Thông tin tài liệu
1
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
F G
Nguyễn Thanh Hà
BÀI TOÁN CAUCHY CẤP HAI TRONG
THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY
Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005
2
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc đối với
PGS.TS. Nguyễn Bích Huy, người thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với PGS.TS. Lê Hoàn Hoá, TS. Nguyễn
Anh Tuấn, PGS.TS. Dương Minh Đức, TS. Nguyễn Thành Long, quý thầy
đã trực tiếp trang bò cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình
nghiên cứu. Đồng thời, thông qua giảng dạy, quý thầy đã giúp tôi quen dần
với công việc nghiên cứu.
Tôi vô cùng cám ơn BGH, quý thầy cô trong khoa Toán, trong phòng
KHCN Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh;
UBND cùng với Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bến Tre, quý thầy cô trường
THPT Bình Đại A, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên
cứu.
Tôi rất biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp và bạn bè gần xa đã giúp đỡ,
hổ trợ tinh thần cũng như vật chất cho tôi trong thời gian qua.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2005.
Nguyễn Thanh Hà.
3
CHƯƠNG 1
MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán từ các lónh vực khác nhau của khoa học, dẫn đến việc
khảo sát sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân trong
không gian Banach với điều kiện đầu (bài toán Cauchy). Có nhiều lớp
phương trình vi phân được khảo sát, mỗi lớp phương trình lại có phương
pháp nghiên cứu riêng.
Bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach có nhiều ứng
dụng khi nghiên cứu các bài toán chứa kỳ dò.
Ovsjannikov, Treves, Nirenberg, Nishida, Deimling và một số tác giả
khác đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán Cauchy cấp
một trong thang các không gian Banach và tìm ra nhiều ứng dụng khác cho
Phương trình Vi phân, Vật lý và Cơ khí. Sau đó, Barkova và Zabreik đã tìm
ra một kết quả tương tự cho bài toán Cauchy cấp hai thoả điều kiện
Lipschitz.
Ở luận văn này chúng tôi đặc biệt quan tâm các đến bài toán Cauchy
cấp hai trong thang các không gian Banach dạng
01
(, )
(0) , (0)
′′
=
′
==
uftu
uuu u
và cùng với các kết quả đó là một vài ứng dụng đơn giản.
Trong suốt luận văn, hàm
(, )
f
tu được xét các dạng khác nhau ứng với
các điều kiện khác nhau, và ta giả thiết
(
)
[
]
(
)
,. , , 0,
λ
λ
λ
∈
⊂+∞Eab
là
4
thang các không gian Banach cho trước thoã mãn: nếu
'
λ
λ
<
thì
'
λ
λ
⊂EE
và
'
λ
λ
≤uu
, với mọi
λ
∈
uE
.
Trong chương hai, chúng tôi trình bày bài toán Cauchy cấp hai với
(, )
f
tu được thay thế bởi ,,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
du
ftu
dt
thoảđiều kiện Lipschitz. Đây là một
kết quả tương tự với bài toán Cauchy cấp một.
Khi
(, )
f
tu lần lượt được thay bởi hàm () ()+
A
tu ft rồi
hàm
(
)
(),
A
Bu t u , các giả thiết cũng được thay đổi theo nhằm đủ cho việc
nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá nghiệm của bài toán đó. Kết quả này
được trình bày ở chương ba.
Ở chương bốn, điều kiện nhiễu compact được xét đến thay cho điều
kiện Lipschitz. Kết quả thu được cho bài toán cấp hai tương tự với kết quả
của K. Deimling về bài toán Cauchy cấp một.
Kết thúc luận văn là một vài ứng dụng cho phương trình Kirchhoff.
5
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ
Trong chương này, ta sẽ chứng minh một kết quả về sự tồn tại nghiệm
của phương trình cấp hai, tương tự với đònh lý Nishida-Nirenberg.
Trước hết, giả sử ta có thang
(
)
[
]
,. , 0,1
λ
λ
λ
∈E
và ánh xạ
f
tác dụng
liên tục từ
[]
0,
λ
λ
××TEE vào
'
λ
E
với mỗi cặp '
λ
λ
<
và thoả điều kiện
11 2 2 1 2 1 2
'
(, , ) (, , ) ( , ') ( , ')
λ
λλ
λ
λλλ
−≤−+−
f
tu v f tu v a u u b v v
; (2.1)
trong đó các hàm
(, '),(, ')ab
λ
λλλ
không âm, không phụ thuộc
,,
ii
tu v
.
