u1a   Do tích hai nghiệm la nên a nghiệm a nghiệm cịn lại phương trình Khi cơng thức tổng qt viết sau :  1 un   u1  u12  2   u  2n1 u 1  2n1    Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam  u1  Thí dụ 1: Cho dãy số {un}:  Xác định CTTQ dãy {un} u  2u  n  n 1  n   2 2 22 Giải: Ta có u1   cos  u2  2cos2   cos  u3  2cos   cos 3 3 n-1  Bằng quy nạp ta chứng minh un  cos n  u  Thí dụ 2: Cho dãy số {un} :  Xác định CTTQ un un  2un 1  n  1 Giải: Gọi a nghiệm lớn phương trình :  a     a  6a    a   2   2 a 1 1 Ta có a  6a    u1   a    , u2   a     a      2 a a 2 a k 1 k 1 Giả sử xk  a  2k 1 xk 1  a  2k a a 2n1 2n1 n1 Theo nguyên lý quy nạp, ta xn  a  2n1   2   2 a Thí dụ 3: Cho dãy số {xn} xác định sau : x1  5, xn1  xn  n  xn 1 Tìm giá trị S  nlim  x x .x n    Giải: Chọn a nghiệm lớn phương trình x  x    a    21  2 1 Ta có a  5a    x1  a   ; x2  x12    a     a    a a a  n1 Bằng quy nạp ta chứng minh xn  a  2n1 n  a k 1  2k 1   2k  Chú ý  a  2k 1  a  2k 1    a  2k  ,  a  a   a     2n  1    a    a  2n   2n  a   xn 1 xn 1 a  a a  a  a      ta có  n 1  1 x1 x2 .xn  a a  2n  2n  a   x1 x2 .xn  a a a  1  2n xn 1 a  a    a   21  lim Do S  nlim   x x x n   a a n  2n  a u  p Dạng 2: Tìm CTTQ dãy số {un} :  , ta làm sau : un  4un 1  3un 1 n    Nếu p  ,   0;  : cos =p Khi quy nạp ta chứng minh : un  cos3n-1 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam 1  Nếu p  ta đặt u1   a     2  au1   Bằng quy nạp ta chứng minh a     3  1  n1   u1  u12   un   a3  3n1  hay un   u1  u12  2 2 a    u1  Thí dụ 1: Xác định CTTQ dãy {un} :  u  4u  3u , n  n 1 n  n n1 n1    3 3 3 32  cos  u2  4cos3  3cos  cos  u3  4cos3  3cos  cos 4 4 4 3n-1 Bằng quy nạp ta chứng minh un  cos n  x  Thí dụ 2: Tìm CTTQ dãy {xn} :   xn  xn 1  3xn 1 n  Giải: Gọi a nghiệm lớn phương trình x2 14 x    a   Giải: Ta có u1  1 1 1 Ta có u1   a     u2   a     a     a3           2 a 2 a 2 a 2 a  n1 1 Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh un   a3  3n1  n    2 a  3n1 3n1 Vậy công thức tổng quát dãy : un       n   2   u  p Dạng 3: Cho dãy {un} :  Để xác định công thức tổng quát un  4un 1  3un 1 , n      ta làm sau : 1 Ta đặt u1   a   Khi nạp ta chứng minh :   2 a  n1 un   a3  3n1 2 a   1    u1  u1      u  3n1 u 1  3n1     u1  Thí dụ : Xác định CTTQ dãy {un} :  u  24u  12 6u  15u  n  n 1 n 1 n 1  n Đặt un  xvn  y Thay vào công thức truy hồi dãy, biến đổi rút gọn ta :     xvn  y  24 x3vn1  12 x y  x vn1  24 xy  xy  x vn1  24 y  12 y  15 y  6 x y  x  Ta chọn y cho :   24 y  12 y  15 y   y   y 3 Khi : xvn  24 x3vn1  3xvn1   24 x2vn1  3vn1 Ta chọn x    4vn1  3vn 1 ; v1     1 2 2   3n1   2  3n1    Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam   Suy un  2 6   3n1   2  3n1    n    1 u1   Dạng 4: Xác định CTTQ dãy {un} :  với  a  un  a  bun 1 n   ab   Khi ta đặt u1    acos  u  a  b  acos   a 1  2cos2   acos2 Bằng quy nạp ta ta chứng minh un  acos  2n-1  n   u1  Thí dụ 1: Xác định CTTQ {un} :  u   u n  n 1  n  Giải: Đặt   cos ,    ;   , : u1  2cos  u  2(1  2cos2 )  2cos2   2  Bằng quy nạp ta chứng minh un  2cos2n-1 n  1   x1  Thí dụ 2: Tìm CTTQ dãy số {xn} :   2   un 1  n   xn   2   sin  Giải: Ta có : u1   sin  u2  Bằng quy nạp ta chứng minh : un  sin   1  cos  6     