CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI L I NĨI ð U Ngày phép tính vi tích phân chi m m t v trí h t s c quan tr ng Tốn h c, tích phân đư c ng d ng r ng rãi đ tính di n tích hình ph ng, th tích kh i trịn xoay, cịn ñ i tư ng nghiên c u c a gi i tích, n n t ng cho lý thuy t hàm, lý thuy t phương trình vi phân, phương trình đ o hàm riêng Ngồi phép tính tích phân cịn đư c ng d ng r ng rãi Xác su t, Th ng kê, V t lý, Cơ h c, Thiên văn h c, y h c Phép tính tích phân đư c b t đ u gi i thi u cho em h c sinh l p 12, ti p theo ñư c ph bi n t t c trư ng ð i h c cho kh i sinh viên năm th nh t năm th hai chương trình h c ð i cương Hơn n a kỳ thi T t nghi p THPT kỳ thi Tuy n sinh ð i h c phép tính tích phân h u ln có đ thi mơn Toán c a kh i A, kh i B c kh i D Bên c nh đó, phép tính tích phân m t nh ng n i dung ñ thi n sinh ñ u vào h Th c sĩ nghiên c u sinh V i t m quan tr ng c a phép tính tích phân, th mà tơi vi t m t s kinh nghi m gi ng d y tính tích phân c a kh i 12 v i chuyên ñ “TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ð I BI N S VÀ T NG PH N” ñ ph n c ng c , nâng cao cho em h c sinh kh i 12 ñ em ñ t k t qu cao kỳ thi T t nghi p THPT kỳ thi Tuy n sinh ð i h c giúp cho em có n n t ng nh ng năm h c ð i cương c a ð i h c Trong ph n n i dung chuyên ñ dư i đây, tơi xin đư c nêu m t s t p minh h a b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp đ i bi n s , phương pháp tích phân t ng ph n Các t p ñ ngh ñ thi T t nghi p THPT ñ thi n sinh ð i h c Cao ñ ng c a năm ñ em h c sinh rèn luy n k tính tích phân ph n cu i c a chuyên ñ m t s câu h i tr c nghi m tích phân Tuy nhiên v i kinh nghi m h n ch nên dù có nhi u c g ng trình bày chun đ s khơng tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong đư c s góp ý chân tình c a q Th y Cơ H i đ ng b mơn Tốn S Giáo d c ðào t o t nh ð ng Nai Nhân d p xin c m ơn Ban lãnh ñ o nhà trư ng t o ñi u ki n t t cho c m ơn q th y t Tốn trư ng Nam Hà, ñ ng nghi p, b n bè đóng góp ý ki n cho tơi hồn thành chun đ Tơi xin chân thành cám ơn./ Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI M CL C L i nói ñ u M cl c I Nguyên hàm: I.1 ð nh nghĩa nguyên hàm I.2 ð nh lý I.3 Các tính ch t c a nguyên hàm I.4 B ng công th c nguyên hàm m t s công th c b sung II Tích phân: II.1 ð nh nghĩa tích phân xác ñ nh II.2 Các tính ch t c a tích phân II.3 Tính tích phân b ng phương pháp phân tích Bài t p đ ngh Tính tích phân b ng phương pháp đ i bi n s 10 II.4 II.4.1 Phương pháp ñ i bi n s lo i 10 ð nh lý v phương pháp ñ i bi n s lo i 13 M t s d ng khác dùng phương pháp ñ i bi n s lo i 14 Bài t p ñ ngh s 14 Bài t p ñ ngh s 15 Bài t p ñ ngh s 4: Các ñ thi n sinh ð i h c Cao ñ ng 16 II.4.2 Phương pháp ñ i bi n s lo i 16 Bài t p ñ ngh s 21 Các ñ thi T t nghi p trung h c ph thông 22 Các ñ thi n sinh ð i h c Cao đ ng 22 II.5 Phương pháp tích phân t ng ph n Bài t p ñ ngh s 6: Các ñ thi n sinh ð i h c Cao ñ ng III 23 28 Ki m tra k t qu c a m t gi i tính tích phân b ng máy tính CASIO fx570-MS 29 Bài t p ñ ngh s 7: Các câu h i tr c nghi m tích phân 30 Ph l c 36 Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI I NGUYÊN HÀM: I.1 ð NH NGHĨA NGUYÊN HÀM: Hàm s F(x) ñư c g i nguyên hàm c a hàm s