Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………
LUẬN VĂN
Ứng dụng bài toán nội suy
Lagrange và khai triển Tatlor
1
Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u
Trong qua´ trı`nh tı´nh toa´n, nhiˆe
`
u khi ta cˆa
`
n pha
’
i xa´c d¯i
.
nh gia´ tri
.
cu
’
amˆo
.
t ha`m sˆo
´
f(x)
ta
.
imˆo
.
t d¯ i ˆe
’
m tu`y y´ cho tru
.
´o
.
c, trong khi d¯o´ d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
nchı
’
m´o
.
i cho biˆe
´
tmˆo
.
tsˆo
´
gia´ tri
.
(r`o
.
ira
.
c) cu
’
a ha`m sˆo
´
va`cu
’
ad¯a
.
o ha`m ha`m sˆo
´
d¯ ˆe
´
ncˆa
´
p na`o d¯o´cu
’
a no´ ta
.
imˆo
.
tsˆo
´
d¯ i ˆe
’
m
x
1
,x
2
, ···,x
k
cho tru
.
´o
.
c.
V´o
.
inh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pnhu
.
vˆa
.
y, ngu
.
`o
.
itathu
.
`o
.
ng tı`m ca´ch xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t ha`m sˆo
´
P (x)
da
.
ng d¯o
.
n gia
’
nho
.
n, thu
.
`o
.
ng la` ca´c d¯a th´u
.
cd¯a
.
isˆo
´
, tho
’
ama
˜
nca´cd¯iˆe
`
ukiˆe
.
nd¯a
˜
cho. Ngoa`i
ra, ta
.
inh˜u
.
ng gia´ tri
.
x ∈ R ma` x khˆong tru`ng v´o
.
i x
1
,x
2
, ···,x
k
, thı` P (x) ≈ f (x) (xˆa
´
pxı
’
theo mˆo
.
td¯ˆo
.
chı´nh xa´c na`o d¯o´).
Ha`m sˆo
´
P (x)d¯u
.
o
.
.
c xˆay du
.
.
ng theo ca´ch v`u
.
amˆota
’
trˆen d¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` ha`m nˆo
.
i suy cu
’
a
f(x); ca´c d¯iˆe
’
m x
1
,x
2
, ···,x
k
thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`ca´cnu´t nˆo
.
i suy va` ba`i toa´n xˆay du
.
.
ng
ha`m P (x)nhu
.
vˆa
.
yd¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`Ba`i toa´n nˆo
.
i suy.
Su
.
’
du
.
ng ha`m (d¯a th´u
.
c) nˆo
.
i suy P(x), ta dˆe
˜
da`ng tı´nh d¯u
.
o
.
.
c gia´ tri
.
tu
.
o
.
ng d¯ˆo
´
i chı´nh
xa´c cu
’
a ha`m sˆo
´
f(x)ta
.
i x ∈ R tu`y y´ cho tru
.
´o
.
c. T`u
.
d¯ o´, ta co´ thˆe
’
tı´nh gˆa
`
n d¯u´ng gia´ tri
.
d¯ a
.
oha`mva` tı´ch phˆan cu
’
a no´ trˆen R.
Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
nrad¯`o
.
it`u
.
rˆa
´
ts´o
.
mva`d¯o´ng vai tro` rˆa
´
t quan tro
.
ng trong
thu
.
.
ctˆe
´
. Do d¯o´, viˆe
.
c nghiˆen c´u
.
u ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy la` rˆa
´
t co´ y´ nghı
˜
a.
O
.
˙’
ca´c tru
.
`o
.
ng phˆo
’
thˆong, ly´ thuyˆe
´
tvˆe
`
vˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y khˆong d¯u
.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa
.
p, nhu
.
ng nh˜u
.
ng
´u
.
ng du
.
ng so
.
cˆa
´
pcu
’
a no´ cu
˜
ng ”ˆa
’
nhiˆe
.
n” khˆong ı´t, ch˘a
’
ng ha
.
n trong ca´c phu
.
o
.
ng trı`nh
d¯ u
.
