BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH CHÂU TƯƠNG ĐƯƠNG BẢO GIÁC GIỮA CÁC MIỀN n-LIÊN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH CHÂU TƯƠNG ĐƯƠNG BẢO GIÁC GIỮA CÁC MIỀN n-LIÊN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Ngành : Tốn Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011 LỜI MỞ ĐẦU Trong tốn học, hai hình hình học gọi tương đương bảo giác có ánh xạ bảo giác (ánh xạ bảo tồn góc) biến hình thành hình Một lớp quan trọng ví dụ ánh xạ bảo giác đến từ giải tích phức Một miền G1  gọi tương đương bảo giác với miền G2  có ánh xạ chỉnh hình  từ G1 vào  cho f (G1 )  G2 Định lý ánh xạ Riemann, kết sâu sắc, tảng giải tích phức miền đơn liên thực  tương đương bảo giác với đĩa mở đơn vị chúng tương đương bảo giác với Định lý ánh xạ Riemann phát biểu chứng minh dựa vào nguyên lý Dirichlet Bernhard Riemann vào năm 1851 Lĩnh vực sau quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Karl Weierstrass, David Hilbert, Os Good, Constantin Carathéodory, Paul Koebe, Frigyes Riesze,… Trong luận văn chúng tơi trình bày số kết tương đương bảo giác miền liên thông hữu hạn, tức miền n-liên với n số ngun khơng âm Ở ta hiểu miền G  gọi miền n-liên   \G có n  thành phần liên thơng Miền 0-liên miền đơn liên Nội dung luận văn thuộc chương Chương miền liên thông hữu hạn tương đương bảo giác với miền tắc Đồng thời với số điều kiện định tương đương bảo giác chứng minh Chương dành để số lớp tương đương bảo giác miền đơn liên lớp ánh xạ từ đĩa mở đơn vị lên phần đường cong Jordan, lớp tương đương bảo giác tứ giác vng có cạnh cung tròn Chương nêu lên kết cần thiết cho chương chương Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc TS Nguyễn Văn Đông Thầy giúp tài liệu tham khảo chỉnh sửa chi tiết luận văn Tôi biết ơn xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy gia đình Tơi xin cảm ơn khoa Tốn, phịng Sau đại học trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa học thuận lợi q trình thực luận văn Tơi xin cảm ơn gia đình, người thân ủng hộ giúp đỡ suốt thời gian qua Nguyễn Minh Châu MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU MỤC LỤC Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Miền đường cong 0.2 Công thức Green .9 0.3 Mối liên hệ hàm chỉnh hình diện tích 0.4 Hàm điều hòa nguyên hàm 10 0.5 Nguyên lý đối xứng – Miền Jordan 11 0.6 Giá trị biên hàm chỉnh hình bị chặn 12 0.7 Giá trị biên ánh xạ Riemann 14 0.8 Đạo hàm Schwarz, công thức Schwarz-Christoffel .16 Chương 1: VÀI LỚP TƯƠNG ĐƯƠNG BẢO GIÁC CỦA CÁC MIỀN ĐƠN LIÊN 17 1.1.Ánh xạ đĩa: Lớp S 17 1.1.1.Định lý diện tích 18 1.1.2.Hệ 20 1.1.3.Mệnh đề 20 1.1.4.Mệnh đề 21 1.1.5.Định nghĩa 21 1.1.6.Mệnh đề 22 1.1.7.Mệnh đề 23 1.1.8.Định lý 25 1.1.9.Định nghĩa 25 1.1.10.Định lý 26 1.1.11.Định lý 27 1.1.12 Định lý 27 1.1.13.Bổ đề (Định lý Hurwitz) 31 1.1.14.Hệ 31 1.1.1.5.Mệnh đề 32 1.1.16.