Đang tải... (xem toàn văn)
bgpde DVI æ D A I HO C HUÉ̂ Tru ̀o ng D a i ho c Su pha m BÀI GIA’ NG LÝ THUYÉ̂T PHU O NG TRÌNH D A O HÀM RIÊNG PHI TUYÉ̂N CÁ̂P 1 (Dành cho ho c viên Cao ho c chuyên ngành Toán Gia’ i tı́ch) Biên soa n PGS TS Nguyễn Hoàng Ban D ào ta o, D a i ho c Huế HUẾ 2006 Typeset by AMS TEX 1 2 LÒ I NÓI D À̂U Các nghiên cú u d̄i a phu o ng cu’ a phu o ng tr̀ınh Hamilton Jacobi xuất hiê n tù lâu, có lẽ tù viê c kha’ o sát các bài toán biến phân vó i d̄à̂u mút d.
æ ˆ´ -A D I HO C HUE - a.i ho.c Su pha.m Tru.`o.ng D ’ NG ` GIA BAI ´ THUYE ˆ´T PHU.O.NG TR`INH D ` ˆ -A LY RIENG O HAM ˆ´N CA ˆ´P PHI TUYE (Da `nh cho ho.c viˆen Cao ho.c chuyˆen nga `nh Toa ´ n Gia’ i tı´ch) ˜ PGS.TS Nguyˆ e n Hoa `ng Biˆen soa.n: -` - a.i ho.c Huˆ Ban D ao ta.o, D e´ ˆ´ - 2006 HUE Typeset by AMS-TEX ´ D ˆU `.I NOI -` A LO C´ac nghiˆen c´ u.u d¯.ia phu.o.ng cu’a phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi xuˆa´t hiˆe.n `eu u viˆe.c kha’o s´at c´ac b`ai to´an biˆe´n phˆan v´o.i d¯`aˆu m´ ut d¯oˆ ng Nhiˆ t` u lˆau, c´o l˜e t` u.u, ch˘a’ ng ha.n phu.o.ng ph´ap t´ach ung d¯ˆe’ nghiˆen c´ phu.o.ng ph´ap cˆo’ d¯iˆe’n d¯u.o c d` `an, l´ biˆe´n, biˆe´n d¯oˆ’i Legendre, t´ıch phˆan to`an phˆ y thuyˆe´t d¯˘a.c tru.ng Cauchy, `eu kˆe´t qua’ viˆe.c nghiˆen biˆe´n phˆan, d¯`ˆong da.ng v.v d¯a˜ mang la.i nhiˆ c´ u.u phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng phi tuyˆe´n cˆa´p 1, d¯a˘ c biˆe.t l`a phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi `eu b`ai to´an vˆa.t l´ Tuy nhiˆen nhiˆ y v`a u ´.ng du.ng, nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n d¯.ia `au th´ıch phu.o.ng cu’a phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi chu.a d¯´ap u ´.ng d¯u.o c yˆeu cˆ u ´.ng v`ı ngu.`o.i ta muˆo´n nhˆa.n d¯u.o c thˆong tin tˆo’ng thˆe’, d¯`aˆy d¯u’ ho.n `e nghiˆe.m to`an cu.c cu’a phu.o.ng tr`ınh HamiltonC´ac nghiˆen c´ u.u hiˆe.n d¯a.i vˆ u c´ac b`ai b´ao cu’a E Hopf v`a Cole Jacobi b˘a´t d¯`aˆu v`ao nh˜ u.ng n˘am 1950-51 t` `e phu.o.ng tr`ınh Burger Tiˆe´p d¯´o, h`ang loa.t cˆong tr`ınh nghiˆen c´ u.u kh´ac nhu vˆ `an d¯aˆy v´o.i Crandall v`a cu’a Lax, Hop, Oleinik, Kruzhkov, Fleming v`a gˆ `eu nh`a ut su quan tˆam cu’a nhiˆ Lions, Subbotin, Ishii, d¯o`.i, d¯˜a thu h´ u u c`ang tro’ nˆen th`o i su v`a b´ u.c thiˆe´t to´an ho.c trˆen thˆe´ gi´o i C´ac nghiˆen c´ `au u y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi c´ac l˜ınh nhu cˆ ´.ng du.ng l´ `eu khiˆe’n tˆo´i u.u, l´ y thuyˆe´t d¯iˆ y thuyˆe´t tr`o vu c kh´ac cu’a to´an ho.c nhu l´ y thuyˆe´t s´ong, cho.i vi phˆan, l´ Tuy chu.a c´o mˆo.t tˆo’ng kˆe´t d¯`aˆy d¯u’ c´ac kˆe´t qua’ nghiˆen c´ u.u, song c´o thˆe’ n´oi `om phu.o.ng tr`ınh Hamiltonl´ y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh phi tuyˆe´n cˆa´p mˆo.t (bao gˆ y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh Jacobi) cho d¯ˆe´n chu.a d¯u.o c d¯e.p v`a ho`an thiˆe.n nhu l´ d¯a.o h`am riˆeng tuyˆe´n t´ınh, c´o l˜e ba’n chˆa´t ph´ u.c ta.p v`a d¯a da.ng cu’a c´ac ˜ ng vı` ba’n chˆa´t phi tuyˆe´n cu’a ca u kiˆe.n b`ai to´an phi tuyˆe´n Cu ´ c toa ´ n tu’ va` d˜ `on ta.i d¯.ia phu.o.ng Do tham gia phu.o.ng trı`nh, nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n C chı’ tˆ d¯o´, d¯u.a kh´ai niˆe.m nghiˆe.m toa`n cu.c cho phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi, `an gia’m nhe d¯oˆ tro.n cu’a nghiˆe.m Mˆo.t sˆo´ t´ac gia’ tiˆen viˆe.c tru.´o.c tiˆen l`a cˆ ´.ng cu’ phong l˜ınh vu c n`ay d¯a˜ cho.n c´ac h`am Lipschitz d¯.ia phu.o.ng l`am u viˆen d¯ˆe’ d¯.inh ngh˜ıa nghiˆe.m suy rˆo.ng Theo d¯.inh l´ y Rademacher, c´ac h`am u `au kh˘a´p no i trˆen miˆ `en x´ac d¯.inh, nhu vˆa.y chı’ cˆ `an yˆeu cˆ `au nhu vˆa.y th`ı kha’ vi hˆ ung kha’ vi Trong qu˜ang u.ng d¯iˆe’m ch´ ch´ ung tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh ta.i nh˜ `eu th`anh tu u nˆo’i u n˘am 1950 d¯ˆe´n 1980, v´o i d¯.inh ngh˜ıa n`ay, nhiˆ th`o i gian d`ai t` `e nghiˆen c´ `on ta.i v`a nhˆa´t cu’a nghiˆe.m suy rˆo.ng Lipschitz d¯a˜ bˆa.t vˆ u.u su tˆ d¯u o c d¯´ong g´op bo’ i Oleinik, Hopf, Fleming, Kruzhkov, Lax, Benton, T` u n˘am 1983 tro’ d¯i, su xuˆa´t hiˆe.n loa.t b`ai b´ao cu’a Crandall, Lions, Evans, u.u d¯`aˆy hiˆe.u qua’ viˆe.c nghiˆen Ishii , d¯a˜ mo’ mˆo.t hu.´o.ng nghiˆen c´ c´ u.u phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng phi tuyˆe´n Thay v`ı buˆo.c nghiˆe.m u tho’a `au kh˘a´p no.i, c´ac t´ac gia’ n`ay chı’ d¯o`i ho’i nghiˆe.m l`a mˆo.t m˜an phu.o.ng tr`ınh hˆ h`am liˆen tu.c, tho’a m˜an c˘a.p bˆa´t d¯a˘’ ng th´ u.c vi phˆan thˆong qua c´ac “h`am thu’.” - ´o l`a kh´ai niˆe.m d¯u’ tro.n ho˘a.c qua c´ac kh´ai niˆe.m vi phˆan du.