Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung 7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 7.2 – Chéo hóa ma trận. 7.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao. 7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính. 7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. 7.6 – Dạng toàn phương 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận v Av u Au Ví dụ. 3 2 1 0 A         1 1 u         2 1 v        Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác không, sao cho . Ax x    Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A tương ứng với trị riêng .  Tính và . Hãy cho biết nhận xét. Au Av 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Giải 1 6 6 24 5 2 5 20                    Au Ví dụ 1 6 5 2 A        6 5 u         3 2 v         Véctơ nào là véctơ riêng của A? Ta có 4. Au u   là véctơ riêng u  1 6 3 9 5 2 2 11                    Av Không tồn tại số để  Av v   không là véctơ riêng v  6 4 4. 5 u            7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Giải. Xét hệ phương trình 1 Ax x   Ví dụ. 3 4 6 5 A        1 2 1; 3      Số nào là trị riêng của A? 1 1 2 2 3 4 1 6 5 x x x x                      1 2 1 2 4 4 0 6 6 0 x x x x         Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không, ví dụ 1 1 x         khi đó 1 .   Ax x Vậy là trị riêng. 1  Kiểm tra tương tự thấy không là trị riêng. 2  7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Hệ thuần nhất có nghiệm khác không Vậy là trị riêng khi và chỉ khi là nghiệm của phương trình đặc trưng.   Giả sử là trị riêng của ma trận A 0  0 0 0 0 0: x Ax x      0 0 0 0 Ax x     0 0 ( ) 0 A I x     0 det( ) 0 A I     Đa thức gọi là đa thức đặc trưng của A. ( ) det( ) A P A I     được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A. det( ) 0 A I    7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Bước 1. Lập phương trình đặc trưng det( ) 0.    A I (Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theo )  Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n. Bước 2. Giải phương trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng là trị riêng của A và ngược lại. Bước 3. Tìm VTR của A tương ứng TR (chẳng hạn) 1  1 ( ) 0.    A I X bằng cách giải hệ phương trình Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứng với trị riêng 1 .  7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng tương ứng với trị riêng đó. Định nghĩa Không gian nghiệm của hệ được gọi là Định nghĩa không gian con riêng ứng với TR , ký hiệu 1 ( ) 0 A I X    1  1 E  Bội đại số của trị riêng là bội của trị riêng trong phương trình đặc trưng.  Định nghĩa  7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Bội hình học của trị riêng luôn nhỏ hơn hoặc bằng bội đại số của nó. Định lý Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính. Định lý Bội hình học của trị riêng lớn hơn hoặc bằng 1 ( 0). Chú ý  7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Ví dụ. 3 1 1 2 4 2 1 1 3            A det( ) 0 A I    Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của các kgian con riêng ứng. Lập phương trình đặc trưng của A: 3 1 1 2 4 2 0 1 1 3         2 1 ( 2) ( 6) 0       BĐS = 2 BHH chưa biết? 1 2   Trị riêng BĐS = 1 BHH = 1 2 6   Trị riêng [...]... nữa! 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận - Ví dụ Cho 0 là trị riêng của ma trận vuông A m 1) Chứng tỏ 0 là trị riêng của ma trận Am 1 2) Giả sử A khả nghịch, chứng tỏ là trị riêng của A-1 0 1) 0 là trị riêng của A  x 0  0 : A x 0  0x 0 m A m x 0  A A A x 0  A A A 0x 0   0 x 0 m Chứng tỏ 0 là trị riêng của Am 7.2 Chéo hóa... riêng E   E 2 1       2  1  2    1  1 x   1  1  dim(E  )  2  3          1 Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con riêng ứng với trị riêng 2  6 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận - Ví dụ  1 1  1  1 1  1  Tìm trị riêng; cơ sở, chiều  của các kgian con riêng ứng. ..   Vậy AP*1  1P*1 Hay 1 là trị riêng của A P*1 là véctơ riêng của A tương ứng với trị riêng 1 7.2 Chéo hóa ma trận Hoàn toàn tương tự ta thấy: Tất cả các cột của ma trận P là các véctơ riêng của A Các phần tử nằm trên đường chéo của D là các trị riêng của A Vì P là ma trận khả nghịch nên tất cả các cột (các véctơ riêng của A) độc lập tuyến tính Định... trận chéo D sao cho A = PDP-1=PDPT 7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao Định lý Cho A là ma trận đối xứng thực Khi đó các mệnh đề sau đúng: 1 Trị riêng của A là những số thực 2 Ma trận A chéo hóa trực giao (tương đương bội hình học của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng) 3 Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì vuông... trưng Giải tìm trị riêng Xác định bội đại số của từng trị riêng Bước 2 Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị riêng Tìm cơ sở của các không gian con riêng Xác định bội hình học của trị riêng Bước 3 Nếu bội hình học của một TR nào đó nhỏ hơn BĐS của TR này thì A không chéo hóa được Giả sử hệ quả 2 thỏa, suy ra A chéo hóa được Ma trận P có các cột là các cơ sở của những kgian con riêng Các phần... một trị riêng bằng 1  0 Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng 1, ta có thừa số chung là (n   ) suy ra 2  n là trị riêng thứ 2 Tương ứng với TR 1  0 xét hệ thuần nhất (A  1I )X  0 Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH của TR này bằng n – 1, suy ra BĐS của 1 lớn hơn hoặc bằng n -1 Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa! 7.1 Trị riêng, véctơ. .. được Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được bởi ma trận trực giao P 7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao - Các bước chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực Bước 1 Lập phương trình đặc trưng Giải tìm trị riêng Bước 2 Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị riêng Tìm cơ sở TRỰC CHUẨN của các kgian con riêng Bước 3 Ma... - Ví dụ Tìm ma trận vuông thực cấp 3 có ba trị riêng là 2, -3 , 1 2 1 1 x 1   1  ; x 2   2  ; x 3  1 có 3 véctơ riêng tương ứng là       1 1 1       A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận D như sau:  2 1 1 P   1 2 1    1 1 1   2 0 0 D   0 3 0    0 0 1   Suy ra ma trận vuông cần tìm là A  PDP 1 7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma... cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại n véctơ riêng độc lập tuyến tính Hệ quả 1 Nếu ma trận vuông A cấp n có đúng n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được 7.2 Chéo hóa ma trận - Hệ quả 2 (thường sử dụng trong bài tập) Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình học của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng Giả sử phương...7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận - Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng với 1  2 ( A  1I ) X  0 1 1  x 1  3  2  2 42 2  x 2   0     1 1 3  2  x 3     Giải hệ bằng cách biến . nghĩa  7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Bội hình học của trị riêng luôn nhỏ hơn hoặc bằng bội đại số của nó. Định lý Các véctơ riêng ứng với các trị riêng. trị riêng. 1  Kiểm tra tương tự thấy không là trị riêng. 2  7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Hệ thuần nhất có nghiệm khác không Vậy là trị riêng