Định lý 33 1.2 Ánh xạ bảo giác tứ giác vng có cạnh cung tròn 34 1.2.1 PHƯƠNG TRÌNH STURM-LIOUVILLE 35 1.2.2 BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN 37 1.2.3 CÁC S.C.Q SUY BIẾN 38 1.2.4 PHÉP GIẢI BẰNG CÁC TÍCH PHÂN LẶP 41 1.2.5 BIẾN PHÂN CỦA ĐỘ CONG 42 1.2.6 THUẬT TOÁN CHO BÀI TOÁN MỘT THAM SỐ 44 Chương 2: TƯƠNG ĐƯƠNG BẢO GIÁC CỦA CÁC MIỀN LIÊN THÔNG HỮU HẠN 46 2.1.Giải tích miền liên thơng hữu hạn 46 2.2.Tương đương bảo giác với miền Jordan chỉnh hình 52 2.3.Giá trị biên tương đương bảo giác miền Jordan liên thông hữu hạn 57 2.4.Sự hội tụ hàm đơn diệp .63 2.5.Tương đương bảo giác với hình vành khăn với vết rạch cung tròn 71 2.6.Tương đương bảo giác với đĩa bị rạch cung tròn 77 2.7 Tương đương bảo giác với miền có biên trịn 80 KẾT LUẬN 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Có thể xem phần chứng minh kết [Co’] 0.1 Miền đường cong 0.1.1 Bổ đề Cho G miền   Các mệnh đề sau tương đương a G đơn liên b   \G liên thông c  G liên thông 0.1.2 Hệ Nếu G miền  ánh xạ F  F  G xác định song ánh thành phần liên thông   \G thành phần liên thông G 0.1.3 Định lý đường cong Jordan Một đường cong đơn, đóng  đường g : a, b    cho g t   g s  t  s s  t  b  a Một đường cong đóng, đơn cịn gọi đường cong Jordan Nếu g đường cong đơn, đóng   \ g có hai thành phần liên thơng Mỗi thành phần liên thơng có biên g Ta gọi thành phần bị chặn  \ g ins g thành phần không bị chặn  \ g out g Nếu g đường cong Jordan khả trường, hàm số n  g, a   2pi dz  z  a xác định với a g  \ g , đồng thời n g, a   1 với a ins g n g, a   với a out g Ta nói đường cong g định hướng dương n g, a   với a ins g Đường cong g gọi trơn g hàm có đạo hàm liên tục g ' t   với t Ta gọi đường cong Jordan trơn, định hướng dương chu tuyến 0.1.4 Hệ Nếu g đường cong Jordan ins g out g   miền đơn liên 0.1.5 Định lý tách Cho A, B hai tập khác rỗng mặt phẳng phức Ta nói tập X tách A khỏi B A B nằm thành phần liên thông rời phần bù X Nếu K tập compact tập mở U , a  K b    \ U tồn đường cong Jordan g U cho g K rời g tách a khỏi b 0.1.6 Nhận xét Có thể chọn đường cong g định lý tách đường cong trơn 0.1.7 Mệnh đề Nếu K tập compact liên thông tập mở U b điểm phần bù U tồn chu tuyến g U tách K b 0.1.8 Mệnh đề Nếu E tập compact tập mở G tồn hệ Jordan trơn, định hướng dương  nằm G cho E  ins   G 0.1.9 Hệ Giả sử G miền bị chặn K 0, , Kn thành phần liên thông   \G với  nằm K tồn hệ Jordan trơn   g 0, , gn  G cho: a K j  insg j b K  out g  c g j  z : dist z ; K j   e  0.1.10 Mệnh đề Một tập mở G  đơn liên đường cong Jordan g nằm G ins g  G 0.1.11 Hệ Nếu g s hai đường cong Jordan với s  cl ins g  ins s  ins g 0.2 Công thức Green 0.2.1 Định lý Green Nếu  hệ Jordan trơn, định hướng dương với   G  ins , u  C cl G  , u  C G  u khả tích G  u  2i  u  G 0.2.2 Công thức Cauchy-Green Nếu  hệ Jordan trơn, định hướng dương