ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ——— * ——— KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP TÍNH CHẤT CỦA PHÂN PHỐI POISSON MỘT CHIỀU Giảng viên hướng dẫn: TS Tôn Thất Tú Sinh viên thực hiện: Trương Thị Ly Na Đà Nẵng, Tháng 12 năm 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ——— * ——— TRƯƠNG THỊ LY NA TÍNH CHẤT CỦA PHÂN PHỐI POISSON MỘT CHIỀU KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS Tôn Thất Tú ĐÀ NẴNG, tháng 12 năm 2020 Lời cảm ơn Trong suốt trình viết khóa luận này, tơi nhận nhiều hỗ trợ giúp đỡ Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Tôn Thất Tú, người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo tạo điều kiện để tơi tìm hiểu hồn thành khóa luận Cảm ơn thầy cho tơi góp ý phản hồi sâu sắc giúp khóa luận tơi hồn thiện Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy khoa Tốn tận tình dạy bảo suốt thời gian học tập trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Đồng thời, gửi lời cảm ơn đến bạn lớp 17ST nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Trong q trình làm khóa luận, tơi cố gắng để hồn thiện qua giai đoạn Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu kiến thức cịn hạn chế nên khóa luận tơi khơng tránh khỏi việc có nhiều thiếu sót Kính mong nhận góp ý bảo từ quý thầy cô bạn để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 12 năm 2020 Tác giả Trương Thị Ly Na Mục lục Mở đầu Chương I: Kiến thức sở Biến ngẫu nhiên, hàm phân phối 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.2 Hàm phân phối Phân phối rời rạc 2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2 Bảng phân phối xác suất 2.3 Hàm phân phối biến ngẫu nhiên rời rạc Kì vọng, phương sai 3.1 Kì vọng 3.2 Phương sai Hàm đặc trưng 11 Một số phân phối 11 5.1 Phân phối nhị thức 11 5.2 Phân phối chuẩn 12 5.3 Phân phối Gamma 14 5.4 Phân phối Chi - bình phương 14 Định lí giới hạn trung tâm 15 Ước lượng hợp lý cực đại cho tham số phân phối rời rạc 17 Một số bổ đề 17 8.1 Bổ đề (Bất đẳng thức Markov) 17 8.2 Bổ đề (Bất đẳng thức Chernoff) 17 Chương II: Tính chất phân phối Poisson 18 Định nghĩa phân phối Poisson 18 Một số tính chất phân phối Poisson 18 2.1 Kì vọng phương sai 18 2.2 Tính chất tổng biến ngẫu nhiên độc lập 19 2.3 Một số bất đẳng thức phân phối Poisson 21 2.4 Phân phối có điều kiện 23 2.5 Luật biến cố 24 2.6 Mối quan hệ phân phối Poisson với phân phối  25 2.7 Tốc độ hội tụ 25 2.8 Ước lượng hợp lí cực đại cho tham số phân phối Poisson 28 2.9 Phân phối đồng thời 29 Khoảng tin cậy cho tham số phân phối Poisson 29 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 Mở đầu Lý thuyết xác suất mơn có tính ứng dụng rộng rãi ngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội thực tế sống Nó cơng cụ để giải vấn đề chuyên môn nhiều lĩnh vực kinh tế, sinh học, tâm lý – xã hội Đặc biệt gắn liền với khoa học thống kê, khoa học phương pháp thu thập, tổ chức phân tích liệu, thông tin định lượng Trong lý thuyết xác suất, phân phối Poisson phân phối rời rạc với tập giá trị  {0,1,2, } Phân phối thường dùng để mô tả phân phối số lượng biến cố xuất khoảng thời gian (chẳng hạn, số gọi gọi đến tổng đài, số yêu cầu gửi đến máy chủ, số khách hàng đến giao dịch ngân hàng,… khoảng thời gian định) Phân phối Poisson kết hợp với trình ngẫu nhiên Poisson mơ tả dịng đối tượng vào