Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1 ĐỀ THI ĐẠI HỌC: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Đề 01: A- 2012 (1) Cho đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d + − = = và ( ) 0;0;3 I . Viết phương trình mặt cầu tâm (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông cân tại I. Bài giải: Vectơ chỉ phương của d là ( ) 1;2;1 a =  . Gọi H là trung điểm AB, suy ra IH AB ⊥ . Ta có ( ) ( ) 1;2 ; 2 1;2 ; 1 H t t t d IH t t t − + ∈ ⇒ = − −  1 2 2 2 . 0 1 4 1 0 ; ; . 3 3 3 3 IH AB IH a t t t t IH   ⊥ ⇔ = ⇔ − + + − = ⇔ = ⇒ = − −        Tam giác IAH vuông cân tại H, suy ra bán kính mặt cầu (S) bằng 2 6 2 . 3 S IA IH= = = Do đó, phương trình mặt cầu (S): ( ) 2 2 2 8 3 3 x y z + + − = . Đề 02: A- 2012 (2) Cho đường thẳng 1 2 : 2 1 1 x y z d + − = = , mặt phẳng (P): 2 5 0 x y z + − + = và điểm ( ) 1; 1;2 A − . Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn MN. Bài giải: Ta có: 1 2 : 2 x t d y t z t = − +   =   = +  . Gọi ( ) 1 2 ; ;2 M t t t d − + + ∈ Do A là trung điểm của MN, suy ra ( ) 3 2 ; 2 ;2 N t t t − − − − . Mặt khác: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 5 0 2 3;2;4 N P t t t t M ∈ ⇔ − − − − − + = ⇔ = ⇒ . Đường thẳng ∆ đi qua A và M có phương trình: 1 1 2 2 3 2 x y z − + − = = . Đề 03: B- 2012 (1) Cho đường thẳng 1 : 2 1 2 x y z d − = = − và hai điểm ( ) ( ) 2;1;0 , 2;3;2 A B − . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc d . Bài giải: Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của (S). Do ( ) 1 2 ; ; 2 I d I t t t ∈ ⇒ + − . Do ( ) , A B S ∈ suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 2 3 3 2 2 1 IA IB t t t t t t t = ⇔ − + − + = + + − + + ⇔ = − Do đó ( ) 1; 1;2 I − − , suy ra bán kính của (S): 17 R IA= = . Vậy phương trình (S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 17. x y z+ + + + − = Đề 04: B- 2012 (2) Cho ( ) ( ) 0;0;3 , 1;2;0 A M . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM. Bài giải: Do , B Ox C Oy ∈ ∈ nên tọa độ B, C có dạng ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 B b C c . TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra ; ;1 3 3 b c G       . Ta có ( ) 1;2; 3 AM = −  nên đường thẳng AM có phương trình: 3 1 2 3 x y z − = = − . Do 2 2 4 3 6 3 b b c G AM c =  − ∈ ⇔ = = ⇔  = −  . Do đó phương trình mặt phẳng (P): 1 6 3 4 12 0. 2 4 3 x y z x y z + + = ⇔ + + − = Đề 05: D- 2012 (1) Cho mặt phẳng (P): 2 2 10 0 x y z + − + = và điểm ( ) 2;1;3 I . Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4. Bài giải: Gọi H là hình chiếu của I trên (P), suy ra H là tâm đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình. Ta có: ( ) ( ) , 3 d IH I P = = , bán kính mặt cầu (S): 2 2 3 4 5 R = + = . Phương trình mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 25. x y z− + − + − = Đề 06: D- 2012 (2) Cho đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z d − + = = − và hai điểm ( ) ( ) 1; 1;2 , 2; 1;0 A B − − . Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M. Bài giải: Do M d ∈ nên tọa độ M có dạng ( ) 1 2 ; 1 ; . M t t t + − − Ta có ( ) ( ) 2 ; ; 2 , 1 2 ; ; . AM t t t BM t t t = − − = − + −   Theo giả thiết, tam giác AMB vuông tại M ( ) ( ) 2 . 