´o.i, vi phˆan trˆen D nghiˆe.m viscosity Trong th`o.i gian n`ay, d¯oˆ c lˆa.p v´o.i Crandall v`a Lions, xuˆa´t `eu khiˆe’n tˆo´i u.u v`a tr`o cho.i vi phˆan, A.I Subbotin d¯u.a y thuyˆe´t d¯iˆ ph´at t` u l´ kh´ai niˆe.m nghiˆe.m minimax v`a ch´ u.ng minh r˘`a ng, d¯oˆ´i v´o.i mˆo.t sˆo´ l´o.p b`ai `on ta.i v`a tr` to´an nghiˆe.m minimax tˆ ung v´o.i nghiˆe.m viscosity ´ n Gia’i tı´ch, chuyˆen d¯`ˆe Trong chu.o.ng trı`nh Cao ho.c chuyˆen nga`nh Toa na`y la` mˆo.t nˆo.i dung quan tro.ng, giu ´ p ho.c viˆen tiˆe´p cˆa.n v´o.i ly ´ thuyˆe´t hiˆe.n d¯a.i u.ng phu.o.ng pha ´p cu’a ly ´ thuyˆe´t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng phi tuyˆe´n Nh˜ `oi, Gia’i tı´ch phi tuyˆe´n d¯u o c su’ du.ng thu `o ng xuyˆen giu ´ p cho cu’a Gia’i tı´ch lˆ ´ c chuyˆen nga`nh kha ´ c tu.o.ng d¯oˆ´i thuˆa n tiˆe.n ´ thˆe’ tı`m hiˆe’u ca ngu.`o.i ho.c co`n co `eu ta`i liˆe.u, sa ´ ch Tˆa.p ba`i gia’ng na`y d¯u.o c soa.n trˆen co so’ tˆo’ng ho p nhiˆ `e chu’ d¯`ˆe ly ba ´ o vˆ ´ thuyˆe´t toa`n cu.c cu’a phu o ng trı`nh Hamilton-Jacobi Ngu.`o.i biˆen soa.n cho.n nh˜ u.ng vˆa´n d¯`ˆe co ba’n, tinh gia’n nhu.ng thiˆe´t thu c d¯ˆe’ cho ´ c ba`i toa ´ n mo’ va` n˘a´m d¯u.o c phu.o.ng pha quan tˆam co ´ thˆe’ tiˆe´p cˆa.n ca ´ p, `au co ´ thˆe’ tı`m kˆe´t qua’ m´o.i Du` soa.n cˆong cu d¯ˆe’ b˘a´t tay va`o nghiˆen c´ u.u hˆ `eu cˆo´ g˘a´ng nhu.ng d¯aˆy la` nh˜ u.ng vˆa´n d¯`ˆe kho ´ nˆen ngu.`o.i ho.c pha’i da`y gia’ co ´ nhiˆ `e gia’i tı´ch u.c vˆ cˆong suy nghı˜, ˆon tˆa.p, vˆa.n du.ng tha`nh tha.o ca ´ c nh˜ u.ng kiˆe´n th´ d¯u o c ho.c o’ bˆa.c d¯a.i ho.c d¯ˆe’ lı˜nh hˆo.i d¯`aˆy d¯u’ nˆo.i dung cu’a chuyˆen d¯`ˆe na`y `om chu.o.ng Chu.o.ng I trı`nh ba`y Nˆo.i dung tˆa.p ba`i gia’ng na`y bao gˆ `e phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi, chu’ to ´ m t˘a´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´n th´ u.c cˆo’ d¯iˆe’n vˆ `e viˆe.c kha’o sa ´ p d¯˘a.c tru.ng Cauchy vˆ ´ t nghiˆe.m d¯.ia phu.o.ng yˆe´u la` phu.o.ng pha u.u ca ´ c loa.i nghiˆe.m suy rˆo.ng, theo th´ u tu la` nghiˆe.m Ca ´ c chu.o.ng sau nghiˆen c´ Lipschitz, nghiˆe.m viscosity va` nghiˆe.m minimax y thuyˆe´t phu.o.ng C´ac vˆa´n d¯`ˆe nˆeu trˆen hiˆe.n l`a nh˜ u.ng vˆa´n d¯`ˆe th`o.i su cu’a l´ `eu nh`a to´an ho.c v`a ngo`ai tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng phi tuyˆe´n, d¯ang d¯u.o c nhiˆ u.u nu.´o.c quan tˆam nghiˆen c´ ˜ ng no Cu ´ i thˆem r˘`a ng, ca ´ c ta`i liˆe.u, sa ´ ch ba ´ o chı´nh thˆo´ng hiˆe.n ´ xu hu.´o.ng go.i phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng phi tuyˆe´n cˆa´p tˆo’ng ngu.`o.i ta co `e truyˆ `en thˆo´ng, phu.o.ng trı`nh qua ´ t la` phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi m˘a.c du` vˆ ´ ch Hamilton-Jacobi chı’ la` mˆo.t da.ng d¯˘a.c biˆe.t d¯´o biˆe´n th`o.i gian d¯u.o c ta riˆeng d¯ˆe’ d¯u o c xem la` mˆo.t phu o ng trı`nh tiˆe´n ho ´ a Vı` vˆa.y d¯o.c tˆa.p ba`i ˜ ng nhu ca `an chu gia’ng na`y cu ´ c ta`i liˆe.u, ba`i ba ´ o liˆen quan ho.c viˆen cˆ ´ ´y d¯ˆe´n u.ng tru.`o.ng ho p cu thˆe’ ca ´ c da.ng phu.o.ng trı`nh nh˜ Khi biˆen soa.n tˆa.p ba`i gia’ng na`y, chu ´ ng tˆoi d¯˜a da`nh th`o.i gian thı´ch d¯´a ng ´ tra ´ nh kho’i nh˜ u.ng thiˆe´u so ´ t Rˆa´t mong nhˆa.n d¯ˆe’ hoa`n chı’ nh nhu.ng ch˘a´c kho u.ng su phˆe bı`nh, go ´ p ´y d¯ˆe’ tˆa.p ba`i gia’ng na`y nga`y ca`ng tˆo´t ho.n d¯u.o c nh˜ `au ¯ˆ Mo’ d Phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng la` mˆo.t phu.o.ng trı`nh vi phˆan (phu.o.ng trı`nh ´ c d¯a.o ha`m ho˘a.c vi phˆan) d¯´o ˆa’n ha`m la` ha`m sˆo´ theo biˆe´n co ´ ch´ u.a ca tro’ lˆen `en ch´ Gia’ su’ D la` mˆo.t miˆ u.a Rn , n ≥ 2, x = (x1 , , xn ) ∈ D, α = (i1 , , in ) ∈ Nn la` d¯a chı’ sˆo´ khˆong ˆam, |α| = i1 + · · · + in go.i la` cˆa´p cu’a d¯a chı’ sˆo´ α ´ da.ng ´ c d¯.inh trˆen D × Rk1 × × Rkn co Cho F la` mˆo.t ha`m thu c xa F = F (x1 , , xn , pki1 , ,in , ), d¯´o x = (x1 , , xn ) ∈ D, |α| = i1 + · · · + in = k, k = 0, , m, va` gia’ `on ta.i mˆo.t d¯a.o ha`m riˆeng cˆa´p m cu’a F kha su’ tˆ ´ c khˆong: ∂F ∂pki1 , ,in = 0, |α| = i1 + in = m ´ da.ng Phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng co F = F (x1 , , xn , ∂k u , ) = ∂xi11 ∂xinn (0.1) x = (x1 , , xn ) ∈ D, i1 + · · · + in = k, k = 0, , m, d¯u.o c go.i la` phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng cˆa´p m u ´.ng v´o.i ˆa’n ha`m u = u(x) = u(x1 , , xn ) Ta co`n viˆe´t (0.1) du.´o.i da.ng F (x, u(x), Du(x), , D α u(x)) = 0, |α| ≤ m (0.1’) `en D la` mˆo.t ha`m u = u(x) Nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n cu’a phu.o.ng trı`nh (0.1) trˆen miˆ xa ´ c d¯.inh, kha’ vi liˆen tu.c trˆen D va` nghiˆe.m d¯´u ng phu.o.ng trı`nh (0.1) v´o.i mo.i x ∈ D ´ c d¯a.o ha`m co ´ Nˆe´u F la` mˆo.t ha`m tuyˆe´n tı´nh d¯ˆo´i v´o.i ˆa’n ha`m va` tˆa´t ca’ ca m˘a.t thı` phu o ng trı`nh (0.1) d¯u o c go.i la` phu o ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng tuyˆe´n tı´nh Tra ´ i la.i, ta go.i no ´ la` phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng phi tuyˆe´n Da.ng tˆo’ng qua ´ t cu’a phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng tuyˆe´n tı´nh cˆa´p m la` aα (x)D α u(x) = f (x), |α|≤m (0.2) `eu kiˆe.n la` tˆ `on ta.i d¯a chı’ sˆo´ α0 cho |α0 | = m va` aα0 (x) ≡ trˆen D, v´o.i d¯iˆ ´ c ha`m cho tru.