f(x) (a;b) n u v i m i x∈(a;b): F’(x) = f(x) VD1: a) Hàm s F(x) = x3 nguyên hàm c a hàm s f(x) = 3x2 R b) Hàm s F(x) = lnx nguyên hàm c a hàm s f(x) = (0;+∞) x I.2 ð NH LÝ: N u F(x) m t nguyên hàm c a hàm s f(x) (a;b) thì: a) V i m i h ng s C, F(x) + C m t nguyên hàm c a f(x) kho ng b) Ngư c l i, m i nguyên hàm c a hàm s f(x) kho ng (a;b) đ u có th vi t dư i d ng F(x) + C v i C m t h ng s Theo ñ nh lý trên, đ tìm t t c ngun hàm c a hàm s f(x) ch c n tìm m t ngun hàm c a r i c ng vào m t h ng s C T p h p nguyên hàm c a hàm s f(x) g i h nguyên hàm c a hàm s f(x) ñư c ký hi u: ∫ f(x)dx (hay cịn g i tích phân b t ñ nh) V y: ∫ f(x)dx = F(x)+C VD2: a) ∫ 2xdx = x + C b) ∫ sinxdx = - cosx + C c) ∫ cos x dx = tgx +C I.3 CÁC TÍNH CH T C A NGUYÊN HÀM: 1) ' ( ∫ f(x)dx ) = f(x) 2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx (a ≠ ) 3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx   4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C VD3: a) ∫ (5x - 6x + 8x )dx = x - 2x + 4x +C b) ∫ 6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos x +C Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI I.4 B NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM: B NG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ B N NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ C P THƯ NG G P x α +1 +C α +1 dx = ln x + C x 4/ ∫ e x dx = e x + C 3/ ∫ 5/ ∫ a x dx = H P 1/ ∫ du = u + C 1/ ∫ dx = x + C 2/ ∫ x α dx = NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S 2/ ∫ uα du = ( α ≠ -1) 3/ ∫ (x ≠ 0) uα +1 +C α +1 ( α ≠ -1) du = ln u + C (u = u(x) ≠ 0) u 4/ ∫ eu du = eu + C ax +C lna ( < a ≠ 1) 5/ ∫ au du = au +C lna ( < a ≠ 1) 6/ ∫ cosx dx = sinx + C 6/ ∫ cosu du = sinu + C 7/ ∫ sinx dx = -cosx + C 7/ ∫ sinu du = - cosu + C dx π = ∫ (1+ tg x ) dx = tgx + C (x ≠ + k π ) cos x dx 9/ ∫ = ∫ (1+ cotg x ) dx = -cotgx + C (x ≠ k π ) sin x 8/ ∫ du π = ∫ (1+ tg2u ) du = tgu + C (u ≠ + kπ ) cos u du = ∫ (1+ cotg2u ) du = -cotgu + C (u ≠ kπ ) 9/ ∫ sin u 8/ ∫ CÁC CÔNG TH C B CÔNG TH C NGUYÊN HÀM THƯ NG G P: 1/ ∫ dx = x + C x 2/ ∫ ( ax + b ) dx = α α +1 + C (a ≠ 0) 1 dx = ln ax + b + C (a ≠ 0) ax + b a ax +b 4/ ∫ e ax+b dx = e + C (a ≠ 0) a a kx 5/ ∫ a kx dx = + C ( ≠ k ∈ R, < a ≠ 1) k.lna 6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a 3/ ∫ / ∫ tgx dx = - ln cosx + C (x ≠ CÁC CÔNG TH C LŨY TH A: 1/ a m a n = a m+n (x ≠ 0) ( ax + b ) a α +1 SUNG π + kπ ) 9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ k π ) 2/ am = a m-n ; n = a -n n a a 3/ m m a =a ; m n a =a n m CÁC CÔNG TH C LƯ NG GIÁC: a CÔNG TH C H B C: 1/ sin2 x = (1- cos2x ) 2/ cos2 x = (1+cos2x ) b CÔNG TH C BI N ð I TÍCH THÀNH T NG cos ( a - b ) + cos ( a + b )   2 2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b )   2 3/ sina.cosb =  sin ( a - b ) + sin ( a + b )   2 1/ cosa.cosb = Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI II TÍCH PHÂN: II.1 ð NH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ð NH: Gi s hàm s f(x) liên t c m t kho ng K, a b hai ph n t b t kỳ c a K, F(x) m t nguyên hàm c a hàm s f(x) K Hi u F(b) – F(a) đư c g i tích phân t a ñ n b c a f(x) Ký hi u: b b ∫ f(x)dx = F(x) = F(b)- F(a) a a II.2 CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN: a 1/ ∫ f (x )dx = a a 2/ b ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx b b 3/ a b ∫ k.f (x )dx = k.∫ f (x )dx a b 4/ a b b ∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx a b 5/ (k ≠ 0) a c a b ∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a a v i c∈(a;b) c b / N u f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] ∫ f (x )dx ≥ a b b a a / N u f (x ) ≥ g(x ), ∀x ∈ [a;b ] ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx b / N u m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a t / t bi n thiên [a;b ] ⇒ G (t ) = ∫ f (x )dx m t nguyên hàm c a f (t ) G (a ) = a II.3 TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: b Chú ý 1: ð tính tích phân I = ∫ f (x )dx ta phân tích f (x ) = k1f1(x ) + + km fm (x ) a Trong đó: ki ≠ (i = 1,2, 3, , m ) hàm fi (x ) (i = 1,2, 3, , m ) có b ng nguyên hàm b n VD4: Tính tích phân sau: Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 1) I = ∫(3x - 4x +3)dx =(x - 2x +3x) GV: NGUY N DUY KHÔI 2 -1 -1 = (2 - 2.2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12 Nh n xét: Câu ta ch c n áp d ng tính ch t s d ng công th c 1/ 2/ b ng nguyên hàm 3x -6x + 4x - 2x + 2) I = ∫ dx x2 Nh n xét: Câu ta chưa áp d ng đư c cơng th c b ng nguyên hàm, trư c h t tách phân s d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng tính ch t s d ng cơng th c 1/, 2/, 3/ b ng nguyên hàm 2 3x -6x + 4x - 2x + 4 ⇒ I= ∫ dx = ∫(3x -6x + - + )dx x2 x x 1 = (x -3x + 4x - 2ln |x |- ) = - 2ln2 x x -5x +3 3) I = ∫ dx x +1 Nh n xét: Câu ta chưa áp d ng ñư c công th c b ng nguyên hàm, trư c h t phân tích phân s d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng tính ch t s d ng công th c 1/, 2/ b ng nguyên hàm công th c 3/ b sung 2 x -5x +3   ⇒ I= ∫ dx = ∫  x − +  dx x +1 x +1  0   x2 2 =  -6x +9ln | x +1 | = -12 +9ln3 = 9ln3 -10 2 0 4) I = ∫ e x (2xe-x +5 x e-x -e-x ) dx Nh n xét: Câu 4: bi u th c d u tích phân có d ng tích ta chưa áp d ng đư c công th c b ng nguyên hàm, trư c h t nhân phân ph i rút g n r i áp d ng tính ch t s d ng công th c 1/, 2/, 5/ b ng nguyên hàm  5x 1 ⇒ I = ∫ e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx =  x + -x  = ln5  ln5  0 1 x -x x -x -x x π π 5) I = ∫(4cosx +2sinx - )dx =(4sinx - 2cosx - 2tgx) = 2 - - 2+2 = cos x 0 Nh n xét: Câu ta ch c n áp d ng tính ch t s d ng công th c 6/, 7/ 8/ b ng nguyên hàm Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π GV: NGUY N DUY KHƠI π 6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x) = - -3 + = -1- Nh n xét: Câu ta ch c n áp d ng tính ch t s d ng công th c 6/ , 7/ b ng nguyên hàm ph n công th c b sung π 12 7) I = ∫ sin (2x - π )dx Nh n xét: Câu h c sinh có th sai s d ng nh m cơng th c 2/ b ng b ng nguyên hàm c t bên ph i, b i ñã xem u = sin 2(2x - π ) (hơi gi ng ñ o hàm hàm s h p) V i câu trư c h t ph i h b c r i s d ng công th c 6/ b ng nguyên hàm ph n công th c b sung π π π 12  π  12 ⇒ I = ∫ sin (2x - )dx = ∫  - cos(4x - ) dx = ∫ (1 - sin4x )dx 0  0 12 π π  π 1 1 π =  x + cos4x  12 =  + cos 2  12   1  π 1  - 0 + cos0  = 24 - 16    π 16 8/ I = ∫ cos6x.cos2xdx Nh n xét: câu 8: bi u th c d u tích phân có d ng tích ta chưa áp d ng đư c cơng th c b ng nguyên hàm, trư c h t ph i bi n ñ i lư ng giác bi n đ i tích thành t ng r i áp d ng tính ch t s d ng công th c 6/ b ng nguyên hàm ph n công th c b sung π π 16 16 ⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx = =  1 (cos8x + cos4x )dx =  sin8x + sin4x  ∫ 8  π 16  1 1 π π  11 2 sin + sin  −  sin + sin  =  + 1+ =   8 4  8  16  8  ( ) 9) I = ∫x -1dx -2 Nh n xét: Câu bi u th c d u tích phân có ch a giá tr t ñ i, ta hư ng h c sinh kh d u giá tr t ñ i b ng cách xét d u bi u th c x2 – [-2;2] k t h p v i tính ch t 5/ c a tích phân đ kh giá tr t đ i Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” ⇒ I= ∫x -1 -1dx = -2 ∫ (x GV: NGUY N DUY KHÔI -1 )dx − ∫ ( x -1 ) dx + ∫ ( x -1 ) dx -2 -1 x  -1  x  x 2 =  -x  − -x  + -x  = 3  -2   -1  1 3 3 3x +9 dx x - 4x -5 Nh n xét: Câu 10 ta khơng th c hi n phép chia đa th c ñư c câu 3, m t khác bi u th c dư i m u phân tích ñư c thành (x -5)(x +1) nên ta tách bi u th c 3x+9 A B = + = d u tích phân sau: (phương pháp h s x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1 b t ñ nh) 3 3x +9   ⇒ I= ∫ dx = ∫  dx = ( 4ln |x -5 |-ln |x +1 |) x - 4x -5 x -5 x +1  2 = 4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln 27 10) I = ∫ Chú ý 2: ð tính I = ∫ a'x + b' dx ax + bx + c (b2 - 4ac ≥ 0) ta làm sau: TH1: N u b2 - 4ac = , ta ln có s phân tích ax +bx + c = a(x + ⇒ I= ∫ b ) 2a b ba' ba' )+ b' b' dx dx 2a 2a dx = a' ∫ b + a2a ∫ b b a x+ a(x + )2 (x + )2 2a 2a 2a a'(x + TH2: N u b2 - 4ac > ⇒ ax + bx + c = a(x - x1 )(x - x ) Ta xác ñ nh A,B cho A+ B = a' a'x + b' = A(x - x1 )+ B(x - x ) , ñ ng nh t hai v ⇒  Ax1 + Bx = -b' A(x - x1 )+ B(x - x ) A B I= ∫ dx = ∫( + )dx a (x - x1 )(x - x ) a x - x x - x1 Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI Chú ý 3: TH1: ð tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x - a1 )(x -a2 ) (x -an ) A1 A2 An P(x) = + + + (x -a1 )(x -a2 ) (x -an ) (x -a1 ) (x -a2 ) (x -an ) TH2: ð tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x -a1 ) (x -a2 )k (x -an )r m A1 A2 Am P(x) = + + + + (x - a m ) (x -a1 )m(x -a2 )k (x -an )r (x - a ) m (x - a ) m -1 P(x) dx v i P(x) Q(x) hai ña th c: TH3: ð tính I = ∫ Q(x) * N u b c c a P(x) l n ho c b ng b c c a Q(x) l y P(x) chia cho Q(x) * N u b c c a P(x) nh b c c a Q(x) tìm cách đưa v d ng Nh n xét: Ví d g m nh ng t p tính tích phân đơn gi n mà h c sinh có th áp d ng b ng cơng th c ngun hàm đ gi i ñư c toán ho c v i nh ng phép bi n ñ i ñơn gi n nhân phân ph i, chia ña th c, ñ ng nh t hai đa th c, bi n đ i tích thành t ng Qua ví d nh m giúp em thu c công th c n m v ng phép tính tích phân b n BÀI T P ð NGH 1: Tính tích phân sau: 1) I = ∫(x x + 2x + 1)dx 2x x + x x - 3x + 2) Ι = ∫ dx x2 x -3x -5x +3 3) I = ∫ dx x -2 -1 4) I = ∫ (x + x - ) dx -2 π π 5) I = 12 ∫ (sinx + cos2x - sin3x )dx 6) I = ∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx π 16 7) I = ∫ cos 2xdx 8) I = ∫x + 2x -3 dx -2 dx 9) I = ∫ x -5x +6 10) I = ∫ dx x +1+ x x + 2x +6 11) I = ∫ dx (x - 1)(x - 2)(x - 4) x +1 12) I = ∫ dx (x -1)3 (x +3) xdx 13) I = ∫ x -6x +5 x dx 14) I = ∫ (1+ x )2 Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI II.4 TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S : II.4.1 Phương pháp ñ i bi n s lo i 1: b Ta có ý (SGK trang 123): Tích phân ∫ f(x)dx ch ph thu c vào hàm s f(x), a c n a b mà không ph thu c vào cách ký hi u bi n s tích phân T c là: b b b a a a ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = Trong m t s trư ng h p tính tích phân mà khơng tính tr c ti p b ng công th c hay qua bư c phân tích ta v n khơng gi i ñư c Ta xét trư ng h p b n sau: VD5: Tính tích phân sau: 1) I = 2 dx -x2 ∫ Phân tích: Bi u th c d u tích phân có ch a b c hai, ta khơng kh b ng phép bi n đ i bình phương hai v đư c, ta th tìm cách bi n ñ i ñưa b c hai v 2 d ng A , ta s liên tư ng đ n cơng th c: 1-sin x = cos x = cosx , đó: π π ð t x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ;   2   ð i c n: x= 2 π ⇒ 2sint = ⇒t = 2 x =0 ⇒ π 2sint = ⇒ t = π π π 2cost.dt 2cost.dt π π =∫ = ∫ dt = t = ( t ∈ 0;  ⇒ cost > )  6 2   -2sin t 2(1-sin t) 0 6 ⇒ I= ∫ Trong VD ta thay ñ i sau: I = ∫ ñư c k t qu I = π K t qu b sai hàm s Do ñó ñ f (x) = dx H c sinh làm tương t -x2 không xác ñ nh x= 2-x2 d ng Giáo viên c n ý: hàm s f (x) xác ñ nh [a;b] 2) I = ∫ - x dx Trang 10 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI  dx u = ln(x +1) du =   x+1 ð t:  ⇒  dv =(2x +1)dx  v = x + x = x(x + 1)  1 x2 1 ⇒ I = (x + x)ln(x +1) - ∫ xdx = 2ln2 = 2ln2 - = - +ln4 2 2 2x I = ∫ ( 4x - 2x -1 )e dx (ðH GTVT 2004) du = (8x - 2)dx  u = 4x - 2x -1  ⇒  ð t:  2x  v = e2x dv = e dx    ⇒ I = (4x - 2x - 1) e 2x 2 A =(4x - 2x -1) e 2x 2 1 - ∫(4x - 1) e 2xdx = A - Β 0 1 = e2 + 2 du = 4dx u = 4x - ⇒  ð t:  2x dv = e dx v = e2x   Β = ∫(4x - 1)e dx 2x ⇒ ( 4x -1 ) e 2x 1 − ∫ 2e 2x dx = e + -e 2x 2 0 1 = e2 + 2 ⇒ I = A - Β = -1 Nh n xét: Ví d d ng c a tích phân t ng ph n ∫ P ( x ) enxdx hư ng h c sinh ñ t u = P(x) P(x) tam th c b c hai nên ta tính tích phân t ng ph n hai l n Tù rút nh n xét chung cho h c sinh: N u P(x) ña th c b c k tính tích phân t ng ph n k l n π x I = ∫ 4e cos xdx Nh n xét: D ng c a tích phân t ng ph n tích phân có d ng ∫ e sin(nx)dx x bi u th c d u tích phân c a ví d ch a cos x h b c ta s đưa tích phân v ñúng d ng π π π π 4 4 π I = ∫ 4e cos xdx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e dx+ ∫ 2excos2x x = I1 + I2 d x x x x 0 Ta có: Trang 25 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π π x I1 = ∫ 2e dx = 2e x GV: NGUY N DUY KHÔI π = 2e -2 π I2 = ∫ 2excos2x x d du = -2.sin2xdx u = cos2x ⇒  ð t:  x  v = 2e x dv = 2e dx  π ⇒ I2 = 2e cos2x x + ∫ 4e xsin2xdx = -2 + Β Β = ∫ 4e x sin2xdx du = 2.cos2xdx u = sin2x ⇒  ð t:  dv = 4e xdx v = 4ex   π ⇒ B = 4e sin2x x π − ∫ 8e cos2xdx = 4e − 4I x π ⇒ I2 = -2 + B = -2 + 4e − 4I π π  1 ⇔ I2 = -2 + 4e ⇔ I2 =  -2 + 4e   5   π π  14 π 12 1 I = I1 + I2 = 2e -2+  -2 + 4e  = e −  5   Nh n xét: ví d h c sinh ph i tính tích phân t ng ph n hai l n, tính l n hai bi u th c xu t hi n tích phân I c n tính ban đ u nên ta cịn g i d ng tích ph n t ng ph n l p Trong d ng t p làm h c sinh c n lưu ý v d u s d ng công th c tích phân t ng ph n π π 4 x dx T suy ra: B = ∫ x.tg xdx (ðH NN Kh i B 2000) A = ∫ cos x 0 u = x du = dx  ð t dx ⇒  v = tgx dv = cos x  π π π ⇒ A = x.tgx - ∫ tgxdx = π + ∫ d(cosx) cosx Trang 26 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π = π + ln cosx = GV: NGUY N DUY KHÔI π - ln2 π π π 4 π π π2 dx - ∫ xdx = - ln2 ⇒ B = ∫ x.tg xdx = ∫ x.( -1)dx = ∫ x cos x 32 cos 2x 0 0 I = ∫ ln ( x - x )dx (ðHCð Kh i D 2004)  (2x - 1)dx = (2x - 1)dx x ( x - 1) du = u = ln(x - x) x2 - x ⇒ ð t:     dv = dx  v = x -  (nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 ñ kh m u s ) 3 2x - ⇒ I = (x -1).ln(x - x) - ∫ dx = 2ln6 -2ln2 +1 = 2ln3 + x 2 Nh n xét: Trong d ng t p tích phân t ng ph n có ch a ln(u(x)) thư ng xu t hi n phân s nên rèn luy n cho h c sinh khéo léo k t h p thêm tính ch t c a nguyên hàm ∫ f(x)dx = F(x)+C v i C m t h ng s thích h p ta có th đơn gi n đư c phân s đ cho bư c tính tích phân ti p theo đơn gi n M t ví d tương t : I = ∫ 2xln(x - 2)dx 3 π    2  ∫ I = sin x dx (ðH KTrúc HN 2001); ví d h c sinh ph i nh n xét ñư c r ng bư c ñ u ph i ñ i bi n s Nh n xét: ð t u = x ⇒ u = x ⇒ 3u = dx ð i c n: x u π    2 π π π 2 ⇒ I = ∫ 3u sinudu ⇒ I = ∫ 3x 2sinx dx ta bi n ñ i ñ h c sinh d nh n d ng tích 0 phân t ng ph n d ng Nh n xét: ð n tích phân ti p theo có d ng c a tích phân t ng ph n Do đa th c b c hai nên đ tính I, h c sinh ph i tính tích phân t ng ph n l n: u = 3x du = 6xdx ⇒ ð t v = sinx dv = cosx.dx Trang 27 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π π ⇒ I = 3x 2sinx − ∫ 6xsinx dx = 0 GV: NGUY N DUY KHÔI 3π − I1 π I1 = ∫ 6xsinx dx u = 6x du = 6dx ⇒ ð t dv = sinxdx v = -cosx π π ⇒ I1 = −6x.cosx + ∫ 6cosx dx = 6x.sinx 0 ⇒I=− π 2 = 3π 3π 3π + I1 = − 3π 4 2 Nh n xét: Qua ví d trên, đ tính tích phân đơi h c sinh ph i áp d ng c hai phương pháp ñ i bi n s lo i tích phân t ng ph n Ví d tương t : (ph i h p hai phương pháp) π2 π2 a) I = ∫ sin e4 x dx b) I = ∫ x.ln(1+ x )dx 0 π ∫ c) I = cos lnx dx x π d) I = ∫ e cosx sin2x.dx ln tgx dx e) I = ∫ π cos x f) I = ∫ e x dx BÀI T P ð NGH 6: Tính tích phân sau: a) I = π π ln2 -x ∫ xe dx b) I = ∫(12x - 2)cos2xdx 0 c) I = ∫(2x -4)sin2xdx π d) I = ∫(2x -1)ln(x +1)dx e) I = ∫(2x -1)ln(x -1)dx 2 f) I = xdx ∫ π sin x π g) I = ∫ 2xln (x +1)dx h) I = ∫(12x - 4+e )sinxdx π x i) I = ∫ 2xln2(x -1)dx 2 j) I = ∫(x + sin x)cosxdx (TNTHPT – 2005) Tính tích phân sau: (Các đ thi n sinh ð i h c) π a) I = ∫ e3x sin4xdx (ðH A.Ninh 1997) b) I = ∫ ( x -1)e2xdx (ðH DLNN-T.H c 1997) Trang 28 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI π    4 π c) I = ∫ x 2sinxdx (ðH A.Ninh 1998) ∫ d) I = cos xdx (ðH DLNN-T.H c 1998) 0 π e) I = lnx ∫ x dx (ðH Hu 1998) f) I = ∫ x (2cos x -1 )dx (ðH TCKT 1998) ln ( x +1 ) g) I = ∫ dx (ðH Cđồn 2000) h) I = x2 10 ∫ xlg xdx (ðH Y Dư c 2001) π    2  ∫ i) I = e sin x dx (ðH KTrúc HN 2001); j) I = ∫ x 2ln xdx (ðH KT HDương 2002) e x +1 lnxdx (ðHCð D b 2-2003); l) I = ∫ x e2x + x +1 dx (ðHCð D.b 2003) x -1 ( k) I = ∫ ) m) I = ∫ x 3e x dx (ðHCð D b 2-2003); n) I = ∫ ( x + 2x )e -xdx (ðH GTVT 2003) III Ki m tra k t qu c a m t gi i tính tích phân b ng máy tính CASIO fx570-MS Trong m t s trư ng h p m t s tích phân ph c t p ñã gi i ñư c k t qu chưa đánh giá đư c đ xác c a k t qu hay sai, ta có th s d ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS ñ ki m tra k t qu Ví d v i đ thi π sin2x +sinx dx ta s d ng máy tính sau: 1+3cosx Kh i A năm 2005 I = ∫ + V i k t q a gi i tay 34 ta chuy n sang s th p phân ≈ 1,259259… 27 + ð i v i tích phân lư ng giác trư