Chương Bài a Tìm khoảng phân li nghiệm Đặt f(x) = x – sinx – 0,25 Có f’(x) = – cosx mà -1 4≤ x≤5 i xi Sai số 4.687203 4.681566 4.681564 0.00887 3.14E-06 3.96E-13 Ta có |x – x3| ≤ 3,96.10-13 < 10-5 nên q trình tính dừng lại Vậy nghiệm phương trình tìm là: x = 4.681564± 10-5 Chương Bài Đưa hệ dạng x = Bx + g ta có : x1 = 0,795 - 0,02x1 + 0,05x2 + 0,1x3 x2 = 0,849 +0,11x1 - 0,03x2 +0,05x3 x3 = 1,398 +0,11x1 +0,12x2 - 0,04x3 Với 0,1  − 0,02 0,05 0,795  0,11 − 0,03 0,05  G = 0,849 B=     0,11 1,398  0,12 − 0,04     Kiểm tra điều kiện hội tụ : ∑b j =1 1j ∑b j =1 2j ∑b j =1 3j = 0,02 + 0,05 + 0,1 = 0,17 = 0,11 + 0,03 + 0,05 = 0,19 = 0,11 + 0,12 + 0,04 = 0,27 Do ||B||0 = max {0,17 ; 0,19 ; 0,27} = 0,27 < Vậy ta có phương pháp lặp đơn x(m) = Bx(m-1) + g hội tụ với x(0) chọn trước Chọn x(0) = { 0,795 ; 0,849 ; 1,398} ta có kết tính sau : m 0.96135 0.977958 x1(m) 0,795 0.98088 1.001893 x2(m) 0,849 (m) 1.53141 1.560198 x3 1,398 Tính sai số : ||x(3) – x(2)||0 = max {|xi(3) – xi(2)|}, i = 1,2,3 0.981555 1.004528 1.563395 = max {0.003597; 0.002636; 0.003197} = 0.003597 || B || p (m) − α || p ≤ || x ( m ) − x ( m −1) || p Áp dụng công thức || x 1− || B || p || x ( 3) − α ||≤ Ta có 0,27 0,003597 ≤ 0.00133 − 0,27 Vậy sai số tuyệt đối nhỏ 1,4.10-3 Bài Đưa hệ dạng x = Bx + g ta có: x1 = 1.25 – 0.1x2 – 0.16x3 x2 = 1.30 – 0.07x1 – 0.05x3 x3 = 1.49 – 0.12x1 - 0.17x2 Với − 0.1 − 0.16  1.25 − 0.07  G =  1.3  B= − 0,05    − 0.12 − 0.17 1,49       Kiểm tra điều kiện hội tụ : ∑b j =1 1j ∑b j =1 2j = + 0,1 + 0,16 = 0,26 = 0,07 + + 0,05 = 0,12 ∑b j =1 3j = 0,12 + 0,17 + = 0,29 Do ||B||0 = max {0,26 ; 0,12 ; 0,29} = 0,29 < Vậy ta có phương pháp lặp đơn x(m) = Bx(m-1) + g hội tụ với x(0) chọn trước Chọn x(0) = { 1.25 ; 1.3 ; 1,49} ta có kết tính sau : m x1(m) 1.25 0.8816 0.95716 0.941247 0.944791 0.94405 0.94421 1.138 1.182338 1.173461 1.175406 1.174987 1.175076 x2(m) 1.3 (m) 1.119 1.190748 1.174143 1.177562 1.176806 1.176966 x3 1.49 0.371 0.07556 0.01660 0.0035444 0.000755 0.000162 Sai số Tính sai số : ||x(7) – x(6)||0 = max {|xi(7) – xi(6)|}, i = 1,2,3 = max {3,46.10-5; 1,94.10-5; 3,47.10-5} = 3,47.10-5 < 0,5.10-4 0.944178 1.175057 1.176932 3.47E-05 CHƯƠNG Bài Cho hàm số y = 2x với giá trị bảng: x 2x 3,50 33,115 3,55 34,813 3,60 36,598 3,65 38,475 3,70 40,477 Các nút xi cách với h = 0,1 Lập bảng sai phân i x 2x 3.5 33.115 3.55 ∆y 34.813 ∆2y ∆3y ∆4y 1.698 0.087 1.785 3.6 36.598 3.65 38.475 i 3.7 x 40.477 2x 0.005 0.092 1.877 0.028 0.033 0.125 2.002 ∇y ∇2y ∇3y ∇4y Đa thức Niuton tiến xuất phát từ x0 = 3,5 với h = 0,05 p ( x) x =3, 5+ , 05t = 33,115 + t.1.698 + t (t − 1) t (t − 1)(t − 2) t (t − 1)(t − 2)(t − 3) 0.087 + 0,005 + 0,028 2! 3! 4! Bài Các nút xi cách với h = 0,1 Lập bảng sai phân x y 0.8427 1.1 0.8802 0.0375 -0.0074 0.0301 1.2 0.9103 1.3 0.934 0.001 -0.0064 0.0237 0.001 -0.0054 0.0183 1.4 0.9523 -0.0045 0.9661 1.7 0.9838 1.8 0.9891 -0.0004 0.0037 -0.003 -0.0017 -0.0008 -0.0003 -0.0002 0.0004 -0.0012 0.0025 0.9953 Vì 1,4 < 1,43 < 1,5 nên ta dùng đa thức Niuton tiến xuất phát từ x0 = với h = 0,1 Đa thức Niuton tiến xuất phát từ x0 = với h = 0,1 -0.0062 0.0046 0.0013 0.0005 0.0006 0.0016 0.0016 0.0009 0.0001 -0.0016 3.33067E-16 -0.0003 -0.0004 -0.0004 0.0005 0.0053 0.9928 -2.22045E-16 0.0009 -0.0022 -0.0003 -0.0001 -1.11022E-16 -0.0027 0.0075 1.9 1.11022E-16 -0.0036 0.9763 0.0002 1E-04 0.0009 0.0102 1.6 -1E-04 -1E-04 0.0009 0.0138 1.5 -1.11022E-16 t (t − 1) t (t − 1)(t − 2) t (t − 1)(t − 2)(t − 3) 0.0074 + 0,001 + 1,11022.10 −16 2! 3! 4! t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4) − t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4)(t − 5) − 10 + 0.0002 5! 6! t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4)(t − 5)(t − 6) t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4)(t − 5)(t − 6)(t − 7) − 0.0003 + 3,33067.10 −16 7! 8! t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4)(t − 5)(t − 6)(t − 7)(t − 8) 0,0016 9! t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4)(t − 5)(t − 6)(t − 7)(t − 8)(t − 9) − 0,0062 10! p ( x) x =1+ 0,1t = 0,8427 + t.0.0375 − Ứng với x = 1,4 ta có 1,43 = + 0,1t => t = 4,3 Thay t = 4,3 vào hệ ta : Φ(1,43) ≈ p(1 + 0,1 x 4,3) = 0.956874399 Bài xi yi 0.78 2.5 1.56 1.2 2.34 1.12 3.12 2.25 3.81 4.28 Giải Lập bảng số n=5 Σ xi 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81 11.61 yi 2.5 1.2 1.12 2.25 4.28 11.35 Ta có hệ phương trình: 5a + 11.61b 11.61a + 32.7681b 32.7681a + 102.7615b xi2 0.6084 2.4336 5.4756 9.7344 14.5161 32.7681 xi3 0.474552 3.796416 12.8129 30.37133 55.30634 102.7615 + 32.7681c + 102.7615c + 341.7505c Giải hệ ta được: a = 5.022148; b = -4.01426; c = 1.002341 xi4 0.370151 5.922409 29.9822 94.75854 210.7172 341.7505 = 11.35 = 29.7696 = 94.6053 xiyi 1.95 1.872 2.6208 7.02 16.3068 29.7696 xi2yi 1.521 2.92032 6.132672 21.9024 62.12891 94.6053 Vậy có quan hệ: y = 5.022148 - 4.01426x + 1.002341x2 CHƯƠNG Bài xi 50 55 60 65 yi 1.699 1.7404 1.7782 1.8129 Cách : Dùng đa thức nội suy ( x − 55)( x − 60)( x − 65) ( x − 50)( x − 60)( x − 65) p3 ( x) = 1,699 + 1,7404 (50 − 55)(50 − 60)(50 − 65) (55 − 50)(55 − 60)(55 − 65) ( x − 50)( x − 55)( x − 65) ( x − 50)( x − 55)( x − 60) + 1,7782 + 1,8129 (60 − 50)(60 − 55)(60 − 65) (65 − 50)(65 − 55)(65 − 60) p3 ( x) = 6,66667.10 −7 x − 0,00018 x + 0,021873 x + 0.977 ' p3 ( x) = 2.10 −6 x − 0,00036 x + 0,021872 Thay x = 50 vào công thức ta y’(50) = 0,008673 Kết tính trực tiếp y’(50) = 0.008686 Cách : Áp dụng công thức Taylo : f ( x + h) − f ( x ) f ' ( x) ≈ h Với h = ta có 1,7404 − 1,699 f ' (50) ≈ = 0,00828 Bài Chia [0,1] thành 10 đoạn ta tính bảng sau : x f(x) = 1/(1+x) 0.1 0.909091 0.2 0.833333 0.3 0.769231 0.4 0.714286 0.5 0.666667 0.6 0.625 0.7 0.588235 0.8 0.555556 0.9 0.526316 0.5 a Tính theo cơng thức hình thang  y + yn  I T = h + y1 + + y n −1    I T = 0.693771 Tính sai số Với => M = max|f’’(x)| = (1 + x) |I – IT| ≤ 0.001667 ≤ 0.002 Vậy I ≈ 0.693771 ±0.002 f ' ' ( x) = b Tính theo cơng thức simson IS = 0.69315 Tính sai số f ( x) = 24 (1 + x) M = max | f ( x ) |= 24 | I − I S |≤ M h4 (b − a ) = 0,00001333 ≤ 0,00002 180 Vậy I ≈ 0.69315 ±0,00002 Thông thường ước lượng sai số ta phải tính max|fk(x)| Cơng việc địi hỏi tính tốn phức tạp, thường tiến hành tính tốn lần để kiểm tra độ xác gọi tính kép Trước tiên tính tích phân theo công thức chọn trước với bước chia h đó, sau tính lại cơng thức với bước chia h/2 (tăng n gấp đôi) Ký hiệu In I2n kết tương ứng Nếu |In – I2n| < ε, (ε sai số cho phép) lấy I ≈ I2n Nếu |In – I2n| ≥ ε trình lặp với h/4 Bước h thường chọn cỡ m ε , m = với cơng thức hình thang m = với cơng thức simsơn (vì cơng thức sai số có chứa tương ứng h2 h4) Phương pháp sử dụng rộng rãi để chọn bước tự động máy tính điện tử Để ước lượng sai số người ta cịn dùng cơng thức gần sau (nguyên lý Runghe) ∆ = | I n − I 2n | với cơng thức hình thang ∆ = | I n − I 2n | với cơng thức simsơn 15 π Ví dụ: Tính gần tích phân dx ∫ x + cos x với độ xác ε = 3.10-3 cơng thức simson Giải Vì ε = 3.10-3 nên chọn h ≈ 3.10 −3 Để đơn giản ta tính kép theo bước h π π h1 = sau lấy h2 = sau tính tốn độ xác 16 π Lập bảng giá trị y = với bước h2 = x + cos x 16 Hệ số 10 11 12 13 14 15 16 xi 0.19635 0.39270 0.58905 0.78540 0.98175 1.17810 1.37445 1.57080 1.76715 1.96350 2.15985 2.35620 2.55255 2.74890 2.94525 3.14160 cos xi 0.98079 0.92388 0.83147 0.70711 0.55557 0.38268 0.19509 -0.19509 -0.38269 -0.55557 -0.70711 -0.83147 -0.92388 -0.98079 -1 xi + cos xi 1.17714 1.31658 1.42052 1.49251 1.53732 1.56078 1.56954 1.5708 1.57206 1.58081 1.60428 1.64909 1.72108 1.82502 1.96446 2.1416 yi 1.00000 0.84950 0.75950 0.70400 0.67000 0.65050 0.64070 0.63710 0.63660 0.63610 0.63260 0.62330 0.60640 0.58100 0.54790 0.50900 0.46690 Hệ số π  mi1    16  π  mi2   8 4 4 4 4 1 4 4 Σ Từ bảng ta thấy với n = 8, h1 = 31.2163 π h ≈ 0.3927, ≈ 0,130090 I8 = 0,130090 * 15,6157 = 2.0314 π h ≈ 0,19635, ≈ 0,06545 với n = 16, h1 = 16 I16 = 0,6545 * 31,2163 = 2,04311 ⇒| I − I16 |= 0.01166 ⇒ ε = 0,01166 = 0,000777 < 3.10 −3 15 Vậy ta lấy I ≈ I16 = 2.04311 Các bạn áp dụng để giải chương 15.6157 ... nên trình tính dừng lại Vậy nghiệm thứ phương trình tìm là: x = -0,438604 ± 10-5 Bài 3.c a Tìm khoảng phân li nghiệm Từ phương trình => logx = (x-2)/4 (x-2)/4 logx 0,5 Sử dụng phương pháp đồ thị... 1,17 ± 0,002 Bài 2: a Tìm khoảng phân li nghiệm Đặt f(x) = 1,8x2 - sin10x (*) Ta có: f’(x) = 3,6x – 10cos10x f’’(x) = 3,6 + 100sin10x Thay (*) phương trình 1,8x2 = sin10x Sử dụng phương pháp đồ thị... thường ước lượng sai số ta phải tính max|fk(x)| Cơng việc địi hỏi tính tốn phức tạp, thường tiến hành tính tốn lần để kiểm tra độ xác gọi tính kép Trước tiên tính tích phân theo cơng thức chọn