`o
.
ng ho˘a
.
cphu
.
o
.
ng trı`nh m˘a
.
tbˆa
.
c hai, trong ca´c d¯˘a
’
ng th´u
.
cda
.
ng phˆan th´u
.
cva`d¯˘a
.
cbiˆe
.
t
la` viˆe
.
c´u
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va` khai triˆe
’
n Taylor d¯ˆe
’
gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n
kho´ trong ca´c d¯ˆe
`
thi ho
.
c sinh gio
’
ica´ccˆa
´
p.
Vı` vˆa
.
y, viˆe
.
c hı`nh tha`nh mˆo
.
t chuyˆen d¯ˆe
`
cho
.
nlo
.
cnh˜u
.
ng vˆa
´
n d¯ ˆe
`
co
.
ba
’
n nhˆa
´
tvˆe
`
ca´c ba`i
toa´n nˆo
.
i suy, du
.
´o
.
i go´c d¯ˆo
.
toa´n phˆo
’
thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
tla`nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
a no´ trong qua´
trı`nh gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng toa´n kho´ la` rˆa
´
tcˆa
`
n thiˆe
´
t. Ho
.
nn˜u
.
a, chuyˆen d¯ˆe
`
na`y cu
˜
ng co´ thˆe
’
la`m ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o cho ca´c gia´o viˆen gio
’
iva` ca´c sinh viˆen nh˜u
.
ng n˘am d¯ˆa
`
ucu
’
abˆa
.
c
d¯ a
.
iho
.
c.
´
Ytu
.
o
.
’
ng muˆo
´
n thu
.
.
chiˆe
.
n luˆa
.
n v˘an na`y hı`nh tha`nh tru
.
´o
.
c khi cuˆo
´
n sa´ch chuyˆen kha
’
o
[2] ra d¯`o
.
i. D
-
ˆay v`u
.
a la` mˆo
.
t thuˆa
.
nlo
.
.
iv`u
.
a la` mˆo
.
t kho´ kh˘an cho nˆo
˜
lu
.
.
c tı`m kiˆe
´
mnh˜u
.
ng
ne´t m´o
.
i cho luˆa
.
n v˘an cu
’
a ta´c gia
’
, vı` cuˆo
´
n sa´ch trˆen la` mˆo
.
t ta`i liˆe
.
urˆa
´
t quı´ gia´, trong khi
d¯ o´ hˆa
`
unhu
.
chu
.
a co´ mˆo
.
t ta`i liˆe
.
u toa´n so
.
cˆa
´
pna`od¯ˆe
`
cˆa
.
p d¯ ˆe
´
nvˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y mˆo
.
t ca´ch tro
.
n
ve
.
n. Do d¯o´, luˆa
.
n v˘an khˆong qua´ d¯ˆe
`
cˆa
.
psˆauvˆe
`
ly´ thuyˆe
´
t ma` cˆo
´
g˘a
´
ng tı`m kiˆe
´
mnh˜u
.
ng
´u
.
ng du
.
ng cu
’
ano´va`o viˆe
.
c gia
’
iva` sa´ng ta´c ca´c ba`i tˆa
.
po
.
’
phˆo
’
thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
tla`nh˜u
.
ng ´u
.
ng
2
du
.
ng thu
.
`o
.
ng g˘a
.
pcu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va` khai triˆe
’
n Taylor.
Ba
’
nto´mt˘a
´
t luˆa
.
n v˘an da`y 24 trang, gˆo
`
m ca´c phˆa
`
nMo
.
’
d¯ ˆa
`
u, ba chu
.
o
.
ng nˆo
.
i dung, kˆe
´
t
luˆa
.
nva`Ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o.
Chu
.
o
.
ng 1: Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
n.
Nˆo
.
i dung chu
.
o
.
ng na`y trı`nh ba`y mˆo
.
t ca´ch co
.
ba
’
n nhˆa
´
tvˆe
`
ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
n,
d¯ o´ la` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton va`
Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite.
Chu
.
o
.
ng 2: Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy.
D
-
ˆay la` mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng nˆo
.
i dung tro
.
ng tˆam cu
’
a luˆa
.
n v˘an. V´o
.
itˆa
`
m quan tro
.
ng o
.
’
phˆo
’
thˆong, cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va`nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
a no´ d¯u
.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa
.
p tha`nh
mˆo
.
t phˆa
`
n riˆeng trong chu
.
o
.
ng na`y v´o
.
inh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng pha´p gia
’
i toa´n kha´ d¯a da
.
ng va`
mˆo
.
tsˆo
´
lu
.
o
.