c h t chuy n sang ch đ Rad + Quy trình b m máy CASIO fx-570MS sau: ( ∫ dx ( sin ( ÷ ALPHA X ) ) , X , ALPHA ( SHIFT π ) X + + cos ÷ ) sin ALPHA = Và k t q a máy tính 1,2593 So v i k t qu g n ñúng ñ ng nghĩa v i ñáp s gi i b ng tay ñã ñúng Trang 29 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI BÀI T P ð NGH 7: CÂU H I TR C NGHI M TÍCH PHÂN Câu 1: ∫ 2x +1 dx có giá tr b ng: A B C -2 D C -1 D e Câu 2: ∫ x -1 dx có giá tr b ng: A B Câu 3: Ch n m nh ñ ñúng: A π 3π ≤ dx ≤ ∫ π - 2sin x π B ≤ 3π C ≤ 3π dx ≤ ∫ π - 2sin x π dx ≤ ∫ π - 2sin x π D ≤ 4 3π dx ≤ ∫ π - 2sin x π e Câu 4: lnx dx có giá tr b ng: x ∫ A B C -1 D e C 201 D C e D - e C D Câu 5: ∫ (x + ) dx có giá tr b ng: A 211 B 211 201 π Câu 6: ∫ e sinxcosx dx có giá tr b ng: A e - B π Câu 7: ∫ + 3cosx sinx dx có giá tr b ng: A Câu 8: ∫x B dx có giá tr b ng: + x +1 A π B π C π D π 3 Trang 30 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” (2x -1 )dx Câu 9: ∫ có giá tr b ng: x - x -1 A ln GV: NGUY N DUY KHÔI B ln C ln D ln ( 4x + )dx có giá tr b ng: ∫ Câu 10: x + x +1 A 3ln2 Câu 11: B 2ln3 dx ∫ x + 2x + -1 A ln (2 + ) Câu 11: dx ∫ -3x +6x +1 π A Câu 12: ∫ D ln6 C ln ( + ) D ln ( - ) có giá tr b ng: B ln ( +5 ) có giá tr b ng: B C ln4 π C π 12 D π 15 ( 4x +6 )dx có giá tr b ng: x - 2x +3 A 4ln (2 + ) B 6ln (2 + ) C 8ln (2 + ) D 10ln (2 + ) 2 ∫ Câu 13: x x +1 dx có giá tr b ng: 26 A Câu 14: ∫x A Câu 15: ∫ dx x -3 π dx x +1 A ln 2 Câu 16: dx ∫ cosx +1 B 28 C 32 D 34 có giá tr b ng: B π C π 12 D π 36 có giá tr b ng: B ln2 C ln ( +1 ) D ln ( + ) C D có giá tr b ng: A B Trang 31 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π dx Câu 17: ∫ có giá tr b ng: sinx +1 A B π Câu 18: dx ∫ sinx - 2cosx - GV: NGUY N DUY KHÔI C D C -ln2 D 1+ln2 có giá tr b ng: B ln2 A -ln2 π sinx -cosx  Câu 19: ∫    dx có giá tr b ng: sinx +cosx   A 1+ π Câu 20: π B -1+ cosx ∫ 11 -7sinx -cos x dx π C - π D -1 - π có giá tr b ng: A - ln B - ln5 C ln D ln π Câu 21: x +cosx ∫ - sin x dx π có giá tr b ng: A ln3 B ln3 C ln3 D ln3 C D C -ln3 D -ln3 π  Câu 22: ∫ ln    dx có giá tr b ng:  1+cosx  A 1+ sinx π B 3π π Câu 23: sin4x ∫ sin x +cos x dx 4 có giá tr b ng: A -ln2 B -ln2 - Câu 24: Cho hàm s f(x) liên t c R th a f(-x) + f(x) = cos7x π ∫ f(x) dx π - có giá tr b ng: A 16 35 B 32 35 C 24 35 D 12 35 Trang 32 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI - Câu 25: Cho hàm s f(x) liên t c R th a f(-x) + f(x) = cos4x.sin5x π ∫ f(x) dx π - có giá tr b ng: A - B - C D C D C 14 D Câu 26: ∫ x - x dx có giá tr b ng: A B Câu 27: ∫x - 2x - x + dx có giá tr b ng: -1 A B 37 12 41 12 Câu 28: ∫x - 3x + dx có giá tr b ng: -3 A 59 B π Câu 29: ∫ - 4cos x - 4sinx dx A -2 - - π 59 C - 59 D - 59 π π 2  có giá tr b ng:  ∫ - 4cos x - 4sinx dx = ∫ 2sinx - dx 0  B - - π C + - π      D + + π π Câu 30: ∫ 2cosx - dx có giá tr b ng: A - + ∫( 2 Câu 31: x A + Câu 32: B - - π C - + π D - - π ) - dx có giá tr b ng: -1 π dx ln2 ∫ 1+ 1- x B + ln2 C 4+ ln2 D + ln2 có giá tr b ng: -1 A ln2 B 2ln2 C 3ln2 D 4ln2 Trang 33 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI Câu 33: ∫ ( x - x - )dx có giá tr b ng: -1 A B C D C D 11 Câu 34: ∫ ( 1- x - 1+ x )dx có giá tr b ng: A B Câu 35: ∫ xlnxdx có giá tr b ng: A e +1 B e +1 C e +1 D e +1 π Câu 36: ∫ xcosxdx có giá tr b ng: A π +2 B π -2 C π +1 D π -1 Câu 37: ∫ xe xdx có giá tr b ng: A B C D  2 π C  e +1  5   1 π D  e +1  5  π Câu 38: ∫ e x sin2x dx có giá tr b ng:  2 π A -  e +1  5   1 π B -  e +1  5  π Câu 39: ∫ e 2xcosx dx có giá tr b ng: A π (e + ) B π (e - ) C (2 eπ +1 ) D (2 eπ - ) C 3e -5 D -3e 2 Câu 40: ∫ e 2x (x - ) dx có giá tr b ng: A -3e B 3e -5 ex Câu 41: ∫ cos (lnx )dx có giá tr b ng: Trang 34 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI 1 1 A ( eπ +1 ) B − ( eπ +1 ) C ( eπ - ) D (-eπ +1 ) 2 2 e Câu 42: ∫ sin (lnx ) dx có giá tr b ng: A e Câu 43: ∫ e x (sin1- cos1 )e+1 B (sin1- cos1 )e -1 π e B eπ 1+ x (1+ x ) A e Câu 45: ∫ e x A (cos1- sin1 )e+1 D (cos1-sin1)e+1 1+ sinx dx có giá tr b ng: 1+cosx A e Câu 44: ∫ e x C (1+ x ) e-2 D e2 π C e D dx có giá tr b ng: B x 3π C e dx có giá tr b ng: B e+ 2 C e -1 D e+1 Trang 35 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI Nh n xét: Trong ph n n i dung chun đ trên, tơi ch nêu m t s t p minh h a b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp đ i bi n s , phương pháp tích phân t ng ph n Các t p ñ ngh ñ thi T t nghi p THPT ñ thi n sinh ð i h c Cao ñ ng c a năm trư c ñ em h c sinh rèn luy n k tính tích phân, bên c nh hư ng d n h c sinh ki m tra k t qu gi i c a có k t qu hay sai b ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS ph n cu i c a chuyên ñ m t s câu h i tr c nghi m tích phân ð ph n c ng c , nâng cao cho em h c sinh kh i 12 ñ em ñ t k t qu cao kỳ thi T t nghi p THPT kỳ thi Tuy n sinh ð i h c giúp cho em có n n t ng nh ng năm h c ð i cương c a ð i h c Tuy nhiên v i kinh nghi m h n ch nên dù có nhi u c g ng trình bày chun đ s khơng tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong đư c s góp ý chân tình c a q Th y Cơ H i đ ng b mơn Tốn S Giáo d c ðào t o t nh ð ng Nai M t l n n a xin c m ơn Ban lãnh ñ o nhà trư ng t o u ki n t t cho tơi c m ơn quý th y cô t Tốn trư ng Nam Hà, đ ng nghi p, b n bè đóng góp ý ki n cho tơi hồn thành chun đ Tơi xin chân thành cám ơn./ Trang 36 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI TÀI LI U THAM KH O Sách giáo khoa gi i tích 12 Sách giáo viên gi i tích 12 Tuy n t p chuyên ñ k thu t tính tích phân - Tr n Phương ð o hàm tích phân - Võ ð i Mau & Võ ð i Hồi ð c Chun đ tích phân đ i s t h p xác su t - Ph m An Hòa & Nguy n Vũ Thanh Các d ng toán b n gi i tích 12 - Nguy n Ng c Khoa Tr c nghi m khách quan gi i tích tích phân - ðồn Vương Ngun Trang 37 CHUN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI NH N XÉT Trang 38 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI Trang 39 ... c b sung II Tích phân: II.1 ð nh nghĩa tích phân xác đ nh II.2 Các tính ch t c a tích phân II.3 Tính tích phân b ng phương pháp phân tích Bài t p đ ngh Tính tích phân b ng phương pháp đ i bi... ngh ch) Trong m t s trư ng h p tính tích phân b ng phương pháp phân tích hay tính tích phân b ng tích phân đ i bi n s lo i khơng ñư c ta th y bi u th c d u tích phân có ch a: Lũy th a ta th đ... :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI Nh n xét: Trong ph n n i dung chun đ trên, tơi ch nêu m t s t p minh h a b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp