ĐỀ 1 Câu 1 . Tìm một số có 8 chữ số: 1 2 8 a a . a thỏa mãn 2 điều kiện a và b sau: a)   2 8 71 2 3 a a a = a a b)   3 4 5 6 7 8 7 8 a a a a a a a  Câu 2 . Chứng minh rằng: ( x m + x n + 1 ) chia hết cho x 2 + x + 1. khi và chỉ khi ( mn – 2)  3. Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x 7 + x 2 + 1. Câu 3 . Giải phương trình:          2007.2006.2005 1 4.3.2 1 3.2.1 1 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007). Câu 4 . Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh: EF // AB b). AB2 = EF.CD. c) Gọi S1 , S2, S3 và S4 theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chứng minh: S1 . S2 = S3 . S4 . Câu 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45. ĐÁP ÁN Câu 1 . Ta có a 1 a 2 a 3 = (a 7 a 8 ) 2 (1) a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 = ( a 7 a 8 ) 3 (2). Từ (1) và (2) => 3122 87  aa => ( a 7 a 8 ) 3 = a 4 a 5 a 6 00 + a 7 a 8  ( a 7 a 8 ) 3 – a 7 a 8 = a 4 a 5 a 6 00.  ( a 7 a 8 – 1) a 7 a 8 ( a 7 a 8 + 1) = 4 . 25 . a 4 a 5 a 6 do ( a 7 a 8 – 1) ; a 7 a 8 ; ( a 7 a 8 + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng: a) . a 7 a 8 = 24 => a 1 a 2 a 3 . . . a 8 là số 57613824. b) . a 7 a 8 – 1 = 24 => a 7 a 8 = 25 => số đó là 62515625 c) . a 7 a 8 = 26 => không thoả mãn câu 2 . Đặt m = 3k + r với 20   r n = 3t + s với 20   s  x m + x n + 1 = x 3k+r + x 3t+s + 1 = x 3k x r – x r + x 3t x s – x s + x r + x s + 1. = x r ( x 3k –1) + x s ( x 3t –1) + x r + x s +1 ta thấy: ( x 3k – 1)  ( x 2 + x + 1) và ( x 3t –1 )  ( x 2 + x + 1) vậy: ( x m + x n + 1)  ( x 2 + x + 1) <=> ( x r + x s + 1)  ( x 2 + x + 1) với 2;0   sr <=> r = 2 và s =1 => m = 3k + 2 và n = 3t + 1 r = 1 và s = 2 m = 3k + 1 và n = 3t + 2 <=> mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t) mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn – 2)  3 Điều phải chứng minh. áp dụng: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12  3.  ( x 7 + x 2 + 1)  ( x 2 + x + 1)  ( x 7 + x 2 + 1) : ( x 2 + x + 1) = x 5 + x 4 + x 2 + x + 1 Câu 3 . Giải PT:   2007.20063.22.1 2007.2006.2005 1 . 4.3.2 1 3.2.1 1          x Nhân 2 vế với 6 ta được:          200520082007.2006143.2032.12 2007.2006.2005 2 4.3.2 2 3.2`.1 2 3          x   2007.2006.20052008.2007.20063.2.14.3.23.2.12 2007.2006 1 4.3 1 3.2 1 3.2 1 2.1 1 3           x 651.100.5 669.1004.1003 2008.2007.2006.2 2007.2006 1 2.1 1 3         xx Câu 4 .a) Do AE// BC => OC OA OB OE  A B BF// AD OD OB OA FO  MặT khác AB// CD ta lại có D A 1 B 1 C OD OB OC OA  nên OA OF OB OE  => EF // AB b). ABCA 1 và ABB 1 D là hình bình hành => A 1 C = DB 1 = AB Vì EF // AB // CD nên DC AB AB EF  => AB 2 = EF.CD. O K E H F c) Ta có: S 1 = 2 1 AH.OB; S 2 = 2 1 CK.OD; S 3 = 2 1 AH.OD; S 4 = 2 1 OK.OD. => CK AH OBCK OBAH S S  . 2 1 . 2 1 4 1 ; CKAH ODCK ODAH S S . . 2 1 . 2 1 2 3  => 2 3 4 1 S S S S  => S 1 .S 2 = S 3 .S 4 Câu 5. A = x 2 - 2xy+ 6y 2 - 12x+ 2y + 45 = x 2 + y 2 + 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y 2 - 10y+ 5+ 4 = ( x- y- 6) 2 + 5( y- 1) 2 + 4 4  Giá trị nhỏ nhất A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1 x- y- 6 = 0 x = 7 .  20 0 520 0 82 007 .20 06143 .20 32. 12 2007 .20 06 .20 05 2 4.3 .2 2 3 .2` .1 2 3          x   20 07 .20 06 .20 0 520 08. 20 07 .20 063 .2. 14.3 .23 .2. 12 2007 .20 06 1 4.3 1 3 .2 1 3 .2 1 2. 1 1 3          .  20 07 .20 063 .22 .1 20 07 .20 06 .20 05 1 . 4.3 .2 1 3 .2. 1 1          x Nhân 2 vế với 6 ta được:          20 0 520 0 82 007 .20 06143 .20 32. 12 2007 .20 06 .20 05 2 4.3 .2 2 3 .2` .1 2 3