Chương Ma Trận - Định Thức  Ma trận  Định thức ma trận vuông  Ma trận nghịch đảo  Hạng ma trận ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Một bảng số chữ nhật có m dịng, n cột gọi ma trận cỡ m × n A = ( aij ) m×n  a11 K   =  ai1 K   a K  m1 a1 j K aij K amj K a1n  ÷ ÷ ain ÷ ÷ ÷ amn ÷  Dòng thứ Dòng thứ i Cột thứ j aij phần tử ma trận A nằm giao điểm dòng i cột j Thay cho dòng ta viết A∈ Mm×n MA TRẬN BẰNG NHAU  A, B ∈ M m×n  A= B ⇔  aij = bij , ∀i, j  Ví dụ 1 3   1 ÷=  c −4   b ÷ d MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT Ma trận không: Là ma trận mà tất phần tử Ma trận vuông: Khi m = n, bảng số thành hình vng, ta có ma trận vng n dịng, n cột, ta gọi ma trận cấp n  a11 a  21 K   an1 a12 a22 K an K K K K a1n  ÷ a2 n ÷ K ÷ ÷ ann  Phần tử chéo Đường chéo MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT Ma trận tam giác (dưới): Là ma trận vng mà phần tử nằm phía (trên) đường chéo  a11   A=    a12 K a22 K K K a1n  ÷ a2 n ÷ ÷ ÷ ann  Ma trận tam giác Ma trận chéo: Là ma trận vuông mà phần tử khơng nằm đường chéo MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT Ma trận đơn vị: Là ma trận chéo mà phần tử nằm đường chéo 1 0  K K  0 K K K K 0 ÷ 0÷ = In K÷ ÷ 1 Ma trận hàng: m =1 Ma trận cột: n =1 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN + PHÉP CỘNG HAI MA TRẬN: Cho A = [aij]m×n, B = [bij]m×n A+B = [aij+bij]m×n + PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT MA TRẬN: Cho A = [aij]m×n, k∈ R kA =[kaij]m×n CÁC TÍNH CHẤT Với ma trận A, B, C ∈ Mmxn, k, h ∈ R, ta có i A + B = B + A (tính giao hốn) ii (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp) iii A + = A (0 hiểu 0mxn) iv A + (−A) = v h(kA) = (hk)A vi h(A + B) = hA + hB vii (h + k)A = hA + kA viii 1.A = A PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Cho hai ma trận A =[aij]mxp, B =[bij]pxn Ta định nghĩa tích AB ma trận C=[cij]mxn, mà phần tử cij xác định công p thức cij = ai1b1 j + 2b2 j + K + aipbpj = ∑ a ik bkj ai1 K aip b1 j b2 j M bpj k=1 PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Ví dụ: 3 a)  ÷( )  2 1 2  3 ÷ c)  ÷ ÷  61 4÷   3 b) ( )  ÷  2 CÁC TÍNH CHẤT (i) Tính kết hợp: A(BC) = (AB)C (ii) Tính phân bố: (A+B)C = AB + BC (iii) h(AB) = (hA)B = A(hB) CƠ SỞ TRỰC GIAO Định lý: Qúa trình trực giao Gram – Schmidt) Cho họ vectơ đôâc lââp tuyến tính u1, u2, …, um (m≥2) khơng gian Eclide Rn Khi đó, tồn họ trực giao v1, v2, …, vm cho 〈u1 , u2 , , vm 〉 = 〈 v1 , v2 , , vm 〉 Ta tóm tắt q trình tìm vk công thức 〈uk , vi 〉 vk = uk + ∑ − vi 〈 vi , vi 〉 i