sin 2.6   n 1 n  Thí dụ 3: Cho a, b hai số dương không đổi thoả mãn a < b hai dãy {an} , {bn} ab  a1  ; b1  ba1 xác định sau :  Tìm CTTQ an bn  an 1  bn 1 a  ; bn  anbn 1 n   n  a a  Giải: Ta có   nên ta đặt  cos với    0;    b b   Khi : a1  a b a2  1    bcos +b b 1  cos     bcos2 b1  b.bcos2  bcos 2 2 bcos   bcos   bcos  cos  b  bcos  cos  2 22 22 Bằng quy nạp ta chứng minh : an  bcos  cos  2 .cos  n   2 bn  bcos cos .cos  2n u1  a Dạng 5: Để tìm CTTQ dãy {un} :  un 1  b  n  un   bu n 1  Ta đặt a  tan  b  tan  , ta dễ dàng chứng minh un  tan   (n  1)  Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam u1   Thí dụ : Cho dãy {un} :  Tính giá trị u2011 un 1    n  un    u n 1    Giải: Ta có tan  tan   u1   tan   tan     tan      Bằng quy nạp ta chứng minh :     3 8  tan tan       5  un  tan   (n  1)  n  Suy u2011  tan   2010   tan     2  8 8 3 3 3  u1   Thí dụ 2: Tìm CTTQ dãy số {un} :  un 1 n  un    un 1  1 1   Đặt xn  Giải: Ta có :  , ta dãy {xn} dược xác định un un 1 un 1 un sau : x1  xn  xn1   xn1 Khi đó, u2       cos  Vì x1   cot  x2  cot   cot   cot  3 2.3 sin Bằng quy nạp ta chứng minh : xn  cot  n 1  un  tan  n 1 n  1, 2,3  BÀI TẬP DÀNH CHO ĐỘC GIẢ TỰ LUYỆN Bài 1: Xác định công thức tổng quát dãy số sau : 3xn1  xn  n0 a) Cho x0  1; n b) Cho x0  1; 5xn1  xn  n  n  c) Cho x0  2; xn1  xn  2n2  n  4 xn1  xn  6n  n  d) Cho x0  5; xn1  xn  13 n  e) Cho x0  3; 3xn1  xn  23 n  f) Cho x0  4; n g) Cho x0  7; xn1  3xn  2.3 n  xn1  xn  2n2 n  h) Cho x0  15; n  n  j) Cho x0  1; x1  4; xn1  xn1  xn1  n  k) Cho x0  4; x1  ; xn1  xn  xn1  0; n 1 l) Cho x0  3; x1   ; xn1  xn  13xn1  i) Cho x0  ; 11xn1  xn  2.3n  4n m) Cho x0  5; x1  1; xn1  xn  3xn1  14 n 1 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com n) o) p) q) r) s) t) u) www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam Cho x0  4; x1  3; xn1  xn  3xn1  n  Cho x0  2; x1  4; xn1  xn  xn1  11 n  n Cho x0  1; x1  5; xn1  8xn  15n1  4.2 n  Cho x0  1; x1  4; xn1  3xn  xn1  3.4n n  Cho x0  4; x1  2; xn1  6xn  9xn1  5.3n ; n  Cho x0  1; x1  3; xn1  xn  12 xn1  (2n  3n 1).2n n  Cho x0  2; x1  3; xn1  xn  10 xn1  (3n 1).5n n  Cho x0  1; x1  3; xn1  8xn  16xn1  (2n2  3).4n n  n n  2sin 3 n n w) Cho x0  ; x2  ; xn1  xn  5xn1   n  v) Cho x0  1; x1  ; xn1  3xn  xn1  3cos  xn 1  xn  yn  yn 1  xn  yn x) Cho x1  3; y1  ;  y) Cho x1  2; xn1  xn  xn  n  n  n  ; Bài 2: Xác định Công thức tổng quát dãy số đặc biệt sau : a) Cho x0  1; x1  ; b) Cho x0  1; x1  2; c) Cho x1  1; xn1  d) Cho u0  2; xn xn 2002 xn1  2001xn  2000 xn 1 xn xn  xn2  xn1.xn xn 2   xn u1   33 ; với n  n  n 1 un1  3un  8un  n 1  u1   e) Cho  u 2 un  n 1 n     un 1    un    , n    Bài 3: Cho dãy số {un} thoả mãn sau : u0  1, u1  u  10.u  u n 1 n  n   , n   n Chứng minh k   , k  a) uk2  un1  10uk uk 1  8 b) 5uk  uk 1  3.uk2  1  x0  1; x1   xn  xn 1  xn 2  n  Bài 4: Cho dãy {xn} xác định sau :  Xác định số tự nhiên n cho : xn1  xn  22685  x0  1; x1   xn 1  xn  xn 1 n  Bài 5: Cho day {xn} xác định :  Tìm nlim  xn  ( TH&TT T7/253)  Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam 1  2    1  an   Bài 6: Xét dãy {an} : a1  an 1    n  2     Chứng minh : a1  a2  a3   a2005  1,03 (TH&TT T10/335) Bài 7: Cho dãy số {an} : a0  2; an1  4an  15an  60 n  Hãy xác định CTTQ an chứng minh số  a2n  8 biểu diễn thành tổng bình phương số nguyên liên tiếp với n  (TH&TT T6/262) Bài 8: Cho dãy số  p(n) xác định sau : p(1)  1; p(n)  p(1)  p(2)   (n 1) p(n 1) n  Xác định p(n) (TH&TT T7/244) u  Bài 9: Xét dãy {un} :  Chứng minh với số un  3un 1  2n  9n  9n  n  p 1 nguyên tố p 2009 ui chia hết cho p (TH&TT T6/286) i 1 x  a Bài 10: Dãy số thực {xn} :    xn 1  xn  n   Tìm tất giá trị a để xn  n  (TH&TT T10/313) xn1.xn Bài 11: Dãy số {xn} : x0  1; x1  xn2  n  2002 xn1  2001xn  2000 xn 1.xn Hãy tìm CTTQ xn (TH&TT T8/298)  a1  Bài 12: Cho dãy số {an} xác định sau {an} :   an 1 an  n  2nan 1    Tính tổng S  a1  a2   a2010 Bài 13: Cho dãy số xác định : a1  1.2.3; a2  2.3.4; ; an  n(n  1)(n  2) Đặt Sn  a1  a2   an Chứng minh 4Sn  số phương ( HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B) Bài 15: Cho hai dãy số {an} {bn} xác định sau : a0  ; b0   2anbn  an 1  a  b ; bn 1  an 1bn n  n n  Chứng minh dãy {an} {bn} có giới hạn chung n   Tìm giới hạn chung ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2) Bài 16: Cho số nguyên a, b Xét dãy số nguyên {an} xác định sau : a0  a; a1  b; a2  2b  a   an 3  3an   3an 1  an n  a) Tìm CTTQ an b) Tìm số nguyen a, b để an số phương với n  1998 (HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B) Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam a  Bài 17: Cho dãy số (an) :   n Tính a ( Trung Quốc – 2004) i 1 i   an   an 1   18 n   a0  Bài 18: Cho dãy số (an) :  Chứng minh :  7a  45an 1  36 an  n 1 n    a) an số nguyên dương với n  b) an1an  số phương với n  ( Trung Quốc – 2005) u1  1; u2  un  Bài 19: Cho dãy số (un) :  Chứng minh số un  4un 1  un 2 n  phương ( Chọn đội tuyển Nghệ An – 2007 )  b0  12; b1  Bài 20: Cho dãy số (bn) :  Tính b  b  b n   n n 1 n  2007 b i 0 i ( Moldova 2007) u1  1; un  n   Bài 21: Cho dãy số {un} xác định sau :   un 1  n  un  un 1   Chứng minh S  u1  u2   un   1  n1  (HSG Quảng Bình 2008 – 2009)   4  Bài 22: Cho đa thức P( x)  x  x  Pn ( x)  P( P( ( P( x))) ) ( n dấu ngoặc) Tìm số nghiệm P(x) Pn(x) ? ( Dự tuyển Olympic) u0  u1  un 1  14un  un 1 n  Bài 23: Cho dãy số (un) xác định sau:  Chúng minh với n  2un  số phương ( Chọn đội tuyển Romania 2002) Trên phân nhỏ kiến thức tốn xác định cơng thức tổng quát dãy số mà lĩnh hội xin trình bày cho bạn tham khảo Mong nhân ý kiến đánh giá chân thật từ người Xin chân thành cảm ơn! Name : Mai Xuân Việt Address : Đội II – thôn Dƣơng Quang – Xã Đức Thắng – Huyện Mộ Đức – Tỉnh Quảng Ngãi Email : xuanviet15@gmail.com Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 www.MATHVN.com ... sai phân dạng " Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một"  xn 1  axn  byn  yn 1  cxn  dyn Cho dãy số {xn} , {yn} xác định sau :  Tìm số hạng tổng quát xn yn Đưa hệ phương trình sai. ..    2  16      Phương trình sai phân bậc hai   2  16  khơng có nghiệm    2  16  VN   thực nên theo thí dụ dạng phương trình sai phân bậc hai ta có số hạng tổng '' quát...www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam * * Ta có : a + b = – = nên nghiệm riêng pt có dạng xn  n(an  b)  an2  bn xn vào pt, ta : a(n  1)2  b(n  1)  an2  bn  4n   2an  a  b  4n  Đồng