Tài liệu tham khảo – giải ch thực – Lớp giải ch K19 Chương 1: 1 .Mệnh đề 1.4: Gọi (ℝ  ) là tập hợp các hàm bậc thang xác định trên ℝ  . a. Nếu , ∈(ℝ  ) thì + , . ∈(ℝ  ) b. Cho : ℝ→ℂ thỏa  ( 0 ) = 0. Nếu ∈(ℝ  ) thì () ∈(ℝ  ) c. Với   ,   , … ,   ∈(ℝ  ) ta có max {   ,   , … ,   } ∈ ( ℝ  ) , min {  ,   , … ,   } ∈(ℝ  ) Chứng minh: a .Nếu , ∈(ℝ  ) thì + , . ∈(ℝ  ) Theo giả thiết ta có thể biểu diễn ,  dưới dạng chính tắc như sau:  (  ) = ∑        ,  (  ) = ∑        Và do đó: + = ∑        + ∑        ∈(ℝ  ) . =  ∑          ∑         = ∑ ∑               = ∑ ∑        ∩      ∈(ℝ  ) b .Cho : ℝ→ℂ thỏa  ( 0 ) = 0. Nếu ∈(ℝ  ) thì () ∈(ℝ  ) Với cách biểu diễn chính tắc của , ta dễ thấy rằng:  (  ) =  ∑        = ∑ (  )     ∈(ℝ  ) c .Với   ,   , … ,   ∈(ℝ  ) ta có max {   ,   , … ,   } ∈ ( ℝ  ) , min {  ,   , … ,   } ∈(ℝ  ) Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp = 2. Ta đã có   +   ,   −  ∈(ℝ  ). Biểu diễn   −  dưới dạng chính tắc   −  = ∑        Và |   −  | = ∑ |   |      ∈ ( ℝ  ) Ta được: max {   ,   } =     |    |  ∈ ( ℝ  ) và min {   ,   } =     |    |  ∈ ( ℝ  ) 2 .Mệnh đề 1.7: Cho ,  là hàm bậc thang trên ℝ  , và cho ∈ℂ. Khi đó: a. ∫ ( +  ) ℝ  = ∫ +  ∫  ℝ  ℝ  b. Nếu ≥ thì ∫  ℝ  ≥ ∫  ℝ  Chứng minh: a .Chứng minh ∫ ( +  ) ℝ  = ∫ +  ∫  ℝ  ℝ  Trước hết từ định nghĩa ch phân hàm bậc thang ta chứng minh được nếu ≥0 thì ∫  ℝ  ≥0 (1) Giả sử: = ∑        ,   ∩  = ∅ nếu ≠ ; = ∑        ,  ∩  = ∅ nếu ≠ ⋃     = ⋃     (có thể có một số   ,   bằng 0) Đặt   =   ∩  , 1 ≤≤, 1 ≤≤ . Khi đó: |   | = ∑      ,   = ∑      Vậy: ∫ ( +  ) ℝ  = ∑   +      ( tổng trên các = 1,2, … ,  ; = 1,2, … ,  ) = ∑ ∑          +  ∑ ∑          = ∑   |   |   +  ∑   |   |   = ∫ +  ∫  ℝ  ℝ  b .Chứng minh: nếu ≥ thì ∫  ℝ  ≥ ∫  ℝ  Thật vậy: nếu ≥⇔−≥0. Theo (1) ta có: ∫ − ℝ  ≥0 ⇒ ∫  ℝ  − ∫  ℝ  ≥0 ⇒ ∫  ℝ  ≥ ∫  ℝ  3 .Mệnh đề 1.8: Cho , : ℝ  → ℂ là hai hàm khả ch Lebesgue. Khi đó , < ∞ hkn và +  ( ∈ℂ ) , |  | là các hàm khả ch Lebesgue và ∫ (+ ) ℝ  = ∫  ℝ  +  ∫  ℝ  ,  ∫  ℝ   ≤ ∫ |  | ℝ  Chứng minh:  Chứng minh: , < ∞ hkn Giả sử ngược lại tức là tồn tại  có  (  ) > 0 sao cho  (  ) = ∞, ∀∈. Khi đó: ∫  ℝ  (  ) ≥ ∫ |  |  = ∞ Ta có mâu thuẫn. Vậy < ∞ hkn Chứng minh tương tự ta cũng có < ∞ hkn  Chứng minh : +  khả ch Lebesgue Ta có ∫ | +  | ℝ  ≤ ∫ (|  | + |  ||  |)  ℝ  = ∫ |  |  ℝ  + |  | ∫ |  |  ℝ  < ∞ Vậy +  khả ch Lebesgue  Chứng minh: |  | khả ch Lebesgue Đặt ℎ (  ) = | () | thì ∫ | ℎ() | ℝ  = ∫ | () | ℝ  < ∞ Vậy |  | khả ch Lebesgue  Chứng minh: ∫ (+ ) ℝ  = ∫  ℝ  +  ∫  ℝ  Do ,  khả ch Lebesgue nên có dãy hàm bậc thang {  } đơn điệu tăng hội tụ đến  hkn và có dãy hàm bậc thang {  } đơn điệu tăng hội tụ đến  hkn. Do đó: ∫  ℝ  +  ∫  ℝ  = lim → ∫ (  +   ) ℝ  = ∫ (+ ) ℝ  (Do   +   là dãy hàm bậc thang đơn