với   G  ins , u  C cl G  , u  C G  u khả tích G với z G ta có u z   2pi u z  1  z  z d z  p  z  z u dA z   G Trong cơng thức u hàm chỉnh hình u  suy cơng thức tích phân Cauchy 0.2.3 Hệ Nếu u  Cc  w   u w    1  z  w u dA z  p 0.3 Mối liên hệ hàm chỉnh hình diện tích 0.3.1 Định lý Nếu f tương đương bảo giác tập mở G  Area    f ' G 0.3.2 Hệ Nếu  miền đơn liên, t : D   ánh xạ Riemann t z    an z n n D Area    t '  p n an 2 n D 0.3.3 Định lý Nếu f : G   hàm chỉnh hình tồn ánh với z  , n z  số điểm f 1 z   f ' dA   n z dA z   G 0.4 Hàm điều hòa nguyên hàm 0.4.1 Mệnh đề Nếu f : G   hàm chỉnh hình f có ngun hàm với đường cong g khả trường G  f  g 0.4.2 Định lý Nếu G miền  u : G   hàm điều hịa mệnh đề sau tương đương a u có liên hợp điều hịa b Hàm f  u có nguyên hàm G c Với đường cong đóng, khả trường G  *du  uxdy  uydx   g 0.4.3 Mệnh đề g   w1, , wn sở điều hòa G , u   r j w j   log z  a hàm điều hòa G   j u   r j w j triệt tiêu G Do j n u z   g z , a    r j w j z  j 1 g z, a   ga z  hàm Green G với điểm kì dị a Theo hệ 2.2.6 n r n 1 *du   *dga   k  *dwk  w j a    c jk r k 2p  2p  k 1 2p g k 1 g g j j j c jk chu kỳ wk Mặt khác 1  *du  pi 2p g j  u  2pi  gj gj f' 0 f với  j  n Vì r 1, , r n nghiệm phương trình n  c jk r k  w j a  (2.6.4) k 1 Lí luận chứng minh bổ đề 2.5.2 y  f  f f  y Vì y  af với a vô hướng thỏa a  Chứng minh định lý 2.6.2 Khơng tính tổng quát, ta giả sủ G miền Jordan chỉnh hình với biên ngồi A  g  D Gọi g1, , gn đường cong biên lại Gọi ga   log z  a  Ra hàm Green G w1, , wn sở điều hòa G Nếu c jk  chu kì sở điều hịa gọi r 1, , r n vô hướng thỏa 2.6.4 Đặt u  ga   r k wk v  u  log z  a Khi v hàm điều hịa k G với  j  n n 1 *dv    *d log z  a  *dga   c jk r k 2p  2p g 2p  k 1 g g j j  j 1  du  1 2p  *d log z  a  n g j , a  2p g l  j  j Vì tồn hàm chỉnh hình h G cho v  Re h Hơn chọn h cho h a  số thực Vì u  log z  a  Re h Gọi f  z  a eh cho log f  u Suy f  r0  g f  rj  e rj r j với  j  n Với số phức z gọi N z  số nghiệm phương trình f z   z , đếm kể bội Theo chứng minh định lý 2.5.1 N z   n  n f g j ; z  j 0 Ta có: f g j   z : z  rj  nên để tính N z  ta tính n f g j  ; 0 Nhưng    n f gj ;  2pi  gj 1 j   f'  n g j ;a    0  j  n f     0 z   1 z     Do z  rj với  j  n N z     Từ suy   f G  đĩa bị rạch cung tròn f tương đương bảo giác G vào  với f a   Vì h a  số thực nên suy f ' a   Tính định lý suy từ bổ đề 2.6.3  2.7 Tương đương bảo giác với miền có biên trịn Miền  gọi miền có biên trịn biên bao gồm hữu hạn đường trịn khơng suy biến rời Trong phần miền n-liên tương đương bảo giác với miền có biên trịn giới hạn n  đường tròn Điều chứng minh cách sử dụng định lý bất biến miền Brouwer kết hợp với kết tương đương bảo giác chứng minh trước Nhưng vấn đề đặt trước tiên miền có tồn hay không? Ta gọi sup  f (x )  f (y ) : x , y  E  dao động hàm f E kí hiệu osc  f , E  Kí hiệu  g  độ dài đường cong l 2.7.1 Bổ đề Cho K tập compact miền G f hàm chỉnh hình bị chặn G \ K Giả sử với e  tập mở U chứa K mà nằm G tồn đường cong trơn Jordan g1, , gn  U chứa K hợp phần bên chúng cho n   g j  j 1 n    e  osc f , g j   e   j 1 Khi f có mở rộng chỉnh hình đến G Chứng minh Gọi g đường cong trơn Jordan định hướng dương G \ K K nằm phần bên g Cố định điểm z  G \ K   ins g Với e  đặt g1, , gn phát biểu xếp cho chúng nằm insg z nằm đường cong Ta định hướng âm đường cong g1, , gn   g , g1, , gn  hệ Jordan định hướng dương G Đặt d  dist z,  Vì f z   2pi f w   w z g0 f w   w  z dw j 1 2pi g n dw   j Cố định điểm w j g j Vì z  outg j nên 2pi f w j  f w   f w j  f w  f w  dw 1  w  z dw   2pi  w  z  2pi  w  z dw  2pi  w  z dw gj gj gj gj Vì d j  osc  f , g j  n f w   2pi  w  z dw j 1 gj    dw f w   f w j n  w z 2p j 1 g j  n     g j  j 1 22    Vì e tùy ý nên f z   2pi f w   w  z dw g0  n     g j dj 2pd j 1  n 2  d2   e  j  2pd  j 1  với z  g  G \ K  Do biểu thức cho ta cách xác định f tập K mở rộng chỉnh hình cần tìm  Ta kí hiệu  miền có biên cung trịn mà biên ngồi g  D  g1, , gn đường tròn lại tạo nên biên  , đặt g j  B a j ; rj  để sử dụng phần Bây giờ, ta khảo sát miền đối xứng  qua đường tròn g j Nhắc lại: đối xứng điểm z qua đường tròn g j điểm w cho công thức w  aj  rj2 z  aj (2.7.2) Lưu ý công thức liên hợp phép biến đổi Mưbius Do đó, ảnh  phép biến đổi miền 1j có biên cung trịn Lưu ý biên ngồi 1j đường trịn g j Do  1    11   1n  g1   gn miền có biên cung trịn dù phần bù có nhiều thành phần Bây với 1j đường trịn biên g ta khảo sát ảnh 1j qua phép đối xứng qua g Kí hiệu miền thu 2 j :  j  N  Lưu ý miền thu ảnh  qua hai phép đối xứng nên ảnh  hợp thành hai phép biến đổi dạng (2.7.2) Kiểm tra hợp thành hai phép biến đổi phép biến đổi Möbius Gọi  2 hợp  1 , miền 2 j :  j  N  đường tròn tạo nên biên  1 Tiếp tục trình với số nguyên k ta có họ miền có biên cung tròn kj :  j  N k  dãy tăng miền có biên cung trịn  k  ,  k  hợp  k  1 , miền kj :  j  N k  đường tròn tạo nên biên  k  1 Đặt      k  Vì k        cl kj : k  vaø  j  N k  Với k   j  N k kj  Tkj  , Tkj phép biến đổi Möbius k số chẵn liên hợp phép biến đổi Möbius k số lẻ Gọi gkji ,1  i  n đường tròn mà thành phần kj ngoại trừ biên ngồi Vì thành phần  k  đường tròn đơn vị đường tròn gkji :  j  N k ,1  i  n  Đặt rkji bán kính gkji 2.7.3 Bổ đề    rkji :  j  N k ,1  i  n    k 1 Chứng minh Trước hết, lưu ý miền kj : k  1,1  j  N k  đôi rời Gọi Dkj đạo hàm Tkj k chẵn đạo hàm liên hợp Tkj k lẻ Đặt B  B a; r  đĩa nằm  xét đĩa Tkj B  Theo định lý Koebe bán kính Như r Dkj a  Do Area kj      k 1       Dkj a   pr Dkj a  Tkj B  chứa đĩa 16   :  j  Nk        (2.7.4) Theo định lý “ biến dạng” (1.1.16) với  i  n tồn số M i cho với   k   j  N k sup Dkj z  : z  g j  M i Dkj a  Ta có gkij  Tkj gi  với  i  n nên 2prkij   Dkj z  