´o.c, D α u(x) la` ky ´ hiˆe.u tˆa.p ca ´ c d¯a.o d¯´o aα (x), f (x) la` ca `an nhˆa´t nˆe´u ha`m riˆeng cˆa´p α cu’a ha`m u Phu o ng trı`nh (0.2) d¯u oc go.i la` thuˆ f ≡ trˆen D Nˆe´u F la` mˆo.t ha`m tuyˆe´n tı´nh theo biˆe´n la` d¯a.o ha`m cˆa´p cao nhˆa´t cu’a ˆa’n ha`m co ´ m˘a.t (0.1) thı` phu.o.ng trı`nh na`y d¯u.o c go.i la` phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng tu a tuyˆe´n tı´nh `en D v´o.i biˆen la` ∂D Ba`i Cho phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng (0.1) miˆ toa ´ n tı`m nghiˆe.m u = u(x) cu’a phu.o.ng trı`nh (0.1) cho u|∂D = f v´o.i f la` ´ n biˆen Nˆe´u D = (a, b)×Rn−1 thı` mˆo.t ha`m cho tru.´o.c, d¯u.o c go.i la` mˆo.t ba`i toa ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n u|{0}×Rn−1 = f ba`i toa ´ n tı`m nghiˆe.m u = u(x) cu’a (0.1) tho’a ma d¯u.o c go.i la` ba`i toa ´ n Cauchy hay la` ba`i toa ´ n v´o.i d˜ u kiˆe.n ban d¯`ˆau cu’a phu.o.ng trı`nh (0.1) ˜ nghiˆen c´ `an chuyˆen d¯`ˆe na`y, ta se ´ thuyˆe´t toa`n cu.c cu’a Trong phˆ u.u ly phu.o.ng trı`nh phi tuyˆe´n cˆa´p 1, cu thˆe’ la` phu.o.ng trı`nh da.ng F (x, u, ∇u) = 0, x ∈ D ⊂ Rn hay ba`i toa ´ n Cauchy cho phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi da.ng ∂u + H(t, x, ∇x u) = , (t, x) ∈ Ω = (0, T ) × Rn , ∂t u(0, x) = σ(x) , x ∈ Rn CHU O NG I Nghiˆ e.m d ¯i.a phu.o.ng va ` ly ´ thuyˆ e´t d ¯˘ a.c tru.ng Cauchy `e vˆ `e ly §1 Mˆ o.t sˆ o´ vˆ a´n d ¯ˆ ´ thuyˆ e´t cˆ o’ d ¯iˆ e’n 1.1 Ca ´ c phu.o.ng trı`nh hoa `n chı’ nh va ` tı ´ch phˆ an tru c tiˆ e´p Trong thu c tˆe´ g˘a.p mˆo.t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng, ta nˆen quan u.ng phu.o.ng pha ´ thˆe’ gia’i b˘`a ng nh˜ ´ p d¯o.n gia’n hay khˆong tru.´o.c sa ´ t xem thu’ co ´ t cu’a no ´ Trong mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng ho p riˆeng, khi nghiˆen c´ u.u da.ng tˆo’ng qua `e viˆe.c tı´nh ´ ng co ´ thˆe’ quy vˆ phu.o.ng trı`nh thuˆo.c da.ng suy biˆe´n, viˆe.c gia’i chu - iˆ `eu nhˆa.n xe ´ t na`y giu ´ p ta tiˆe´t kiˆe.m s´ u.c lao d¯ˆo.ng nghiˆen ca ´ c tı´ch phˆan D u.ng ba`i toa ´ n cu thˆe’ c´ u.u nh˜ Ta xe ´ t phu.o.ng trı`nh sau: ut + H(t, x) = 0, (t, x) ∈ R2 (1.1) `eu kiˆe.n ban d¯`aˆu cu`ng v´o.i d¯iˆ u(0, x) = f (x), x ∈ R (1.2) ˜ ra`ng lu Ro ´ c na`y ba`i toa ´ n Cauchy co ´ nghiˆe.m nhˆa´t la` t H(τ, x)dτ u(t, x) = f (x) − Mˆo.t tru.`o.ng ho p kha ´ c co ´ thˆe’ gia’i d¯u.o c b˘a` ng tı´ch phˆan tru c tiˆe´p d¯´o la` ´ i niˆe.m thu.`o.ng d¯u.o c du`ng cho phu.o.ng trı`nh hoa`n chı’ nh m˘a.c du` d¯´o la` kha ´ t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng cˆa´p tu a phu.o.ng trı`nh vi phˆan thu.`o.ng Ta xe tuyˆe´n tı´nh nhu sau M (x, y, u)ux = N (x, y, u)uy , (x, y) ∈ R2 (1.3) ˜ n d¯iˆ `eu d¯´o M, N la` ca ´ c ha`m kha’ vi liˆen tu.c theo ca ´ c biˆe´n va` tho’a ma kiˆe.n kh´ o p: (1.4) Mx = Ny Trong tru.`o.ng ho p na`y, nghiˆe.m u = u(x, y) cu’a phu.o.ng trı`nh co ´ thˆe’ tı`m d¯u.o c - ˆe’ xa ´ c d¯.inh tı´ch du.´o.i da.ng ˆa’n Φ(x, y, u) = 0, d¯´o M = Φy , N = Φx D ´ t Φ, ta lˆa´y tı´ch phˆan theo y cu’a ha`m M (x, y, u) : phˆan tˆo’ng qua Φ(x, y, u) = M (x, y, u)dy + g(x, u) Vı` Φx = N nˆen lˆa´y d¯a.o ha`m vˆe´ d¯a˘’ ng th´ u.c trˆen, ta co ´ Mx (x, y, u)dy + gx (x, u) = N Gia’i d¯u.o c gx (x, u) va` t` u d¯´o g(x, u) = Φ(x, y, u) = gx (x, u)dx + h(u) Nhu thˆe´ M (x, y, u)dy + gx (x, u)dx + h(u) (1.5) d¯´o h la` mˆo.t ha`m tu`y ´y ´ ha`m Khi Φu = 0, ta tı`m d¯u.o c ha`m u = u(x, y) tu.`o.ng minh theo d¯.inh ly ˆa’n Vı ´ du Xe ´ t phu.o.ng trı`nh xut = tuux , (t, x) ∈ R2 - ˘a.t M (t, x, u) = x, N (t, x, u) = tu, d¯´o ta co D ´ Mt = Nx = Ha`m Φ(t, x, u) pha’i tı`m cho bo’ i cˆong th´ u c sau: Φ= xdx + g(t, u) = x + g(t, u) - ˆe’ tı`m ha`m g ta du`ng hˆe th´ u.c gt (t, u) = tu nˆen t` D u d¯´o g(t, u) = t2 u) + h(u), d¯´o h la` mˆo.t ha`m kha’ vi tu`y ´y theo biˆe´n u Ch˘a’ ng cho.n ha`m h(u) = (a2 u + b2 ), d¯´o a, b la` h˘a` ng sˆo´ 2 (x + ha.n, ta thı` u(t, x) = − x2 + b2 t2 + a2 `e Tu.o.ng tu tru.`o.ng ho p phu.o.ng trı`nh vi phˆan thu.`o.ng, d¯ˆoi lu ´ c d¯ˆe’ d¯u.a vˆ u.a sˆo´ tı´ch phˆan t´ u.c la` tı`m mˆo.t phu.o.ng trı`nh hoa`n chı’ nh, ta pha’i tı`m mˆo.t th` mˆo.t ha`m µ(x, y) cho (µM )x = (µN )y , ch˘a’ ng ha.n nˆe´u (Ny − Mx )/M khˆong phu thuˆo c y thı` µ(x) = exp ((Ny − Mx )/M )dx la` mˆo.t th` u.a sˆo´ tı´ch phˆan 1.2 Phu.o.ng pha ´ p ta ´ ch biˆ e´n `eu phu.o.ng ´ p na`y kha ´ d¯o.n gia’n va` co ´ thˆe’ ´a p du.ng cho nhiˆ Phu.o.ng pha ´ c ba`i toa ´ n vˆa.t ly ´ Tuy nhiˆen kha’ trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng thu.`o.ng g˘a.p ca ´ t la.i ha.n chˆe´ n˘ang su’ du.ng tru.`o.ng ho p tˆo’ng qua ´ tu.o’.ng chı´nh cu’a phu.o.ng pha ´ p ta ´ ch biˆe´n la` chuyˆe’n phu.o.ng trı`nh d¯a.o Y `e nh˜ ´ c ˆa’n ha`m theo sˆo´ biˆe´n ´t ı ho.n ha`m riˆeng d¯˜a cho vˆ u.ng phu.o.ng trı`nh v´o.i ca No ´ i ca ´ ch kha ´ c, ta cˆo´ g˘a´ng tı`m nghiˆe.m cu’a phu.o.ng trı`nh d¯˜a cho du.´o.i da.ng ´ c ha`m sˆo´ co ´ sˆo´ biˆe´n ´t ı ho.n va` r`o.i Sau tˆo’ng ho˘a.c tı´ch mˆo.t sˆo´ ca ´ c phu.o.ng trı`nh co ´ thay nghiˆe.m na`y va`o phu.o.ng trı`nh d¯˜a cho ta thu d¯u.o c ca ˜e gia’i ho n Ta xe ´ thˆe’ dˆ ´ t mˆo.t tru `o ng ˆa’n la` ca ´ c ha`m co ´ sˆo´ biˆe´n ´t ı ho n nˆen co ho p sau d¯ˆay: Xe ´ t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng da.ng F (t, x, u, ut , ux ) = 0, (t, x) ∈ D ⊂ R2 ˜e n du.´o.i da.ng Ta mong r˘`a ng nghiˆe.m u = u(t, x) co ´ thˆe’ biˆe’u diˆ u(t, x) = g(t)h(x) hay u(t, x) = g(t) + h(x), `eu kiˆe.n biˆen) ta xa ´ thˆe’ thˆem ca ´ c d¯iˆ ´ c d¯.inh Khi d¯´o thay va`o phu.o.ng trı`nh (co ´ c phu o ng trı`nh vi phˆan thu `o ng, t` u d¯´o tı`m d¯u.o c d¯u o c ca ´ c ha`m g, h nh`o ca ha`m u = u(t, x) 10 Vı ´ du Gia’i ba`i toa ´ n Cauchy cho phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi sau: ut + u2x = 0, (t, x) ∈ R2 u(0, x) = x2 , x ∈ R ˜ y tı`m nghiˆe.m cu’a ba`i toa Ta ´ n trˆen du.´o.i da.ng u(t, x) = g(t)h(x) ´ Thay ha`m sˆo´ na`y va`o phu.o.ng trı`nh ta co g h + (gh )2 = Suy g h2 =− = c = const g2 h Ca ´ c phu.o.ng trı`nh na`y cho ta a , − act v´o.i a, b, c la` ca ´ c h˘a` ng sˆo´ Nhu vˆa.y g(t) = u(t, x) = − h(x) = − c(x − b)2 ca(x − b)2 α (x − b)2 =− 4(1 − act) − αt α - ˆe’ ´y d¯ˆe´n d¯iˆ `eu kiˆe.n d¯`ˆau u(0, x) = x2 ta co ´ x2 = − (x − b)2 , ta cho.n b = va` D α = −4, ˆa´y x2 , t=− u(t, x) = + 4t la` nghiˆe.m cu’a ba`i toa ´ n trˆen Vı ´ du Xe ´ t phu.o.ng trı`nh dao d¯oˆ ng cu’a dˆay utt = uxx , (t, x) ∈ (a, b) × R, u(a, t) = u(b, t) = Ta tı`m nghiˆe.m du.´o.i da.ng u(t, x) = v(t)w(x) Khi d¯´o utt = v (t)w(x), uxx = v(t)w (x) 108 Nhu vˆa.y Bˆo’ d¯`ˆe d¯u.o c ch´ u.ng minh - i.nh ly ´ 4.1 T` u Bˆo’ d¯`ˆe va` ta thˆa´y u.ng minh D Bˆay gi`o ta tro’ la.i ch´ `an giao na`y ch´ r˘a` ng SolU (FU ) ∩ SolL (FL ) = ∅ va` phˆ u.a mˆo.t ha`m nhˆa´t `on ta.i d¯oˆ c lˆa.p v´o.i viˆe.c cho.n ca u.a, ha`m ϕ na`y tˆ ´ c ha`m d¯a tri FU ∈ ϕ Ho.n n˜ FU (H), FL ∈ FL (H) Thˆa.t vˆa.y, lˆa´y FUi ∈ FU (H), FLi ∈ FL (H), ϕi ∈ SolU (FUi )∩SolL (FLi ), i = ´ ϕ1 ≥ ϕ2 M˘a.t 1, Theo Bˆo’ d¯`ˆe 8, ϕ1 ∈ SolU (FU1 ) va` ϕ2 ∈ SolL (FL2 ), ta co ´ ϕ2 ≥ ϕ1 Nhu thˆe´ ϕ1 = ϕ2 kha ´ c, ϕ1 ∈ SolL (FL1 ) va` ϕ2 ∈ SolU (FU2 ), ta co - i.nh ly D ´ d¯u.o c ch´ u.ng minh xong `an nha §5 Nghiˆ e.m minimax cu’a phu.o.ng trı`nh khˆ ong thuˆ ´ t -˘ a.t ba `i toa ´ n Ba`i toa ´ n Cauchy (H, σ) d¯˜a xe ´ t o’ trˆen d¯u.o c go.i la` 5.1 D `an nhˆa´t vı` Hamiltonian H = H(t, x, s) la` thuˆ `an nhˆa´t du.o.ng theo ba`i toa ´ n thuˆ - iˆ `eu kiˆe.n (1.5)) Trong mu.c na`y ta kha’o sa `on ta.i va` tı´nh ´ t su tˆ biˆe´n s, (D `an nhˆa´t nghiˆe.m minimax cu’a ba`i toa ´ n (H, σ) H = H(t, x, s) khˆong thuˆ nhˆa´t theo biˆe´n s Xe ´ t ba`i toa ´ n sau ut + H(t, x, ∇x u) = 0, (t, x) ∈ Ω = (0, T ) × Rn u(T, x) = σ(x), x ∈ Rn (5.1) (5.2) - ˆe’ tiˆe´p tu.c, ta gia’ thiˆe´t ha`m H(t, x, s) khˆong thuˆ `an nhˆa´t theo biˆe´n s nhu.ng D `on ta.i lim rH(t, x, s/r) v´o.i mo.i (t, x, s) ∈ Ω × Rn tˆ r↓0 `an nhˆa´t vˆ `e ba`i toa ´ n (5.1)-(5.2) khˆong thuˆ ´ n phu sau Ta chuyˆe’n ba`i toa d¯aˆy ut + H(t, x, ∇x u, uy ) = 0, u(T, x, y) = σ(x) + y, (t, x, y) ∈ Ω × R x ∈ Rn , y ∈ R, (5.1’) (5.2’) d¯´o H(t, x, s, r) = |r|H(t, x, s/|r|), r = 0, limr↓0 rH(t, x, s/r), r = 0, , (t, x) ∈ Ω, (s, r) ∈ Rn × R 109 - ˆe’ ´y r˘`a ng D H(t, x, αs, αr) = αH(t, x, s, r), α ≥ 0; H(t, x, s, 1) = H(t, x, s) (5.3) ´ n (5.1)-(5.2) Bˆay gi`o ta gia’ su’ u(t, x) la` mˆo.t nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n cu’a ba`i toa `eu kiˆe.n (5.3), ta thˆa´y r˘a` ng, ha`m sˆo´ u(t, x, y) = u(t, x) + y la` Khi ˆa´y t` u d¯iˆ ´ n (5.1’)-(5.2’) Ngu.o c la.i, gia’ su’ u(t, x, y) la` mˆo.t nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n cu’a ba`i toa ´ thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng mˆo.t nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n cu’a (5.1’)-(5.2’) d¯´o u(t, x, y) co u(t, x, y) = u(t, x) + y th`ı suy u(t, x) la` mˆo.t nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n cu’a (5.1)-(5.2) ˜ du`ng su kiˆe.n na`y d¯ˆe’ d¯.inh nghı˜a nghiˆe.m minimax cu’a ba`i toa Ta se ´ n (5.1) `an nhˆa´t du o ng theo biˆe´n s -(5.2) ha`m H(t, x, s) khˆong thuˆ Ky ´ hiˆe.u B = {(s, r) ∈ Rn+1 | ( s + r )1/2 ≤ 1} va` S = {(s, r) ∈ `an lu.o t la` hı`nh cˆ `au d¯´o ng va` m˘a.t cˆ `au d¯o.n vi Rn+1 | ( s + r )1/2 = 1} lˆ khˆong gian Rn+1 va` S + = {(s, r) ∈ S | r > 0}, B + = {(s, r) ∈ B | r > 0} ˜ n: `eu kiˆe.n sau d¯ˆay d¯u.o c tho’a ma Ta gia’ su’ ca ´ c d¯iˆ (I) V´o.i mo.i s ∈ Rn , ha`m H(·, ·, s) liˆen tu.c trˆen Ω = (0, T ) × Rn (II) V´o.i mo.i (t, x) ∈ Ω va` s ∈ S ta co ´ `on ta.i va` v´o.i mo.i s ∈ S ha`m sˆo´ (t, x) → lim rH(t, x, s/r) = H0 (t, x, s) tˆ r↓0 H0 (t, x, s) liˆen tu.c `on ta.i sˆo´ Λ > cho v´o.i mo.i (III) V´o.i mˆo˜i tˆa.p bi ch˘a.n D ⊂ Ω, tˆ ´ (t, x ), (t, x ) ∈ D, (s, r) ∈ S + , ta co r|H(t, x , s/r) − H(t, x , s/r)| ≤ Λ x − x ´ (IV) V´o.i mo.i (t, x) ∈ Ω, (s, r), (s , r ) ∈ B + ta co |rH(t, x, s/r) − H(t, x, s /r )| ≤ L(t, x)( s − s + |r − r |2 )1/2 , `on ta.i h˘a` ng sˆo´ c > cho d¯´o Ω (t, x) → L(t, x) la` ha`m liˆen tu.c va` tˆ L(t, x) ≤ c(1 + x ) trˆen Ω Khi ˆa´y, ta co ´ thˆe’ kiˆe’m tra d¯u.o c ha`m Hamiltonian H(t, x, s, r) na`y tho’a ˜ n ca `eu kiˆe.n (H1)-(H4) o’ §1 ma ´ c d¯iˆ - ˆe’ d¯.inh nghı˜a nghiˆe.m minimax cho b`ai toa ´ n (5.1’)-(5.2’), ta Chu ´ ´ y D ˜ n ca ˜ ng du`ng ca `eu ´ c d¯iˆ cu ´ c ´a nh xa d¯a tri F U ∈ FU (H), F L ∈ F(H ) tho’a ma 110 `eu kiˆe.n c) viˆe´t la.i kiˆe.n a) - c) nhu o’ §3 v´o.i va`i thay d¯ˆo’i phu., ch˘a’ ng ha.n d¯iˆ n tha`nh: V´o i mo.i (t, x) ∈ Ω, (s, r) ∈ R × R : sup { s, f + rg} = inf max { s, f + rg} = H(t, x, s, r) p∈P (f,g)∈F L (t,x,p) q∈Q (f,g)∈F U (t,x,q) (5.4) - i.nh nghı˜a Cho F U ∈ FU (H) (t.u , F L ∈ FL (H) Ta ky 5.2 D ´ hiˆe.u ´ c ha`m nu’ a liˆen tu.c du ´o i (t.u , Sol U (F U ) (t.u , Sol L (F L )) la` tˆa.p tˆa´t ca’ ca ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n ϕ(T, x) ≥ σ(x) (t.u , nu’.a liˆen tu.c trˆen) ϕ : Ω → R tho’a ma ϕ(T, x) ≤ σ(x)) va` sup ϕ(τ, x(τ )) + y(τ ) ≤ ϕ(t0 , x0 ), (t0 ,x0 ,τ,q) xU (·) (t.u , inf max ϕ(τ, x(τ )) + y(τ ) ≥ ϕ(t0 , x0 )) (t0 ,x0 ,τ,p) xL (·) d¯´o (t0 , x0 ) ∈ [0, T ) × Rn , τ ∈ (t0 , T ], xU (·) ∈ XU (t0 , x0 , 0, q) (t.u , xL (·) ∈ XL (t0 , x0 , 0, p) Nh˘a´c la.i r˘a` ng, XU (t0 , x0 , 0, q) la` tˆa.p ho p tˆa´t ca’ ca ´c n+1 ˜ n d¯iˆ `eu tho’a ma nghiˆe.m cu’a bao ha`m th´ u c vi phˆan x(t) ∈ F U (t, x, , q) ⊂ R kiˆe.n d¯`ˆau x(t0 ) = (x0 , 0) Ta go.i ha`m sˆo´ u ∈ SolU (F U ) ∩ Sol(F L ) la` mˆo.t nghiˆe.m minimax cu’a ba`i toa ´ n (5.1’)- (5.2’) - inh ly ´ 4.1 ta co ´: T` u D - i.nh ly ` 5.3 D ´ Cho σ : Rn → R la ` mˆ o.t `m liˆen tu.c Gia’ su’ r˘ a ng `m ˜ n ca `eu kiˆe.n (I)-(IV) Khi ˆ H(t, x, s) tho’ a ma ´ c d¯iˆ a´y ba `i toa ´ n (5.1’)-(5.2’) co ´ `i ra, nghiˆe.m na `y co ´ thˆe’ biˆe’u nhˆ a´t mˆ o.t nghiˆe.m minimax u(t, x, y) Ngoa diˆ˜e n d¯u.o c du.´ o.i da.ng ∀(t, x) ∈ Ω, y ∈ R, u(t, x, y) = u(t, x, 0) + y - ˆe’ ch´ - i.nh ly `an bˆo’ d¯`ˆe sau: u.ng minh D D ´ 5.4, ta cˆ `e Cho F U ∈ FU (H), F L ∈ FL (H) V´ 5.4 Bˆ o’ d ¯ˆ o.i mo.i ϕU ∈ Sol U (F U ), ϕL ∈ Sol L (F L ) ta co ´ ca ´ c bˆ a´t d¯a ˘’ ng th´ u.c sau ϕU (t, x, 0) + y ≥ ϕL (t, x, y) ϕL (t, x, 0) + y ≤ ϕU (t, x, y) 111 v´ o.i mo.i (t, x) ∈ Ω, y ∈ R u.ng minh Bˆo’ Ch´ u.ng minh Bˆo’ d¯`ˆe na`y d¯u.o c tiˆe´n ha`nh tu.o.ng tu nhu ch´ d¯`ˆe 8, §4 - i.nh ly `on ta.i va` nhˆa´t nghiˆe.m ´c D ´ 4.1 va` 5.3, ta co ´ d¯.inh ly ´ tˆ Kˆe´t ho p ca `an nhˆa´t nhu sau: cu’a ba`i toa ´ n khˆong thuˆ - i.nh ly ` `m liˆen tu.c, Hamiltonian H tho’ a 5.5 D ´ Gia’ su’ σ : Rn → R la `eu kiˆ.en (I)-(IV) Khi ˆ ca ´ c d¯iˆ a´y ba `i toa ´ n (5.1)-(5.2) co ´ nhˆ a´t mˆ o.t nghiˆ.em o.i mo.i ca ´ ´ ch cho.n F U ∈ FU (H), F L ∈ FL (H), ta co minimax u : Ω → R : V´ SolU (F U ) ∩ SolL (F L ) = {u} va ` u(t, x) = u(t, x, 0) v´ o i mo.i (t, x) ∈ Ω ¯i.nh cu’a nghiˆ e.m minimax 5.6 Tı ´nh ˆ o’n d Sau d¯ˆay ta gi´o.i thiˆe.u d¯.inh ly ´ no ´ i r˘`a ng nghiˆe.m minimax la` ˆo’n d¯.inh theo ca ´ c d˜ u kiˆe.n d¯˜a cho - i.nh ly ˜ y ` mˆ o.t da `m liˆen tu.c, hˆ o.i D ´ Cho σk : Rn → R (k = 1, 2, ) la n n ˜y `m σ∗ va ` Hk : Ω × R → R la ` da tu d¯`ˆeu trˆen t` u ng compact M ⊂ R d¯ˆe´n ˜ n ca `eu kiˆ.en (I)-(IV), hˆ `m tho’ a ma ´ c d¯iˆ o.i tu d¯`ˆeu trˆen t` u.ng compact d¯ˆe´n `m ˜ ng tho’ a ma ˜ n (I)-(IV) Gia’ su’ uk : Ω → R la ` nghiˆe.m minimax cu’ a ba `i H∗ cu o.i tu d¯`ˆeu d¯ˆe´n `m u∗ trˆen t` u.ng compact D ⊂ Ω Khi d¯´o u∗ toa ´ n (Hk , σk ), hˆ la ` nghiˆe.m minimax cu’ a ba `i toa ´ n (H∗ , σ∗ ) ˜n nghiˆ `e biˆ e e.m minimax e’u diˆ §6 Cˆ ong th´ u.c Hopf vˆ - i.nh nghı˜a nghiˆe.m minimax cu’a ba`i toa `eu da.ng tu.o.ng D ´ n (H, σ) co ´ nhiˆ ˜ gi´o.i thiˆe.u ca ´ ch du`ng d¯a.o ha`m theo hu.´o.ng suy rˆo.ng d¯u.o.ng Du.´o.i d¯aˆy ta se ˜e n ta’ kha ´ i niˆe.m nghiˆe.m minimax d¯ˆe’ diˆ - i.nh nghı˜a Cho v : Ω → R l`a mˆo.t h`am sˆo´ thu c v`a f l`a mˆo.t vecto 6.1 D - ˘a.t tu` yy ´ cu’a Rn D − −1 ∂(1,f ) v(t, x) = lim inf v(t + δ, x + δg) − v(t, x) δ g→f δ↓0 + −1 ∂(1,f ) v(t, x) = lim sup v(t + δ, x + δg) − v(t, x) δ g→f δ↓0 − + `an lu.o t go.i l`a nu’.a d¯a.o h` Khi aˆ´y ∂(1,f am Dini du.´ o.i ) v(t, x) (t.u , ∂(1,f ) v(t, x)) lˆ (t.u , trˆen) cu’a h`am v theo hu.