BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc *  * ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2010-2011 (Vòng chung khảo) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và |A| = 2010. Tính |A * |, trong đó A * là ma trận phù hợp của A. Câu 2. Tìm giới hạn sau:         Câu 3. Tìm m để ma trận sau có hạng nhỏ nhất:                       Câu 4. Xét sự khả vi của hàm số sau: !  "  # $ % &  ' ()* () + tại điểm x = 0. Câu 5. Giải hệ phương trình tuyến tính , - . - /  &    0  1  2 3  &    0  1  2 4  &    0  1  2   &    0  1  2   &    0  2  + && BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc *  * ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 (Vòng chung khảo) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. Có tồn tại ma trận  thỏa mãn:  &  5     6  hay không? Tại sao? Câu 2. Tính giới hạn sau:   7     0 89$  : Câu 3. Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong không gian ; < : = &  ! >?>> " @=   ! >?>> " @?@= < !>?>>" Câu 4. Cho !" là hàm khả vi đến cấp 2 trên R. Chứng minh rằng !  " A  biết rằng !  " > B !  " và CC !  " D>EFG. Câu 5. Giải hệ phương trình sau: H  &    0  1   &    0  1   &    0  1   &    0  1  + && HƯỚNG DẪN GIẢI NĂM 2010 – 2011 Câu 1. Do |A| = 2010 * 0 nên A khả nghịch. Ta có:  %&  & IJI  K L K M %& LI K I && MI %& I Mà A.A -1 = E suy ra |A|.|A -1 | = 1 suy ra |A -1 = 1/|A| = 1/2010 Suy ra |A * | = 2010 2010 . Câu 2. Do sin 2 x ~ tanx 2 ~ x 2 khi x → 0 1 – cosx = 2sin 2 (x/2) ~ x 2 /2 khi x → 0 nên                      Câu 3. Biến đổi ma trận A                                                            N     3 4   O    Do P &>>0 &>>0 * suy ra r(A) D 3 Dễ thấy với m = 17/3 thì r(A) = 4. Với m ≠ 17/3 ta thấy Q !  "  R S ' %1T %2  U%1S &V%0S R W X X Y 4  %Z [ \& 0  %% [ \& 0 + Câu 4. Xét   ] !  " %]!" %   ^ _ ` a '   bc ^ _d ' &eb = bc b ^ d ' f ghi  bc & b^ d ' =0 (Với t = 1/x). Vậy f(x) khả vi tại 0. Câu 5. Biến đổi ma trận hệ số mở rộng  j  k l m                               I I I I I  3 4    n o p về dạng tam giác (nên đổi cột 1 cho cột 4, ẩn cũng đổi tương ứng), thay ẩn, ta được nghiệm duy nhất của hệ: (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) = (2, 1, 0, -1, 0). && ĐÁP ÁN &THANG ĐIỂM NĂM 2011 – 2012 ĐÁP ÁN Điểm Câu 1 (5 điểm) Giả sử tồn tại ma trận A thỏa mãn bài toán Khi đó I  & I  I  I & D  2.5 đ Mặt khác I  & I    M  q  . Mâu thuẫn Vậy không có ma trận A thỏa mãn bài toán 2.5 đ Câu 2 (3 điểm)   7         0 89  $  :    7         0 89      $  : 1 đ    7                 7           2 đ Câu 3 (3 điểm) Do I  I  r     s      s  s   s  r   t *  2 đ Suy ra Q !  "   . Vậy hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính 1 đ Câu 4 (5 điểm) Do C C !  " D  > E  F G  L  C !  " là hàm đồng biến trên R L  C !  " D C !  "   > E  D  2 đ Xét hàm u !  "  !  "   . Ta có u C !  "  C !  "   D   > E  D   L  u !  " ĐB / v  >  w " L  u !  " A u !  "    L  !  " A  3 đ Câu 5 (4 điểm)  x  y                           4    z      { 2.5 đ Hệ đã cho tương đương: |    0                                 4  1     &      0    1   + R |  1   0        &        + 1.5 đ . ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2010- 2011 (Vòng chung khảo) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và |A| = 2010. . Độc lập - Tự do - Hạnh phúc *  * ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 (Vòng chung khảo) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1.