dz  M i Dkj a  2pri gi Kết hợp với (2.7.4), ta có điều cần chứng minh  Để chứng minh mệnh đề ta cần kết sau: Cho f : D  D ánh xạ chỉnh hình 1-1 từ D vào f a   Khi tồn số c với c  cho f  cja với ja z   z a  az Người đọc tham khảo chứng minh [Co, định lý 6.2.5] 2.7.5 Mệnh đề Nếu   miền có biên trịn f :    tương đương bảo giác f phép biến đổi Mưbius Chứng minh Theo định lý 2.3.4 f biến đường tròn biên  vào đường trịn đồng phơi biên  Bằng cách sử dụng phép biến đổi Mưbius thích hợp, ta cần xét trường hợp biên   đường tròn đơn vị f biến D thành Nếu h1, , hn đường trịn biên khác  ta đánh số để f gi   hi với  i  n Sử dụng kí hiệu bổ đề 2.7.3 kí hiệu tương tự miền có biên cung trịn  Theo nguyên lý đối xứng với k  , tồn tương đương bảo giác fk :  k    k  mở rộng f Vì vậy, ta có tương đương bảo giác f :      Lưu ý tập K  D \   tập compact Bây áp dụng bổ đề 2.7.1 hoàn tất chứng minh cách f có mở rộng đến D Thật g  f 1 :    lí luận tương tự ta suy g có mở rộng  đến D tương đương bảo giác   Thật g  f1 Vì z  g   f  f  g  nên mở rộng f đến D tương đương bảo giác mà có ánh xạ ngược mở rộng g đến D Do f tương đương bảo giác từ D vào Theo kết đề cập f phép biến đổi Mưbius Để thấy bổ đề 2.7.1 áp dụng f ta gọi U tập mở D chứa K lấy e  Theo bổ đề 2.7.3 lý thuyết tơpơ tồn số nguyên m cho với k  m đường tròn gkji nằm U    rkji :  j  N k ,1  i  n   e k m Nếu r kji bán kính hkji chọn m cho    r kji :  j  N k ,1  i  n   e k m Nhưng fk biến đường tròn gkji vào đường tròn hkji nên dkji  osc  f , gkji  ta có    dkji :  j  N k ,1  i  n   e k m Do đường cong gmji :  j  n,1  j  N k  đường cong tương ứng để áp dụng bổ đề 2.7.1 Bổ đề tôpô sau sử dụng để chứng minh tồn 2.7.6 Bổ đề a  Cho k  đĩa bị rạch cung trịn cho D biên ngồi đĩa k tập n-liên Nếu  miền n-liên khơng suy biến với biên ngồi D k   theo (2.4.1)  đĩa bị rạch cung tròn b  Cho Gk  miền có biên trịn cho D biên ngồi đĩa Gk tập n-liên Nếu G miền n-liên khơng suy biến với biên ngồi D k   theo (2.4.1) G miền có biên trịn Chứng minh a  Gọi g1, , gn thành phần bị chặn thuộc phần bù  Đặt g  D Giả sử  d  dist gi , g j  với i  j  i, j  n Chọn số nguyên k1 cho với   k  k1, K  z  D : dist z ,   d  k Nếu  j  n a j  g j suy tồn số d nguyên k2  k1 cho với k  k2 dist a j , k   Tạm cố định k  k2 giả sử a jk  k với a jk  a j     d Nếu g jk thành phần k chứa a jk  g jk  z : dist z , g j  d Thật từ K  k   D suy g jk  D \ K Vì g jk liên thông nên từ cách chọn d suy g jk  z : dist z, g j   d  Như với k  k2 cung thực tạo nên thành phần bị chặn thuộc phần bù k đánh số g1k , , gnk thỏa  d  z : dist z, g j   d  g jk  g j (2.7.7) Cố định j với  j  n Với z  g j tồn dãy zk  với zk  k cho zk  z Theo (2.7.7) zk  g jk với k  k2 Nếu g jk nằm đường tròn z : z  r jk  r jk  zjk  z Vì z điểm tùy ý g j nên g j nằm đường tròn z : z  r j  r jk  r j k   Nhưng  liên thơng khơng có thành phần thuộc phần bù  tầm thường nên g j cung đóng thực đường trịn z : z  r j  Vì  đĩa bị rạch cung tròn Phần b  chứng minh tương tự 2.7.8 Bổ đề a  Cho Gk  G miền có biên trịn nhận D làm biên Gk tập n-liên Với k  , giả sử fk : Gk  k tương đương bảo giác vào đĩa bị rạch cung trịn k với biên ngồi D cho fk 0  0, fk' 0  fk D   D Nếu uc Gk  G theo nghĩa (2.4.1) fk  f f tương đương bảo giác G  vào miền có biên trịn bị rạch  với biên D k   b  Cho k   đĩa tròn D làm biên Gk tập n-liên Với k  , giả sử fk : k  Gk tương đương bảo giác vào miền có biên trịn Gk với biên D cho fk 0  0, fk' 0  fk D   D Nếu k   theo nghĩa uc (2.4.1) fk  f f tương đương bảo giác  vào miền có biên  trịn bị rạch G với biên D Gk  G Chứng minh Như bổ đề 2.7.6, chứng minh (a), (b) tương tự Ở trình bày chứng minh (a) Trước tiên, ta chứng tỏ fk' 0 bị chặn khỏi Gọi C 1, ,C n đường tròn biên G mà khác với D chọn e  cho bao đóng   V  z : dist z , D   e không giao với C j Vì Gk  G nên tồn k1 cho với k  k1, clV  Gk  D Do fk với k  k1 có mở rộng chỉnh hình đơn diệp Gk V kí hiệu fk ( mệnh đề 0.5.1) Ta kiểm tra Gk V  G V Bây giờ, ta xây dựng đường nối từ đến điểm đường tròn đơn vị Lấy z  D xét bán kính 0, z  Bán kính giao với đường tròn C j Mở rộng đường tròn đến đường tròn D1, , Dn cho chúng đôi rời nhau, không giao với D không bao quanh Khi 0, z  giao với D j thay đoạn 0, z  nửa đường tròn Mỗi đường trịn D có bán kính nhỏ để ta   j đường dẫn từ đến z nằm trọn vẹn G , tách hẳn với đường trịn C 1, ,C n có độ dài nhỏ  np Do vậy, ta tìm tập mở U G cho D  clU  G  V ,  U với z  D tồn đường U nối với z có độ dài nhỏ  np Lấy k2  k1 cho clU  Gk V với k  k2 Theo định lý 1.1.21, tồn số M cho fk' z   M fk' 0 với k  k2 z  clU Nếu z  , gọi g đường U nối với z với độ dài  np Do    fk z    fk' dw  M fk' 0 1  n p Vì fk' 0 bị chặn g Bây ta chứng minh fk' 0 bị chặn Lấy ck   fk' 0    1 đặt   hội tụ Nhưng theo  gk  ck fk Nếu fk' 0 khơng bị chặn tồn dãy ck j bổ đề 2.4.7, cần thông qua dãy con, tồn hàm đơn diệp g : G   cho    g G  Nhưng tập  gk  g uc  Định lý 2.4.8 suy ck k  gk Gk j j  D ck  nên ck k j j j j j kj j nằm  khơng có hạt nhân ( mâu thuẫn) Do f 0 ' k phải bị chặn Lưu ý tất kết chứng minh dãy fk  hay fk' 0 với dãy chúng Giả sử fk' 0  a ( a vô hướng khác ) Theo lí   hàm đơn diệp g G cho g luận tồn dãy gk j kj  g uc  Do   k  fk Gk  af G  j j j Do f  ag tương đương bảo giác miền  k   Vì biên ngồi j  D nên theo bổ đề 2.7.6 suy  đĩa bị rạch cung tròn   f  hai dãy f  cho f Bây giả sử fk j mj k kj  f fm  h j f h tương đương bảo giác G vào đĩa bị rạch cung tròn tương ứng   với f 0  h 0  , f ' 0  h ' 0  Do f  f  h 1 tương đương bảo giác  vào  với f 0  0, f ' 0  f D   D Theo bổ đề 2.6.3    f z   z với z   Do h  f Tóm lại, dãy fk  có dãy hội tụ đến tương đương bảo giác G vào đĩa bị rạch cung tròn, dãy hội tụ fk  có điểm giới hạn Như