điệu tăng đến +  )  Chứng minh:  ∫  ℝ   ≤ ∫ |  | ℝ  Do  khả ch Lebesgue nên có dãy hàm bậc thang {  } đơn điệu tăng hội tụ đến  hkn. Do đó:  ∫  ℝ   =  lim → ∫   ℝ   ≤ lim → ∫ |   | = ℝ  ∫ |  | ℝ  Chương 2: 1 .Bất đẳng thức Holder: Cho ,  đo được trên một tập đo được Ω;   +   = 1, 1 < < ∞  Nếu  ∈  ( Ω ) ,  ∈  (Ω) thì ‖  ‖  = ∫ |  |  ≤  ∫ |  |       ∫ |  |      = ‖  ‖  ‖  ‖   Nếu  ∈  ( Ω ) , ∈  (Ω) thì ‖  ‖  ≤ ‖  ‖  ‖  ‖  Chứng minh: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Young như sau: Cho hai số thực 1, 1 p q   thoả 1 1 1 p q   , với hai số thực 0, 0     ta luôn có: . p q p q       (*) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi p q     Với 0   hoặc 0   thì bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng  Với 0   và 0   , ta xét hàm số ( ) p q t t f t p q    . ( ) f t xác định với mọi t > 0 và có đạo hàm 1 1 1 1 '( ) p q p q q t f t t t t          Ta có: '( ) 0 1 f t t    Với 1 t  thì '( ) 0 f t  Với 1 t  thì '( ) 0 f t  Suy ra hàm ( ) f t đạt cực ểu trong khoảng (0, )   tại 1 t  Từ đó suy ra với 0 t  ta có 1 1 ( ) (1) 1 f t f p q     Với =        ta có: 1 1 1 1 . . . (1) 1 p q q p q p f f p q                      Nhân hai vế bất đẳng thức trên cho .   ta được 1 1 1 p q q p p q       Từ 1 1 1 p q   ta suy ra được 1 p p q   và 1 q q p   Vì vậy ta được bất đẳng thức cần chứng minh . p q p q       Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 1 1 1 1 pq pq p q q p q p q q                                 Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Holder  Nếu 0 p f  hoặc 0 g g  thì ( ). ( ) 0 f x g x hkn  trên X Do đó 1 0 fg  suy ra bất đẳng thức Holder đúng trong trường hợp này.  Nếu 0 p f  và 0 q g  thì theo chứng minh trên với mọi x  ta có:     ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 . p q p q p q p q f x g x f x g x f g p q f g                       Lấy ch phân hai vế bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) p q p q p q p q f x g x dx f x dx g x dx f g p f q g         1 1 1 ( ) ( ) p q f x g x dx f g p q      1 ( ) ( ) 1 p q f x g x dx f g     ( ) ( ) p q f x g x dx f g     Hay 1 p q fg f g  2. Định lý: Không gian định chuẩn  là Banach ⇔ Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ Chứng minh:  Thuận: Giả sử KG định chuẩn  là Banach. Chứng minh mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ Xét chuỗi ∑     là chuỗi hội tụ tuyệt đối ⇒ ∑ ‖   ‖   hội tụ nên theo nh chất Cauchy ta có: ∀> 0, ∃  ∈ℕ, ∀>   , ∀≥1 ta có :   −  =  ∑     − ∑     =   +   + ⋯+    ≤ ‖   ‖ + ‖   ‖ + ⋯+   <  Vậy dãy {  } Cauchy trong , mà  Banach nên dãy {  } hội tụ Suy ra ∑     là chuỗi hội tụ  Nghịch: Giả sử mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. Chứng minh  là không gian Banach Giả sử {  } là dãy Cauchy trong . Khi đó với mọi số tự nhiên  tồn tại số tự nhiên   (  >   ) sao cho với mọi , >   ta có ‖   −  ‖ <    Đặc biệt    −   <    Xét chuỗi (*):    +    −   +    −   + ⋯ Vì chuỗi ∑    −      hội tụ nên chuỗi (*) hội tụ về phần tử ∈. Khi đó: = lim →   = lim →    +    −   + ⋯+    −   = lim →    ∈ Ta có: ‖   − ‖ ≤  −   +    − Cho →∞ thì   →∞. Do đó lim →   = ∈ Vậy dãy {  } hội tụ hay  là không gian Banach 3. Chứng minh ∀≥,   () là không gian Banach Chứng minh:  Ta chứng minh nếu ≠0 hkn thì ∫ |  |   > 0, ≥1. Do đó hàm ‖ . ‖ : → ‖  ‖  là một chuẩn trong không gian   ( Ω ) Thật vậy: ∀, ∈  (Ω), ∈ℂ i) Ta có ‖  ‖  ≥0; ‖  ‖  = 0 ⇔ ∫ |  |   = 0 ⇔= 0 ii) ‖  ‖  =  ∫ |  |      =  ∫ |  |  |  |      = |  |  ∫ |  |      = |  |‖  ‖  iii) Chứng minh ‖ +  ‖  ≤ ‖  ‖  + ‖  ‖  - Với = 1 ta có: ‖ +  ‖  = ∫ |+ |  ≤ ∫ |  |  + ∫ |  |  = ‖  ‖  + ‖  ‖  - Với > 1. Giả sử   +   = 1 ⇔−1 =   Do đó | +  |  ∈  ( Ω ) Khi đó theo BĐT Holder ta có ∫ |  || +  |   ≤ ‖  ‖   ∫ | +  | (  )      = ‖  ‖  ‖ +  ‖   Tương tự ta có:  |  || +  |   ≤ ‖  ‖  ‖ +  ‖   Khi đó: ‖ +  ‖   =   ∫ | +  |        = ∫ | +  |   = ∫ |+ | | +  |   ≤ ∫ |  || +  |   + ∫ |  || +  |   ≤ ‖  ‖  + ‖  ‖   ‖ +  ‖   Nhân hai vế của BĐT trên với ‖ +  ‖   ta được điều phải chứng minh. Vậy ‖ . ‖ là một chuẩn trong không gian   ( Ω )  Lấy chuỗi tùy ý ∑     trong   ( Ω ) và giả sử ∑ |   |   = < ∞. Ta cần chứng minh ∑     hội tụ trong   ( Ω ) Đặt   () = ∑ |   () |   , ∀∈ℕ, ∈Ω. Khi đó ta có các hàm:   () ∈  ( Ω ) à ‖   ‖  ≤ ∑ ‖   ‖    ≤ Từ đó suy ra ∫ |   |   ≤  Với ∀∈Ω thì (  ) là dãy tăng và bị chận trên nên tồn tại hàm () sao cho lim →   (  ) = () Vì hàm đo được và đơn điệu tăng đến  nên  là hàm đo được trên Ω Theo bổ đề Fator ta có ∫    = ∫  lim →      = lim → ∫     ≤  Suy ra  hữu hạn hkn Như vậy với ∀∈Ω, () hữu hạn nên chuỗi ∑     hội tụ trong   ( Ω )  Xây dựng hàm () như sau: : →ℂ  (  ) =  ∑     (  ) ế  (  ) ℎℎ 0 ế  (  ) = +∞ - Chứng minh ∈  ( Ω ) Kí hiệu:   (  ) = ∑     (  ) . Khi đó lim →   (  ) = () hkn Suy ra () là hàm đo được Mặt khác ta có: |∑     (  )| ≤ ∑ |   (  )|   ⇒ |   | ≤ (  ) , ∀∈ Ω Khi đó: ∫ |  |   ≤ ∫    ≤  < ∞⇒∈  ( Ω ) - Ta chứng minh   (  ) →() khi →∞ trong   ( Ω ) Ta có |   − |  ≤(  + )  ≤2    Vì hàm 2    khả ch trong   ( Ω ) nên theo định lý hội tụ bị chận ta có ∫ |   − |   →0 ℎ →∞ Nghĩa là: ‖   − ‖   →0 khi →∞. Suy ra ‖   − ‖  →0 khi →∞ Vậy   ( Ω ) là không gian Banach 4 .Định lý tập các hàm bậc thang trù mật trong   () Với ∀∈  ( Ω ) (1 ≤ < ∞) thì tồn tại dãy (  ) các hàm bậc thang sao cho   → trong   ( Ω ) . Nghĩa là tập các hàm bậc thang trù mật trong   ( Ω ) Chứng minh: a. Trường hợp ≥0 Theo giả thiết thì tồn tại các hàm , ∈  sao cho   = −. Khi đó có 2 dãy hàm bậc thang (  ) và (  ) sao cho   ↗;   ↗ Đặt Φ  = max { (   −  ) , 0}    Dùng định lý hội tụ bị chận ta chứng minh Φ  → hkn trong   ( Ω ) Ta có Φ   () = max{ (   −  ) , 0} Vì   ↗;   ↗ và  >  nên với  đủ lớn ta có Φ   (  ) =   (  ) −  (  ) > 0 Do đó Φ   (  ) → (  ) − (  ) =   () hkn Suy ra Φ  () →() hkn Ta có   (  ) −  (  ) ≤ (  ) −  () Do đó Φ   (  ) = max { (   −  ) , 0} ≤max { (  ) −  (  ) , 0} Đặt  (  ) = max { (  ) −  (  ) , 0}   Rõ ràng |  |  khả ch trong   ( Ω ) và | Φ  () | ≤() Theo định lý hội tụ bị chận ta có ‖ Φ  − ‖ →0 khi →∞ b. Trường hợp tổng quát =   +   với   ,   là các hàm thực Đặt   =   −  ;   = ℎ  −ℎ  với   ,   , ℎ  , ℎ  > 0 Khi đó =   −  + ℎ  −ℎ  Theo câu a tồn tại các dãy hàm bậc thang Φ   , Φ   , Φ   , Φ    Sao cho Φ   →  , Φ   →  , Φ   →ℎ  , Φ   →ℎ  trong   ( Ω ) Đặt Φ  = Φ   −Φ   + Φ   −Φ   Rõ ràng Φ  là hàm bậc thang và Φ  →  −  + ℎ  −ℎ  =  khi →∞ trong   ( Ω ) Chương 3: 1 .Định lý 3.2: Giả sử M là không gian con đóng của không gian Hilbert. Khi đó: với x H  tồn tại duy nhất y M  được gọi là hình chiếu trực giao của x trên M sao cho: ( , ) in f y M x y d x M x y      Chứng minh Đặt ( , ) d x M   . Lấy dãy ( ) n y M  sao cho n x y    .  Ta sẽ chứng minh   n y là dãy Cauchy. Áp dụng bất đẳng thức hình bình hành cho cặp vectơ m x y  và n x y  ta có:   2 2 2 2 2 ( ) 2 m n m n m n y y x y y x y x y        Suy ra:     2 2 2 2 1 2 4 2         m n m n m n y y x y x y x y y Vì   1 2 m n y y M   nên   2 2 1 2 m n x y y     Mặt khác, vì n x y    khi n   nên 0 0, n       sao cho 0 n n   ta có 2 2 n x y      Vậy ta có:   2 2 2 2 0 0 0, , 2 4 4 ta coù m n n sao cho n m n y y                    Do đó   n y là dãy Cauchy trong M . Vì M là đầy đủ nên n y y M   và ( , ) x y d x M      Ta chứng minh y là duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại ' y M  thoả nh chất như trên. Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho x y  và ' x y  ta được       2 2 2 2 2 2 1 1 ' 2 ' 4 ' 4 4 ' 2 2              y y x y x y x y y x y y Vì   1 ' 2 y y M   nên 2 2 1 ( ') 2 x y y     Khi đó: 2 2 2 ' 4 4 0 y y       ⇔ ' 0 y y   hay ' y y  2 .Định lý 3.3: Cho M là không gian vectơ con đóng của không gian Hilbert H . Với mỗi x H  , tồn tại ' x M  , '' x M   sao cho ' '' x x x   . Khi đó: ( , ) ' '' d x M x x x    và 2 2 2 ' '' x x x   Chứng minh Lấy tuỳ ý x H  , đặt ' ( ) M x P x  . Theo định lí 3.2 ta có: ' ( , )x x d x M     Ta sẽ chứng minh '' ' x x x M     Với mọi v M  , với mọi    ta có ' x v M    . Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 ( ' ) '' '' , '' '', '' '', , '' . . , '' '', '', x x v x v x v x v x x x v v x v v x x v x v v                               . Tài liệu tham khảo – giải ch thực – Lớp giải ch K19 Chương 1: 1 .Mệnh đề 1.4: Gọi (ℝ  ) là