mơ hình hệ thống hàng chờ Vì phân phối Poisson ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khác Với mong muốn làm rõ tính chất phân phối Poisson, chọn đề tài “Tính chất phân phối Poisson chiều” làm đề tài khoá luận Với khoá luận tốt nghiệp trên, chúng tơi mong tài liệu bổ ích cho quan tâm tới vấn đề Thực đề tài “Tính chất phân phối Poisson chiều”, chúng tơi hướng đến mục đích rèn luyện khả tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Tốn học Từ hình thành khả trình bày vấn đề Tốn học cách logic có hệ thống Khóa luận nhằm hệ thống lại kết quan trọng phân phối Poisson chiều nghiên cứu tính chất Phân phối Poisson tính chất phân phối Poisson chiều Trên sở dịch, đọc tìm hiểu kiến thức tài liệu liên quan, từ xếp hệ thống lại kiến thức, chứng minh chi tiết số tính chất để hồn thành việc nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu dựa phương pháp: - Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài bao gồm sách kinh điển tiếng Việt tài liệu tiếng Anh - Đọc dịch, tổng hợp, trình bày lại theo chủ đề, bổ sung chi tiết, ví dụ minh họa - Trao đổi, thảo luận với cán hướng dẫn Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến phân phối Poisson tính chất phân phối Poisson chiều, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu phân phối Poisson chiều tính chất Khóa luận chia thành hai chương:  Chương I trình bày số kiến thức sử dụng cho chương sau  Chương II trình bày khái niệm tính chất liên quan đến phân phối Poisson chiều Chương I: Kiến thức sở Định nghĩa: Cho không gian xác suất ( , F , P ) Ánh xạ X : biến ngẫu nhiên với a : X (( ; a)) { : X( ) gọi a} F - Tập hợp giá trị X gọi miền giá trị X , kí hiệu: X ( ) - Ta dùng chữ in hoa ( X , Y , Z , ) để kí hiệu đại lượng ngẫu nhiên Ví dụ: + Tung xúc xắc Gọi X số chấm suất mặt xúc xắc X biến ngẫu nhiên + Gọi Y nhiệt độ thời điểm Đà Nẵng Y biến ngẫu nhiên - Căn vào giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận người ta phân chia biến ngẫu nhiên thành hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa: Hàm số thực FX ( x)  P( X  x) , x  gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Tính chất: (i)  FX ( x)  1, x  (ii) FX ( x) đơn điệu không giảm với x  , tức FX ( x)  FX ( y) với x  y (iii) FX ( x) liên tục trái với x , tức là: lim FX ( x)  FX ( x0 ), x0  x  x0 (iv) lim FX ( x)  1, lim FX ( x)  x  x  Nhận xét: (i) P( X  a)   F (a) (ii) P(a  X  b)  F (b)  F (a) Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối F ( x)  a  b arctan x, x  a) Tìm a b b) Tìm x cho: P( X   x)  Giải: a) Ta có: b   a  a    lim F ( x)    x  2    F ( x)   b  xlim  a  b     b) P( X   x)   P( x   x)   F (1  x) 1  1     arctan(1  x)    arctan(1  x)  2    Từ đó: arctan(1  x)   hay x  Ví dụ 2: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối 0,  F ( x)  ax  b, 1,  x0 0 x2 x2 a) Tìm a b b) Tìm hàm phân phối Y  X  Giải: a) Vì F ( x ) liên tục trái nên:   lim F ( x)  F (0) 0  b a  x 0    lim F ( x )  F (2) a  b    x2 b  b) Theo định nghĩa ta có: y 1    y 1  FY ( y )  P(Y  y )  P (2 X   y )  P  X   F      y 1 0  0,    y 1  FY ( y)     , 4    1,  y 1 2 y 1 2 0 0, 1    ( y  1)2 , 16 1, y 1 1 y  y5 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên gọi rời rạc nhận số hữu hạn số vô hạn đếm giá trị - Ta liệt kê giá trị biến ngẫu nhiên rời rạc x1 , x2 , , xn - Kí hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị xi X  xi xác suất để X nhận giá trị xi P( X  xi ) Ví dụ: - Trong gia đình có Gọi X số gái gia đình X biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị {0;1;2;3} - Tung liên tiếp xúc xắc xuất mặt chấm dừng lại Gọi X số lần tung chấm X biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị {1,2,3, } Định nghĩa: Cho X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị X () Khi đó, hàm  P( X  x), x  X () p( x)   x  X ( ) 0, gọi hàm khối xác suất Định nghĩa: Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên bảng dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc - Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x1 , x2 , , xn , với xác suất tương ứng p1 , p2 , , pn , ta có bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X sau: X ( ) x1 x2 xn pi p1 p2 pn Chương II: Tính chất phân phối Poisson Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Poisson với tham số   , kí hiệu X Pois ( ) X nhận giá trị tập  {0, 1, 2, 3, } với xác suất: P( X  k )   k e  k! , k  0,1,2, Ví dụ: Một gara cho th tơ thấy số đơn đặt hàng thuê ô tô vào ngày thứ biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số   Giả sử gara có tơ Tìm xác suất để: a) Có tơ th b) Tất ô tô thuê c) Gara không đáp ứng yêu cầu Giải: Gọi X số đơn đặt hàng ô tô vào ngày thứ Theo đề ta có: X Pois (  2) 22  2e 2  0,271 a) P( X  2)  e 2! 2 b) P( X  4)   P( X  4)   [ P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)]  20 21 22 23  19   e2        e2  0,143  0! 1! 2! 3!  c) P( X  4)   P( X  4)   [ P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)  P( X  4)]  20 21 22 23 24    e         7e2  0,053  0! 1! 2! 3! 4!  2 Kì vọng: Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số  Khi đó, kì vọng X là: E( X )   18 Chứng minh:  {0, 1, 2, 3, } nên Vì X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị tập ta có:   k e k 0 k!  E ( X )   k P( X  k )   k k 0  e    k 1  (k  1)!  e  e    (đpcm) k 1 Phương sai: Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số  Khi đó, phương sai X là: D( X )   Chứng minh: Ta có: D( X )  E ( X )  ( E ( X ))2 Mà E ( X )  E ( X ( X  1)  X )  E ( X ( X  1))  E ( X ) Do D( X )  E ( X ( X  1))  E ( X )  ( E ( X ))2 Ta chứng minh E ( X )   Bây ta cần tính E ( X ( X  1))  E ( X ( X  1))   k (k  1) p(k ) k 0   k ( k  1) e  k k!   k ( k  1) e  k e  k  e  k   k ( k  1)   k ( k  1) k! k! k! k 1 k 2  k 0 k 0   e  k 2   (k  2)! k 2     e e  2 Do đó: D( X )  E ( X ( X  1))  E ( X )  ( E ( X ))         (đpcm) Cho X i ( i  1,2, , n ) biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó, X i Pois(i ) n X i 1 i  n  Pois   i  , i  1,2, , n  i 1  19 Chứng minh: - Với n  1, hiển nhiên - Với n  : Giả sử X1 , X biến ngẫu nhiên độc lập có phân với Poisson với tham số 1 , 2 Ta cần chứng minh: X1  X Pois(1  2 ) Ta có: k P( X  X  k )   P( X  k1 , X  k  k1 ) k1 0 k   P( X  k1 ) P( X  k  k1 ) (Vì X1 , X độc lập) k1 0 e 1 1k1 e 2 2k k1  k1 ! (k  k1 )! k1 0 k e ( 1 2 ) k!  1k1 2k k1 k ! k1 !