1 ÔN THI CAO HC PHN I S TUYN TÍNH (GV Trn Ngc Hi - 2011) A- KHÔNG GIAN VÉCT §1. NH NGHA VÀ TÍNH CHT CN BN 1.1. nh ngha. Cho V là mt tp hp khác ∅. Ta nói V là mt không gian véct trên F (F = Q, R hay C) nu trong V : i) Tn ti mt phép toán “cng véct”, tc là mt ánh x V × V → V (u, v) → u + v ii) Tn ti mt phép “nhân vô hng vi véct”, tc là mt ánh x F × V → V (α, u) → αu tha các tính cht sau: v i u, v, w ∈ V và α, β ∈ F: 1. u + v = v + u; 2. (u + v) + w = u + (v + w); 3. ∃ 0 ∈ V, u + 0 = 0 + u = u; 4. ∃ (–u) ∈ V, (–u) + u = u + (–u) = 0; 5. (αβ)u = α(βu); 6. (α + β)u = αu +βu; 7. α(u + v)u = αu + αv; 8. 1.u = u. Khi đó: • Mi phn t u ∈ V là mt véct. • Mi s α ∈ F là mt vô hng. • Véct 0 là véct không. • Véct (–u) là véct đi ca u. Sau đây ta s đa ra vài ví d c bn v không gian véct. 1) Tp F n = {u = (x 1 , x 2 , , x n )⏐x i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} (F = R hay C) vi phép toán cng véct và phép nhân vô hng vi véct đnh bi: 2 u + v = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ), αu = (αx 1 , αx 2 , , αx n ), vi u = (x 1 , x 2 , , x n ), v = (y 1 , y 2 , , y n )∈ V và α ∈ F, là mt không gian véct trên F vi véct không là 0 = (0, 0, 0) và véct đi ca véct u = (x 1 , x 2 , , x n ) là (–u) = (−x 1 , −x 2 , , −x n ) 2) Tp V = M mxn (F) gm các ma trn mxn vi các h s trong F là mt không gian véct trên F vi phép cng véct là phép cng ma trn thông thng và nhân vô hng vi véct là phép nhân thông thng mt s vi ma trn, trong đó véct không là ma trn không và véct đi ca A = (a ij ) là (–A) = (–a ij ). 3) Tp V = F[x] = {p(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 x + a 0 ⏐ n ∈ N, a i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} gm các đa thc theo x vi các h s trong F là mt không gian véct trên F vi phép cng véct là phép cng thông thng các đa thc và phép nhân vô hng vi véct là phép nhân thông thng mt s vi mt đa thc. 4) Vi mi s nguyên n ≥ 1, tp V = F n [x] = {p(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 ⏐a i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} gm các đa thc theo x bc ≤ n, vi các h s trong F là mt không gian véct trên F vi cng véct và phép nhân vô hng vi véct là các phép cng đa thc và nhân mt s vi đa thc thông thng (nh trong 3) là mt không gian véct trên trng F. 1.2. Mnh đ. Cho V là mt không gian véct trên F. Khi đó vi mi u ∈ V và α ∈ F ta có: i) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0). ii) (–1)u = –u. T  đây v sau ta ký hiu V là mt không gian véct trên trng F (F = Q, R hay C) §2. T HP TUYN TÍNH 2.1. nh ngha. Cho u 1 , u 2 , , u k ∈ V. Mt t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k là mt véct có dng: u = α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k vi α i ∈ F (1 ≤ i ≤ k). 2.2. Tính cht. 1) u là t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k khi và ch khi phng trình α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = u có nghim (α 1 , α 2 , , α k )∈ F k . 2) Tng ca hai t hp tuyn tính, tích ca mt s vi mt t hp tuyn tính cng là các t hp tuyn tính (ca u 1 , u 2 , , u k ): kkk 1i 1i i i i i1 i1 i1 uu()u === α+β= α+β ∑∑∑ ; kk ii i i i1 i1 u()u == ⎛⎞ αα=αα ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑ . 3 3) Véct không 0 luôn luôn là mt t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k vì 0 = 0u 1 + 0u 2 + + 0u k . 4) Mi véct u i , 1 ≤ i ≤ k là mt t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k vì u i = 0u 1 + + 0u i–1 + 1u i + 0u i+1 + + 0u k Tng quát hn, mi t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , ,u j (1 ≤ j ≤ k) đu là t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , ,u j , u j+1 , , u k vì: α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α j u j = α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α j u j + 0u j+1 + + 0u k 4) Mi t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , ,u k-1 , u k đu là t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k-1 khi và ch khi u k là mt t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k-1 . 2.3. H qu. Cho u 1 , u 2 , , u k là k véct trong F n vi u j = (u 1j , u 1j , , u nj ), 1 ≤ j ≤ k: u 1 = (u 11 , u 21 , u n1 ) u 2 = (u 12 , u 22 , u n2 ) u k = (u 1k , u 2k , u nk ) Khi đó véct u = (b 1 , b 2 , , b n ) ∈ F n là t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , , u k khi và ch khi h phng trình tuyn tính UX = B, trong đó: 11 12 1k 1 1 21 22 2k 2 2 n1 n2 nk n k uu u b uu u b U;B;X uu u b α ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ α ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ === ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ α ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ có nghim X. Ví d. Trong không gian R 4 cho các véct: u 1 = (1, 1, 1, 1); u 2 = (2, 3, –1, 0); u 3 = (–1, –1, 1, 1); u 4 = (1, 2, 1, –1) Tìm điu kin đ véct u = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) là mt t hp tuyn tính ca: a) u 1 , u 2 , u 3 ; b) u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . áp s: a) a 1 + a 4 = a 2 + a 3 . b) Mi véct u = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) ∈ R 4 đu là t hp tuyn tính ca u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . §3. C LP TUYN TÍNH – PH THUC TUYN TÍNH 3.1. nh ngha. 1) Cho u 1 , u 2 , , u k ∈ V. Xét phng trình: 4 α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = 0 (1) Nu (1) ch có nghim tm thng α 1 = α 2 = = α k = 0 thì ta nói u 1 , u 2 , , u k (hay {u 1 , u 2 , , u k }) đc lp tuyn tính. Nu ngoài nghim tm thng, (1) còn có nghim khác thì ta nói u 1 , u 2 , , u k (hay {u 1 , u 2 , , u k } ) ph thuc tuyn tính. Nói cách khác, • u 1 , u 2 , , u k đc lp tuyn tính khi và ch khi vi mi α 1 , α 2 , , α k ∈F ta có: α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = 0 ⇒ α 1 = α 2 = = α k = 0. • u 1 , u 2 , , u k ph thuc tuyn tính khi và ch khi tn ti α 1 , α 2 , , α k ∈ F không đng thi bng 0 sao cho: α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = 0. 