Ta xét bài toán
()
,,
′′ ′
=uftuu (2.2)
01
(0) , (0)
′
==uuu u
. (2.3)
với điều kiện (2.3) thuộc
1
E
.
2.1. Phương trình cấp hai với điều kiện Lipschitz với các hàm
(, '), (, ')ab
λ
λλλ
là tổng quát.
Ta cần một số xây dựng bổ trợ. Ta xét các ánh xạ từ không gian
[]
(
)
0, ,CT
vào chính nó như sau:
[]
()
0
( , ') ( ) ( , ')( ) ( , ') ( ) '
t
cwta tb wd
λ
λλλτλλττλλ
=−+ <
∫
(2.4)
()
01 1 0 1
1
( , , , ) ( ) ( , ) ( );
−
=
=>>>
∏
n
nii n
i
cwtcwt
λ
λλ λλ λλ λ
(2.5)
6
(trong (2.5) ,
∏
hiểu là hợp của các ánh xạ)
12
( , ') ( ) inf ( , , , ) ( ); ( ' )
λ
λλλλλλ
=<
nn
cwtc wt
(2.6)
trong (2.6) inf được lấy trên tập tất cả các bộ
1n
+
số
01
( , , , )
λ
λλ
n
thoả
điều kiện
01
'=>>>=
n
λ
λλ λλ
.
Cuối cùng ta đònh nghóa với mỗi cặp
'
λλ
<
tập hợp
[] []
{
}
(, ') 0, :lim (, ')1() 1, 0,
→∞
′′
=∈ <∀∈
n
n
n
TTTcttT
λλ λλ
trong đó
(
)
11≡t
.
Đònh lý.
Nếu số
(, ')
λ
λ
′
∈TT
và hàm
01 0
0
() ( , ,0)
t
ht u f u d
τ
τ
=+
∫
bò chặn trong
λ
E
thì bài toán (4.2)-(4.3) có nghiệm
[
]
'
:0,
λ
′
→uTE
Chứng minh.
Ta xét ánh xạ
[
]
(
)
[
]
(
)
''
:0,, 0,,
λ
λλ λ
′′
=→=FCCTE CCTE
đònh bởi
10
00
()() , (),()
t
F
vt u f u v d v d
τ
τ
ξξ τ τ
⎡⎤
=+ +
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
Ta nhận thấy rằng, nếu
v
là điểm bất động của
F
thì hàm
0
0
() ( )
t
ut u v d
τ
τ
=+
∫
là nghiệm của (4.2) – (4.3).
Thật vậy, nếu
v
là điểm bất động của
F
thì
()
(
)
10
00
() () , ( ) , ( )
t
vt Fv t u f u v d v d
τ
τ
ξξ τ τ
==+ +
∫∫
Từ
0
0
() ( )
t
ut u v d
τ
τ
=+
∫
, ta có:
0
'( ) ( ), (0)
=
=
ut vt u u
.
7
Nên
()
1
0
'( ) , ( ), ( )
t
ut u f u v d
τ
τττ
=+
∫
Do đó, ta có
(
)
(
)
"( ) , ( ), ( ) , ( ), ( )
′
==
ut ftutvt ftutut và
01
(0) , '(0)
=
=
uuu u
Khẳng đònh trên được chứng minh.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh
(
)
(
)
(
)
(
)
12 1212
'
() () ( , ') () () ; ,
λ
λ
λ
λλ
−≤ − ∈
F
vt Fvt c vt vt vv C
(2.7)
Từ đònh nghóa ánh xạ
F
và điều kiện (2.1) ta có
(
)
(
)
12
'
01 1 02 2
00 0
'
12 12
00
() ()
, (),() , (),()
( , ') ( ) ( ) ( , ') ( ) ( )
t
t
Fv t Fv t
f
uvdv fuvdv d
avvdbvvd
λ
ττ
λ
τ
λλ
τ
ξξ τ τ ξξ τ τ
λλ ξ ξ ξ λλ τ τ τ
−≤
≤+ −+
⎡⎤
≤−+−
⎢⎥
⎣⎦
∫∫ ∫
∫∫
Theo công thức tích phân từng phần thì
12
00
12 12
00
0
12
0
(, ') () () .