´o.ng (1, f ) ta.i (t, x) 112 - ˆo´i v´o.i ba`i toa `an nhˆa´t (1.1)-(1.2), ta lˆa´y bˆa´t ky` FU ∈ FU (H), FL ∈ D ´ n thuˆ FL (H) l`a c´ac h`am d¯a tri cho tru.´o.c `e Cho u : [0, T ] × Rn → R l` a mˆ o.t h` am sˆ o´ liˆen tu.c 6.2 Mˆ e.nh d ¯ˆ a H` am u(t, x) l` a mˆ o.t nghiˆe.m trˆen minimax cu’ a b` to´ an (1.1)-(1.2) n va ` chı’ u(T, x) ≥ σ(x), ∀x ∈ R v` a sup − ∂(1,f ) u(t, x) ≤ (6.1) q∈Qf ∈FU (t,x,q) b H` am u(t, x) l` a mˆ o.t nghiˆ.em du.´ o.i minimax cu’ a b` to´ an (2.1)-(2.2) n va ` chı’ u(T, x) ≤ σ(x), ∀x ∈ R v` a inf max p∈P f ∈FL (t,x,p) + ∂(1,f ) u(t, x) ≥ (6.2) `an nhˆa´t (t´ `eu kiˆe.n Khi Hamiltonian H khˆong thuˆ u.c l`a khˆong tho’a m˜an d¯iˆ ˜ n ca `eu kiˆe.n (I)-(IV), ta c´o: ´ c d¯iˆ (H4)) nhu.ng tho’a ma `e H` 6.3 Mˆ e.nh d ¯ˆ am liˆen tu.c u : [0, T ] × Rn → R l` a mˆ o.t nghiˆ.em minimax cu’ a b` to´ an (5.1)-(5.2) nˆe´u va ` chı’ nˆe´u, u tho’ a m˜ an c˘ a.p bˆ a´t d¯˘ a’ ng th´ u.c vi phˆ an − ≤ 0, (6.3) ∂(1,f sup ) u(t, x) + g q∈Q(f,g)∈F U (t,x,q) inf max p∈P (f,g)∈F L (t,x,p) + ∂(1,f ) u(t, x) + g ≥ 0, (6.4) v´ o.i (t, x) ∈ Ω v` a F L (t, x, p) ∈ a u(T, x) = σ(x), d¯´ o F U (t, x, q) ∈ FU (H) v` FL (H) ´ t b`ai to´an sau Bˆay gi`o ta xe ∂u + H(t, ∇x u) = 0, (t, x) ∈ Ω, ∂t u(T, x) = σ(x), x ∈ Rn `eu kiˆe.n sau d¯ˆay d¯u.o c tho’a m˜an Gia’ su’ c´ac d¯iˆ `on ta.i gi´o.i ha.n h˜ u.u ha.n (M1) V´o.i mo.i s ∈ Rn , tˆ s lim rH(t, ) = H0 (t, s) r↓0 r (6.5) (6.6) 113 (M2) H`am (t, s) → H(t, s) liˆen tu.c trˆen tˆa.p Ω v`a tho’a m˜an d¯a´nh gi´a s1 s2 |r1 H(t, ) − r2 H(t, )| ≤ L( s1 − s2 + |r1 − r2 |) r1 r2 v´o.i mo.i ri , si cho si L l`a mˆo.t h˘a` ng sˆo´ du.o.ng + ri2 ≤ 1, ri > 0, i = 1, 2, v`a t ∈ (0, T ), d¯´o (M3) H`am sˆo´ σ : Rn → R liˆen tu.c - i.nh l´ y 5.6 b`ai to´an (6.5)-(6.6) c´o nhˆa´t nghiˆe.m minimax Khi d¯´o theo D Ω ˜e n tu.`o.ng minh cu’a nghiˆe.m minimax d¯u.o c cho bo’.i d¯.inh l´ Mˆo.t biˆe’u diˆ y sau - i.nh l´ `eu kiˆ.en (M1)-(M3) tho’ a m˜ `oi y Cho c´ ac d¯iˆ an, σ l` a h` am lˆ 6.4 D `eu kiˆe.n sau d¯ˆ Ngo` gia’ su’ H(t, s) tho’ a m˜ an thˆem mˆ o.t hai d¯iˆ ay: `oi theo biˆe´n s ∈ Rn v´ o.i mo.i t ∈ (0, T ), a H(t, s) l` a mˆ o.t h` am lˆ b H(t, s) = g(t)H1 (s), ≤ g(t) ∈ L1 (0, T ) Khi d¯´ o T u(t, x) = maxn { x, s − σ ∗ (s) + H(τ, s)dτ }, s∈R (6.7) t l` a nghiˆe.m minimax nhˆ a´t cu’ a b` to´ an Cauchy (6.5)-(6.6) Ch´ u.ng minh X´et h`am ϕ : Ω × Rn → [−∞, +∞) v´o.i T ∗ ϕ(t, x, s) = x, s − σ (s) − H(τ, s)dτ, t `oi liˆen hiˆe.p cu’a σ(x) K´ d¯´o σ ∗ (x) l`a h`am lˆ y hiˆe.u L0 (t, x) = {s0 ∈ Rn : ϕ(t, x, s0 ) = maxn ϕ(t, x, s) = u(t, x)} s∈R Tru.´o.c hˆe´t ta gia’ thiˆe´t D = dom σ ∗ l`a mˆo.t tˆa.p bi ch˘a.n Rn Khi d¯o´ L0 (t, x) l`a tˆa.p compact v`a h`am ϕ(t, x, s) tho’a m˜an c´ac gia’ thiˆe´t cu’a Bˆo’ `on ta.i v`a d¯u.o c d¯`ˆe 1.2.1 Chu.o.ng II nˆen c´ac d¯a.o h`am theo hu.´o.ng ∂(1,h) u(t, x) tˆ t´ınh theo cˆong th´ u.c ∂(1,h) u(t, x) = max{ s, h − H(t, s), s ∈ L0 (t, x)}, h ∈ Rn (6.8) 114 - ˆe’ ch´ D u.ng minh u(t, x) cho bo’.i cˆong th´ u.c (6.3) l`a nghiˆe.m minimaxcu’a (6.1)u.c (6.3) v`a (6.4) (6.2) ta pha’i kiˆe’m tra c´ac bˆa´t d¯˘a’ ng th´ Ta c´o inf max{∂(1,h) u(t, x) + g} = inf max max [ s, h + g − H(t, x)] p (h,g) p (h,g) s ≥ max inf max [ s, h + g − H(t, s)] = s p (h,g) O’ d¯aˆy ta d¯˜a su’ du.ng kh˘a’ ng d¯.inh hiˆe’n nhiˆen l`a inf max ≥ max inf , p s s p u c (5.4), (6.8) Nhu thˆe´ bˆa´t d¯˘a’ ng th´ u.c max max = max max v`a c´ac d¯a˘’ ng th´ (h,q) s s (h,q) (6.4) d¯u.o c ch´ u.ng minh u.ng minh (6.3) Muˆo´n vˆa.y, lˆa´y (t, x) ∈ [0, T ) × Rn v`a d¯˘a.t Bˆay gi`o ta ch´ y hiˆe.u Π l`a tˆa.p tˆa´t ca’ c´ac d¯oˆ d¯o x´ac suˆa´t µ x´ac d¯.inh trˆen L0 = L0 (t, x) K´ tˆa.p compact L0 (µ(L0 ) = 1) V´o.i µ ∈ Π ta d¯a˘ t sµ = sdµ(s) L0 `oi nˆen sµ ∈ dom σ ∗ Do L0 ⊂ dom σ ∗ v`a dom σ ∗ lˆ Ta c´o bˆo’ d¯`ˆe sau d¯aˆy `e Cho η l` ¯ˆ a mˆ o.t h` am liˆen tu.c trˆen L0 Khi d¯´ o 6.5 Bˆ o’ d max η(s) = max { s∈L0 µ∈Π η(s)dµ(s)} L0 Ch´ u.ng minh Gia’ su’ s0 ∈ L0 cho M = max η(s) = η(s0 ) Do d¯o´ s∈L0 η(s)dµ(s) ≤ L0 M dµ(s) = M Ngu o c la.i, k´ y hiˆe.u µ0 l`a d¯oˆ d¯o x´ac d¯.inh L0 trˆen L cho bo’ i ∀A ⊂ L0 , µ0 (A) = 1, s0 ∈ A 0, /A s0 ∈ η(s)dµ0 (s) = η(s0 ) Nhu vˆa.y bˆo’ d¯`ˆe d¯u.o c ch´ u.ng minh u (5.4), ta c´o yy ´ cu’a Rn T` Bˆay gi`o lˆa´y q l`a mˆo.t d¯iˆe’m tu` Khi d¯´o L0 (∂(1,h) u(t, x) + g) = max { s, h + g − H(t, s)}, (u,g) (h,g) s∈L0 115 v`a ´ap du.ng Bˆo’ d¯`ˆe 6.5 v´o.i h`am η(s) = s, h + g − H(t, s) ta c´o ∂(1,h) u(t, x) + g (h,g) = max sµ , h + g − (h,g) µ∈Π H(t, s)dµ (6.9) L0 u.ng biˆe´n Biˆe’u th´ u.c m´oc vuˆong o’ vˆe´ pha’i cu’a (6.9) l`a h`am affin theo t` ´ du.ng d¯.inh `oi F U (q) v`a Π Ap ´.ng, x´ac d¯.inh trˆen c´ac tˆa.p lˆ (h, g) v`a µ tu.o.ng u l´ y minimax, ta c´o thˆe’ ho´an vi v`a max d¯ˆe’ viˆe´t la.i ∂(1,h) u(t, x) + g ≤ max { sµ , h + g − µ∈Π (h,g) (h,g) H(t, s)dµ} L0 ≤ max H(t, sµ ) − µ H(t, s)dµ L0 u.ng minh nˆe´u Bˆa´t d¯˘a’ ng th´ u.c (6.3) d¯u.o c ch´ H(t, s)dµ(s) ≤ v´o.i mo.i µ ∈ Π H(t, sµ ) − (6.10) L0 `oi theo s th`ı (6.10) ch´ınh l`a bˆa´t d¯˘a’ ng o.ng ho.p a Nˆe´u H(t, s) l`a h`am lˆ Tru.` th´ u.c Jensen, d¯o´ sµ = L0 sdµ(s) o.ng ho p b Theo d¯.inh ngh˜ıa cu’a L0 , ta c´o v´o.i mo.i s ∈ L0 , µ ∈ Π Tru.` T T ∗ H(τ, sµ )dτ − σ ∗ (sµ ) (6.11) H(τ, s)dτ − σ (s) ≥ sµ , x + s, x + t t Lˆa´y t´ıch phˆan hai vˆe´ cu’a (6.11) trˆen L0 theo d¯ˆo d¯o µ v`a su’ du.ng d¯.inh l´ y Fubini ta d¯u.o c T T ( t ∗ H(τ, s)dµ(s))dτ − L0 H(τ, sµ)dτ − σ ∗ (sµ ) σ (s)dµ(s) ≥ L0 t `oi σ ∗ ta c´o: La.i ´ap du.ng bˆa´t d¯a˘’ ng th´ u.c Jensen d¯oˆ´i v´o.i h`am lˆ σ ∗ (s)dµ(s) ≥ σ ∗ (sµ ) L0 nˆen ta suy d¯u.o c T T H(τ, s)dµ(s))dτ ≥ t L0 H(τ, sµ )dτ t (6.12) 116 Do H(t, s) = g(t)H1 (s), ≤ g(t) ∈ L1 (0, T ) nˆen thay v`ao (6.12) ta d¯u.o c A H1 (s)dµ ≥ AH1 (sµ ) L0 d¯´o A = T t g(τ )dτ ≥ ´ng Nˆe´u A = th`ı H liˆen tu.c nˆen H ≡ 0, cˆong th´ u.c hiˆe’n nhiˆen d¯u `oi nhˆan hai vˆe´ v´o i g(t) ta c´o (6.10) C`on nˆe´u A > 0, ta r´ ut go.n A rˆ Tru.`o.ng ho p dom σ ∗ khˆong bi ch˘a.n, ta d¯a˘ t σk (x) = max { s, x − σ ∗ (s)} s∈Bk v´o.i Bk = {s ∈ Rn : s ≤ k}, v`a T ∗ uk (t, x) = max { s, x − σ (s) + s∈Bk H(τ, s)dτ } k = 1, 2, t Theo ch´ u.ng minh trˆen, h`am uk (t, x) l`a nghiˆe.m minimax cu’a b`ai to´an `eu kiˆe.n d¯`ˆau uk (T, x) = σk (x) T` u t´ınh chˆa´t phu thuˆo.c liˆen tu.c (H, σk ) v´o.i d¯iˆ - i.nh l´ y 5.4.1), ta suy lim uk (t, x) = cu’a nghiˆe.m theo c´ac d˜ u kiˆe.n d¯a˜ cho (D k→∞ ´ `eu ’ u(t, x) Khi ˆa y u(t, x) l`a nghiˆe.m minimax cua b`ai to´an (6.5)-(6.6) v´o.i d¯iˆ u.ng minh kiˆe.n cuˆo´i u(T, x) = σ(x) Vˆa.y d¯.inh l´ y d¯u.o c ch´ 6.6 Vı ´ du Sau d¯aˆy ta kha’o s´at t´ınh tro.n cu’a nghiˆe.m minimax cu’a mˆo.t v`ai phu.o.ng - i.nh ly u.c (6.7) nh`o kha’o sa ´ t tˆa.p L0 (t, x) nhu D ´ 2.2.9 Chu.o.ng tr`ınh t` u cˆong th´ II Cho α, β l`a c´ac sˆo´ du.o.ng cho α−1 + β −1 = 1, T > X´et b`ai to´an ∂u ∂u + 1+ ∂t ∂x α α |x|β u(T, x) = , β v´o.i (t, x) ∈ Ω = (0, T ) × R = 0, (6.5’) (6.6’) 117 Nghiˆe.m minimax cu’a b`ai to´an trˆen l`a u(t, x) = max(lx − l∈R |l|α + (T − t)(1 + |l|α ) α ) α (6.7’) Ta c´o kˆe´t qua’ sau d¯aˆy - i.nh l´ D y V´ o.i α > nghiˆ.em minimax (6.7’) l` a kha’ vi liˆen tu.c trˆen tˆ a.p Ω \ ((0, T − 1) × {0}) v` a khˆ ong kha’ vi ta.i mo.i d¯iˆe’m (0, T − 1] × {0} Ch´ u.ng minh V´o.i (t, x) ∈ [0, T ] × R, l ∈ R, ta d¯˘a.t : ϕ(t, x, l) = lx − |l|α + (T − t)(1 + |l|α ) α α Ta thˆa´y r˘a` ng lim ϕ(t, x, l) = −∞, ∀(t, x) ∈ [0, T ] × R Nhu vˆa.y h`am sˆo´ l→±∞ - ˆe’ kha’o s´at t´ınh ϕ(t, x, ) d¯a.t d¯u.o c maximum to`an cu.c ta.i ¯l = ¯l(t, x) ∈ R D kha’ vi cu’a u(t, x) ta x´et tˆa.p L0 (t, x) = {l0 ∈ R : u(t, x) = ϕ(t, x, l0 )} Do ϕ(t, x, ) ∈ C (R) nˆen v´o.i v`a ∂ϕ (t, x, ¯l(t, x)) = ∂l (6.13) ∂ϕ −1 (t, x, l) = x + [(T − t)(1 + |l|α ) α − 1]|l|α−1 sgnl, ∂l (6.14) ∂ 2ϕ T −t (t, x, l) = |l|α−2 − (α − 1), l = ∂l (1 + |l|α )2− α Ta chia c´ac tru.`o.ng ho p sau d¯ˆay Tru.` o.ng ho p t ∈ (T − 1, T ), x ∈ R (6.15) ∂ 2ϕ (t, x, l) < 0, ∀l = V`ı vˆa.y ¯l(t, x) tho’a m˜an (6.13) L´ uc n`ay ta c´o ∂l2 d¯u.o c x´ac d¯.inh mˆo.t c´ach nhˆa´t t´ u.c l`a L0 (t, x) = {¯l(t, x)} Do d¯o´ u ∈ C (T − 1, T ) × R o.ng ho p t ∈ (0, T − 1), x ∈ R Tru.` V´o.i x = 118 α Ta c´o ϕ(t, 0, l) = − |l|α + (T − t)(1 + |l|α ) α , α ∂2ϕ 2α−1 − (t, x, l) = luˆ o n luˆ o n c´ o hai nghiˆ e m l = ±[(T − t) Phu.o.ng tr`ınh 1,2 ∂l2 u.a l`a l0 = v`a phu.o.ng tr`ınh 1] α v`a nˆe´u α > c`on c´o thˆem mˆo.t nghiˆe.m n˜ ∂ϕ (t, 0, l) = c´o ba nghiˆe.m ∂l α ∗ = ±[(T − t) α−1 − 1] α v`a l0∗ = l1,2 R˜o r`ang l2∗ < l2 < < l1 < l1∗ , v`a ϕ(t, 0, l) d¯a.t d¯u.o c maximum ta.i l1∗ , l2∗ v`ı hiˆe’n nhiˆen u(t, 0) = ϕ(t, 0, l1∗ ) = ϕ(t, 0, l2∗ ) nˆen L0 (t, 0) = {l1∗ , l2∗ } Vˆa.y u khˆong kha’ vi trˆen (0, T − 1) × {0} V´o.i x = Ta viˆe´t ϕ(x, t, l) = xl + ϕ(t, 0, l) ∂ϕ `eu nhˆa´t mˆo.t nghiˆe.m mˆo˜i khoa’ng (t, x, l) = c´o nhiˆ Phu.o.ng tr`ınh ∂l ∂ϕ (t, x, l) ta thˆa´y r˘a` ng (−∞, l2 ), [l2 , l1 ], (l1 , +∞) B˘`a ng c´ach x´et dˆa´u cu’a ∂l h`am ϕ(t, x, ) khˆong d¯a.t cu c tri trˆen [l1 , l2 ] Bˆay gi`o tru.`o.ng ho p x > ch˘a’ ng ha.n, ta c´o sup ϕ(t, x, l) ≥ ϕ(t, x, l1∗ ) = ϕ(t, 0, l1∗ ) + l1∗ x = ϕ(t, 0, l2∗ ) + l1∗ x l∈(l1 ,+∞) > ϕ(t, 0, l2∗ ) ≥ sup (ϕ(t, 0, l) + lx) = l∈(−∞,l2 ) sup ϕ(t, x, l) l∈(−∞,l2 ) V`ı vˆa.y L0 (t, x) = {l+ } Suy u ∈ C ((0, T − 1) × (R \ {0})) Tru.` o.ng ho p Lu ´ c na`y ta co ´ T − t = ∂2ϕ ∂ 2ϕ (T − 1, x, l) < 0, l = v`a (T − 1, x, l) → l → ∂l2 ∂l2 ∂ϕ - iˆ `eu d¯´o dˆa˜n d¯ˆe´n phu.o.ng trı`nh (ˆa’n sˆo´ l): D (T − 1, x, l) = c´o mˆo.t ∂l nghiˆe.m nhˆa´t l0 = nˆe´u x = v`a l0 = nˆe´u x = Nhu thˆe´ u(t, x) l`a kha’ vi trˆen (T − 1, x), x = - inh l´ D y trˆen d¯a˜ d¯u.o c ch´ u.ng minh xong 119 Nhˆ a.n x´ et ´ n nˆeu trˆen ta thˆa´y nˆe´u T > thı` u(t, x) khˆong kha’ Du a va`o tı´nh toa vi trˆen tˆa.p (0, T − 1) × {0} nˆen u(t, x) khˆong pha’i l`a nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n cu’a (6.5’)-(6.6’) Nhu vˆa.y, theo t´ınh nhˆa´t cu’a nghiˆe.m minimax, b`ai to´an u.u ca ´ c nghiˆe.m suy (6.5’)-(6.6’) khˆong c´o nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n Vı` vˆa.y viˆe.c nghiˆen c´ rˆo.ng toa`n cu.c cu’a ba`i toa ´ n Cauchy d¯ˆo´i v´o.i phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi la` `an thiˆe´t cˆ 120 Ta `i liˆ e.u tham kha’o [1] Aubin J P and Frankowska H., Set - Valued Analysis, Birkhă auser, 1990 [2] Bardi M and Evans L C., On Hopf’s formulas for solutions of Hamilton-Jacobi equations, Nonlinear Anal Theory, Meth & Appl., N.11 8(1984), 1373-1831 [3] Benton S H., “The Hamilton-Jacobi equation”, Academic Press, New York – San Francisco – London, 1977 [4] Berge C.,“Espaces topologiques Fonctions multivoques”, Dunod, Paris, 1966 [5] Crandall M G and Lions P L., Viscosity solutions of Hamilton – Jacobi equations, Trans Amer Math Soc 277(1983), – 42 [6] Crandall M G., Evans L C and Lions P – L., Some properties of viscosity solutions of Hamilton – Jacobi equations, Trans Amer Math Soc 282(1984), 487 – 502 [7] Evans L C., “Partial Differential Equations” Graduate in mathematics, Vol 19, AMS, 1998 [8] Hopf E., Generalized solutions of nonlinear equations of first order, J of Math and Mech., 14 (1965), 951-973 [9] Nguyen Hoang, Regularity of generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations, Nonlinear Anal 59 (2004), 745-757 [10] Ishii H., Uniqueness of unbounded viscosity solution of Hamilton-Jacobi equations, Indiana Univ Math J 33 (1984), 721-748 [11] Rockafellar T., “Convex Analysis”, Princeton Univ Press, 1970 [12] Subbotin A I., “Minimax inequalities and Hamilton – Jacobi equations” (in Russian), Nauk, Moscow, 1991 [13] Tran Duc Van and Nguyen Hoang, On the representation of Lipschitz global solutions of the Cauchy problem for Hamilton-Jacobi equations Journal of Mathematics N.1 23(1995) [14] Tran Duc Van, Nguyen Hoang and Tsuji M., On Hopf’s formula for Lipschitz solutions of the Cauchy problem for Hamilton-Jacobi equations, Nonlinear Anal 29(1997), No 10, 1145-1159 [15] Tran Duc Van, Nguyen Hoang and Nguyen Duy Thai Son, Explicit Global Lipschitz Solutions to First-Order, Nonlinear Partial Differential Equations, Viet J of Maths , 27:2(1999), 93-114 [16] Tran Duc Van, Mikio Tsuji, Nguyen Duy Thai Son, “The characteristic method and its generalizations for first order nonlinear PDEs”, Chapman & Hall/CRC, 2000 121 MU C LU C ˆU `.I NOI ´ D - `A LO `au Mo’ d ¯ˆ CHU O NG §1 §2 §3 §4 Nghiˆ e.m d ¯i.a phu.o.ng va ` ly ´ thuyˆ e´t d ¯˘ a.c tru.ng Cauchy `e ly Mˆo.t sˆo´ vˆa´n d¯`ˆe vˆ ´ thuyˆe´t cˆo’ d¯iˆe’n Kha ´ i niˆe.m d¯˘a.c tru.ng va` m˘a.t tı´ch phˆan Ly ´ thuyˆe´t d¯˘a.c tru.ng Cauchy ´ du.ng va`o phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi Ap CHU O NG 11 16 20 Nghiˆ e.m Lipschitz cu’a phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi 25 §1 Kiˆe´n th´ u.c chuˆa’n bi §2 Nghiˆe.m Lipschitz cu’a phu o ng trı`nh Hamilton-Jacobi v´o i Hamiltonian `oi khˆong lˆ 35 `oi 53 §3 Nghiˆe.m Lipschitz v´o i Hamiltonian H = H(q) la` ha`m lˆ 57 §4 Liˆen hˆe gi˜ u a nghiˆe.m toa`n cu.c Lpischitz v´o i d¯a˘ c tru ng CHU O NG §1 §2 §3 §4 `e nghiˆe.m viscosity Ca ´ c kha ´ i niˆe.m co ba’n vˆ T´ınh nhˆa´t cu’a nghiˆe.m viscosity `on ta.i nghiˆe.m viscosity Su tˆ `e nghiˆe.m viscosity d¯ˆo´i v´o.i Mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua’ vˆ CHU O NG §0 §1 §2 §3 Nghiˆ e.m viscosity cu’a phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi ba`i toa ´n Cauchy 63 72 87 89 Nghiˆ e.m minimax cu’a phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi Kiˆe´n th´ u.c bˆo’ sung Ky ´ hiˆe.u va` d¯.inh nghı˜a Mˆo.t sˆo´ tı´nh chˆa´t cu’a tˆa.p FU (q), FL (p) Tı´nh tu o ng thı´ch cu’a d¯.inh nghı˜a nghiˆe.m minimax 92 93 96 97 122 `on ta.i va` tı´nh nhˆa´t nghiˆe.m minimax §4 Su tˆ `an nhˆa´t §5 Nghiˆe.m minimax cu’a phu.o.ng trı`nh khˆong thuˆ ˜e n nghiˆe.m minimax `e biˆe’u diˆ §6 Cˆong th´ u.c Hopf vˆ 100 108 111 Ta `i liˆ e.u tham kha’o Mu.c lu.c 120 121 ... l´ kh´ai niˆe.m nghiˆe.m minimax v`a ch´ u.ng minh r˘`a ng, d¯oˆ? ?i v´o .i mˆo.t sˆo´ l´o.p b`ai `on ta .i v`a tr` to´an nghiˆe.m minimax tˆ ung v´o .i nghiˆe.m viscosity ´ n Gia? ?i tı´ch, chuyˆen d¯`ˆe... d˜ay ? ?i > 0, ? ?i → cho ∂e+ ψ(y) = lim ? ?i ↓0 ψ(y + ? ?i e) − ψ(y) ? ?i V´o .i mˆo? ?i i ∈ N cho.n li ∈ L0 (y + ? ?i e), ta s˜e c´o: ψ(y + ? ?i e) − ψ(y) ≤ ϕ(y + ? ?i e, li ) − ϕ(y, li ) u t´ınh nu’.a liˆen... r˘a` ng, Mo .i h` am liˆen tu.c `au kh˘ `en x´ a´p no i miˆ ac d¯.inh V`ı vˆa.y Lipschitz d¯.ia phu o ng thı` kha’ vi hˆ `an g˜ nghiˆe.m to`an cu.c Lipschitz kh´a gˆ ui v´o .i nghiˆe.m to`an