.
ng ba`i tˆa
.
p d¯ ˆe
`
xuˆa
´
t kha´ phong phu´. Nhiˆe
`
ud¯˘a
’
ng th´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng phˆan th´u
.
c
co´ nguˆo
`
ngˆo
´
ct`u
.
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c luˆa
.
n v˘an pha´t hiˆe
.
n. Nhiˆe
`
u ba`i
toa´n thi cho
.
nho
.
c sinh gio
’
i quˆo
´
c gia va` quˆo
´
ctˆe
´
d¯ a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c gia
’
ib˘a
`
ng ca´ch a´p du
.
ng cˆong
th´u
.
cnˆo
.
i suy na`y. Phˆa
`
n co`n la
.
icu
’
a chu
.
o
.
ng trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
c
nˆo
.
i suy co`n la
.
i. Mˆo
.
tsˆo
´
ba`i tˆa
.
p da`nh cho ba
.
nd¯o
.
ccu
˜
ng d¯u
.
o
.
.
c gi´o
.
i thiˆe
.
uo
.
’
phˆa
`
n cuˆo
´
i chu
.
o
.
ng.
Chu
.
o
.
ng 3:
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyd¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va` xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
.
Chu
.
o
.
ng na`y ta´ch riˆeng mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyd¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va`xˆa
´
p
xı
’
ha`m sˆo
´
.Mˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng toa´n kho´ o
.
’
phˆo
’
thˆong liˆen quan d¯ˆe
´
nvˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa
.
p, trong d¯o´ co´ nh˜u
.
ng ba`i trong ca´c d¯ˆe
`
thi cho
.
nho
.
c sinh gio
’
i quˆo
´
c gia va` quˆo
´
ctˆe
´
.Mˆo
.
t
sˆo
´
phˆa
`
ncu
’
a luˆa
.
n v˘an d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c d¯˘ang ta
’
i trong ca´c ky
’
yˆe
´
uhˆo
.
i nghi
.
chuyˆen nga`nh, ch˘a
’
ng
ha
.
n [1].
Luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n tha`nh nh`o
.
su
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
cva` nhiˆe
.
t tı`nh cu
’
aTiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n - Ngu
.
`o
.
i Thˆa
`
yrˆa
´
t nghiˆem kh˘a
´
cva`tˆa
.
n tˆam trong cˆong viˆe
.
c, truyˆe
`
nd¯a
.
t
nhiˆe
`
ukiˆe
´
nth´u
.
c quı´ ba´u cu
˜
ng nhu
.
kinh nghiˆe
.
m nghiˆen c´u
.
u khoa ho
.
c trong suˆo
´
t th`o
.
i gian
nghiˆen c ´u
.
u d¯ ˆe
`
ta`i. Chı´nh vı` vˆa
.
y ma` ta´c gia
’
luˆon to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh va` sˆau s˘a
´
c
d¯ ˆo
´
iv´o
.
i Thˆa
`
ygia´ohu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n-Tiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n.
Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia
’
xin d¯u
.
o
.
.
c ba`y to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh d¯ˆe
´
n: Ban Gia´m Hiˆe
.
u,
Pho`ng d¯a`o ta
.
oD
-
a
.
iho
.
cva` sau D
-
a
.
iho
.
c, Khoa toa´n cu
’
a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho
.
n, cu`ng quı´
thˆa
`
y cˆo gia´o d¯a
˜
tham gia gia
’
ng da
.
yva`hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
c cho l´o
.
p cao ho
.
c toa´n kho´a 8.
UBND tı
’
nh, So
.
’
gia´o du
.
cva` d¯a`o ta
.
otı
’
nh Gia Lai, Ban Gia´m Hiˆe
.
u tru
.
`o
.
ng THPT Ia Grai
d¯ a
˜
cho ta´c gia
’
co
.
hˆo
.
iho
.
ctˆa
.
p, cu`ng v´o
.
i quı´ thˆa
`
y cˆo gia´o cu
’
a nha` tru
.
`o
.
ng d¯a
˜
d¯ ˆo
.
ng viˆen, se
’
chia cˆong viˆe
.
cva`ta
.
omo
.
i d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n thuˆa
.
nlo
.
.
i d¯ ˆe
’
ta´c gia
’
nghiˆen c ´u
.
uva` hoa`n tha`nh luˆa
.
n
v˘an na`y.
Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an, ta´c gia
’
co`n nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
quan tˆam d¯ˆo
.
ng viˆen
cu
’
aca´cba
.
nd¯ˆo
`
ng nghiˆe
.
p, ca´c anh chi
.
em trong ca´c l´o
.
p cao ho
.
c kho´a VII, VIII, XIX cu
’
a
tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho
.
n. Ta´c gia
’
xin chˆan tha`nh ca
’
mo
.
ntˆa
´
tca
’
nh˜u
.
ng su
.
.
quan tˆam
d¯ ˆo
.
ng viˆen d¯o´.
3
D
-
ˆe
’
hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an na`y, ta´c gia
’
d¯ a
˜
tˆa
.
p trung rˆa
´
t cao d¯ˆo
.
trong hoc tˆa
.
pva` nghiˆen
c´u
.
u khoa ho
.
c, cu
˜
ng nhu
.
rˆa
´
tcˆa
’
n thˆa
.
n trong nhˆan chˆe
´
ba
’
n. Trong d¯o´ ı´ t n h i ˆe
`
uha
.
n chˆe
´
vˆe
`
th`o
.
i gian cu
˜
ng nhu
.
trı`nh d¯ˆo
.
hiˆe
’
ubiˆe
´
t nˆen trong qua´ trı`nh thu
.
.
chiˆe
.
n khˆong thˆe
’
tra´nh
kho
’
inh˜u
.
ng thiˆe
´
u so´t, ta´c gia
’
rˆa
´
t mong nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
chı
’
ba
’
ocu
’
a quı´ thˆa
`
ycˆova`nh˜u
.
ng
go´p y´ cu
’
aba
.
nd¯o
.
c d¯ ˆe
’
luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n thiˆe
.
nho
.
n.
Quy Nho
.
n, tha´ng 03 n˘am 2008
Ta´c gia
’
4
Chu
.
o
.
ng 1
C´ac b`ai to´an nˆo
.
i suy cˆo
˙’
d¯ i ˆe
˙’
n
Trong chu
.
o
.
ng na`y, luˆa
.
nv˘and¯ˆe
`
cˆa
.
pmˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
nse
˜
su
.
’
du
.
ng o
.
’
ca´c chu
.
o
.
ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, Bai toa´n nˆo
.
i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo
.
i
suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite. L`o
.
i gia
’
i cho ca´c ba`i toa´n na`y la` ca´c d¯a th ´u
.
c
nˆo
.
i suy tu
.
o
.
ng ´u
.
ng ma` ch´u
.
ng minh chi tiˆe
´
td¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c trı`nh ba`y trong [2]
1.1 B`ai to´an nˆo
.
i suy Lagrange
1.1.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Lagrange
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
i
,v´o
.
i x
i
= x
j
,v´o
.
imo
.
i i = j, i, j =1, 2, ···,N.Ha
˜
yxa´cd¯i
.
nh
d¯a th´u
.
c L(x) co´bˆa
.
c degL(x) ≤ N − 1 va` tho
’
aca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
L(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ···,N.
1.1.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange
Ky´ hiˆe
.
u
L
i
(x)=
N
j=1,j=i
x − x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ···,N.
Khi d¯o´,d¯ath´u
.
c
L(x)=
N
i=1
a
i
L
i
(x)
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange va` ta go
.
id¯ath´u
.
c
na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
5
1.2 B`ai to´an nˆo
.
i suy Taylor
1.2.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Taylor
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
0
,a
i
, v´o
.
i i =0, 1, ···,N − 1.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c T (x) co´bˆa
.
c
degT (x) ≤ N − 1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
T
i
(x
0
)=a
i
, ∀i =0, 1, ···,N −1.
1.2.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor
D
-
ath´u
.
c
T (x)=
N −1
i=0
a
i
i!
(x − x
0
)
i
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor va`go
.
i d¯a th´u
.
c na`y
la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
1.3 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton
1.3.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Newton
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
i
, v´o
.
i i =1, 2, ···,N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c N (x) co´bˆa
.
c
degN (x) ≤ N − 1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
N
i−1
(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ···,N.
