Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 2: Định thức • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) NỘI DUNG I – Định nghĩa định thức và ví dụ. II – Tính chất của định thức III – Khai triển Laplace I. Định nghĩa và ví dụ Cho là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số ký hiệu bởi det   n n ij a A   AaA n n ij   )( Ký hiệu là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A; ij M ij ( 1) i j ij A M    Bù đại số của phần tử a ij là đại lượng Định nghĩa bù đại số của phần tử a ij I. Định nghĩa và ví dụ b) k =2: 11 12 11 22 12 21 11 11 12 12 21 22 a a A A a a a a a A a A a a             a) k =1:   1111 aAaA    c) k =3: 11 12 13 21 22 23 11 11 12 12 13 13 31 32 33 a a a A a a a A a A a A a A a a a                d) k =n: 11 12 1 11 11 12 12 1 1 * n n n a a a A A a A a A a A               Định nghĩa định thức bằng qui nạp I. Định nghĩa và ví dụ 11 12 13 1 2 ( 3) A A A A        23 3 2 )1()3( 43 0 2 )1(2 42 0 3 )1(1 312111  A 11 151612     A 1 1 1 1 11 1 2 3 3 0 2 3 0 ( 1) 12 2 4 3 ( ) 2 4 1A        Tính det (A), với             423 032 321 A Ví dụ Giải 1 2 1 1 2 2 * * j j j j j j nj nj nj a a A a A a A a A a       II. Tính chất của định thức 1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng hoặc cột tùy ý nào đó II. Tính chất của định thức Tính định thức det (A), với             004 225 313 A Ví dụ Khai triển theo hàng thứ 3 32 22 31 )1(4 004 225 313 )1(4 004 225 313 1313         A Giải. II. Tính chất của định thức Tính định thức det (A), với 2 3 3 2 3 0 1 4 2 0 3 2 4 0 1 5 A                 Ví dụ II. Tính chất của định thức Khai triển theo cột thứ hai 12 22 32 42 12 2 3 3 2 3 0 1 4 ( 3) 0 0 0 3 2 0 3 2 4 0 1 5 A A A A A A                3 1 4 3 2 3 2 171 4 1 5 A       Giải II. Tính chất của định thức Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo. 120145)3(2 10000 94000 82500 17630 4 0 3 1 2    A Ví dụ [...]...II Tính chất của định thức - Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức h  h i i 1.Nếu A  B thì  hi hi   h j  2.Nếu A  B thì hi  h j 3 Nếu A  B | B |  | A | | B || A | thì | B |  | A | II Tính chất của định thức - Ví dụ Sử dụng các phép biến... 4  15 II Tính chất của định thức - Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp Bước 1 Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý; Bước 2 Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột) ở bước 1 Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác Bước 3 Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn II Tính chất của định thức ... khi det(A)  0 Chứng minh Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I Suy ra det(AA-1) = det (I) A 1 det(A).det(A-1) = 1 Giả sử det(A)  0 Khi đó  A11 A 1  PA , với PA   21 A   A  n1 A12  A22   An 2  det(A)  0 A1n  A2 n     Ann   T II Tính chất của định thức - *      a... a j1    *   II Tính chất của định thức - Công thức tính ma trận nghịch đảo A-1 Cho A là ma trận khả nghịch Khi đó 1 A  PA , với A 1  A11 A PA   21   A  n1 A12 A22  An 2  A1n   A2 n      Ann   T II Tính chất của định thức - 1 1 1  Ví dụ Tìm ma trận nghịch... 2 x  1    1 1 1  nx 0 Ví dụ 8 Tính định thức 1 1 1 0 1 1  1  1 1 0  1      I1 1 1 1  0 Ví dụ 9 Tính định thức 1 2 1 0 3 3  n  n Dn  1 2 0  0      1 2 3  0 Ví dụ 10 Tính định thức 3 2 2 3 2 2  2  2 Dn  2 2 3  2      2 2 2  3 Ví dụ 11 Giải phương trình trong C 2 x 2 3 x 2 3 4 0 0 0 0 7 6 5 3 0 Ví dụ 12 Tính định thức 7 2 Dn  0  0 5 7 2  0 0 5 7  0  ... 5 2 2 4 II Tính chất của định thức - det (AT) = det (A) det(AB) = det(A) det(B) Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0 Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0 Chú ý: det(A+B)  det(A) + det(B) II Tính chất của định thức - Định lý Ma trận vuông A khả... đã chọn II Tính chất của định thức - Ví dụ Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức  3   2 A 3   4  2 1 1   3 2 0  1 4  2  1 3 1   II Tính chất của định thức Giải - 1 3 | A | 2 2 3 2 3 1 4 1 3 2 1 1 0 h3  h3  2h1 2 3 2 0 1  2 h4  h4  h1 3 5 1 1 1 4... 4 1  3 1  2 3 Ví dụ 3 2 x 3 3 2 x2  3 1 3 6 f ( x)  1 x3  2 x 1 2x  1 9 5 3 Khẳng định nào sau đây đúng? a) Bậc của f(x) là 5 b) Bậc của f(x) là 4 c) Bậc của f(x) là 3 d) Các câu khác đều sai Ví dụ 4 Tính định thức của ma trận sau 0 1 i   1 A 0 1 i     1  i i 1    Ví dụ 5 Tính định thức 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 I2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 Ví dụ 6 Giải phương trình, với a, b,... định thức - Ví dụ Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức  1   2 A 3   2  1  3 5 0  2 6  2  1 3 1   1 2 II Tính chất của định thức Giải -  1 h2  h2  2h1 2 3 5 0 h3  h3  3h1 | A | 3 2 6 2 h4  h4  2h1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 1 0 1 0 3 7...  2; A32  1; A33  1 4 4 2 1 1 A  3 3 1   2  1 1 1    13 2 3 3 4  1 II Tính chất của định thức - Tính chất của ma trận nghịch đảo 1 det( A1 )  1 det( A) n 1 2 Nếu A khả nghịch, thì det( PA )  (det( A)) Chứng minh Ví dụ 1 Tính det(A), nếu 2 3 A 4   3 1 1 2 1 1 0 3 2 3 2   1  2 Ví dụ 2 Tính det(A), . Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 2: Định thức • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) NỘI DUNG I – Định nghĩa định thức và ví dụ. II. chất của định thức 1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng hoặc cột tùy ý nào đó II. Tính chất của định thức Tính định thức det