1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a b. a b, a > b, a − b a b, a  b, a − b a b, a < b, a − b a b a  b, a −b a |a| =  a a  0 −a a < 0. a, b, c n a > b ⇐⇒ a −b > 0 a > b ⇐⇒ a + c > b + c a > b ⇐⇒ a 2n+1 > a 2n+1 |a| > |b| ⇐⇒ a 2n > a 2n a  b ⇐⇒  a=b a>b. a > b, c > 0 ⇐⇒ ac > bc c < 0 ⇐⇒ ac < bc. a > b, b > c =⇒ a > c. |a|  α ⇐⇒  α  0 −α  a  α. 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a, b, c, x, y, z d = 0 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a −b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 . (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca). (a + b) 3 = a 3 + 3ab(a + b) + b 3 (a −b) 3 = a 3 − 3ab(a − b) −b 3 . a 2 − b 2 = (a − b)(a + b). a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ). (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 + (ay − bx) 2 . (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz) 2 + (ay − bx) 2 + (bz − cy) 2 + (cx − az) 2 . |ab| = |a||b|, | a d | = |a| |d| |a| = |b| a = ±b. a, b, c, x, y, z d = 0 a 2 + b 2  2ab. (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 )  (ax + by) 2 . (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 )  (ax + by + cz) 2 . ||a| −|b||  |a + b|  |a| + |b|. (a −b) 2  0 a 2 + b 2  2ab. a = b. (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 + (ay − bx) 2  (ax + by) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 )  (ax + by) 2 . a x = b y . (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 ) = (ax+by+cz) 2 +(ay−bx) 2 +(bz−cy) 2 + (cx−az) 2  (ax+by+cz) 2 (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 )  (ax+by+cz) 2 . a x = b y = c z . |a|  ±a, |b|  ±b. a+b  0 |a+b| = a+b  |a|+|b|; a+b < 0 |a+b| = −a−b  |a|+|b|. |a+b|  |a|+|b|. 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn |a| = |a +b +(−b)|  |a +b|+|−b| = |a + b|+ |b| |a|−|b|  |a +b|. |b| = |a + b + (−a)|  |a + b| + | − a| = |a + b| + |a| |b| −|a|  |a + b|. ||a| −|b||  |a + b|  |a| + |b|. a, b, c, x, y, z, u, v, t  0 a + b + c  3 3 √ abc. 3  (a + x)(b + y)(c + z)  3 √ abc + 3 √ xyz. 3  (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t)  3 √ abc + 3 √ xyz + 3 √ uvt. a + b + c + 3 √ abc  2 √ ab + 2  c 3 √ abc  4 4  abc 3 √ abc a + b + c + 3 √ abc  4 3 √ abc a + b + c  3 3 √ abc. a + x, b + y, c + z a + x = 0, a = x = 0 a + x, b + y, c + z = 0 :        a a + x + b b + y + c c + z  3 3  abc (a + x)(b + y)(c + z) x a + x + y b + y + z c + z  3 3  xyz (a + x)(b + y)(c + z) 3  3 3 √ abc + 3 √ xyz 3  (a + x)(b + y)(c + z) . 3  (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t)  3  (a + x)(b + y)(c + z)+ 3 √ uvt 3  (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t)  3 √ abc+ 3 √ xyz+ 3 √ uvt. a, b, c  0. 1 1 + a 2 + 1 1 + b 2  2 1 + ab ab  1. 1 1 + a 2 + 1 1 + b 2 + 1 1 + c 2  3 1 + abc a, b, c  1. 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2  1 1 + ab . 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2  2 1 + ab ab  1. 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2 + 1 (1 + c) 2  3 1 + abc a, b, c  1. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 √ 1 + a 2 + 1 √ 1 + b 2  2  1 +  a + b 2  2 1 √ 1 + a 2 + 1 √ 1 + b 2 + 1 √ 1 + c 2  3  1 +  a + b + c 3  2 a, b, c  1 √ 2 . (ab−1)(a−b) 2  0. 1 1 + a 2 + 1 1 + b 2  2 1 + ab ab  1. a, b, c  1            1 1 + a 2 + 1 1 + b 2  2 1 + ab  2 1 + abc 1 1 + b 2 + 1 1 + c 2  2 1 + bc  2 1 + abc 1 1 + c 2 + 1 1 + a 2  2 1 + ca  2 1 + abc 1 1 + a 2 + 1 1 + b 2 + 1 1 + c 2  3 1 + abc . (ab −1) 2 + ab(a −b) 2  0. 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2  1 1 + ab . a, b, c  1              1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2  2 1 + ab  2 1 + abc 1 (1 + b) 2 + 1 (1 + c) 2  2 1 + bc  2 1 + abc 1 (1 + c) 2 + 1 (1 + a) 2  2 1 + ca  2 1 + abc 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2 + 1 (1 + c) 2  3 1 + abc . y = 1 √ 1 + x 2 x > 0 y  = −x(1+x 2 ) −3/2 < 0. y y” = 3x 2 (1 + x 2 ) −5/2 − (1 + x 2 ) −3/2 = 2x 2 − 1  (1 + x 2 ) 5  0 x  1 √ 2 y 1 √ 1 + a 2 + 1 √ 1 + b 2  2  1 +  a + b 2  2 1 √ 1 + a 2 + 1 √ 1 + b 2 + 1 √ 1 + c 2  3  1 +  a + b + c 3  2 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a, b, c  1 √ 2 . ab > 1 a = 2, b = 1 ab = 2 > 1 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2 = 1 9 + 1 4 < 2 3 = 2 1 + ab ; a = 9, b = 1 ab = 9 > 1 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2 = 1 100 + 1 4 > 2 10 = 2 1 + ab . A  B A −B A − B  0. a, b, c a 2 + b 2 + c 2  ab + bc + ca. a 2 +b 2 +c 2 −ab−bc−ca = 1 2  (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2   0 a 2 + b 2 + c 2  ab + bc + ca. a < 1 T = (1 + a)(1 + a 2 )(1 + a 4 ) . . . (1 + a 64 )  1 1 −a . T = (1 −a)(1 + a)(1 + a 2 )(1 + a 4 ) . . . (1 + a 64 ) 1 −a = 1 −a 128 1 −a T = 1 −a 128 1 −a  1 1 −a . a, b, c a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). a 2 > (b −c) 2 , b 2 > (c −a) 2 c 2 > (a −b) 2 a 2 + b 2 + c 2 > (a −b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). a, b, c a 2 = b 2 + c 2 . x y bx + cy = a x 2 + y 2  1. (b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 )  (bx + cy) 2 = a 2 x 2 + y 2  1. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a, b ∈ [1; 2]  a + b  1 a + 1 b   9 2 . a, b, c ∈ [1; 2] (a − 1)(a − 2)  0 (b − 1)(b − 2)  0. a 2 + 2  3a, b 2 + 2  3b a + 2 a  3 b + 2 b  3. 6   a + b  +  2 a + 2 b   2   a + b  2 a + 2 b   a + b  1 a + 1 b   9 2 . a, b, c ∈ [−2; 3] a + b + c = 0 a 2 + b 2 + c 2  18. a, b, c ∈ [−2; 3] (a + 2)(a − 3)  0, (b + 2)(b − 3)  0 (c + 2)(c −3)  0. a 2 − a  6, b 2 − b  6 c 2 − c  6. a + b + c = 0 a 2 + b 2 + c 2  18. a, b, c ∈ [0; 4] a + b + c = 6. a 2 + b 2 + c 2  20. a  b  c  0. 2  a  4. a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + (b + c) 2 −2bc  a 2 + (6 −a) 2 = 2a 2 −12a + 36. a 2 + b 2 + c 2  2(a 2 −6a + 18) = 2[(a −2)(a −4) + 10]  20. a = 4, b = 2, c = 0. a  b  c a 4 + b 4 + c 4  a 3 b + b 3 c + c 3 a. T = a 4 + b 4 + c 4 − a 3 b −b 3 c −c 3 a. T = a 3 (a −b) + b 3 (b −c) + c 3 (c −a) = a 3 (a −b) + b 3 (b −c) − c 3 [(a −b) + (b − c)] = (a −b)(a 3 − c 3 ) + (b − c)(b 3 − c 3 )  0. a 4 + b 4 + c 4  a 3 b + b 3 c + c 3 a. a, b, c  0 a b + c + b c + a + c a + b  a 2 b 2 + c 2 + b 2 c 2 + a 2 + c 2 a 2 + b 2 . 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Ta sẽ chứng minh Thật vậy, đặt Khi đó Theo Bất đẳng thức Cauchy có và suy ra được hay Dấu = xảy A C ra khi và chỉ khi hay Phương pháp đánh giá Để chứng minh A B, ta chọn Ví dụ 1.2.42 Cho số nguyên C và đánh giá n > 1 Chứng minh 25S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Sau đó chỉ ra C B 1 1 1 1 1 + 3 + 3 +ã ã ã+ 3 < 23 3 4 n 4 http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Bài giải: T = Với n = 2, n = 3, bất đẳng... http://www.lrc-tnu.edu.vn bất Vì 28 Phương pháp phản chứng (A) (A) Xét mệnh đề thuẫn Vậy và chứng minh nó là đúng Giả sử (A) là sai Ta chỉ ra mâu đúng Ví dụ 1.2.49 Cho bốn số thực phân biệt a, b, c, d Chứng minh rằng trong 4 bất đẳng thức dưới đây có ít nhất hai bất đẳng thức sai: a2 + 3b2 3cd b2 + 3c2 3da c2 + 3d2 3ab d2 + 3a2 3bc a2 + 3b2 3cd 0 a2 +3b2 3cd+c2 +3d2 3ab 0 Bài giải: Nếu và a=b=c=d=0: thức... 4 0 Mặt khác, hiển nhiên Vậy, để có bất đẳng thức ta chỉ cần chứng minh Thay ta phải chỉ ra hay Bất đẳng thức này tương đương (x 1)2 (3x2 2x 4) Vì 2x = a + b 3 nên 1 x 3 2 và như vậy 0 3x2 2x 4 bất đẳng thức đã được chứng minh Dấu = xẩy ra khi Ví dụ 1.2.23 [Moldova TST 2006] Cho a, b, c 0 Tóm lại, a = b = c = 1 là dộ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh bất đẳng thức a2 Bài giải: b c a 1 +... thuẫn Ví dụ 1.2.51 Giả sử các số thực a, b, c, d thỏa mãn ab+2(b+c+d) = c(a+b) Chứng minh rằng trong số ba bất phương trình dưới đây ít nhất một bất phương trình có nghiệm: x2 ax + b x2 bx + c x2 cx + d 29S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 0 0 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Bài giải: Giả sử cả ba bất phương trình đều vô nghiệm Khi đó ta có x2 ax + b > 0, x2 bx + c > 0 x2 cx + d > 0 x... c+a + + = 3+ + + 4 a b c 4 a b c 2 Bài giải: Chỉ cần chỉ ra và nó tương đương bất đẳng hay thức Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có Do đó có 9 2 1 Mặt khác, còn Cộng hai bất đẳng thức trên lại ta có bất đẳng thức cần chứng minh a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3 2 2 2 ta có bất đẳng thức (a ab + b )(b bc + c )(c ca + a ) 12 Ví dụ 1.2.41 Chứng minh rằng, nếu 2 2 thì 2 a b c b bc+c b , a ac+c (a+c) , a... ) = 12(u v)2 (u + v) 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u=v=0 21S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn hay a = b = c > 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Bất đẳng thức cổ điển Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy hoặc Bất đẳng thức Bunhiakowski với 3 số hạng trong tổng hoặc tích, xem Bổ đề 1.1.4 và Bổ đề 1.1.5, để chứng minh bất đẳng thức mới Ví dụ 1.2.33 Chứng minh rằng, với Bài giải: Ta có a, b, c 1 1 1... b2 c2 ) Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với b4 2b2 (a c)2 + (a c)4 b4 (a2 c2 )2 hay (a c)2 (a2 b2 + c2 ) (c2 (ab)2 )2 (c2 a2 +b2 )(c2 b2 +a2 ) (a2 b2 + c2 )(a2 c2 + b2 ) Tương tự có và 0 (a2 (bc)2 )2 Nhân các bất đẳng thức trên, vế theo vế, nhận được bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1.2.21 [Việt Nam TST 2006] Chứng minh rằng, với các số thực a, b, c [1; 2] ta có bất đẳng thức (a... z > 0 và 3 2 2x + 2y + 2z 12 Cộng các bất đẳng thức, vế theo vế, http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 1 1 1 + + x+y y+z z+x x+z y+z + 9 y+z x+z 2 2 2 3 + + x+y y+z z+x 2 được 12 Từ đây suy ra y+z x+y z+x x+y + + + + x+y y+z x+y z+x 2 2 2 + + = 2+a+b 2+b+c 2+c+a 3+ và có được bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1.2.48 Chứng minh rằng với các số thực (i) 1 1 1 + + a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) a, b, c 1 có bất đẳng... Vậy Do nên Vậy 31S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Phương pháp lượng giác Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức lượng giác để sử dụng những tính chất của các hàm số lượng giác Tất nhiên, không phải bài toán nào cũng dùng phương pháp này Sau đây là một số dấu hiệu và phép lượng giác hóa tương ứng thường được sử dụng: Khi Khi Nếu x2 + y 2 = r2 , r > 0,... rằng hay 3(a2 +b2 +c2 ) Vì nên 1 1 1 + a b Bài giải: + 1 1 1 1 + c d 1 1 + a+c b+d Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức (a + c)(a + b)(b + d)(c + d) (a + b + c + d)[(c + d)ab + (a + b)cd] hay (ad bc)2 0 Ví dụ 1.2.16 Cho Do vậy bất dẳng thức là đúng a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1 Chứng minh rằng 1 1 1 + a b 1 Bài giải: 0 + Từ + 1 1 1 + c d 1 (a + c)(b + d) 1 1 1 1 1 1 1 . 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Số. http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a