1.3.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
Ky´ hiˆe
.
u
R
i
(x
1
,x
2
, ···,x
i
,x)=
x
x
1
t
x
2
t
1
x
3
···
t
i−2
x
i
dt
i−1
dt
2
.dt
1
.dt; i =1, 2, ···,N.
khi d¯o´,d¯ath´u
.
c
N(x)=
N
i=1
a
i
R
i−1
(x
1
,x
2
, , x
i−1
,x)
= a
1
+ a
2
R(x
1
,x)+a
3
R
2
(x
1
,x
2
,x)+···+ a
N
R
N −1
(x
1
, ···,x
N −1
,x)
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton va` ta go
.
i d¯a th´u
.
c
na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
6
Nhˆa
.
n xe´ t 1.1. V´o
.
i x
i
= x
0
, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,N, thı`
R
i
(x
0
,x
1
, ···,x
i−1
,x)=R
i
x
0
, ···,x
0
i lˆa
`
n
,x
=
x
x
0
t
x
0
t
1
x
0
···
t
i−2
x
0
dt
i−1
dt
2
.dt
1
.dt
=
(x − x
0
)
i
i!
; v´o
.
i i =1, 2, ···,N
Khi d¯o´
N(x)=
N
i=1
a
i
R
i
x
0
, ···,x
0
i lˆa
`
n
,x
=
= a
0
+ a
1
R(x
0
,x)+a
2
R
2
(x
0
,x
0
,x)+···+ a
N −1
R
N −1
x
0
, ···,x
0
N −1 lˆa
`
n
,x
= a
0
+ a
1
(x − x
0
)+a
2
(x − x
0
)
2
2
+ ···+ a
N −1
(x − x
0
)
N −1
(N − 1)!
=
N −1
i=0
a
i
(x − x
0
)
i
i!
≡ T(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i x
i
= x
0
, ; ∀i =1, 2, ···,N, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Newton chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i
suy Taylor.
1.4 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite
1.4.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Hermite
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
ki
,i=1, 2, ···,n; k =0, 1, ···,p
i
−1 va` x
i
= x
j
,v´o
.
imo
.
i i = j,
trong d¯o´ p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c H(x) co´bˆa
.
c degH(x) ≤ N −1 va`
tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
H
(k)
(x
i
)=a
ki
, ∀i =1, 2, ···,n; ∀k =0, 1, ···,p
i
− 1
1.4.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite
Ky´ hiˆe
.
u
W (x)=
n
j=1
(x − x
j
)
p
j
;
W
i
(x)=
W (x)
(x − x
i
)
p
i
=
n
j=1,j=i
(x − x
j
)
p
j
; i =1, 2, ···,n
7
Go
.
i d¯oa
.
n khai triˆe
’
n Taylor d¯ˆe
´
ncˆa
´
pth´u
.
p
i
−1−k,v´o
.
i k =0, 1, ···,l; l =0, 1, ···,p
i
−1,
ta
.
i x = x
i
cu
’
a ha`m sˆo
´
1
W
i
(x)
(i =1, 2, ···,n)la`
T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
p
i
−1−k
l=0
1
W
i
(x)
(l)
(x=x
i
)
(x − x
i
)
l
l!
.
khi d¯o´,d¯ath´u
.
c
H(x)=
n
i=1
p
i
−1
k=0
a
ki
(x − x
i
)
k
k!
W
i
(x)T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
.
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite va`tago
.
id¯ath´u
.
c
na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite.
Nhˆa
.
n xe´ t 1.2.
V´o
.
i n = 1, thı` i =1va` p
1
= N. Khi d¯o´, ta co´
W (x)=(x − x
1
)
N
;
W
1
(x)=
W (x)
(x − x
1
)
N
=1.
Do d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe
’
n
T
1
W
1
(x)
(N −1−k )
(x=x
1
)
= T
1
(N −1−k )
(x=x
1
)
=1.
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
N −1
k=0
a
k1
(x − x
1
)
k
k!
≡ T(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i n = 1, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
Nhˆa
.
n xe´ t 1.3.
V´o
.
i k = 0, thı` p
i
= 1, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,n. Khi d¯o´
p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N,
hay n = N. Do d¯o´, ta co´
W (x)=
N
j=1
(x − x
j
);
W
i
(x)=
N
j=1,j=i
(x − x
j
),i=1, 2, ···,N.
