Tài liệu Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 12 Toán 2013 - Phần 1 - Đề 1 pdf

7 338 3
  • Loading ...
1/7 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 20/02/2014, 14:20

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút CâuI : (4 điểm): Cho hàm số y= x3 + 3x2 - 2 (C) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị. 2/ Giải bất phương trình : 0  2006 + 6018x2- 4012  4012. 3/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C). Biết tiếp tuyến đi qua A(0; -2) CâuII : (2 điểm) Tính I=1xedx CâuIII : (2 điểm) Giải và biện luận phương trình theo tham số m mxx  11 Câu IV: (4 điểm) Giải các phương trình sau: 1/ Sin(/2 - cosx)= cos(3cosx) 2/ 6x + 4x = 2.9x Câu V : (2 điểm) Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông: Cos2A + Cos2B + Cos2C = 1 Câu VI: (2 điểm): Tính giới hạn sau: 223 20927279limxxxx Câu VII: (2 điểm): Trong hệ Oxy cho hai đường thẳng d1//d2 lần lượt có phương trình là : d1: x-y+2 = 0 ; d2: x-y-2 = 0 1/ Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua điểm A(-2; 0) và vuông góc với d2 2/ Viết phương trình đường thẳng d4 sao cho d1, d2, d3, d4 cắt nhau tạo thành một hình vuông. Câu XIII: (2 điểm): Chứng minh rằng với a,b> 0 ta có: a5+b5  a4b + ab4 KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn: Toán- Đề 2 (Bản hướng dẫn chấm gồm 5 trang) Câu 1: (4 điểm) 1, (2 điểm)  TXĐ : D = R (0,25đ)  Chiều biến thiên: (0,5đ) + y' = 3x2 + 6x = 3x(x+2), y' = 0 20xx + dấu y': x - -2 0 + y' + 0 - 0 + 2 + y - -2 Với x(-; -2)  (0; +) hàm số đồng biến x(-2; 0) hàm số nghịch biến Tại x= -2 hàm số đạt cực đại yCĐ = 2 Tại x= 0 hàm số đạt cực tiểu yCT = -2 (0,25đ)  Tính lồi lõm, điểm uốn. (0,25đ) + y'' = 6x + 6 = 6(x+1); y'' = 0  x= -1 + dấu y'': x - -1 + y'' - 0 + đ.u y Lồi (-1,0) lõm  Bảng biến thiên: (0,25đ) x - -2 -1 0 + y' + 0 0 + 2 + y (CĐ) 0 (CT) - -2 xy012-2 -1-33-1+3 * Đồ thị: Đồ thị cát trục tung tại: (0; -2) * Cắt trục hoành tại hoành độ x = -1, x = 31 Qua điểm (-3; -2); (1; 2) 2. (1 điểm) 02006 x3 + 6018 x2 - 4012 4012  0 x3 + 3x2 - 2  2 (*) (0,5đ) theo đồ thị (C) ta có: (*)x [ -1- 3 ; -1 ] [ -1+ 3 ; 1 ] (0,5đ) 3. (1 điểm): đường thẳng qua A(0; -2) có hệ số góc k: y+2= k(x- 0) (d)  y = kx-2 (d) là tiếp tuyến của (c) xxkkxxxxxkkxxx63)1(3632233223 (0,5đ) có nghiệm. Thay k từ (2) vào (1) ta được: x2(2x+3) = 0 x = 0, x= - 23 (0,25đ) * Với x= 0  k= 0 tiếp tuyến là y = - 2 * Với x= -23  k= - 49 tiếp tuyến là y= - 249x (0,25đ) Câu 2 (2 điểm). 