(k  k1 )! k1 0 k  e ( 1 2 ) k k1 k1 k k1  Ck 1 2 k ! k1 0  e ( 1 2 ) (1  2 )k k! Suy X1  X Pois(1  2 ) - Với n  , Giả sử X1 , X , X biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson với tham số 1 , 2 , 3 Sử dụng kết trường hợp n  , ta có: Pois(1  2 ) X X1  X Do đó: X1  X  X Pois(1  2  3 ) - Hoàn toàn tương tự, X i n lập  Xi i 1 Pois(3 ) Pois(i ) , i  1,2, , n biến ngẫu nhiên X i độc  n  Pois   i   i 1  20 Bất đẳng thức xác suất đuôi Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số  Khi đó: (i) P( X  x)  (e ) x e  , với x   xx (e ) x e  , với x   (ii) P( X  x)  xx Chứng minh: (i) P( X  x)  (e ) x e  , với x   xx Áp dụng bất đẳng thức Chernoff ta có: P( X  x)  inf (etx E (etX )) t 0 Ta có:  t ( et ) k e   k  E (e )   e e   e   e e k! k! k 0 k 0  tX tk Do đó: P( X  x)  inf (e  tx e   ee )  P( X  x)  e   inf (e tx e ) t t t 0 t 0 Xét f (t )  tx  et , với t  f '(t )    x  et   et  x   t  ln x  (thỏa mãn t  x   ) x ln  x  x  x  x   f  ln     ln  x  e    ln  x  x   x  ln  1          Do đó: inf (e t 0  tx   et )e  x   x ln 1    x  ln x 1   e   e       x  x Suy ra:   e   e  e )e    xx  x  x  P( X  x)  e inf (e  tx   et t 0  x  (đpcm) (e ) x e  , với x   (ii) P( X  x)  xx Áp dụng bất đẳng thức Chernoff ta có: 21 P( X  x)  inf (etx E (etX )) t 0 Ta có: E (e  tX  )  e  tk k 0  t ( e  t ) k e   k  e   e   ee k! k! k 0 Do đó: t t P( X  x)  inf (etx e   ee )  P( X  x)  e   inf (etx e ) t 0 t 0 Xét f (t )  tx  et , với t  f '(t )   x  et   et  x   t  ln  (thỏa mãn t  x   ) x   ln          f  ln    ln  x  e x   ln  x  x  x  ln  1  x  x  x  x  Do đó: inf (e tx   e t t 0 )e    x ln 1  x  x  ln x 1   e   e       x  x Suy ra:  P( X  x)  e inf (e tx   e t t 0   e   e  e )e    xx  x  x x   (đpcm) Bất đẳng thức xác suất so sánh hai biến ngẫu nhiên Pois ( ) , Y Cho X , Y hai biến ngẫu nhiên độc lập X Pois (  ) với    Khi đó: P( X  Y  0)  e      Chứng minh: Sử dụng Bất đẳng thức Chernoff ta có: P( X  Y  0)  inf et E (et ( X Y ) )  inf E (etX e tY )  inf  E (etX ).E (e tY )  t 0 t 0 t 0 Ta có:  E (etX )   etk k 0   t ( et ) k e   k  e   e  ee k! k! k 0 E (e  tY )   e  tk k 0  t e   k ( e  t ) k  e    e  ee k! k! k 0 Do 22  P( X  Y  0)  inf  E (etX ).E (e tY )   inf e   e e e   e e t 0 t 0 t t   inf e  (    )  et   e  t e t 0  Xét f (t )  et  et với t  f '(t )   et  et   et  et  e2t     2t  ln       t  ln   (thỏa mãn t     )      ln ln  ln 1  f  ln   e    e    e 2  1  e ln             Do đó: inf e  (    ) e( e  e t t 0 t )  e(    )e2 P( X  Y  0)  e Suy ra:       e      2 (đpcm) Cho X1 , X biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson với tham số 1 , 2 Khi đó, X1  X  k X  1  B k,   1  2  Chứng minh: Ta cần chứng minh: X  1  B k,   1  2  hay P( X  k1 | X  X  k )  Ckk1 p k1 (1  p)k k1 , với p  1 1  2 Ta có: P( X1  k1 | X1  X  k )  P( X  k1 , X  X  k ) P( X  X  k )  P( X  k1 , X  k  k1 ) P( X  X  k )  P ( X  k1 ) P( X  k  k1 ) (Vì X1 , X độc lập) P( X  X  k ) 23 e  1 1k1 e  2 2k  k1 k1 ! (k  k1 )!   ( 1 2 ) e (1  2 ) k k! Pois(1  2 ) ) ( X1  X k! 1k1 2k k1  k1 !(k  k1 )! (1  2 ) k  Ckk1 1k 2k k (1  2 )k (1  2 )k k 1 k1  1   2  C      1  2   1  2  k  k1 k1 k k1  1   1  C   1    1  2   1  2  k  k1 k1 k  Ckk1 p k1 (1  p)k k1 (với p  1 1  2 ) (đpcm) Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số n p Khi n lớn p nhỏ, ta có: e   k P( X  k )  , k!   np Điều có nghĩa X có phân phối xấp xỉ phân phối Poisson với tham số   np Chứng minh: Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số n p ,   np , n lớn p nhỏ Ta có: n! n!  P( X  k )  p k (1  p) nk    (n  k )!k ! (n  k )!k !  n  k   1    n nk   k 1  n(n  1) (n  k  1)   n   nk k !   k 1    n n 24 Do n lớn p nhỏ nên:    1    e ,  n n n(n  1) (n  k  1)  1, nk   1     n k P( X  k )  e   Do đó: k k! Do X có phân phối xấp xỉ phân phối Poisson P( X  k )  C p (1  p ) k n k nk  k k! e 2 Cho X ~ Pois ( ) Y ~  22n , với n số nguyên dương Khi đó, ta có đẳng thức: P( X  n)  P(Y  2 ) Chứng minh:   1  x n 1  x /2 P(Y  2 )   n x e dx      ( n) (n  1)!    2 n 1  x x x n1e  x dx e d   (n  1)!   Sử dụng phương pháp tích phân phần: P(Y   )   1 e    n1  x n2e  x dx  (n  1)! (n  2)!   1  e   n1  e   n2  x n3e x dx  (n  1)! (n  2)! (n  3)!    1 e    n1   e   n( n1)  e  (n  1)! (n  (n  1))! Từ đó, ta được: n 1 1   k 1 P(Y  2 )   e    e    k  P( X  n) (đpcm) k 1 ( k  1)! k 0 k ! n 25 Giả sử ( X k ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị nguyên, P[X k  1]  pk , qk   pk  P[X k  0] , k  Đặt Sn  X1  X   X n ,   p1  p2   pn , P(k ,  )   k e k! , k  0,1, Khi đó, ta có bất đẳng thức sau: n n P[Sn  k ]  P (k ,  )   p  2 q j , k  0,1, j 1 j j 1 Chứng minh: Đặt k (t )  E (eitX k ) , ta có: k (t )  pk eit  (1  pk  qk )  qk k (t )   pk (eit  1)  qk ( k (t )  1) đó,  k (t ) hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên có giá trị nguyên Gọi Y biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số  Khi đó:  (t ) : E (eitY )  e ( e it 1) n   e pk ( e it 1) k 1 Để chứng minh ta sử dụng bổ đề sau: 1) Nếu Re   e 1   , e 1      2 (1) Thật vậy, ta có: e     et dt    e u du   (vì e u  ) e 1       (e  1)dt    (e  1)du   t u  udu   2 2) Nếu ak  , bk  , k  1,2, , n n a1a2 an  b1b2 bn   ak  bk (2) k 1 Thật vậy, Đặt k k i 1 i 1 Ak   , Bk   bi 26 Ta có: An  Bn   An1  Bn1  an   an  bn  Bn1   An1  Bn1  an   an  bn  Bn1  An1  Bn1  an  bn n    ak  bk k 1 3) Nếu X biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên thì: P( X  k )  2   e   itk  X (t )dt Thật vậy, P( X  k )  2    eitk X (t )dt  2  itk  itn  e pn  dt    e  2 n 1     it ( n k )  e pn  dt    n 1   Ta có:   e it ( n  k )   dt   cos  t (n  k )   i sin  t (n  k )  dt  2 ,     1    n  k sin  t (n  k )   n  k i cos  t (n  k )   ,    2 ,  0, n  k n  k n  k n  k Do P( X  k )  2   it ( nk )  e pn  dt  pk    n 1   Chứng minh: Ta có: s (t )  (t )  n n n k (t )   e p (e it k k 1 1) k 1 Áp dụng bất đẳng thức (2), ta có: n  s (t )  (t )   k (t )  e p ( e k n it 1) k 1 n    pk (eit  1)  qk ( k (t )  1)  e pk ( e it 1) k 1 27 n   e pk ( e it 1  pk (eit  1)   qk ( k (t )  1) ) k 1 n n   pk2 eit   2 qk (sử dụng bất đẳng thức (1)) k 1 k 1  sin t t  2 qk   p   2sin  2 k 1 k 1  n n k Ta có:    e   2 P[Sn  k ]  P(k ,  )     itk   Sn  (t )  (t ) dt n n  sin t t 2 qk   pk2   2sin  dt 2 k 1 k 1  n n k 1 k 1  2 qk   pk2 (đpcm) Bài tốn: Tìm ước lượng tham số phân phối Poisson phương pháp hợp lí cực đại Giải: Phân phối Poisson với tham số  có hàm xác suất: f ( x)  x x! e  , x  0,1, Giả sử {x1 , x2 , , xn } mẫu ngẫu nhiên từ phân phối Khi hàm hợp lí cực đại L ( ) xác định: n n n L( )   f ( xi )   i 1 i 1 x i xi ! e     xi i 1 n x ! i 1 e  n i Suy  n  ln L      xi ln( )  ln   xi !  n i 1  i 1  n Do đó: d ln( ) n n   xi  n      xi d  i 1 n i 1 28 Vậy ước lượng hợp lí cực đại  là: ML  n  xi n i 1 Cho X1 , X , X biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson với tham số 1 , 2 , 3 Đặt Y1  X1  X , Y2  X  X Khi đó: P(Y1  k1 ,Y2  k2 )  e (  1 2 3 ) 1k 2k k1 ! k2 ! min( k1 ,k2 )  k 0    C C k !   12  k1 k k k2 k Chứng minh: Ta có: P(Y1  k1 ,Y2  k2 )  P( X1  X  k1, X  X  k2 )  min( k1 , k2 )  k 0  min( k1 , k2 )  k 0  min( k1 , k2 )  k 0  min( k1 , k2 )  k 0 e e P( X  X  k1 , X  X  k2 , X  k ) P ( X  k1  k , X  k2  k , X  k ) P( X  k1  k ).P ( X  k2  k ).P ( X  k ) (vì X1 , X , X độc lập) e 1 1k1 k e 2 2k2 k e 3 3k (k1  k )! (k2  k )! k ! (  1 2 3 ) 1k 2k k1 ! k2 ! (  1 2 3 ) 1k 2k k1 ! k2 ! min( k1 , k2 )  k 0 min( k1 ,k2 )  k 0 3k k1 ! k2 ! k ! k !(k1  k )! k !(k2  k )! 1k 2k k    C C k !  (đpcm)  12  k k1 k k2 Bài toán: Xây dựng khoảng tin cậy với độ tin cậy   cho tham số  phân phối Poisson Giải: Lấy mẫu ngẫu nhiên {X1 , X , , X n } từ phân phối Poisson với tham số  Theo định lí giới hạn trung tâm, ta có: Sn  X1  X   X n có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N (n , n ) 29 Suy Z  S n  n có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn tắc N (0;1) n   Với   (0;1) , chọn 1     z   1 1   giá trị tới hạn mức  2  phân phối chuẩn tắc Ta có: P( z  Z  z )    Giải bất phương trình:  z  Z  Sn  n  z n  S  n   n   z  n   ( S n  n )  n z2  S n2  2n S n  n 2  n z2  n 2  (2nS n  nz2 )  S n2   2Sn  z2  4S n z2  z4 2n  2S n  z2  4S n z2  z4 2n Như vậy, khoảng tin cậy với độ tin cậy   cho tham số  phân phối Poisson là: 2Sn  z2  4Sn z2  z4 2n   2S n  z2  4S n z2  z4 2n 30 Kết luận Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu tính chất phân phối Poisson chiều, khóa luận đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau:  Tổng quan hệ thống cách đầy đủ khái niệm đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối biến ngẫu nhiên, phân phối rời rạc, định nghĩa cơng thức xác định kì vọng phương sai, khái niệm tính chất số phân phối định lí giới hạn trung tâm  Trình bày rõ ràng, chi tiết định nghĩa đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson; kì vọng, phương sai phân phối Poisson; tính chất tổng biến ngẫu nhiên độc lập; số bất đẳng thức phân phối Poisson; phân phối có điều kiện; luật biến cố hiếm; tốc độ hội tụ; ước lượng hợp lí cực đại phân phối Poisson xây dựng khoảng tin cậy cho tham số phân phối Poisson Với khảo sát được, khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hi vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu kết tính chất phân phối Poisson chiều 31 Tài liệu tham khảo [1] GS Nguyễn Tiến Dũng GS Đỗ Đức Thái (2015), Nhập môn đại xác suất & thống kê, Tủ sách Sputnik [2] Lê Văn Dũng, Tôn Thất Tú, Nguyễn Thị Hải Yến (2019), Giáo trình Thống kê tốn, NXB Thông tin truyền thông [3] Đinh Văn Gắng (2009), Lý thuyết xác suất thống kê, NXB Giáo dục Việt Nam [4] N.L Johson, A.W Kemp, S Kotz (2005), Univariate Discrete Distributions, John Wiley & Sons, New Jersey [5] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 32 ... hệ thống Khóa luận nhằm hệ thống lại kết quan trọng phân phối Poisson chiều nghiên cứu tính chất Phân phối Poisson tính chất phân phối Poisson chiều Trên sở dịch, đọc tìm hiểu kiến thức tài liệu... giả nghiên cứu liên quan đến phân phối Poisson tính chất phân phối Poisson chiều, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu phân phối Poisson chiều tính chất Khóa luận chia thành hai... nghĩa phân phối Poisson 18 Một số tính chất phân phối Poisson 18 2.1 Kì vọng phương sai 18 2.2 Tính chất tổng biến ngẫu nhiên độc lập 19 2.3 Một số bất đẳng thức phân