2) Tp con S ⊆ V đc gi là đc lp tuyn tính nu mi {u 1 , u 2 , , u k } ⊆ S (k ∈ N tu ý) đu đc lp tuyn tính. Nu S không đc lp tuyn tính, ta nói S ph thuc tuyn tính. Ví d 1) Trong không gian R 3 cho các véct: u 1 = (1, 2, −3); u 2 = (2, 5, −1); u 3 = (1, 1, −8) ta có: • u 1 , u 2 đc lp tuyn tính. • u 1 , u 2 , u 3 ph thuc lp tuyn tính. 3.2. Nhn xét. Các véct u 1 , u 2 , , u k ph thuc tuyn tính khi và ch khi tn ti véct u i “ph thuc” vào các véct khác theo ngha véct u i đc biu din di dng t hp tuyn tính ca các u j , 1 ≤ j ≠ i ≤ k. Vi u 1 , u 2 , , u k là k véct trong F n : u 1 = (u 11 , u 21 , u n1 ) u 2 = (u 12 , u 22 , u n2 ) u k = (u 1k , u 2k , u nk ) ta có: u 1 , u 2 , , u k đc lp tuyn tính khi và ch khi h phng trình tuyn tính UX = 0, trong đó: 11 12 1k 21 22 2k n1 n2 nk uu u uu u U uu u ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ch có nghim tm thng X = 0. Mt khác, H UX = 0 ch có nghim tm thng X = 0 ⇔ Ma trn U có hng là r(U) = k. 5 ⇔ Ma trn A = U T có hng là r(A) = k (do hai ma trn chuyn v có cùng hng). Nhn xét rng ma trn U có đc bng cách dng u 1 , u 2 , , u k thành các ct, nên ma trn A = U T có đc bng cách xp u 1 , u 2 , , u k thành các dòng. 3.3. H qu. Cho u 1 , u 2 , , u k là k véct trong F n . Gi A là ma trn có đc bng cách xp u 1 , u 2 , , u k thành các dòng. Khi đó: u 1 , u 2 , , u k đc lp tuyn tính ⇔ A có hng là r(A) = k. 3.4. Chú ý. Trong thc hành, ta kim tra tính đc lp tuyn tính ca các véct u 1 , u 2 , , u k trong F n nh sau: Bc 1: Lp ma trn A bng cách xp u 1 , u 2 , , u k thành các dòng. Bc 2: Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R. Khi đó: • Nu R không có dòng 0 thì u 1 , u 2 , , u k đc lp tuyn tính. • Nu R có ít nht mt dòng 0 thì u 1 , u 2 , , u k ph thuc tuyn tính. Trng hp k = n, ta có A là ma trn vuông. Khi đó có th thay Bc 2 bng Bc 2′ nh sau: Bc 2′: Tính đnh thc detA: • Nu detA ≠ 0 thì u 1 , u 2 , , u k đc lp tuyn tính. • Nu detA = 0 thì u 1 , u 2 , , u k ph thuc tuyn tính. Ví d 1. Trong không gian R 5 cho các véct: u 1 = (1, 2, −3, 5, 1); u 2 = (1, 3, −13, 22, −1); u 3 = (3, 5, 1, −2, 5); u 4 = (2, 3, 4, −7, 4); Hãy xét xem u 1 , u 2 , u 3 , u 4 đc lp tuyn tính hay ph thuc tuyn tính. áp s: Ph thuc tuyn tính. Ví d 2. Trong không gian R 3 cho các véct: u 1 = (2m + 1, − m, m + 1) u 2 = (m − 2, m – 1, m – 2) u 3 = (2m − 1, m – 1, 2m –1) Tìm điu kin đ u 1 , u 2 , u 3 đc lp tuyn tính trên R. áp s: m ≠ 0; m ≠ ± 1. §4. KHÔNG GIAN CON – TP SINH – C S VÀ S CHIU 6 4.1. nh ngha (không gian véct con). Cho W là mt tp con khác ∅ ca V. Ta nói W là mt không gian véct con ca V, kí hiu W ≤ V, nu W vi phép cng véct và phép nhân vô hng vi véct cm sinh t V, cng là mt không gian véct trên trng F. 4.2. nh lý. Cho W là mt tp con khác ∅ ca V. Khi đó các khng đnh sau là tng đng: i) W ≤ V. ii) Vi u, v ∈ W và α ∈ F, u + v ∈ W và αu ∈ W. iii) Vi u, v ∈ W và α ∈ F, αu + v ∈ W. Ví d.1) W = {0} và V là các véct con ca V. Ta gi đây là các không gian con tm thng ca V. 2) Trong không gian R 3 , đng thng (D) đi qua gc ta đ O là mt không gian con ca R 3 . 3) Trong không gian R 3 , mt phng (P) đi qua gc ta đ O là mt không gian véct con ca R 3 . 4) Cho a 1 , , a n ∈ F và b ∈ F\{0} t: W 1 = {(x 1 , , x n ) ∈ F n | a 1 x 1 + + a n x n = 0}; W 2 = {(x 1 , , x n ) ∈ F n | a 1 x 1 + + a n x n = b} Ta có W 1 ≤ F n nhng n 2 W ≤  4.3. nh lý. Giao ca mt h tu ý các không gian con ca V cng là mt không gian con ca V. Chú ý . Hp ca hai không gian con ca V không nht thit là mt không gian con ca V. Bây gi cho S ⊆ V. Gi {W i } i ∈ I là h tt c nhng không gian con ca V có cha S (h này khác rng vì có cha V). t: i Ii WW ∈ = ∩ Khi đó: • W là không gian con nh nht ca V có cha S. Ta gi • W là không gian con sinh bi S, kí hiu W = < S >. • S là tp sinh ca W. • Nu S hu hn S = {u 1 , u 2 , , u n } thì ta nói W = < S > là không gian con hu hn sinh bi u 1 , u 2 , , u n và kí hiu W = < u 1 , u 2 , , u n >. 4.4. nh lý. Cho ∅ ≠ S ⊆ V. Khi đó không gian con ca V sinh bi S là tp hp tt c nhng t hp tuyn tính ca mt s hu hn nhng tùy ý các véct trong S, ngha là: < S > = {u = α 1 u 1 + + α n u n | n ∈ N, u i ∈ S, α i ∈ F, ∀ 1 ≤ i ≤ n} 7 Chú ý. 1) Nu S = ∅ thì <S> = {0}. 2) Nu S = {u 1 , u 2 , , u n } thì < S > = {α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α n u n ⏐ α i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n}. 3) Nu S ≤ V thì < S > = S. 4) Cho S ⊆ V và W ≤ V. Khi đó: S ⊆ W ⇔ < S > ≤ W. 5. Nu S 1 ⊆ S 2 ⊆ V thì < S 1 > ≤ < S 2 >. 4.5. nh ngha. Mt tp hp con B ca không gian véct V đc gi là mt c s ca V nu B là mt tp sinh đc lp tuyn tính. 4.6. B đ. Gi s V sinh bi m véct u 1 , u 2 , , u m : V = < u 1 , u 2 , , u m >. Khi đó mi tp hp con đc lp tuyn tính ca V có không quá m phn t. 4.7. H qu và đnh ngha. Nu V có mt c s B hu hn gm m phn t: B = {u 1 , u 2 , , u m } thì mi c s khác ca V cng hu hn và có đúng m phn t. Khi đó ta nói V là mt không gian véct hu hn chiu trên F và m đc gi la s chiu (dimension) ca V trên F, kí hiu dim F V = m hay dimV = m. Trong trng hp ngc li, ta nói V là mt không gian véct vô hn chiu trên F, kí hiu dim F V = ∞ hay dimV = ∞. Ví d. 1) Không gian F n là mt không gian véct hu hn chiu trên F vi dimF n = n do F n có mt c s là B 0 = {e 1 , e 2 , , e n } trong đó: e 1 = (1, 0, 0, , 0) e 2 = (0, 1, 0, , 0) e = (0, 0, , 0, 1) Ta gi B 0 là c s chính tc ca F n trên F. 2) Không gian M mxn (F) là mt không gian véct hu hn chiu trên F vi dim M m×n (F) = mn vi c s B 0 = {E ij | , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}, trong đó E ij là ma trn loi m×n ch có mt h s khác 0 là 1 ti dòng i ct j. Ta gi B 0 = {E ij | , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n} là c s chính tc ca M mxn (F) trên F. 3) Không gian F n [x] gm các đa thc theo x bc ≤ n vi h s trong F, là mt không gian véct hu hn chiu trên F vi dimF n [x] = n + 1 vi mt c s là B 0 = {1, x, x n }. Ta gi B 0 = {1, x, x n } là c s chính tc ca F n [x]. 4) Không gian F[x] gm tt các đa thc theo x bc vi h s trong F, là mt không gian véct vô hn chiu vi mt c s vô hn B 0 = {1, x, x 2 , }. 4.8. H qu. Cho V là không gian véct hu hn chiu trên F vi dim V = n. Khi đó: i) Mi tp con ca V có nhiu hn n phn t đu ph thuc tuyn tính. ii) Mi tp con ca V có ít hn n phn t không th là tp sinh ca V. 8 4.9. B đ. Cho S là mt tp con đc lp tuyn tính ca V và u ∈ V là mt véct sao cho u ∉ < S >. Khi đó tp hp S 1 = S ∪ {u} đc lp tuyn tính. 4.10. nh lý. Cho V là không gian véct hu hn chiu vi dim V = n. Khi đó: i) Mi tp hp con đc lp tuyn tính gm n phn t ca V đu là c s ca V. ii) Mi tp hp sinh ca V gm n phn t đu là c s ca V. Nhn xét. Vì dim F n = n nên mi c s ca F n phi gm đúng n véct. Hn na, do nh lý 4.10: Vi B = {u 1 , u 2 , , u n } là mt tp con gm đúng n véct ca F n , ta có: B = {u 1 , u 2 , , u n } là mt c s ca F n ⇔ u 1 , u 2 , , u n đc lp tuyn tính ⇔ detA ≠ 0, trong đó A là ma trn có đc bng cách xp u 1 , u 2 , , u n thành các dòng. Ví d. 1) Trong không gian R 4 , các véct u 1 = (1, 1, 1, 1) u 2 = (2, 3, –1, 0) u 3 = (–1, –1, 1, 1) u 4 = (1, 2, 1, –1) to thành c s ca R 4 . 2) Trong không gian R 3 , các véct u 1 = (2m + 1, − m, m + 1) u 2 = (m − 2, m – 1, m – 2) u 3 = (2m − 1, m – 1, 2m –1) to thành mt c s ca R 3 khi và ch khi m0,1 ≠ ± . 4.11. nh lý (v c s không toàn vn). Cho V là mt không gian véct hu hn chiu và S là mt tp con đc lp tuyn tính ca V. Khi đó, nu S không phi mt c s ca V thì ta có th thêm vào S mt s véct đ đc mt c s ca V. 4.12. nh lý. Cho V là mt không gian véct hu hn chiu sinh bi S. Khi đó tn ti mt c s B ca V sao cho B ⊆ S. Nói cách khác, nu S không phi là mt c s ca V thì ta có th loi b ra khi S mt s véct đ đc mt c s ca V. 4.13. H qu. Mi không gian con W ca mt không gian véct V hu hn chiu đu hu hn chiu, hn na nu W ≤ V và W ≠ V thì dim W < dim V. 9 §5. KHÔNG GIAN DÒNG 5.1. nh ngha. Cho ma trn A = (a ij ) loi m×n vi h s trong F: 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a a a a a A a a a ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ t: u 1 = (a 11 , a 12 , , a 1n ) u 2 = (a 21 , a 22 , , a 2n ) u m = (a m1 , a m2 , , a mn ) và W A = <u 1 , u 2 , , u m >. Ta gi u 1 , u 2 , , u m là các véct dòng ca A, và W A là không gian dòng ca A. Ghi chú. dimW A còn đc gi là hng ca h véct u 1 , u 2 , , u m . 5.2. nh lý. Nu A và B là hai ma trn tng đng dòng thì W A = W B , ngha là A và B có cùng không gian dòng. 5.3. Nhn xét. Vì các véct dòng khác 0 ca mt ma trn dng bc thang luôn luôn đc lp tuyn tính nên chúng to thành mt c s ca không gian dòng. T đây ta suy ra cách tìm s chiu và mt c s ca không gian dòng ca ma trn A nh sau: • Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R. • S chiu ca không gian dòng W A bng s dòng khác 0 ca R (do đó bng r(A)) và các véct dòng khác 0 ca R to thành mt c s ca W A . Ví d. Tìm s chiu và mt c s ca không gian dòng ca ma trn: 12 11 25 1 4 A 511 2 8 920 314 − ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ − ⎜⎟ − ⎝⎠ Gii tóm tt. Dùng các phép BSCTD ta có 12 11 12 11 25 1 4 0132 A R 511 2 8 00 0 1 920 314 0000 −− ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ == ⎜⎟⎜⎟ − ⎜⎟⎜⎟ − ⎝⎠⎝⎠ ∼ . R có dng bc thang vi 3 dòng khác 0. Do đó dim W A = 3 và mt c s ca W A là: {(1, 2, −1, 1); (0, 1, 3, 2); (0, 0, 0, 1)} 10 5.4. Cách tìm s chiu và c s ca mt không gian con ca F n khi bit mt tp sinh: Gi s W = <u 1 , u 2 , , u m > ≤ F n (u 1 , u 2 , , u m không nht thit đc lp tuyn tính).  tìm s chiu và mt c s ca W ta tin hành nh sau: • Lp ma trn A bng cách xp u 1 , u 2 , , u m thành các dòng. • Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R. • S chiu ca W bng s dòng khác 0 ca R (do đó bng r(A)) và các véct dòng khác 0 ca R to thành mt c s ca W. Ví d. 1) Tìm mt c s cho không gian con ca R 4 sinh bi các véct u 1 , u 2 , u 3 , u 4 trong đó: u 1 = (1, 2, 1, 1) u 2 = (3, 6, 5, 7) u 3 = (4, 8, 6, 8) u 4 = (8, 16, 12, 20) Gii tóm tt. Không gian W sinh bi u 1 , u 2 , u 3 , u 4 là không gian dòng ca ma trn: 12 1 1 1211 36 5 7 0012 A R 4 8 6 8 0001 8161220 0000 ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ == ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ∼ Do đó W có dimW = 3 vi c s là : B = {(1, 2, 1, 1); (0, 0, 1, 2); (0, 0, 0, 1)} Nhn xét. Có th kim chng u 1 , u 2 , u 3 đc lp tuyn tính. Do đó {u 1 , u 2 , u 3 } cng là mt c s ca W (do dimW = 3). 2) Tìm mt c s cho không gian con ca R 4 sinh bi các véct u 1 , u 2 , u 3 trong đó: u 1 = (1, –2, –1, 3) u 2 = (2, –4, –3, 0) u 3 = (3, –6, –4, 4) Không gian W sinh bi u 1 , u 2 , u 3 là không gian dòng ca ma trn: 1213 1213 A 2430 00 16 R 3644 0001 −− −− ⎛⎞⎛ ⎞ ⎜⎟⎜ ⎟ =−− −−= ⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ −− ⎝⎠⎝ ⎠ ∼ W có dimW = 3 và mt c s B = {v 1 , v 2 , v 3 }, trong đó: v 1 = (1, –2, –1, 3) v 2 = (0, 0, –1, –6) [...]... 6 2x4 x2 6 2 2 1 18 B- ÁNH X TUY N TÍNH §1 KHÁI NI M V ÁNH X TUY N TÍNH 1.1 nh ngh a Cho V và W là hai không gian véct trên F Ánh x f: V là m t ánh x tuy n tính n u f th a hai tính ch t sau: 1) u, v 2) u W cg i V, f(u + v) = f(u) + f(v); V, F, f( u) = f(u) H n n a, n u f tho thêm tính ch t là n ánh (toàn ánh, song ánh) thì f c g i là m t n c u (toàn c u, ng c u) không gian véct Khi t n t i m t ng c... gi a V và W ta nói V ng c u v i W, ký hi u V W Tr ng h p W = V thì ánh x tuy n tính f: V m t phép bi n i tuy n tính trên V V c g i là m t toán t tuy n tính hay Ký hi u: L(V,W): T p t t c các ánh x tuy n tính t V vào W L(V): T p t t c các toán t tuy n tính trên V Nh n xét Hai tính ch t 1) và 2) u, v trên t V, ng ng v i tính ch t sau: F, f( u + v) = f(u) + f(v) 1.2 Ví d Xét ánh x f: R2 R3 xác nh b... tính t W vào V 2) gof là m t ánh x tuy n tính t V vào T L(V,W); g L(W,T) §2 NHÂN VÀ NH C A ÁNH X TUY N TÍNH 2.1 Khi ó: nh lý Cho V, W là hai không gian véct và f: V 1) N u U V thì f(U) 2) N u T W thì f 1(T) 2.2 W là m t ánh x tuy n tính f(V) H n n a, n u U = < S > thì f(U) = < f(S)> V nh ngh a Cho V, W là hai không gian véct và f: V W là m t ánh x tuy n tính 1) Không gian con f 1(0) c a V, g m t t c các... không gian véct và f, g L(V,W) Ta nh ngh a t ng f + g c a hai ánh x tuy n tính và tích f ( F) c a m t vô s v i m t ánh x tuy n tính nh sau: v V, (f + g)(v) = f(v) + g(v) v V, ( f)(v) = f(v) Khi ó f + g và f trên F u thu c L(V,W) và v i các phép toán trên, L(V,W) là m t không gian véct 1.7 M nh Cho V, W, T là các không gian véct trên F và f Khi ó: 1) N u f là song ánh thì f-1 là m t ánh x tuy n tính. .. u k s Khi ó { u k , u k , , u k } là m t h nghi m c b n 1 2 s Không gian nghi m SA có dimSA = s và m t c { u k , u k , , u k } ã tìm 1 2 s 12 s là h nghi m c b n §7 KHÔNG GIAN T NG 7.1 nh lý Cho W1,W2, , Wn là các không gian con c a V W = { u1 + u2 + + un ui Wi, 1 i t: n} n Khi ó W là không gian con c a V sinh b i U Wi Ta g i W là không gian t ng c a W1,W2, , i 1 Wn, kí hi u: W = W1 + W2 + + Wn... Cho W1, W2 là hai không gian véct con h u h n chi u c a V Khi ó W1 + W2 là không gian con h u h n chi u c a V và dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 – dim(W1 W2) 7.4 nh ngh a Cho W1, W2, , Wn là các không gian con c a V Ta nói W là không gian t ng tr c ti p c a W1, W2, , Wn , kí hi u W n u W = W1 + W2 + + Wn và Wi W1 ( W2 Wj ) Wn v im i1 i n j i 7.5 H qu Cho W1, W2, , Wn là các không gian con c a h u... i ánh x tuy n tính f: V sau t ng c u 2) N u B là m t c s b t k c a V thì {f(u)| u B} là m t c s c a W 3) T n t i m t c s B c a V sao cho {f(u)| u B} là m t c s c a W Nh n xét Do 2.7 n = dimV nh lý 2.6, n u V W thì dim V = dimW nh lý N u V là m t không gian véct h u h n chi u trên F thì V Fn , trong ó 2.8 nh lý Cho f: V W là m t ánh x tuy n tính t không gian véct h u h n chi u V vào không gian véct... n A = (aij)m n là ma tr n chính t c c a ánh x tuy n tính f 3.4 Ví d Cho ánh x tuy n tính f: R3 R3 nh b i: f(x, y, z) = (3x – 2y + 4z, 7x – y + z, x – 3y – z) V i B0 = (e1, e2, e3) là c s chính t c c a R3, ta có: ma tr n chính t c c a ánh x tuy n tính f là: 3 A 2 4 7 1 1 3 1 1 3.5 Cách tìm Ker(f) và Im(f) c a ánh x tuy n tính f: Fn Gi s ánh x tuy n tính f: Fn Fm Fm có ma tr n chính t c là A = (aij)m... là không gian nghi m c a h ph AX = 0 x1 x2 xn ng trình tuy n tính thu n nh t 2) Im(f): G i A0 = (e1, e2, , en) là c s chính t c c a Fn, ta có: f(e1) = (a11, a21, , am1); f(e2) = (a12, a22, , am2); f(en) = (a1n, a2n, , amn) Mà Im(f) = < f(e1), f(e2), , f(en) > nên Im(f) chính là không gian c t c a ma tr n A, ngh a là không gian sinh b i các véct c t c a ma tr n A Nói cách khác, Im(f) là không gian... riêng, vect riêng và không gian riêng c a ma tr n 1) L p a th c 2) Gi i ph c tr ng ng trình A( A( )= A– I )=0 tìm các tr riêng c a ma tr n A 3) ng v i m i tr riêng , không gian riêng V( ) là không gian nghi m c a ph trình Au = u, ngh a là c a h ph ng trình tuy n tính thu n nh t (1) 3 Ví d Cho ma tr n th c A = 3 2 1 3 1 1 2 Tìm tr riêng và vect riêng c a A Xác 0 c s , s chi u c a các không gian riêng t Gi . 1 ÔN THI CAO HC PHN I S TUYN TÍNH (GV Trn Ngc Hi - 2011) A- KHÔNG GIAN VÉCT §1. NH NGHA VÀ TÍNH CHT CN BN 1.1 h tu ý các không gian con ca V cng là mt không gian con ca V. Chú ý . Hp ca hai không gian con ca V không nht thi t là mt không gian con ca