8
khi d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe
’
n Taylor
T
1
W
i
(x)
0
(x=x
i
)
=
1
W
i
(x
i
)
=
1
N
j=1,j=i
(x
i
− x
j
)
,i=1, 2, ···,N.
Vˆa
.
y,taco´
H(x)=
N
i=1
a
0i
N
j=1,j=i
x −x
j
x
i
− x
j
≡ L(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i k = 0, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange. Trong
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
ptˆo
’
ng qua´t, viˆe
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
n d¯a th ´u
.
c Hermite kha´ ph´u
.
cta
.
p. Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
t
va`i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p riˆeng d¯o
.
n gia
’
n kha´c cu
’
a d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite, khi hˆe
.
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
nchı
’
ch´u
.
ad¯a
.
o ha`m bˆa
.
c nhˆa
´
t.
Nhˆa
.
n xe´ t 1.4.
Nˆe
´
u p
i
= 2, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,n, thı` khi d¯o´ k = 0 ho˘a
.
c k =1.
+V´o
.
i k = 0, ta co´
T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
= T
1
W
i
(x)
(1)
(x=x
i
)
=
1
l=0
1
W
i
(x)
(l)
(x=x
i
)
(x − x
i
)
l
l!
=
1
W
i
(x
i
)
−
W
i
(x
i
)
W
2
i
(x
i
)
(x − x
i
)
=
1
W
i
(x
i
)
1 −
W
i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)
, v´o
.
i i =1, 2, ···,n.
+V´o
.
i k = 1, ta co´
T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
= T
1
W
i
(x)
(0)
(x=x
i
)
=
0
l=0
1
W
i
(x)
(l)
(x=x
i
)
(x − x
i
)
l
l!
=
1
W
i
(x
i
)
−
W
i
(x
i
)
W
2
i
(x
i
)
(x − x
i
)=
1
W
i
(x
i
)
.
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
n
i=1
1
k=0
a
ki
(x − x
i
)
k
k!
W
i
(x)T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
n
i=1
a
0i
W
i
(x)T
1
W
i
(x)
(1)
(x=x
i
)
+a
1i
(x − x
i
)W
i
(x)T
1
W
i
(x)
(0)
(x=x
i
)
=
n
i=1
W
i
(x)
a
0i
1
W
i
(x
i
)
1 −
W
i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)
+a
1i
(x − x
i
)
1
W
i
(x
i
)
=
n
i=1
W
i
(x)
W
i
(x
i
)
a
0i
1 −
W
i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)
+a
1i
(x − x
i
)
=
n
i=1
W
i
(x)
W
i
(x
i
)
a
0i
−
a
0i
W
i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
− a
1i
(x − x
i
)
.
9
Ngoa`i ra, trong phˆa
`
n ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, ta d¯a
˜
biˆe
´
tr˘a
`
ng
L
i
(x)=
n
j=1,j=i
x −x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ···,n
va`
L
i
(x
j
)=
1, khi i = j
0, khi i = j.
Do d¯o´
L
i
(x
i
) ≡ 1, ∀i = 1,n.
Vˆa
.
y
W
i
(x)
W
i
(x
i
)
=
n
j=1,j=i
(x − x
j
)
2
(x
i
− x
j
)
2
= L
2
i
(x); i = 1,n.
D
-
a
.
o ha`m theo x hai vˆe
´
cu
’
ad¯˘a
’
ng th´u
.
c trˆen, ta d¯u
.
o
.
.
c
W
i
(x)
W
i
(x
i
)
=2L
i
(x)L
i
(x)=2L
i
(x
i
).
Do d¯o´,d¯ath´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p na`y co´ da
.
ng
H(x)=
n
i=1
L
2
i
(x)
a
0i
−
2a
0i
L
i
(x
i
) − a
1i
(x − x
i
)
.
Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
tva`i minh ho
.
achoviˆe
.
cvˆa
.
ndu
.
ng ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy (do ta´c gia
’
sa´ng
ta´c)
Ba`i toa´ n 1.1. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c 4, tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n sau:
P (−1) = 3a +1(a>0) ; P
(0) = 0;
P
(1) = 4(3 + a); P
(3)
(−2) = −48;
P
(4)
(2008) = 24.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
Q(x)=P (x)+P
(x)+P
(x)+P
(3)
(x)+P
(4)
(x) > 0. ∀x ∈ R.
Ba`i toa´ n 1.2. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c n, tho
’
ama
˜
n:
P (2007) < 0; −P
(2007) ≤ 0,P
(2007) ≤ 0, ···, (−1)
n
P
(n)
≤ 0;
P (2008) > 0,P
(2008) ≥ 0,P
(2008) ≥ 0, ···,P
(n)
(2008) ≥ 0.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ca´c nghiˆe
.
m thu
.
.
ccu
’
a P(x) thuˆo
.
c (2007; 2008).
[...]... n Da th´.c co dang u ´ n n aj j=1 i=1,ı=j x − xi xj − x i (2.1) (2.2) Da th´.c (2.2) d u.o.c goi la d a th´.c nˆi suy Lagrange ho˘c cˆng th´.c nˆi suy Lagrange u ¯ u o a o u o `¯ o.c goi la cac nut nˆi suy ´ Cac sˆ x1 , x2, · · · , xn d u ´ o ¯ ` ´ ´ o ( ) T` cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, ta co u o u o ´ - ˜ ´ ´ Dinh nghı a 2.2 Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt Thˆ thı moi d a th´.c P... ¯ˆ e ` o e ’ ´ o 3 Mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy Taylor, nˆi suy Newton, nˆi suy Hermite o o ´ u o o o ´ ´ ’ ´ 4 U ng dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va cac tı o u o ` ´ ´nh chˆ t cua d a th´.c Chebyshev dˆ a ’ ¯ u ¯e ´ u.´.c lu.o.ng ham sˆ o ` o ´ ’ o 5 Xˆy du.ng cac d a th´.c xˆ p xı thˆng qua cac cˆng th´.c nˆi suy va xˆy du.ng cˆng a ´ ¯ u a ´ o u o ` a o c tı ´ d ˆ... sˆ nˆi dung chı a a `nh ` e o o o o ´nh sau: ´ ´ ´ ’ ’ ´ ` ´ o 1 Nˆu kˆ t qua cua cac bai toan nˆi suy la cac d a th´.c nˆi suy Lagrange, Taylor, Newton, e e ` ´ ¯ u o ’ o ’ u.ng dung vao viˆc giai cac bai toan phˆ thˆng ’ ´ ` ´ o Hermite dˆ ´ ¯e ` e ´ ’ ´ ´ ’ 2 U ng dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange dˆ tı d u.o.c ban chˆ t cua hˆu hˆ t cac d` ng o u o ¯e `m ¯ a ’ ` a e ´ ¯ˆ o c dang phˆn... o o ´ u nˆi suy o ’ ´ o ` `nh bay mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy, trong d´ d` cˆp ` o o ´ u o ¯o ¯ˆ a e Chu.o.ng nay trı ´ n d ˆ i v´.i cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, cˆng th´.c co nhiˆu u.ng dung dˆ giai mˆt ’ ´ ` ´ sˆu ho ¯o o o a u o o u ´ e ¯e ’ o hˆ phˆ thˆng chuyˆn toan ’ ´ sˆ bai toan kho o e o o o ` ´ ´ ’ e ´ ´ e ´ ’ ` ´ Vˆ n d` u.ng dung cˆng th´.c nˆi suy trong u.´.c... , n} ˜ ´ ’ ¯ Nhˆn xe t 2.3 Cˆng th´.c (2.8) cu ng chı a ´ o u ´nh la mˆt cach viˆ t khac cua d a th´.c nˆi suy ` o ´ e ´ u o o.c trı ` ´ ` ´ `nh bay trong phˆn cac bai toan nˆi suy ` a o Newton d˜ d u ¯a ¯ 2.2.3 Cˆng th´.c nˆi suy Hermite o u o ´ ’ ’ Nhˆn xe t 2.4 Trong bai toan nˆi suy Hermite, nˆ u n = 2 thı i = 1 ho˘c i = 2 Gia su a ´ ` ´ o e ` a ´ p1 = 1 va p2 = 3 Thˆ thı p1 + p2 = 4... th´.c nˆi suy Lagrange trˆn tˆp ´ ’ ’ Pn (x) la d a th´ a ´ ¯ o u o e a ` ¯ u X = {xj | j = 0, , n} ⊆ (0, 1) ˜ ´ ¯i ¯o e ´ Ha y xac d nh d ˆ lˆch sai sˆ o Rn+1 (x) := |y(x) − Pn (x)| trˆn tˆp {(0, 1) \ X} e a ´ ’ ’ Bai toa n 3.20 Cho d oan I ⊂ R va cho M = sup{|f (x)|; x ∈ I} Gia su ta d˜ xˆ p xı ` ´ ¯ ` ¯a a ’ o.c f (x) bo.i d a th´.c xˆ p xı bˆc nhˆ t xac d inh theo cˆng th´.c nˆi suy Lagrange. .. ˆ i kho, v´.i nh˜.ng ky thuˆt ch´.ng minh kha ph´.c tap, d u.o.c trı ` ¯o ´ o u a u ´ u ¯ `nh bay o chu.o.ng sau ` ’ 2.1 2.1.1 ´ ˙ ’ o u o Mˆt sˆ u.ng dung cu a cˆng th´.c nˆi suy Lagrange o o´ Cˆng th´.c nˆi suy Lagrange o u o - ˜ ´ ´ ´ Dinh nghı a 2.1 Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt va n sˆ a1 , a2, · · · , an tuy ´ Thˆ o a e ` o ` y e c P (x) v´.i bˆc khˆng vu.o.t qua n − 1, thoa... c´c cˆng th´.c nˆi suy kh´c o o ´ Cˆng th´.c nˆi suy Taylor o u o ’ ´ ’ ’ ` ˜ ´ ¯e ´ a o o u ¯ Cˆng th´.c nˆi suy Taylor cho ta cˆng th´.c d o.n gian va cu ng rˆ t tˆ ng quat dˆ xac o u o ’ ` ´ ’ ` d inh phˆn chı ¯ a ´nh cua ham sˆ Do d´ , dˆ tı gi´.i han, ngu.`.i ta thu.`.ng dung cˆng th´.c o ¯o ¯e `m o o o ` o u i mˆt cˆ p nao d´ Du.´.i d ˆy la mˆt sˆ vı du minh hoa ’ khai triˆ n Taylor t´... Chiˆ n-Huynh Minh Thuˆn, 2007, Ky yˆ u”Mˆt sˆ chuyˆn d` toan hoc hˆ e ` a o o e ¯ˆ ´ e -` ´ e ng dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, NXB Tru.`.ng Dai hoc Khoa - o u o o THPT, Mˆt sˆ u o o ´ ´ nhiˆn - DHQG Ha Nˆi hoc Tu ` o e ˜ [2] Nguyˆn V˘n Mˆu, 2007, Cac bai toan nˆi suy va u.ng dung, NXB Giao duc e a a ´ ` ´ o `´ ´ ˜ ´ [3] Nguyˆn V˘n Mˆu, 2001, Da th´.c d ai sˆ va phˆn th´.c h˜.u tı... d` xuˆ t 10 bai tˆp do tac gia sang tac ho˘c su.u tˆm a a ¯a ¯ˆ a e ´ ` a ´ ´ a 17 Chu.o.ng 3 ´ ˙ U ng dung cˆng th´.c nˆi suy d e’ o u o ¯ˆ ´ ´ ˙ a ’ o a a o u.´.c lu.o.ng v` xˆp xı h`m sˆ ´ ’ ´ o u o ` o ` a Mˆt trong nh˜.ng u.ng dung quan trong cua cac cˆng th´.c nˆi suy la u.´.c lu.o.ng va xˆ p o u ´ ng tru.`.ng ho.p ´ ´ ’ ` xı ham sˆ Dˆy la mˆt nˆi dung quan trong trong ly thuyˆ t ham .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………
LUẬN VĂN
Ứng dụng bài toán nội suy
Lagrange và khai triển Tatlor
1
Mo
.
’
d¯. nˆo
.
i suy Lagrange va` ta go
.
id¯ath´u
.
c
na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
5
1.2 B`ai to´an nˆo
.
i suy Taylor
1.2.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy
Ngày đăng: 14/02/2014, 18:20
Xem thêm: Tài liệu LUẬN VĂN: Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor pdf, Tài liệu LUẬN VĂN: Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor pdf