(, ') () () (, ) () ()
(, ')( ) () ()
t
t
t
t
avvdd
avvdavvd
atvvd
τ
λ
τ
λλ
λ
λλ ξ ξ ξ τ
τ
λλ ξ ξ ξ τ λλ τ τ τ
λλ ττ ττ
−
⎡⎤
′
=−−−
⎢⎥
⎣⎦
=−−
∫∫
∫∫
∫
Suy ra,
12
'
12 12
00
() ()
(, ')( ) () () (, ') () ()
tt
Fv t Fv t
atvvdbvvd
λ
λλ
λ
λττ ττ λλτ ττ
−≤
≤−−+ −
∫∫
Như vậy, ta có (2.7).
Với mỗi bộ số
012
'
λ
λλλ λλ
=>>>>=
n
, ta áp dụng (2.7) và có
8
(
)
()
1
11
12 1 1 2
'
1210112
() () ( , ) () ()
( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
λλ
λ
λλ
λλ λλ λλ
−
−−
−
−−−
−≤ − ≤
≤−
n
nn n n
nn
nn n n
Fvt Fv t c F vt F v t
cc cvtvt
Suy ra, với mọi
12
,
λ
∈
vv C
:
12 1 210112
'
() () ( , )( , ) ( , ) () ()
λ
λ
λλ λλ λλ
−−−
−≤ −
nn
nn n n
F
vt Fvt c c c vt vt
Mà với mọi
1,2, ,in=
, ta có
[]
(
)
[]
112 1 1 12
0
12 1 1
0
(,)( )() (,)( )(,)( )()
(,)( )(,).1
t
ii ii ii
t
ii ii
C
cvvtatb vvd
vv a t b d
λ
λλ
λ
λλλτλλττ
λλ τ λλ τ
−−−
−−
−= −+ −
≤− −+
∫
∫
tức là ta có
112 12 1
( , ) ( )( ) ( , )1( ), 1,2, , .
λ
λ
λ
λλλ
−−
−≤− ∀=
ii ii
C
cvvtvvctin
Nên
(
)
12 1 210112
'
() () ( , ) ( , ) ( , )1().
λ
λ
λλ λλ λλ
−−−
−≤ −
nn
nn n n
C
F
vt Fvt c c c t v v
Do đó, ta có
'
12 12
( , ')1( ').
λ
λ
λλ
−≤ −
nn
n
C
C
F
vFv c Tvv
(2.8)
Nếu ta xây dựng dãy lặp
01
() 0, () (),( 0,1, )
+
=
==
nn
vt v t Fvt n
thì do
(2.8) sẽ có đánh giá
'
'
110 10
(, ')1().
λ
λ
λ
λλ
+
−=− ≤ −
nn
nn n
CC
C
vv FvFv c tvv
(2.9)
Do
10 1 0 0
0
() () ( , ,0) ()
t
vt vt u f u d ht
ττ
−=+ =
∫
là hàm thuộc
λ
C
nên từ (2.9)
và đònh nghóa tập
(, ')
λ
λ
T
, dãy
{
}
n
v
sẽ hội tụ trong
'
λ
C
tới hàm
v
nào đó
là điểm bất động của
F
.
9
2.2. Phương trình cấp hai với điều kiện Lipschitz với các hàm
(, '), (, ')ab
λ
λλλ
trong trường hợp đặc biệt .
Sử dụng đònh lý tổng quát trên ta sẽ chỉ ra cách đánh giá các tập
(
)
,'
λ
λ
T trong một trường hợp riêng quan trọng.
Với
0
() ( )
t
Jw t w d
τ
τ
=
∫
, ta có:
(
)
2
000
() ( ) ( )
tt
J
wt Jw d w d d
τ
τ
τξξτ
==
∫∫∫
p dụng công thức tích phân từng phần, ta có
(
)
00 0 0 0
() () . () ( ). ()
tttt
wdd twd wd t wd
τ
ξ
ξτ ττ τ ττ τ ττ
=− =−
∫∫ ∫ ∫ ∫
Do đó,
2
0
() ( ) ( )
t
Jwt t w d
τ
ττ
=−
∫
Kết hợp (2.4), ta được
2
( , ') ( , ') ( , ')
λ
λλλ λλ
=+caJbJ
, với
0
() ( )
t
Jw t w d
τ
τ
=
∫
Gọi
{
}
1,2, ,⊆
D
n , ta thực hiện phép nhân phân phối vế với vế n đẳng
thức
2
01 01 01
2
12 12 12
2
111
(,)() (,) (,)
(, )() (, ) (, )
(,)()(,) (,)
nn nn nn
cwtaJbJ
cwtaJbJ
cwtaJbJ
λλ λλ λλ
λλ λλ λλ
λλ λλ λλ
−−−
=+
=+
=+
ta được đẳng thức mới có vế phải là một tổng mà mỗi số hạng có dạng
2
11
(,). (,)
λλ λλ
−
−−
∈∉
∏∏
lnl
jj jj
jD jD
aJbJ, trong đó l là số phần tử của D, với 2l
+(n-l)=k và k=n,n+1,…,2n.