1. (1 điểm) Ta có I =  )1(xxxeedxe Đặt ex+1 = t (*)  ex = t-1 exdx = dt I= dtttttttdt  )1()1()1( = dttdtt 111 (0,5đ) =ln1t- lnt +c =ln tt 1 +c Từ (*) ta có: I = ln1xxee + c = x - ln(ex +1) +c (0,5đ) Câu 3. (2đ) Xét hàm số y=11  xx (c) 0,5 đ Ta có bảng xét dấu (1đ) x -  -1 1  1x -x-1 0 x+1 x+1 1x -x+1 -x+1 0 x-1 y= 11  xx -2x 2 2x Khi đó y=xx222 1111xxx đồ thị (C) * Biện luận số nghiệm của phương trình theo m: 11  xx = m (*) (0,5đ)  số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = m + Nếu m<2 phương trình vô nghiệm + Nếu m=2 phương trình có nghiệm [1; 1] + Nếu m>2 phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Câu 4 (4đ) 1. Phương trình tương đương với : Cos (cosx) = cos 3cosx (0,25đ) 2323kCosxCosxkCosxCosx(k Z) kCosxCosxkCosxCosx2323 (0,5đ) )2(2)1(kCosxkCosx (0,25đ) Vì kZ, 1Cosx nên: (1) (*)10CosxCosx (0,25đ) (2)2110CosxCosxCosx(**) (0,25đ) Nếu Nếu Nếu y = 2 y = m 2 -1 1 x y (0,5đ) (C) Từ (*) và (**) ta có: )5(21)4(1)3(0CosxCosxCosx (0,25đ) )(232)(23)5()()4()()3(2dkxckxbkxakx Với (kZ). (0,5đ) Từ (a),(b),(c),(d) ta có nghiệm của phương trình là : 2322kxkx (kZ) (0,25đ) 2. Phương trình tương đương với 232322xx (1) (0,5đ) Đặt t = x32Điều kiện t > 0. (0,25đ) (1) t2 + t -2 = 0 2121tt Với t = 1 x32= 1  x32= 032 (0,5đ)  x=0 Vậy phương trình có nghiệm x = 0. (0,25đ) Câu 5 (2đ)  0000 0)()(0)()(1)22(21112212211222222CosCCosBCosACosCCosBCosABACosBACosCosCCCosBACosBACosCCosBCosACosCCosBCosACosCCosBCosACos (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (Loại) * Nếu CosA = 0 ABC vuông tại A. * Nếu CosB = 0 ABC vuông tại B. * Nếu CosC = 0  ABC vuông tại C. Vậy tam giác ABC là tam giác vuông Câu 6. (2đ) 22023 20223 20223 203927lim3279lim)3927()3279(lim927279limxxxxxxxxxxxxxx 625293133279999392727lim92793)279(9lim)3927(27lim92793)279(9lim203 2322022203 232220xxxxxxxxxxxxxx Câu 7 (2đ) 1. d3 vuông góc với d2 nên có dạng x+y+c = 0 Vì d3 qua A(-2 ; 0) nên : -2 + 0 + c = 0  c =2 (0,75đ) 2. Vì A(-2;0)  d1 nên Để d4 và d1, d2, d3 cắt nhau tạo thành một hình vuông khi và chỉ khi d4//d3 và d(A,d4) = d(A,d2) (*) (0,5đ) Do đó d4 có dạng : x + y + D = 0 (*) 2202202  D (0,5đ) 2642DDD Vậy đường thẳng d4 có dạng x+y+6 =0 hoặc x+y-2 = 0 (0,25đ) Câu 8.(2đ) a5+b5a4b+ab4  a5+b5- a4b - ab4  0 (0,5đ) a4(a-b) - b4(a-b)  0  (a - b)(a4-b4)  0 (0,5đ)  (a-b)(a2-b2) (a2+b2)  0 (0,25đ)  (a-b)2(a+b) (a2+b2)  0 (0,5đ) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b (0,25đ) (0,25đ) (1đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)  . 1  1 x -x -1 0 x +1 x +1 1 x -x +1 -x +1 0 x -1 y= 11  xx -2 x 2 2x Khi đó y=xx222  1 11 1xxx . - -2 xy0 1 2 -2 -1 - 33 -1 +3 * Đồ thị: Đồ thị cát trục tung tại: (0; -2 ) * Cắt trục hoành tại hoành độ x = -1 , x = 31  Qua điểm (-3 ; -2 );
- Xem thêm -

Xem thêm: Tài liệu Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 12 Toán 2013 - Phần 1 - Đề 1 pdf, Tài liệu Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 12 Toán 2013 - Phần 1 - Đề 1 pdf, Tài liệu Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 12 Toán 2013 - Phần 1 - Đề 1 pdf

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn