ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ……………… BÀI TẬP NHÓM HỌC PHẦN: ĐÁNH GIÁ TRONG DẠY HỌC TOÁN Đề tài: CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC THEO BLOOM TRONG CHỦ ĐỀ “HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc Nhóm thực hiện: Nhóm Các thành viên: Nguyễn Văn Hiền Nguyễn Thị Lý Nguyễn Thị Hoa Nguyễn Thị Tiểu Mơ Huế, 11/20 I MỞ ĐẦU Cũng mơn học khác THPT mơn Tốn có mục đích cung cấp cho học sinh kiến thức cách có hệ thống; rèn luyện, phát triển thao tác tư duy, từ nâng cao lực tư duy, khả sáng tạo giải toán.Giúp học sinh hiểu ý nghĩa, ứng dụng kiến thức toán học vào đời sống, vào việc phục vụ môn học khác Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh Bồi dưỡng phương pháp tự học Rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Chủ đề “Phương trình lượng giác hàm số lượng giác” chủ đề quan trọng chương trình Tốn THPT Chủ đề giới thiệu số hàm số lượng giác, phương trình lượng giác cac dạng phương trình lượng giác thường gặp Mục đích chủ đề giúp học sinh nắm tính chất tuần hoàn hàm số lượng giác, sử dụng đường trịn lượng giác để tìm nghiệm phưong trình lượng giác bản, rèn luyện kỹ biến đổi lượng giác kỹ giải dạng phương trình lượng giác quy định chương trình Nhiều tượng tuần hồn đơn giản thực tế mơ tả hàm số lượng giác, hàm số lượng giác có nhiều ứng dụng quan trọng ngành khoa học liên quan ngành sản xuất Vì kiến thức lượng giác mà học sinh trang bị trường THPT giúp học sinh hiểu giải tốt toán đề xuất từ thực tiễn Cuối cùng, việc học tập chủ đề lượng giác trường THPT cịn nhằm mục đích chuẩn bị cho học sinh sau trường có sở để học toán học cao cấp kỹ thuật sản xuất trường chuyên nghiệp Để đạt mục đích mục tiêu đánh giá giáo dục Tốn nói chung chủ đề Hàm số lượng giác phương trình lượng giác nói riêng phải đáp ứng phản ánh mức độ nhận thức học sinh Để từ trình đánh giá đưa quy định giúp nâng cao chất lượng học tập mơn Tốn đề phương pháp dạy phù hợp, đạt hiệu cao Dựa yêu cầu chung môn học yêu cầu cụ thể chủ đề này, sau học xong chương học sinh cần đạt mức độ nhận thức: nhận biết; thông hiểu; vận dụng; khả bậc cao II NỘI DUNG A Nhận biết Kiến thức thông tin Khả để gọi định nghĩa, ký hiệu, khái niệm lý thuyết Trong phạm trù học sinh đòi hỏi gọi định nghĩa kiện chưa cần phải hiểu Một ý quan trọng kiến thức khả lặp lại để sử dụng Những câu hỏi kiểm tra mục tiêu phần đặt cách xác với cách mà kiến thức học Cuối giai đoạn học sinh có khả để: + Nhận biết, phát biểu hàm số y  sinx, y  cosx, y  tan x, y  cotx ; + Biết tính tuần hồn, chu kì hàm số lượng giác; + Biết tính chẵn lẻ hàm số lượng giác, dạng đồ thị hàm số lượng giác; + Định nghĩa phương trình lượng giác bản; + Nhận phương trình bậc bậc hai hàm số lượng giác, phương trình đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác, phương trình dạng asinx  b cos x  c + Nhận biết tập giá trị hàm số lượng giác y  sinx, y  cosx, y  tan x, y  cotx ; + Nắm điều kiện a để phương trình sinx  a cosx  a có nghiệm; Những kỹ thuật kỹ Sử dụng trực tiếp việc tính tốn khả thao tác biểu diễn ký hiệu, lời giải Mục tiêu bao gồm việc sử dụng thuật toán kỹ thao tác khả thực trực tiếp phép tính, đơn giản hóa lời giải tương tự với ví dụ học sinh gặp lớp, có khác chi tiết Câu hỏi khơng đồi hỏi phải đưa định làm để tiếp cận toán, cần dùng kỹ thuật học, quy tắc phải nhắc lại áp dụng thẳng kỹ thuật học Cuối phần học sinh phải có khả để: + Biết dạng đồ thị hàm số lượng giác; + Biết cách vẽ đồ thị hàm số lượng giác bản; + Biết sử dụng đồ thị để xác định điểm hàm số lượng giác nhận giá trị âm, giá trị dương giá tri đặc biệt; + Biểu diễn công thức nghiệm dạng radian sang độ; + Tìm tập xác định phương trình lượng giác; + Biết cách giải phương trình bậc phương trình bậc hai hàm số lượng giác; + Biết cách giải phương trình dạng asin x  b cos x  c Một số ví dụ: Ví dụ 1: Hàm số sau hàm số lẻ: A y  cos2 x B y  sin( x   ) C y  tan5x D y  sinx  cos x Đáp án C Ở học sinh cần nhớ lại tính chẵn lẻ hàm số lượng giác Ví dụ : Tập xác định hàm số y  tan x là: A x  C x      k B x   k D x   k    k , k  Z Đáp án B Ở học sinh cần nhớ lại định nghĩa hàm số y  t anx tập xác định Ví dụ 3: Giải phương trình sinx  cos x  (1) Để làm câu này, trước hết học sinh cần nhận phương trình có dạng asin x  b cos x  c áp dụng thuật toán học để giải (1)   cox 1 sinx  cos x  2  sinx  sin   sin( x  )    cos x  2   sin( x  )  sin 4     x    k 2   x        k 2   4  x  k 2    x   k 2  k k B Thông hiểu Đây khả nắm ý nghĩa tài liệu chuyển đổi liệu từ dạng sang dạng khác, từ mức độ trừu tượng sang mức độ khác; khả giải thích hay suy ý nghĩa liệu; theo đuổi mở rộng lập luận giải tốn mà lựa chọn phép toán cần thiết Phạm trù gồm câu hỏi để học sinh sử dụng kiến thức học mà không cần liên hệ với kiến thức khác, hay nhận kiến thức qua áp dụng Những câu hỏi nhằm xác định xem học sinh có nắm ý nghĩa kiến thức mà chưa đòi hỏi học sinh phải áp dụng hay phân tích Các hành vi thể việc hiểu chia thành ba loại theo thứ tự sau đây: chuyển đổi giải thích ngoại suy 1.Chuyển đổi Đây q trình trí tuệ chuyển đổi ý tưởng giao tiếp thành dạng song song Học sinh yêu cầu thay đổi từ dạng ngôn ngữ sang dạng khác, hay từ dạng ký hiệu sang dạng khác Cuối giai đoạn học sinh có khả năng: + Viết hàm số để biểu thị đồ thị cho ngược lại; + Từ đồ thị hàm số ban đầu chuyển sang đồ thị hàm số khác, ví dụ từ đồ thị hàm số y = sinx học sinh suy đồ thị  hàm số y  sin( x  ) + Biểu diễn số thực sang giá trị lượng giác góc, ví dụ  sin 30 2 Giải thích Hành động giải thích việc xác định hiểu ý tưởng giao tiếp hiểu mối quan hệ chúng Nó gắn liền với việc giải thích hay tóm tắt giao tiếp, ví dụ từ đồ thị hay bảng liệu người ta yêu cầu rút yếu tố hay nhận xét Những toán phạm trù tương tự với mà học sinh quen thuộc trước đây, em cần hiểu khái niệm yếu để giải tốn Một định đưa khơng mà cịn để làm Cuối giai đoạn học sinh có khả năng: + Từ đồ thị hàm số lượng giác, chu kỳ hàm số đó; + Phân biệt khái niệm hàm số y  sinx, y  cos x, y  t anx, y  cotx ; liên hệ hàm số y  t anx y  cot x thông qua hàm số y  sin x y  cosx ; + So sánh tính chất hàm số y  sin x,y  cos x, y  t anx y  cot x tính đồng biến, chẵn lẻ…; + Chỉ ứng dụng hàm số lượng giác vào toán thực tế, toán khảo sát chuyển động lắc đơn, quỹ đạo chuyển động vệ tinh phóng lên từ trái đất…; + Biểu diễn nghiệm phương trình lượng giác lên đường trịn lượng giác, từ làm gọn nghiệm Ngoại suy Mục tiêu gắn liền với khả học sinh nhằm ngoại suy hay mở rộng hướng vượt liệu cho Cần phải có nhận thức giới hạn liệu giới hạn phạm vi mà ta mở rộng chúng Bất kỳ kết luận rút có mức độ xác suất Phép ngoại suy mở rộng việc giải thích mà theo cách học sinh giải thích liệu học sinh u cầu ứng dụng cụ thể, hệ hay tác động Cuối giai đoạn học sinh có thể: + Hiểu điểm đường trịn lượng giác biểu diễn cho họ góc lượng giác, từ làm gọn nghiệm thu phương trình lượng giác; + Hiểu tập xác định phương trình lượng giác, mở rộng phạm vi lấy nghiệm phải lưu ý trừ điểm mà hàm số khơng xác định; + Biết khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số lượng giác từ suy tất khoảng đồng biến nghịch biến khác (do tính tuần hàm số lượng giác); + Biết nghiệm tổng qt phương trình lượng giác tất nghiệm thuộc vào khoảng Một số ví dụ Ví dụ1: Trong khoảng  2 ;4  , phương trình sin 3x  có nghiệm? cos x  A C B D Đáp án D Ở đây, giải phương trình học sinh cần ý đặt điều kiện xác định Sau tìm nghiệm đoạn  2 ;4  Học sinh thường mắc sai lầm quên đặt điều kiện xác định Ví dụ 2: Đồ thị bên đồ thị hàm số A y  2cos x B y   cos x 1 C y   cos( x   )  -10 -5  D y  cos( x  )  10 -2 Đáp án B Thay x  vào phương án cho ta loại phương án C D Dựa vào miền giá trị hàm số y  cos x ta loại phương án A Ví dụ 3: sin  cos2 x   (1) Giải phương trình sau: Bài giải: (1)   cos2 x   cos2 x    k 2 , k   2k , k (2) Mặt khác ta có: 1  cos2 x  Vậy để (2) có nghiệm   x   k 2  Khi (2) trở thành cos2 x     x     k 2   1   2k  ,k    x   k    x     k   ,k  Vậy phương trình cho có hai họ nghiệm Để giải học sinh phải nhận dạng phương trình phải biết miền giá trị hàm số y  cos x để từ tìm giá trị k C Vận dụng Phạm trù việc sử dụng ý tưởng, quy tắc, hay phương pháp chung vào tình Cá câu hỏi yêu cầu học sinh phải áp dụng khái niệm quen thuộc vào tình khơng quen thuộc, có nghĩa phải áp dụng kiến thức việc hiểu kỹ vào tình tình trình bày theo dạng Phương pháp lời giải khơng có gợi ý câu hỏi, khả tìm kiếm lời giải khơng phải tái tạo lại lời giải lớp Điều quan trọng tình trình bày cho học sinh khác với em học cách có nguồn gốc, ý nghĩa trừu tượng mà em yêu cầu để áp dụng, để đảm bảo tốn khơng thể giải áp dụng phương pháp thường gặp Phạm trù cần thiết việc hiểu khái niệm trừu tượng không đảm bảo học sinh có khả nhận phù hợp áp dụng cách đắn vào tình thực tiễn Khả áp dụng khái niệm quy tắc địi hỏi cho tốn lúc đầu trơng khơng quen thuộc yếu tố cấu trúc lại theo hồn cảnh quen thuộc, điều quan trọng khóa học tốn tất học sinh học có dự định để áp dụng vào tình có vấn đề tốn thực tế Cuối giai đoạn học sinh có thể: + Có khả phát biểu lại công thức lượng giác theo ngôn ngữ riêng có khả tái tạo lại cơng thức cần thiết; + Áp dụng quy tắc lượng giác để đơn giản hóa phương trình lượng giác; + Chọn phương pháp biến đổi lượng giác thích hợp để giải tốn; + Từ tập giá trị hàm số y  sin x,y  cos x, y  t anx y  cot x đánh giá để giải toán lượng giác giải phương trình, bất phương trình, tốn tìm min, max hàm số…; + Áp dụng kiến thức lượng giác để giải tốn thực tế, ví dụ khảo sát chuyển động có tính tuần hồn thực tế Một số ví dụ  Ví dụ 1: Giải phương trình sin(  x)cot 3x  sin(  x)  2cos5 x  (1) Để giải phương trình học sinh cần xác định điều kiện xác định hàm số qua phép biến đổi Biết giá trị lượng giác góc đặc biệt Chọn cơng thức biến đổi lượng giác thích hợp ĐKXĐ sin3x  cos3x  sin x  2cos5 x  sin 3x  cos2 xcos3x  sin x sin 3x  2cos5 x sin x  (1)  cos2 x  cos5 x(1  sin 3x)  cos5 x   sin x      x   k     3 x   k 2 ,k    3 x     k 2   10    x k  10   2  x   k  12   x  3  k 2  12  , k Ví dụ 2: Cho phương trình m sinx  (m  1)cos x  m (2) Tìm giá trị cos x m cho phương trình cho có nghiệm Bài có nhiều cách biển đổi, chẳng hạn nhân hai vế với cosx đem phương trình dạng asin x  b cos x  c tìm điều kiện m, hay chia hai vế phương trình với cosx, đem phương trình cho dạng phương trình bậc hai tanx Sau trình bày cách giải thứ hai tương đối ngắn gọn bị nhầm lẫn ĐKXĐ : cos x  Với điều kiện chia hai vế phương trình (2) cho cosx, ta được: m t anx  m   m(1  tan x)  m tan x  m t anx   Đặt t anx  t , ta phương trình: mt  mt   (*) Do phương trình t anx  t có nghiệm với t nên phương trình cho có nghiệm (*) có nghiệm    m  4m  m    m  4 11 D Những khả bậc cao Đây phạm trù rộng bao gồm phạm trù con: phân tích, tổng hợp đánh giá Phân tích: bước khởi đầu quy tắc giải vấn đề hay đưa phán xét dựa kết lời giải, việc phân tích tốn thường quan trọng Việc thường có dạng: + Chia nhỏ thơng tin thành thành phần phù hợp tổ chức lại chúng + Phân biệt kiện từ giả thiết khẳng định giả thiết phải tao nên để chứng minh quy tắc Tổng hợp: Sau phân tích tốn, xếp yếu tố phần lại với để có cơng thức hay quy luật mà trước chưa thấy rõ ràng Khả này, đưa đến sáng tạo tính độc đáo cho phận học sinh cách rõ ràng nhất, gọi tổng hợp Đánh giá: sau phân tích vấn đề, học sinh u cầu đưa đánh kết việc phân tích thơng tin Khả xác định tiêu chuẩn giá trị cho ý tưởng hay sản phẩm đưa phán xét xác đáng gọi đánh giá Cuối giai đoạn học sinh có thể: + Phát sai lầm lập luận mình, ví dụ sai lầm dùng bất đẳng thức côsi để giải tốn tìm min, max hàm số; + Sáng tạo việc sử dụng công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức lượng giác, từ có lời giải hay; + Chuyển đổi phương trình lượng giác sang phương trình đại số số cách như: đặt t  tan x  cotx  2t 1 t2 ; sin x  ; cos2 x  1 t2 t 1 t2 t  a sinx  b cos x , t  a  b2 12 + Chuyển đổi phương trình đại số sang phương trình lượng giác nhờ có điều kịên thích hợp; + Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc giải tốn lượng giác, ví dụ bất đẳng thức cơsi, bunhiacopxki; + Ngồi phương pháp đươc giới thiệu sách giáo khoa, phát thêm số phương pháp để giải phương trình lượng giác biến đổi phương trình thành tổng số hạng không âm, phương pháp đánh giá…; + Từ cách giải phương trình bậc hai sinx cosx mở rộng phương trình bậc ba sin cos, từ mở rộng phương trình bậc n sinx cosx; + Đánh giá sáng tạo để giải tốn lượng giác, khơng thiết phải rập khn theo quy tắc giải có Một số ví dụ Ví dụ 1: Trong nghiệm hệ  x2  y   2  z  t  16  xt  yz  12  Tìm nghiệm cho tổng x + z đạt giá trị lớn Lời giải: Từ hai phương trình đầu hệ, có tổng bình phương làm cho ta nghĩ đến việc chuẩn hóa đưa tốn xét biến đoạn [0 ; 1] ; [-1 ; 1] Hệ cho tương đương với hệ 13  x   y             z    t            x t y z   1 3 4  Từ ta có : Đặt x y z t 1 ; 1 ; 1 ;  3 4 x y z t  sin  ;  cos ;  sin  ;  cos 3 4 Thay vào bất phương trình thứ ba hệ ta có sin  cos  + cos  sin   hay sin(  +  )  Từ suy sin(  +  ) =1   +  =   k 2 , k    Mặt khác x + z =3sin  + 4sin  = 3sin  + sin     k 2  , k  2  = 3sin  + 4cos   32  42 sin (  +  )  Vậy x + z đạt giá trị lớn tan  = , cos   sin    Từ ta nhận  x; y; z; t     12 16 12  ; ; ;  5 5   x; y; z; t      12 16 12  ;  ; ;  5  5 Ví dụ 2: Giải phương trình: sin x  sin x  sinx.sin 3x 14 Bài giải: Biến đổi phương trình dạng : 4sin x  4sinx.sin2 3x  sin2 3x   4sin x  4sinx.sin2 3x  sin4 3x  sin4 3x  sin2 3x    2sinx  sin2 3x   sin2 3x (1 sin2 3x )= 2sin x  sin 3x    2 1  sin 3x  sin 3x    sin x  sin x    sin x    sin x    sin x    sinx       sin x   sinx     3sinx  4sin x       sinx      3sinx  4sin x    sinx    sinx    sinx     x   k 2  5  x   k 2 , k    x  k    Vậy phương trình cho có họ nghiệm Để giải học sinh phải biết thêm bớt vào vế phải phương trình lượng sin 3x để xuất đẳng thức Biết đánh giá tổng hai biểu thức không âm không hai biểu thức khơng Ngồi phải biết cách giải phương trình lượng giác 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số giải tích nâng cao 11, NXB GD Sách giáo viên nâng cao 11, NXB GD Giải tốn lượng giác nâng cao 11, Lê Hữu Trí – Lê Hồng Đức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội đánh giá dạy học toán, Nguyễn Đăng Minh Phúc, Đại Học Sư Phạm Huế 16 ... lượng giác, dạng đồ thị hàm số lượng giác; + Định nghĩa phương trình lượng giác bản; + Nhận phương trình bậc bậc hai hàm số lượng giác, phương trình đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác, phương. .. hàm số lượng giác, phương trình lượng giác cac dạng phương trình lượng giác thường gặp Mục đích chủ đề giúp học sinh nắm tính chất tuần hồn hàm số lượng giác, sử dụng đường trịn lượng giác để tìm... Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Chủ đề ? ?Phương trình lượng giác hàm số lượng giác? ?? chủ đề quan trọng chương trình Tốn THPT Chủ đề giới thiệu số hàm số lượng