0 2 1 2 2 0 AM BM t t t t t ⇔ = ⇔ − + + + − =   2 0 6 4 0 2 3 t t t t =   ⇔ − = ⇔  =  . Do đó có 2 điểm M thỏa yêu cầu bài toán là ( ) 7 5 2 1; 1;0 , ; ; 3 3 3 M M   − −     . Đề 07: A- 2011 (1) Cho hai điểm ( ) ( ) 2;0;1 , 0; 2;3 −A B và mặt phẳng ( ) : 2 4 0. − − + = P x y z Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho 3 = = MA MB . Bài giải: Gọi ( ) ; ; M x y z , ta có ( ) ∈ M P và ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 0 2 1 9 2 3 9  − − + =   = ⇔ − + + − =   + + + − =   x y z MA MB x y z x y z ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 0 2 2 2 0 3 7 11 4 0 2 1 9  − − + = = −    ⇔ + − + = ⇔ =     − + = − + + − =    x y z x y x y z z y y y x y z TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3 ( ) ( ) ; ; 0;1;3 ⇔ =x y z hoặc ( ) 6 4 12 ; ; ; ; 7 7 7   = −     x y z . Vậy ta có ( ) 0;1;3 M hoặc 6 4 12 ; ; 7 7 7   −     M . Đề 08: A- 2011 (2) Cho mặt cầu ( ) 2 2 2 : 4 4 4 0 + + − − − = S x y z x y z và điểm ( ) 4;4;0 A . Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. Bài giải: (S) có tâm ( ) 2;2;2 , I bán kính 2 3. =R Nhận xét: O và A cùng thuộc (S). Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp 4 2 3 3 = = OA r . Khoảng cách: ( ) ( ) 2 2 2 d , 3 = − =I P R r (P) đi qua O có phương trình dạng: ( ) 2 2 2 0 0 (*) + + = + + >ax by cz a b c (P) đi qua A, suy ra: 4 4 0 . + = ⇒ = − a b b a ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d , 2 3 . 3 2 2 + + = = ⇒ = ⇒ + = ⇒ = ± + + + + a b c c c I P a c c c a a b c a c a c Theo (*) suy ra (P): 0 − + = x y z hoặc 0 − − = x y z . Đề 09: B- 2011 (1) Cho đường thẳng 2 1 : 1 2 1 − + ∆ = = − − x y z và mặt phẳng ( ) : 3 0. + + − = P x y z Gọi I là giao điểm của ∆ và ( ) P . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và 4 14 = MI . Bài giải: Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: ( ) 2 1 1;1;1 1 2 1 3 0 − +  = =  ⇒ − −   + + − =  x y z I x y z Gọi ( ) ; ; M a b c , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 0 : 2 2 0 4 14 1 1 1 224  + + − =  ⊥ ∆    ∈ ⇔ − − + =   =    − + − + − =   a b c MI M P a b c MI a b c ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 4 1 2 2 3 3 224  = −   ⇔ = − +   − + − + − + =   b a c a a a a ( ) ( ) ; ; 5;9; 11 ⇔ = − a b c hoặc ( ) ( ) ; ; 3; 7;13 = − − a b c . Vậy ta có ( ) 5;9; 11 − M hoặc ( ) 3; 7;13 − − M . Đề 10: B- 2011 (2) Cho đường thẳng 2 1 5 : 1 3 2 + − + ∆ = = − x y z và hai điểm ( ) 2;1;1 , − A ( ) 3; 1;2 − − B . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho ∆ MAB có diện tích bằng 3 5. TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 4 Bài giải: Gọi ∈ ∆ M , suy ra tọa độ M có dạng ( ) 2 ;1 3 ; 5 2 . − + + − − M t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ;3 ; 6 2 ; 1; 2;1 , 12; 6; 0 3 5 12 6 180 12 0 12 ∆ ⇒ = − − = − −   ⇒ = − − +   =  = ⇔ + + + + = ⇔ + = ⇔  = −      MAB AM t t t AB AM AB t t t t S t t t t t t Vậy ( ) 2;1; 5 − − M và ( ) 14; 35;19 − −M . Đề 11: D- 2011 (1) Cho điểm ( ) 1;2;3 A và đường thẳng 1 3 : 2 1 2 + − = = − x y z d . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. Bài giải: Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d, có phương trình: 2 2 2 0. + − + = x y z Gọi B là giao điểm của trục Ox với (P), suy ra ∆ là đường thẳng đi qua các điểm A, B. Ta có: ( ) ;0;0 ∈ ⇒B Ox B b thỏa mãn phương trình ( ) 2 2 0 1;0;0 . + = ⇒ −b B Phương trình 1 2 : 2 2 3 3 = +   ∆ = +   = +  x t y t z t Đề 12: D- 2011 (2) Cho đường thẳng 1 3 : 2 4 1 − − ∆ = = x y z và mặt phẳng ( ) : 2 2 0. − + = P x y z Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆ , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mp(P). Bài giải: Gọi I là tâm của mặt cầu. Do ( ) 1 2 ;3 4 ; ∈∆ ⇒ + + I I t t t . Mặt cầu tiếp xúc với (P) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 4 2 2 d , 1 1 3 1 + − + + =  ⇔ = ⇔ = ⇔  = −  t t t t I P t Suy ra ( ) 5;11;2 I hoặc ( ) 1; 1; 1 − − − I . Phương trình mặt cầu: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 11 2 1 − + − + − = x y z hoặc ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 + + + + + = x y z Đề 13:A- 2010 (1) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 2 : 2 1 1 − + ∆ = = − x y z và mặt phẳng (P): 2 0 − + = x y z . Gọi C là giao điểm của ∆ và (P), M là một điểm thuộc ∆ . Tính khoảng cách từ M đến mp(P), biết 6 = MC . Bài giải: Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 2;1; 1 = −  v và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( ) 1; 2;1 = −  n . Gọi H là hình chiếu của M trên (P), ta có: ( ) cos cos , . =   HMC v n Ta có: ( ) ( )  ( ) 2 2 1 1 d , .cos . cos , 6. 6 6 6 − − = = = = =   M P MH MC HMC MC v n ∆ ∆∆ ∆ M H C P TaiLieuLuyenThi.Net Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN Luyn thi i hc 2014 Giỏo viờn: Lấ B BO CLB Giỏo viờn tr TP Hu 5 14: A- 2010 (2) Cho im (0;0; 2) A v 2 2 3 : 2 3 2 + + = = x y z . Tớnh khong cỏch t A n . Vit phng trỡnh mt cu tõm A, ct ti hai im B, C sao cho 8 = BC . Bi gii: ng thng i qua im ( ) 2;2; 3 M , nhn ( ) 2;3;2 = v lm vect ch phng. Ta cú: ( ) ( ) 2; 2;1 , 7;2; 10 = = MA v MA Suy ra: ( ) , 49 4 100 d , 3 4 9 4 + + = = = + + v MA A v Gi (S) l mt cu tõm A, ct ti B v C sao cho 8 = BC . Suy ra bỏn kớnh ca (S) l: 5 = R . 15: B- 2010 (1) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các đi ểm (1;0;0), (0; ;0), (0;0; ), A B b C c trong đó , 0 và mặt phẳng ( ) : 1 0. Xác địn h và , biết mặt phẳng (ABC) vuông 1 góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng . 3 > + =b c P y z b c Bi gii: Mt phng (ABC) cú phng trỡnh: 1 1 + + = x y z b c . Mt phng (ABC) vuụng gúc vi mt phng (P): 1 0 + = y z , suy ra: 1 1 0 = b c (1) Ta cú: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 d O, ABC 8 3 3 1 1 1 = = + = + + b c b c (2) T (1) v (2), do , 0 > b c suy ra 1 2 = = b c . 16: B- 2010 (2) 1 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đờng thẳng : . Xác định 2 1 2 = = x y z tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến bằng OM. Bi gii: ng thng i qua im ( ) 0;1;0 A v cú vect ch phng ( ) 2;1;2 = v . Do M thuc trc honh, nờn M cú ta ( ) ;0;0 t , suy ra: ( ) ; 1;0 = AM t . ( ) ( ) 2 2 , 2;2 ; 2 1 5 4 8 d , 2 0 3 2 = = + + = = = = v AM t t t t t M OM t t t t Suy ra ( ) 1;0;0 M hoc ( ) 2;0;0 M . 17: D- 2010 (1) Cho hai mp(P): 3 0 và (Q): 1 0. + + = + = x y z x y z Viết phơng trình mp(R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R ) bằng 2. Bi gii: Ta cú vect phỏp tuyn ca (P) v (Q) ln lt l: ( ) 1;1;1 = P n v ( ) 1; 1;1 = Q n , suy ra: TaiLieuLuyenThi.Net Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN Luyn thi i hc 2014 Giỏo viờn: Lấ B BO CLB Giỏo viờn tr TP Hu 6 ( ) , 2;0; 2 = P Q n n l vect phỏp tuyn ca (R). Mt phng (R) cú phng trỡnh dng 0 + = x z D . Ta cú ( ) ( ) d , 2 = D O R suy ra: 2 2 2 2 = = D D hoc 2 2 = D . Vy phng trỡnh mt phng (R): 2 2 0 + = x z hoc 2 2 0 = x z . 