Ta thấy số phần tử của D là l=k-n
10
Gọi
k
M
là tập các tập con
{
}
1,2, ,⊂
D
n
thì do đònh nghóa ( 2.5), ta cóù
2
01 01
( , , , ) ( , , , )
λλ λ λλ λ
=
=
∑
n
k
nk n
kn
cdJ
trong đó
01 1 1
( , , , ) ( , ) ( , )
λ
λλ λλ λλ
−−
∈
∈∉
=
∑
∏
∏
k
kn jjjj
DM
jD jD
dab
Vì
1( )
!
=
k
k
t
Jt
k
, nên ta có
()
()
()
2
01 01
, , , 1 , , , .
!
λλ λ λλ λ
=
=
∑
k
n
nkn
kn
t
ctd
k
(2.10)
Giả sử các hàm
(, '), (, ')
λ
λλλ
ab thõa mãn điều kiện sau
Điều kiện
λ
()
.
Tồn tại các hàm
( , '), ( , '), ( 1,2 )
λ
λλλ
=
nn
ab n
sao cho với mỗi cặp
'
λλ
< tồn tại bộ số
01
'
λ
λλ λλ
=
>>>=
n
sao cho
11
(,) (,'),(,) (,')(1, ,)
λ
λλλλλλλ
−−
===
jj n jj n
aabbjn.
Do
k
d
là một tổng gồm các số hạng (trong trường hợp này) bằng nhau;
tổng số các số hạng đó bằng tổng số các tập con D của
{}
1,2, ,=
A
n , tức
là bằng
−kn
n
C .
Nên với điều kiện
()
λ
như vậy, ta có
()
2
01
, , , (, ') (, '),
kn kn nk
knnnn
dCab
λ
λ λ λλ λλ
−− −
=
(2.11)
Ta xét trường hợp
21
( , ') .( ') , ( , ') .( ')aa bb
λ
λλλ λλλλ
−
−
=− =−
(
0, 0>>ab
là các hằng số),
là một sự mở rộng tự nhiên của điều kiện dạng Lipshitz cho phương trình
cấp một. Khi đó điều kiện
λ
()
được thỏa với
[...]... chặn trong Eλ thì bài toán (2.2) với điều kiện (2.3) có nghiệm u :[ 0, T ′] → Eλ ' nếu T ′ thoã điều kiện ⎛ 4a ⎞ 0 < T ′ < (λ − λ ') ⎜ −b + b 2 + ⎟ 2a e ⎠ ⎝ 14 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI ĐIỀU KIỆN COMPACT Khó khăn chủ yếu trong việc nghiên cứu các bài toán Cauchy là ở chỗ các toán tử được xét đi từ một không gian Eλ nào đó không vào chính nó, mà vào không gian rộng hơn Eβ ( β < λ ) trong họ các. .. động trong K Điểm bấe động đó chính là nghiệm trên [ 0, δ ] với giá trò trong Eλ 31 CHƯƠNG 5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Nhiều bài toán về bề mặt của sóng nước, phương trình truyền nhiệt, của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng với các toán tử giả phân v.v… đưa đến việc nghiên cứu các bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach Trong chương này, ta xét đến ứng dụng cho phương trình Kirchhoff Bài toán ứng... này, ta xét đến ứng dụng cho phương trình Kirchhoff Bài toán ứng dụng này được xét trong thang của các không gian các hàm trong lớp Gevrey 5.1 Thang của các không gian các hàm trong lớp Gevrey Giả sử Ω ⊂ n là một tập con mở, ta ký hiệu A (Ω) là lớp các hàm thực thoả: ∃K > 0, ∃c > 0 : Dα u ≤ K α! c α , với mọi α ∈ n (5.1) trong đó ta giả sử v = sup { v( x) : x ∈Ω} và với α = (α1 ,α 2 , ,α n ) ∈ n ta đònh... hiệu Eλ là không gian các hàm u ∈ C ∞ (Ω) λα thoả u λ := ∑ D u 0} Bổ đề Thang các không gian Banach ( Eλ , λ ) , λ ∈ [ a, b ] có các tính... lý Giả sử các giả thiết ( H1 ) , ( H 2 ) thoả mãn và u0 , u1 ∈ A (Ω) Khi đó, tồn tại T ' ≤ T sao cho bài toán Cauchy cho phương trình Kirchhoff mở rộng (5.4)-(5.5) có một nghiệm u ∈ C 2 ( [ 0, T '] , A (Ω) ) Chứng minh Xét thang ( Eλ , λ ) , λ ∈ ( a, b) , trong đó Eλ được đònh nghóa trong mục 3.1 và b < c được chọn sao cho u0 , u1 ∈ Eb Bài toán Cauchy (5.4)-(5.5) có dạng (3.11)-(3.12) với toán tử... ( ) Xét bài toán Cauchy (3.17)-(3.18) trong thang Eβ , β , β ∈ [ λ , λ + ε ] với ε > 0 sẽ chọn sau Bằng cách áp dụng bài toán (3.17)-(3.18) cho đánh giá (3.3), (3.4) với ký hiệu (3.5) trong đònh lý 3.1, ta được w( t ) λ ≤ ε3 sup f ( s ) λ +ε 4d 2 ( ε − dt ) s∈[0 ,t ] ⎛ 4 MLε 3 ⎞ w′( t ) λ ≤ ⎜ Tλ′+ε + 2 ⎟ sup f ( s ) λ +ε 4d ( ε − dt )2 ⎠ s∈[0 ,t ] ⎝ (3.19) 22 ε với 0 ≤ t < min ⎧T , ⎫ , trong đó... ( β − λ ) Bổ đề được chứng minh 5.2 Bài toán Cauchy cho các phương trình Kirchhoff mở rộng Ta xét bài toán Cauchy: 2 ⎛ ⎞ Dt2u (t , x) = f ⎜ t , x, ∫ ∇ xu dx ⎟ Δ xu (t , x), (t , x) ∈ [ 0, T ] × Ω ≡ ΩT , ⎝ ⎠ P (5.4) u (0, x) = u0 ( x), Dt u (0, x), ∀x ∈Ω (5.5) 34 trong đó P,Ω là tập con mở của + f : ΩT × ( H1 ) → (H 2 ) và P ⊂ Ω là tập bò chặn Với hàm , ta giả sử các giả thiết sau đây được thoả mãn... B ( F (ui ), ε ) Như vậy F ( M ) hoàn toàn bò chặn nên là tập compact tương đối Do đó, theo đònh lý Schauder, F có một điểm bất đôïng trong X Đònh lý được chứng minh 24 CHƯƠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI NHIỄU COMPACT Để thấy được tính tương tự với bài toán Cauchy cấp một, ta cần nhắc lại một kết quả sau 4.1 Đònh lý Giả sử 1) nh xạ A : I → L ( Eλ , Eβ ) liên tục với mỗi cặp β < λ thuộc [ a, b] và... gian rộng hơn Eβ ( β < λ ) trong họ các không gian Banach Để khắc phục khó khăn này, ta áp dụng phương pháp lặp thông thường và lập luận của Ovsjannikov, Nirenberg, Nishida và Barkova, Zabreiko Trước hết, ta nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá nghiệm của bài toán Cauchy tuyến tính sau đây: u′′ = A(t )u + f (t ) (3.1) u (0) = u0 , u′(0) = u1 (3.2) Đònh lý 3.1 Giả sử các giảû thiết sau đây được thoã mãn:... , u ) b ≤ c, ii) α b [ g(t, B)] ≤ m.α λ ( B) với mọi t ∈ I , B ⊂ Bλ (u0 , r ) ; trong đó α λ là độ đo phi compact Kuratowski trên Eλ , các hằng số c, M, m, r không phụ thuộc t, λ , β , B Khi đó, với mỗi λ ∈ ⎡ a, b ) , bài toán ⎣ du = A(t ) x + g(t, u), t ∈ I = [ 0, T ] dt u(0) = u0 ∈ Eb có nghiệm đòa phương với giá trò trong Eλ với mỗi λ ∈ (a, b) Việc chủ yếu của chương này là chúng tôi muốn thay . bài toán Cauchy cấp hai thoả điều kiện
Lipschitz.
Ở luận văn này chúng tôi đặc biệt quan tâm các đến bài toán Cauchy
cấp hai trong thang các không gian. Hà
BÀI TOÁN CAUCHY CẤP HAI TRONG
THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngày đăng: 19/02/2014, 09:44
Xem thêm: bài toán cauchy cấp hai trong thang các không gian banach