Bài 1: Cho hai số nguyên tố p , q phân biệt và số nguyên dương a thỏa mãn 2 1 1 q a a a p       . Chứng minh rằng: 1(mod ) p q  . Bài 2: Cho số nguyên tố p thỏa mãn 2(mod3) p  . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n luôn tồn tại vô số số nguyên m thỏa mãn 3 (mod ) n m p  . Bài 3: Tìm các số nguyên tố p , q thỏa mãn (3 7 )(3 7 ) p p q q pq   . Bài 4: Cho p nguyên tố, a và b nguyên thỏa mãn: ( , ) 1 a b  , (mod ) a b p  . Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n luôn có ( ) ( ) ( ) n n p p p v a b v a b v n     . Bài 5: Tìm số nguyên dương n lớn hơn 1 thỏa mãn: 2 2 1 n n   . Bài 6: Cho số nguyên tố p thỏa mãn 1(mod3) p  . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên x thỏa mãn 1(mod ) x p  và 3 1(mod ) x p  . Bài 7: Cho số nguyên tố p , 1(mod3) p  và hai số a , b nguyên dương thỏa mãn: Nếu , x y nguyên thỏa mãn 3 3 (mod ) ax bx ay by p    thì (mod ) x y p  . Chứng minh rằng: b không chia hết cho p và a chia hết cho p . Bài 8: Cho số nguyên dương n lớn hơn 5. Chứng minh rằng không tồn tại , p q nguyên dương thỏa mãn: p q n   và 1 2 1 3 2.3 n p q     . Bài 9: Cho số nguyên tố p và số nguyên dương n thỏa mãn: p không lớn hơn ước nguyên tố nhỏ nhất của n và 2 1 n p   .Chứng minh rằng 3 p  . Bài 10: Chứng minh rằng không tồn tại ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn: 2 1 a b   , 2 1 b c   , 2 1 c a   . Bài 11: Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương n thoả mãn 2 1 n n   . Bài 12: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên , , x y z thoả mãn 2 3 z x y   , 3(mod4) z  . Bài 13: Cho 3 số nguyên dương , , a b c thoả mãn ( , , ) 1 a b c  . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho với mọi số nguyên dương k ta luôn có k k k a b c   không chia hết cho 2 n . Bài 14: Cho số nguyên tố p thoả mãn 1(mod4) p  a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 1 1,2, , 2 p a         luôn tồn tại duy nhất số nguyên dương 1 1,2, , 2 p b         thoả mãn 2 2 0(mod ) a b p   . b) Chứng minh rằng 1 2 2 2 1 2 1 2 4 p k k k p p p                         c) Chứng minh rằng 1 2 2 1 ( 1)( 5) 24 p k k p p p             .