18: D- 2010 (2) 1 3 Cho đờng thẳng : = + = = x t y t z t 2 1 và : 2 1 2 = = x y z 1 2 Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho kh oảng cách từ M đến bằng 1. Ta cú: + 1 M , nờn ( ) 3 ; ; + M t t t . + 2 i qua ( ) 2;1;0 A v cú vect ch phng ( ) 2;1;2 = v . Do ú: ( ) ( ) 1; 1; ; , 2 ;2; 3 . = + = AM t t t v AM t t Ta cú: ( ) 2 2 , 2 10 17 d , 3 + = = v AM t t M v suy ra 2 2 10 17 1 3 + = t t 2 1 5 4 0 4 = + = = t t t t Suy ra ( ) 4;1;1 M hoc ( ) 7;4;4 M . 19: A- 2009 (1) Cho mt phng ( ) : 2 2 4 0 = P x y z v mt cu ( ) 2 2 2 S : 2 4 6 11 0 x y z x y z + + = . Chng minh rng: mt phng (P) ct mt cu (S) theo mt ng trũn. Xỏc nh ta tõm v tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ú. Bi gii: (S) cú tõm ( ) 1;2;3 I , bỏn kớnh 5 = R . Khong cỏch t I n (P): ( ) ( ) 2 4 3 4 d , 3 3 = = < I P R ; suy ra .p.c.m Gi H v r ln lt l tõm v bỏn kớnh ca ng trũn giao tuyn, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn (P): ( ) ( ) 2 2 d , 3, 4 = = = = IH I P r R IH . Ta ( ) ; ; H x y z tha món: 1 2 2 2 3 2 2 4 0 = + = = = x t y t z t x y z Gii h ta c ( ) 3;0;2 H . 20: A-2009 (2) Cho mt phng ( ) P : 2 2 1 0 x y z + = v 2 ng thng TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 7 ∆ 1 : 1 9 1 1 6 + + = = x y z và ∆ 2 : 1 3 1 2 1 2 − − + = = − x y z . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. Bài giải: 2 ∆ qua ( ) 1;3; 1 − A và có vectơ chỉ phương ( ) 2;1; 2 = −  u . ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ; ; 9 6 2 ;3 ;8 6 , , 8 14;20 14 ; 4 , 3 29 88 68 ∈∆ ⇒ − + − +   = − − − = − − −     ⇒ = − +        M M t t t MA t t t MA u t t t MA u t t Khoảng cách từ M đến 2 ∆ : ( ) 2 2 , d , 29 88 68     ∆ = = − +    MA u M t t u Khoảng cách từ M đến (P): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 12 18 1 11 20 d , 3 1 2 2 − + − + − − − = = + − + t t t t M P ( ) 2 2 1 11 20 29 88 68 35 88 53 0 53 3 35 53 18 53 3 1 0;1; 3 ; ; ; 35 35 35 35 =  −  ⇒ − + = ⇔ − + = ⇔  =    = ⇒ − = ⇒     t t t t t t t t M t M Đề 21: B-2009 (1) Cho tứ diện ABCD có các đỉnh ( ) 1;2;1 , A ( ) ( ) 2;1;3 , 2; 1;1 B C− − và ( ) 0;3;1 D . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). Bài giải: Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau: Trường hợp 1: (P) đi qua A, B và song song với CD. Vec tơ pháp tuyến của (P): ,   =      n AB CD . ( ) ( ) ( ) 3; 1;2 , 8; 4; 14 8; 4; 14 = − − = − − − ⇒ = − − −    AB CD n . Phương trình (P): 4 2 7 15 0 + + − = x y z Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD. Ta có: ( ) ( ) 1;1;1 0; 1;0 ⇒ = −  I AI ; vectơ pháp tuyến của (P): ( ) , 2;0;3   = =      n AB AI Phương trình (P): 2 3 5 0 + − = x z . Vậy (P): 4 2 7 15 0 + + − = x y z hoặc (P): 2 3 5 0 + − = x z . Đề 22: B-2009 (2) Cho mặt phẳng ( ) P : 2 2 5 0 x y z − + − = và hai điểm ( ) ( ) 3;0;1 , 1; 1;3 A B− − . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. Bài giải: Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm; ∆ nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). Phương trình (Q): 2 2 1 0 − + + = x y z . TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 8 K, H là hình chiếu của B lên ∆ , (Q). Ta có ≥ BK BH nên AH là đường thẳng cần tìm. Tọa độ ( ) ; ; H x y z thỏa mãn: 1 1 3 1 11 7 ; ; 1 2 2 9 9 9 2 2 1 0 − + −  = =    ⇒ − −       − + + =  x y z H x y z 26 11 2 ; ; 9 9 9   = −      AH . Vậy phương trình 3 1 : 26 11 2 + − ∆ = = − x y z . Đề 23: D-2009 (1) Cho các điểm ( ) ( ) ( ) 2;1;0 , 1;2;2 , 1;1;0 A B C và mp ( ) P : 20 0 x y z + + − = . Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). Bài giải: ( ) 1;1;2 = −  AB , phương trình 2 : 1 2 = −   = +   =  x t AB y t z t . D thuộc đường thẳng AB ( ) ( ) 2 ;1 ;2 1 ; ;2 . ⇒ − + ⇒ = −  D t t t CD t t t Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): ( ) 1;1;1 =  n . Ta có: C không thuộc mặt phẳng (P). ( ) 1 //( ) . 0 1. 1 1. 1.2 0 2 ⇔ = ⇔ − + + = ⇔ = −   CD P n CD t t t t . Vậy 5 1 ; ; 1 2 2   −     D . Đề 24: D-2009 (2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : 2 2 1 1 1 + − = = − x y z và mặt phẳng ( ) P : x 2y 3z 4 0 + − + = . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆ . Bài giải: Tọa độ giao điểm I của ∆ với (P) thỏa mãn hệ: ( ) 2 2 3;1;1 1 1 1 2 3 4 0 + −  = =  ⇒ − −   + − + =  x y z I x y z . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): ( ) 1;2; 3 = −  n , vectơ chỉ phương của ( ) : 1;1; 1 ∆ = −  u . Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương [ ] ( ) , 1; 2; 1 = = − −    v n u . Phương trình 3 : 1 2 1 = − +   = −   = −  x t d y t z t . Đề 25: A-2008 Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, cho điểm ( ) 2;5;3 A và 1 2 : 2 1 2 − − = = x y z d a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. b) Viết phương trình mp( α ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( α ) lớn nhất . Bài giải: a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( ) 2;1;2 =  u . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d, suy ra ( ) ( ) 1 2 ; ;2 2 ; 2 1; 5;2 1 . + + = − − −  H t t t AH t t t B TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 9 Vì ⊥ AH d suy ra ( ) ( ) . 0 2 2 1 5 2 2 1 0 1. = ⇔ − + − + − = ⇔ =   AH u t t t t Suy ra ( ) 3;1;4 H . b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ) α . Ta có: ( ) ( ) d A, α = ≤ AK AH . Do đó ( ) ( ) d A, α lớn nhất AK AH ⇔ = , hay ≡ K H . Suy ra ( ) α qua H và nhận ( ) 1; 4;1 = −  AH làm vectơ pháp tuyến. Phương trình của ( ) α là: ( ) ( ) ( ) 1 3 4 1 1 4 0 4 3 0. − − − + − = ⇔ − + − = x y z x y z Đề 26: B-2008 Cho ba điểm ( ) ( ) ( ) 0;1;2 , 2; 2;1 , 2;0;1 A B C− − . a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. b) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2 2 3 0 x y z + + − = sao cho MA MB MC = = . Bài giải: a) Ta có: ( ) ( ) ( ) 2; 3; 1 , 2; 1; 1 , 2;4; 8   = − − = − − − ⇒ = = −        AB AC n AB AC . Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C nhận  n làm vetơ pháp tuyến nên có phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 0 4 1 8 2 0 2 4 6 0 − + − − − = ⇔ + − + = x y z x y z . b) Ta có . 0 =   AB AC nên điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trung điểm ( ) 0; 1;1 −I của BC. Tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ phương trình: 2 2 3 0 1 1 1 2 4 + + − =    + − = =  − x y z x y z Suy ra ( ) 2;3; 7 − M Đề 27: D-2008 Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3). a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài giải: a) Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 * 0 (**) + + + + + + = + + − >x y z ax by cz d a b c d Thay tọa độ của các điểm A, B, C, D vào (*) ta được hệ phương trình: 6 6 18 6 6 18 6 6 18 6 6 6 27 + + = −   + + = −   + + = −   + + + = −  a b d a c d b c d a b c d Giải hệ phương trình trên và đối chiếu điều kiện (**) ta được phương trình mặt cầu: 2 2 2 3 3 3 0 + + − − − = x y z x y z . b) Mặt cầu đi qua A, C, C, D có tâm 3 3 3 ; ; 2 2 2       I . Gọi phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là: ( ) 2 2 2 0 0 + + + = + + > mx ny pz q m n p . Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình ta được: TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 3 3 0 3 3 0 6 6 6 0 3 3 0 + + =   + + = ⇒ = = = − ≠   + + =  m n q m p q m n p q n p q Do đó phương trình mặt phẳng (ABC) là: 6 0 + + − = x y z . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là hình chiếu vuông góc H của điểm I trên mặt phẳng (ABC). Phương trình đường thẳng IH: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 − − − = = x y z . Tọa đọ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 6 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 + + − =     − − −  = =   x y z x y z Giải hệ trên ta được ( ) 2;2;2 H . Đề 28: Dự bị A 1-2008 Cho hai đường thẳng 1 3 3 3 : 2 2 1 − − − = = x y z d ; 2 5 6 6 13 0 : 6 6 7 0 − − + =   − + − =  x y z d x y z a) Chứng minh rằng 1 d và 2 d cắt nhau . b) Gọi I là giao điểm của 1 d và 2 d . Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc 1 d , 2 d sao cho tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng 41 42 . Bài giải: a) Tọa độ giao điểm của 1 d và 2 d ( nếu có )là nghiệm của hệ phương trình: 3 3 3 1 2 2 1 5 6 6 13 0 1 6 6 7 0 2 − − −  = =  =    − − + = ⇔ =     − + − = =    x y z x x y z y x y z z Vậy 1 d cắt 2 d tại giao điểm ( ) 1;1;2 I . b) 1 d đi qua điểm ( ) 1 3;3;3 M có vectơ chỉ phương 1 (2;2;1) u =  ; 2 d là giao tuyến hai mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến lần lượt là 1 (5; 6; 6) n = − −  ; 2 (1; 6;6) n = −  nên có vectơ chỉ phương là [ ] ( ) 1 2 ; 72; 36; 24 n n = − − −   . Chọn vectơ chỉ phương là 2 (6;3;2) u =  Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng 1 d và 2 d . Ta có: 1 2 2 1 2 . 20 41 cos sin 1 cos . 21 21 u u u u ϕ ϕ ϕ = = ⇒ = − =     Giả sử 0. IA IB a = = > Diện tích của tam giác IAB là 2 1 41 41 . . .sin . 1 2 42 42 S IA IB a a ϕ = = = ⇒ = Vậy A nằm trên mặt cầu (S) tâm I bán kính bằng 1: (S) : 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 2) 1 − + − + − = x y z TaiLieuLuyenThi.Net [...]... qua N1 nằm trong (P), vuông góc d' có vectơ chỉ phương a ∆1 =  n P , a d '  = ( −6;9; −3) = −3 ( 2; −3;1)   x −5 y+2 z+5 Vậy phương trình ∆1: = = 2 1 −3 * Với t = −1 ⇒ N2 ( −3; −4;5) Đường thẳng ∆2 qua N2 nằm trong (P), vuông góc d' có vectơ chỉ phương a ∆2 =  n P , a d '  = −3 ( 2; −3;1)   Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 18 CLB Giáo viên trẻ TP Huế TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG... TP Huế TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Biết A ( a;0;0 ) , B ( −a;0;0 ) , C ( 0;1;0 ) , B ' ( − a;0; b ) ( a > 0, b > 0 ) a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’ theo a, b b) Cho a, b thay đổi , nhưng luôn thoả mãn a + b = 4 Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’ lớn nhất Bài giải: z B1 a) Từ giả thi t suy ra: C1 (... TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ( ) Luyện thi Đại học 2014 u = (1 − m )( 2m + 1) ; − ( 2m + 1) ; − m (1 − m ) 2 Suy ra: u.n = 3 ( 2m + 1) u ⊥ n u.n = 0 ⇔ d m song song với (P) ⇔  d m ⊄ ( P ) ∃A ∈ d m , A ∉ ( P ) 1 Ta có điều kiện u n = 0 ⇔ m = − 2  y −1 = 0 1 Mặt khác khi m = − thì d m có phương trình:  mọi điểm A ( 0;1; a ) của đường thẳng 2 x = 0 này đều không nằm trong. .. 