vậy, fk  hội tụ đến tương đương bảo giác f G vào đĩa bị rạch cung trịn  Theo định lý 2.4.11 k   2.7.9 Định lý Nếu G miền liên thông hữu hạn không suy biến, A thành phần biên mở rộng G a  G tồn miền có biên tròn  tương đương bảo giác f : G   cho f liên kết A với D, f a   f ' a   Chứng minh Sự suy từ mệnh đề 2.7.5 Thật vậy, giả sử với j  1,2, f j : G   j tương đương bảo giác tương ứng A với D cho f j a   f j' a   Khi g  f2  f11 tương đương bảo giác 1 vào 2 ,  g D   D, g 0  g ' 0  Suy g D   D g z   l z  a   az  1 Các giả thiết lại hàm g suy g z   z , với z Bây giờ, ta chứng minh tồn Gọi G họ tất miền n-liên G cho  G D biên G Gọi H họ tất đĩa bị rạch cung tròn  mà miền n-liên D biên  Theo định lý 2.6.2, với G G tồn  H tương đương bảo giác f : G   cho f 0  0, f ' 0  f tương ứng D với D Điều xác định ánh xạ F : G  h với F G    G,  tương đương bảo giác Để chứng minh định lý, ta cần chứng tỏ F tồn ánh Bây giờ, ta tơpơ hóa G H Nếu G  G , gọi C 1, ,C n đường tròn tạo nên biên thành phần bị chặn thuộc phần bù G Mỗi đường tròn C j xác định tâm z j  a j  ibj bán kính rj Do G đồng với điểm R 3n với tọa độ a1, b1, r1, , an , bn , rn  Gọi G ' tập điểm R 3n Như G ' tập thực tập a ,b , r , ,a ,b , r  :  a 1 n n n j   bj2  1,  rj  đường trịn tạo nên biên G khơng giao Nếu G  G gọi G ' điểm tương ứng G ' Nếu   h đặt g1, , gn cung đóng tạo nên thành phần bị chặn phần bù  Mỗi g j xác định điểm đầu zi  a j  i b j chiều dài q j đo theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Do ta có   h đồng với điểm  '  R 3n Đặt h '   ' :   h  Hàm F : G  h sinh hàm F ' : G '  h ' Như vậy, ta áp dụng quan hệ tôpô R 3n G ' , h ' Dãy Gk  G ' hội tụ G G ' ( theo định nghĩa 2.4.1) Gk'  G ' G ' Tương tự dãy hội tụ h h ' Ta chứng minh F toàn ánh cách F ' phép đồng phôi Ta sử dụng kết sau cho chứng minh 2.7.9 2.7.8 Khẳng định G ' H ' tập mở liên thông R 3n Tiếp tục chứng minh định lý 2.7.7 Lưu ý F đơn ánh tính theo định lý 2.6.2 Giả sử Gk  G G đặt k  F Gk    F G  Theo bổ đề 2.7.8 k   F liên tục Cụ thể F : G  h ánh xạ mở Giả sử F khơng tồn ánh Đặt 1  H \ F G  0  F G0   F G  Vì h tập mở liên thơng R 3n nên tồn đường  : 0,1  h với  0  0  1  1 Vì F G  mở nên tồn   t với  t  cho  t   F G   t   F G t   F G  với  t  t Lấy  tk  t cho tk  t  tk    t  Nếu Gk  F 1  tk  theo bổ đề   2.7.8 Gk  G (G miền có biên tròn) F G    t  Điều mâu thuẫn với  t   F G  Do F toàn ánh  KẾT LUẬN Luận văn tạo nên mạch kiến thức, từ kiến thức chuẩn bị đến kết số lớp ánh xạ tương đương bảo giác miền liên thơng hữu hạn nói chung, đặc biệt lớp tương đương bảo giác hình vành khăn đĩa bị rạch cung tròn, Trong trường hợp miền đơn liên luận văn tập trung nghiên cứu lớp hàm đơn diệp đĩa mở đơn vị D qua nghiên cứu hàm đơn diệp miền đơn liên tùy ý Tác giả luận văn bước đầu làm quen với phương pháp chuyển tốn tìm ánh xạ bảo giác từ đĩa mở đơn vị vào tứ giác vng có cạnh cung trịn tốn giá trị biên Sturm – Liouville, việc sử dụng phương pháp tham số phổ chuỗi lũy thừa để tìm nghiệm tốn Sturm – Liouville Ngồi việc viết rõ, trình bày lại chi tiết kết luận văn, tác giả luận văn chứng minh mệnh đề 1.1.6 trang 20, nhận xét 2.4.2 trang 68 (trong tài liệu dành phần tập cho người đọc) Việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, tổng hợp xếp hệ thống kiến thức, tác giả rút nhiều kiến thức kinh nghiệm bổ ích cho thân Tuy nhiên, hạn chế thời gian, kiến thức tác giả chưa thể sâu phát triển thêm kiến thức liên quan đến hướng nghiên cứu tìm hiểu thêm tốn giá trị biên ánh xạ Riemann, tìm hiểu lớp phép biến hình bảo giác Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi sai sót Rất mong nhận bảo quý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO [B] P.Brown, Mapping onto circular arc polygons, Complex Var Theory Appl 50 (2005) 131-154 MR 2122750 [B’] P.Brown, An investigation of a two parameter problem for conformal maps onto circular arc quadrilaterals, Complex Var Elliptic Equ 53 (2008), no 1, MR2380819 [Bj] P Bjf rstad , E Eric Grosse, Conformal mapping of circular arc polygons, SIAM J Sci Statist Comput (1987) 19-32 MR0873921 [Co] John B Conway, Functions of One Complex Variable I, Springer- Verlag, 1978 [Co’] John B Conway, Functions of One Complex Variable II, Springer- Verlag, 1995 [DT] T A Driscoll, L N Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge (2002) MR1908657 [He] P.Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, Vol.3, Wiley, New York (1986) MR0822470 [Hi] E.Hille, Analytic Function Theory, Vol.2, Introductions to Higher Mathematics, Ginn and Co., Boston, Mass.-New York- Toronto, Ont (1962) MR0201608 [Ho] L.H.Howell, Numerical conformal mapping of circular arc polygons, J.Comput Appl Math 46 (1993) 7-28 MR1222470 [KP] V.V.Kravchenko and R.M.Porter, Conformal mapping of right circular quadrilaterals, arXiv:0904.374, 23 Apr 2009 [KP’] V.V.Kravchenko and R.M.Porter, Spectral parameter power series for SturmLiouville proplems, arXiv: 0811.4488v1, 28 Nov 2008 [Ne] Z Nehari, Conformal Mapping, McGraw-Hill Book Co., New York-TorontoLondon (1952) MR0377031 [Re] R.Remmert, Theory of Complex functions, Springer-Verlag ... liên thơng Miền 0 -liên miền đơn liên Nội dung luận văn thuộc chương Chương miền liên thông hữu hạn tương đương bảo giác với miền tắc Đồng thời với số điều kiện định tương đương bảo giác chứng... Riesze,… Trong luận văn chúng tơi trình bày số kết tương đương bảo giác miền liên thông hữu hạn, tức miền n -liên với n số nguyên không âm Ở ta hiểu miền G  gọi miền n -liên   \G có n  thành phần liên. .. 46 2.1.Giải tích miền liên thông hữu hạn 46 2.2 .Tương đương bảo giác với miền Jordan chỉnh hình 52 2.3.Giá trị biên tương đương bảo giác miền Jordan liên thông hữu hạn 57 2.4.Sự