2 2 2 2 2 5  3  1 1  Phương trình mặt cầu cần tìm ( S ) :  x −  +  y −  +  z +  = 4  2  2 4  13 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014  x = −1 + 2t x y −1 z + 2  Đề 33: A-2007 Cho hai đường thẳng d1 : = = và d2 :  y = 1 + t 2 1 −1 z = 3  a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau b) Viết phương... phương trình: Phương trình đường thẳng d: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 14 CLB Giáo viên trẻ TP Huế TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN  x −1 y + 2 z +1  2 = −1 = 2  2 2 2  ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9 Giải hệ ta tìm được hai giao điểm A ( −1; −1; −3) , B ( 3; −3;1) Luyện thi Đại học 2014 Ta có: d ( A, ( P ) ) = 7 ≥ d ( B, ( P ) ) = 1 Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất... 2 yH = yA + yA ' ⇒ A ' ( 3;1;0 ) 2 z = z + z A A'  H Ta có A ' B = (−6;6; −18) (cùng phương với (1; −1;3) ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 15 CLB Giáo viên trẻ TP Huế TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 x − 3 y −1 z Phương trình đường thẳng A'B : = = 1 −1 3 2 x − y + z + 1 = 0  Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:  x − 3 y − 1 z ⇒ M ( 2;2; −3)... + 3t ) = 0 ⇔ t = 1 Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I ( −1;3; −2 ) b) Gọi H là trung điểm của đoạn AB Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 16 CLB Giáo viên trẻ TP Huế TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 2 AB 2 2 2 2 Do đó MA + MB nhỏ nhất ⇔ MH nhỏ nhất Ta để thấy H (1;1;1) , M ∈ ( P ) Tam giác MAB có trung tuyến MH nên: MA2 + MB 2 = 2 MH 2 + Suy ra MH nhỏ... 9 (2) 3 3 2 3  bc = 9  bc = −9 Từ (1) và (2) ta có  hay  6 b − 3c = 9 6 b − 3c = −9 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 17 CLB Giáo viên trẻ TP Huế TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 3  b = − ⇔ b = c = 3 hay  2  c = −6  Luyện thi Đại học 2014 x y z x 2y z + + = 1 hoặc − − = 1 2 3 3 2 3 6 x − 3 y + 2 z +1 Đề 40: Dự bị 1- D-2007 Cho đường thẳng d : = = và mp ( P ) : x + y + z +...TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014  x = 3 + 2t  y = 3 + 2t  Ta có A = d1 ∩ ( S ) nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình  z = 3 + t 2 2 2  ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 2) = 1  x = 3... (1;1;0 ) , M  ;0;0  , N  ;1;0  ⇒ A ' C = (1;1; −1) , MN = ( 0;1;0 ) 2  2  ⇒  A ' C, MN  = (1;0;1)   19 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1 6 TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Mặt phẳng (P) đi qua điểm A ' ( 0;0;1) , có vec tơ pháp tuyến là n = (1;0;1) , có phương trình là: 1 ( x − 0 ) + 0 ( y − 0 ) + 1 ( z − 1) = 0 ⇔ x + z − 1 = . HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1 ĐỀ THI ĐẠI HỌC: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG. ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 B b C c . TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo