Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm THAM LUẬN XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Bài toán dạng này thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào Đại học & Cao đẳng và thuộc vào loại khó đối với học sinh. Để giúp học sinh có một cách nhìn bài toán rõ ràng và biết cách giải quyết nó. Chúng tôi xin trích dẫn một số đề thi vào Đại học & Cao đẳng các năm qua và đưa ra cách giải , qua đó giúp học sinh nắm được phương pháp giải .Cuối mỗi phần có bài tập tương tự để học sinh kiểm tra kỹ năng tiếp thu của mình. I.Xác định tham số để phương trình có nghiệm trên tập D A. Phương pháp giải: +Biến đổi (có thể đặt ẩn phụ) đưa về dạng f(x) = m (hoặc f(t) = m) +Lập BBT hàm số suy ra kết quả *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: 2 2 4 2 2 ( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − (1) ( ĐH khối B – 2004 ) HD: ĐK 1 1x − ≤ ≤ . Đặt t = 2 2 1 1x x+ − − . Lập BBT suy ra 0 2t ≤ ≤ , x ∀ ∈ [– 1; 1] (1) trở thành: m(t + 2) = 2 – t 2 + t ⇔ m = 2 2 2 t t t − + + + (2) +Phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0; 2] +Đặt f(t) = 2 2 2 t t t − + + + . Lập BBT từ đó suy ra : phương trình có nghiệm ⇔ 0 1m ≤ ≤ *Ví dụ 2: Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: 2 2 2 1x mx x+ + = + (1) (ĐH khối B – 2006) HD: (1) 2 2 2 1 0 2 4 4 1 x x mx x x + ≥  ⇔  + + = + +  ⇔ 2 1 2 3 4 1 x mx x x  ≥ −    = + −  ⇔ 1 0 2 1 3 4 (2) x m x x  − ≤ ≠     = + −   (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt x 1 [ ;0) (0; ) 2 ∈ − ∪ +∞ +Đặt f(x) = 3x + 4 1 x − . Lập BBT từ đó suy ra :phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m 9 2 ≥ *Ví dụ 3:Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − (1) (ĐH khối A – 2007) HD: ĐK 1x ≥ . Ta có (1) ⇔ 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − + = + + (2) +Đặt t = 4 1 1 x x − + , 0 1t ≤ < thì (2) trở thành: m = – 3t 2 + 2t (3) +(1) có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm t ∈ [0; 1). Đặt f(t) = – 3t 2 + 2t . Lập BBT từ đó suy ra: phương trình có nghiệm ⇔ 1 1 3 m− < ≤ Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 86 Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm *Ví dụ 4:Xác định các giá trị m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3 ] 2 2 3 3 log log 1 2 1 0x x m+ + − − = (1) (ĐH khối A – 2002) HD: Đặt t = 2 3 log 1x + thì (1) trở thành t 2 + t – 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1 2 (t 2 + t – 2) (2) + Ta có 3 3 1 3 0 log 3x x≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇒ 1 2t ≤ ≤ + (1) có ít nhất một nghiệm x ∈ [1; 3 3 ] ⇔ (2) có ít nhất một nghiệm t ∈ [1; 2] + Đặt f(t) = 1 2 (t 2 + t – 2). Lập BBT suy ra kết quả: 0 2m ≤ ≤ *Ví dụ 5: Xác định các giá trị m để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt : 2 9 9x x x x m+ − = − + + (1) HD:(1) ⇔ 2 0 9 9 2 (9 ) 9 x x x x x m ≤ ≤    + − = − + +   . Đặt t = (9 )x x− (2) , ta có pt : – t 2 + 2t + 9 = m (3) t = (9 )x x− ⇔ 2 0 (9 ) t t x x ≥   = −  ⇔ 2 2 0 9 0(*) t x x t ≥   − + =  + (2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 2 0 81 4 0 t t ≥   ∆ = − >  ⇔ 9 0 2 t≤ < + Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt t 9 [0, ) 2 ∈ +Đặt f(t) = – t 2 + 2t + 9 . Lập BBT suy ra kết quả 9 10m≤ < B. Một số bài tập tương tự để luyện tập: Bài 1:Xác địnhcác giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 5 (3 )(5 )x x x x m+ + − + + − = (1) HD: ĐK 3 5x− ≤ ≤ . Đặt t = 3 5x x+ + − ⇒ t 2 = 8 + 2 (3 )(5 )x x+ − BĐT Cô-Si: 2 (3 )(5 )x x+ − ≤ 8 ⇒ 8 ≤ t 2 ≤ 16 ⇒ 2 2 4t≤ ≤ (1) trở thành 2 8 2 t t m − + = (2) . Phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t [2 2;4]∈ +Đặt f(t) = 2 8 2 t t − + . Lập BBT suy ra kết quả 2 2 8m≤ ≤ Bài 2:Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: 2 4 1 4 3 2 ( 3) 2 0x m x x m x− + − + + + − = (1) HD:ĐK 2x ≥ . Ta có (1) ⇔ 4 2 2 1 4 ( 3) 0 1 1 x x m m x x − − + + + = − − (2) +Đặt t = 4 2 1 x x − − , 0 1t≤ < thì (2) trở thành: 1 + 4mt + (m + 3)t 2 = 0 ⇔ m(t 2 + 4t) = – 3t 2 – 1 (3) +Vì t = 0 không thỏa (3) , nên với 0 < t < 1 thì (3) tương đương m = 2 2 3 1 4 t t t − − + (4) +(1) có nghiệm ⇔ (4) có nghiệm t ∈ (0; 1). Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 87 Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Đặt f(t) = 2 2 3 1 4 t t t − − + . Lập BBT suy ra phương trình có nghiệm ⇔ m 3 4 ≤ − Bài 3:Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt : 2 2( 3) 3 1 1mx m x m x− + + + = − (1) HD: (1) ⇔ 2 2 1 2( 3) 3 1 2 1 x mx m m x x ≥   − + + + = − +  ⇔ 2 2 1 4 (2) 2 3 x x x m x x ≥    + =  − +  +(1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt x [1; )∈ +∞ + Đặt f(x) = 2 2 4 2 3 x x x x + − + . Lập BBT suy ra kết quả 5 4 2 m≤ < Bài 4: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thuộc nửa khoảng [32; + ∞ ) 2 2 2 1 4 2 log log 3 (log 3)x x m x+ − = − (1) HD: Đặt t = 2 log x , với x ∈ [32; + ∞ ) ⇔ t ∈ [5; + ∞ ) +(1) trở thành 2 3 ( 3)t t m t− − = − ⇔ 2 3 3 t t t − − − = m (2) +(1) có nghiệm x ∈ [32; + ∞ ) ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [5; + ∞ ) + Đặt f(t) = 2 3 3 t t t − − − thì f’(t) = 2 2 5 9 2( 3) 3 t t t t − + − − − < 0 , ∀ t ∈ [5; + ∞ ) ⇒ f(t) nghịch biến trên [5; + ∞ ) . Từ đó suy ra kết quả 1 < m 17 2 ≤ thỏa bài toán Bài 5: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 9 x – (m – 1)3 x + 2m = 0 (1) HD: Đặt t = 3 x , t > 0 . Phương trình (1) trở thành t 2 – (m – 1)t + 2m = 0 ⇔ m(t – 2) = t 2 + t (2) + Vì t = 2 không thỏa (2). Với 0 < t 2≠ thì (2) tương đương m = 2 2 t t t + − (3) + (1) có nghiệm duy nhất ⇔ (3) có đúng 1 nghiệm trên (0; + ∞ ) \ {2} + Đặt f(t) = 2 2 t t t + − . Lập BBT suy ra kết quả m { } ( ;0) 5 2 6∈ −∞ ∪ + Bài 6:Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt 2 3 3 ( 1)log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0m x m x m− − − − − + − = (1) HD: Với ĐK x > 2 , đặt t = 3 log ( 2)x − thì (1) trở thành (m – 1)t 2 – (m – 5)t + m – 1 = 0 ⇔ m(t 2 – t + 1) = t 2 – 5t +1 ⇔ m = 2 2 5 1 1 t t t t − + − + (2) + (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt + Đặt f(t) = 2 2 5 1 1 t t t t − + − + . Lập BBT suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 7 3 3 1 m m  − < <    ≠  Bài 7: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 88 Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 2 2 2 2 log ( 3)log 3 1 log ( ) 2 x m x m x m− + + + = HD: + Với x > 0, đặt 2 log x = t . Khi đó phương trình (1) có dạng: 2 2( 3) 3 1 1mt m t m t− + + + = − ⇔ 2 2 1 2( 3) 3 1 2 1 t mt m t m t t ≥   − + + + = − +  ⇔ 2 2 2 2 1 1 4 ( 2 3) 4 2 3 t t t t m t t t t m t t ≥  ≥   ⇔   + − + = + =   − +  (2) + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm ⇔ Đường thẳng y = m cắt đồ thị f(t) = 2 2 4 2 3 t t t t + − + trên miền [1; + ∞ ) Từ BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m ≤ 4 II. Xác định tham số để bất phương trình có nghiệm trên D hoặc đúng mọi x ∈ D A.Phương pháp giải: Trong trường hợp tồn tại max ( ) x D f x ∈ , min ( ) x D f x ∈ + f(x) < m, x ∀ ∈ D ⇔ max ( ) x D f x m ∈ < + f(x) > m , x ∀ ∈ D ⇔ min ( ) x D f x m ∈ > + f(x) < m có nghiệm x ∈ D ⇔ min ( ) x D f x m ∈ < + f(x) > m có nghiệm x ∈ D ⇔ max ( ) x D f x m ∈ > Chú ý: Trong trường hợp không tồn tại max ( ) x D f x ∈ , min ( ) x D f x ∈ thì dựa vào BBT để kết luận cụ thể *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm : 3 1mx x m− − ≤ + (1) HD: ĐK 3x ≥ thì (1) ⇔ m(x – 1) 3 1x≤ − + ⇔ m ≤ 3 1 1 x x − + − (2) + Đặt f(x) = 3 1 1 x x − + − . Ta có bpt (2) có nghiệm ⇔ m [3; ) max ( ) x f x ∈ +∞ ≤ ⇔ m 2 1 4 + ≤ *Ví dụ 2:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm : 2 4 (4 )(2 ) 2 18x x x x m− − + ≤ − + − (1) HD: ĐK (4 – x)(2 + x) 0 2 4x ≥ ⇔ − ≤ ≤ . Đặt t = (4 )(2 )x x− + , 0 3t ≤ ≤ (1) trở thành t 2 – 4t + 10 ≤ m (2). Đặt f(t) = t 2 – 4t + 10 + (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0; 3] ⇔ [0;3] min ( ) t f t m ∈ ≤ ⇔ 6 ≤ m *Ví dụ 3: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm: )42(log9 2 xmxx −+≤++ HD:ĐK: 0 ≤ x ≤ 4 . Khi đó log 2 (2+ ≥− )4 x 1. Bpt tương đương: m x xx ≤ −+ ++ )42(log 9 2 + Đặt f(x) = )42(log 9 2 x xx −+ ++ với 0 ≤ x ≤ 4 . Ta có f’(x) = 2 '.'. v uvvu − , trong đó : Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 89 Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm u = 92 1 2 1 '9 + +=⇒++ xx uxx ; v = log 2 (2+ 2ln)42.(42 1 ')4 xx vx −+− − =⇒− . + Suy ra f’(x)> 0, x∀ ∈ (0; 4) . Vì f(x) liên tục trên đoạn [0; 4] nên f(x) đồng biến trên [0; 4]. f(x) ≤ m có nghiệm trên [0; 4] ⇔ [ ] mmfmxM x ≤⇔≤⇔≤ ∈ 2 3 )0()inf( 4;0 *Ví dụ 4: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x ∈ [0; 2] 2 2 2 ( 1) 2 4x m x x+ + ≤ + + (1) HD: Đặt t = 2 2x x + thì (1) có dạng : t 2 + 1 + m ≤ t + 4 ⇔ m ≤ – t 2 + t + 3 (2) + Hàm t = 2 2x x + có t’(x) = 2 2 2 2 2 x x x + + + > 0 ⇒ t đồng biến trên [0; 2] ⇒ 0 2 6t≤ ≤ + (1) đúng với mọi x ∈ [0; 2] ⇔ (2) đúng với mọi t [0;2 6]∈ ⇔ m [0;2 6] min ( ) t f t ∈ ≤ , với f(t) = – t 2 + t + 3 ⇔ m 2 6 21≤ − *Ví dụ 5:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x 1 ( 1)4 2 1 0 x x m m + − + + + > (1) HD:Đặt t = 2 x , t > 0 .Khi đó (1) trở thành : (m – 1 )t 2 + 2t + m + 1 > 0 ⇔ m > 2 2 1 1 t t t − − + (2) + (1) đúng với mọi x ⇔ (2) đúng mọi t > 0 + Đặt f(t) = 2 2 1 1 t t t − − + . Lập BBT hàm f(t) suy ra : m > f(t), (0; )t∀ ∈ +∞ ⇔ m ≥ 1 B. Một số bài tập tương tự để luyện tập: Bài 1:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm 2 2 2 cos sin cos 2 3 .3 x x x m+ ≥ (1) HD: (1) ⇔ 2 2 cos cos 2 1 3 3 9 x x m     + ≥  ÷  ÷     . Đặt t = 2 cos x , 0 t≤ ≤ 1 , + (1) thở thành 2 1 3 3 9 t t m     + ≥  ÷  ÷     (2). Đặt f(t) = 2 1 3 3 9 t t     +  ÷  ÷     . Ta có (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0; 1] ⇔ m [0;1] max ( ) t f t ∈ ≤ ⇔ m 4≤ Bài 2: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm 3 16 .log (3 9 )x x x m x+ + ≤ + − (1) HD:ĐK 0 9x ≤ ≤ . Khi đó (1) ⇔ 3 16 log (3 9 ) x x x m x + + ≤ + − (2) + Đặt f(x) = 3 16 log (3 9 ) x x x x + + + − . Ta có f(x) ≤ m có nghiệm trên [0;9] ⇔ [0;9] min ( ) x f x m ∈ ≤ +Hàm f(x) đồng biến trên [0; 9] nên [0;9] min ( ) x f x ∈ = f(0) = 3 4 log 6 . Vậy 3 4 log 6 ≤ m Bài 3: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x ≤ 0 1 .2 (2 1)(3 5) (3 5) 0 x x x m m + + + − + + < (1) Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 90 Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm HD: (1) ⇔ 3 5 3 5 2 (2 1) 0 2 2 x x m m     − + + + + <  ÷  ÷  ÷  ÷     (2) . Đặt t = 3 5 2 x   −  ÷  ÷   , với x ≤ 0 1t ⇒ ≥ + (2) trở thành 2m + (2m + 1)t + 1 t < 0 ⇔ 2m(1 + t) < 2 1t t − − (3) + (1) đúng với mọi x ≤ 0 ⇔ (3) đúng với mọi 1t ≥ ⇔ m < 2 2 ( 1) t t t t − − + với mọi 1t ≥ + Đặt f(t) = 2 2 ( 1) t t t t − − + . Lập BBT suy ra m < f(t) với mọi 1t ≥ ⇔ m < 1 2 − III. Xác định tham số để hệ phương trình có nghiệm 1.Loại dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai và định lý Vi-ét *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: 2 2 24 ( 1)( 1) x y x y xy x y m  + + + =  + + =  (I) HD: Đặt u = x + x 2 , v = y + y 2 , điều kiện u 1 4 ≥ − , v 1 4 ≥ − Hệ trở thành: 24u v uv m + =   =  . Khi đó u, v là hai nghiệm phương trình: t 2 – 24t + m = 0 (1) Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm t 1 , t 2 thỏa mãn 1 2 1 4 t t− ≤ ≤ ⇔ 1 2 1 2 ' 0 1 1 ( ) ( ) 0 4 4 1 1 ( )( ) 0 4 4 t t t t   ∆ ≥   + + + ≥    + + ≥   ⇔ 144 0 1 24 0 2 1 6 0 16 m m   − ≥   + ≥    + + ≥   ⇔ 97 144 16 m− ≤ ≤ *Ví dụ 2: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: 1 2 2 x y m x y m  − + + =   + =   (I) HD: Đặt u = 1x − , v = 2y + , điều kiện u 0 ≥ , v 0 ≥ Hệ trở thành: 2 2 2 1 u v m u v m + =   + = +  ⇔ 2 1 ( 2 1) 2 u v m uv m m + =    = − −   . Khi đó u, v là hai nghiệm phương trình : t 2 – mt + 1 2 (m 2 – 2m – 1) = 0 (1) Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 91 Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm t 1 , t 2 thỏa 0 1 2 t t≤ ≤ ⇔ 0 0 0 S P ∆ ≥   ≥   ≥  ⇔ 2 2 4 2 0 0 1 ( 2 1) 0 2 m m m m m   − + + ≥  ≥    − − ≥  ⇔ 2 6 2 6 0 1 2 1 2 m m m m  − ≤ ≤ +  ≥   ≤ − ∨ ≥ +  ⇔ 1 2 2 6m+ ≤ ≤ + *Ví dụ 3: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: 2 2 2 2 3 2 11 2 3 x xy y x xy y m  + + =   + + =   HD: +Nều x = 0 thì hệ trở thành 2 2 11 3 y y m  =   =   . Với m = 33 thì hệ có nghiệm +Xét m ≠ 33 thì x = 0 không thỏa hệ. Với x ≠ 0, đặt y = tx khi đó hệ trở thành 2 2 2 2 (3 2 ) 11 (1 2 3 ) x t t x t t m  + + =   + + =   ⇔ 2 2 2 2 (3 2 ) 11(1 2 3 ) (3 2 ) 11 m t t t t x t t  + + = + +   + + =   ⇔ 2 2 2 (33 ) (22 2 ) 11 3 0(1) (3 2 ) 11(2) m t m t m x t t  − + − + − =   + + =   + Vì t 2 + 2t + 3 > 0 , ∀ t. Suy ra (2) có nghiệm x với mọi t. Hệ có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm ⇔ '∆ = (11 – m) 2 – (33 – m)(11 – 3m) ≥ 0 ( m ≠ 33 ) ⇔ – m 2 + 44 – 121 ≥ 0 ⇔ 22 363 22 363m− ≤ ≤ + Vậy : 22 363 22 363m− ≤ ≤ + 2. Loại dùng điều kiện cần và đủ *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 2 ( 1) ( 1) xy x m y xy y m x  + = −   + = −   HD: Giả sử (x 0 , y 0 ) là nghiệm của hệ thì (y 0 , x 0 ) cũng là nghiệm của hệ. Hệ có nghiệm duy nhất ⇒ x 0 = y 0 ⇒ 2 2 0 x – mx 0 + m = 0 (*) (*) có nghiệm duy nhất ⇒ ∆ = m 2 – 8m = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = 8 + Với m = 0 ta có 2 2 0 ( ) 0 ( ) 0 0 xy x x x y y x y xy y  + = + =   ⇔   + = + =    ⇒ hệ có vô số nghiệm thỏa x + y = 0 + Với m = 8 ta có 2 2 2 2 2 8( 1) 8( ) 8( 1) 8( 1) xy x y x y y x xy y x xy y x   + = − − = −   ⇔   + = − + = −     ⇔ 2 ( )( 8) 0 8( 1) x y x y xy x y − + + =   + = −  ⇔ 2 2 8 8 0 x y x x =   − + =  (I) hoặc 2 8 ( 8) 8( 9) y x x x x x = − −   − − + = − −  (II) Hệ (I) có nghiệm duy nhất x = y = 2 , hệ (II) vô nghiệm . Vậy m = 8 thỏa bài toán *Ví dụ 2 : Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm duy nhất: Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 92 Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 2 2 2 3 1 1 1 1 y m x x y m x x  − + =   + + =  + +  HD:Hệ tương đương 2 2 2 3 1 1 1 y m x y x m  − + =   + + =   . Giả sử hệ có nghiệm (x 0 , y 0 ) thì ( – x 0 , y 0 ) cũng là nghiệm của hệ. Vì hệ có nghiệm duy nhất suy ra x 0 = – x 0 ⇒ x 0 = 0. Thay vào hệ ta có 0 2 0 3 1 1 y m y m = +    = −   ⇒ 3m 2 – m – 4 = 0 ⇔ 1 4 3 m m = −    =  + Nếu m = – 1 hệ trở thành 2 2 2 3 1 1 1 1 2 0 1 1 y x y x y y x   + + =   + + = ⇔   =  + + =    ⇔ 0 0 x y =   =  Hệ có nghiệm duy nhất (0, 0) khi m = – 1 + Nếu m = 4 3 hệ trở thành 2 2 2 2 4 0 3 1 1 9 4 1 3 3 7 16 1 1 1 9 9 x y x y x y x y x  = − + =    − + =    ⇔ ⇔    = + =     + + =    Hệ có nghiệm duy nhất (0, 7 9 ) khi m = 4 3 Kết luận : m = – 1 , m = 4 3 3. Loại dùng phương pháp hàm số *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nhiều hơn 2 nghiệm 2 ( 1) ( 2) x y m y x xy m x + =   + + = +  HD: Hệ tương đương 3 2 2 0(1) y m x x mx m = −   − + =  + Hệ có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Hàm f(x) = x 3 – mx 2 + 2m có cực đại và cực tiểu , đồng thời GTCĐ và GTCT trái dấu + Hàm có cực đại và cực tiểu ⇔ f’(x) = 3x 2 – 2mx có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 + Ta có f’(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 3 m . Khi đó f(0).f( 2 3 m )< 0 ⇔ m 2 > 27 2 ⇔ 3 6 2 m > Vậy hệ có nghiệm ⇔ 3 6 2 m > *Ví dụ 2:Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm thực: 2 2 ln(1 ) ln(1 ) (1) (1 ) 3 5 0(2) x y y x x m y x y m + − + = −   − + + + + − =  HD: ĐK: x > – 1 và y > – 1 . Ta có (1) ⇔ ln(1 + x) + x = ln(1 + y) + y + Xét f(t) = ln(1 + t) + t , t > – 1 thì f’(t) = 1 1 t+ + 1 > 0, ∀ t > – 1 ⇒ f(t) đồng biến trên (-1,+ ∞ ) Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 93 Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (1) có dạng f(x) = f(y) ⇔ x = y. Thế vào (2) ta có x 2 (2 – m) + 4x + 5 – m = 0 ⇔ m= 2 2 2 4 5 1 x x x + + + + Đặt f(x) = 2 2 2 4 5 1 x x x + + + thì f’(x) = 2 2 4 6 4 1 x x x − − + + , f’(x) = 0 ⇔ x = – 2 ∨ x = 1 2 x – 1 1/2 + ∞ f’(x) + 0 – f(x) 6 3/2 2 Hệ có nghiệm ⇔ m = f(x) có nghiệm trong khoảng (–1,+ ∞ ) ⇔ 3 6 2 m< ≤ *Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi a > 0 hệ sau có nghiệm duy nhất ln(1 ) ln(1 ) x y e e x y y x a  − = + − +  − =  (ĐH khối D – 2006) HD: ĐK x > – 1 và y > – 1 . Hệ tương đương ln(1 ) ln(1 ) x a x y a x e e x x a + = +   − = + − + +  ⇔ 1 ( 1) ln 0(1) 1 a x y a x x e e x a = +   +    − + =  ÷  + +    . Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ (1) có nghiệm duy nhất Đặt f(x) = 1 ( 1) ln 1 a x x e e x a +   − +  ÷ + +   thì f’(x) = ( 1) (1 )(1 ) a x a e e x x a − + + + + + Do a > o nên e a – 1> 0 suy ra f’(x) > 0 với mọi x > – 1 suy ra f(x) đồng biến trên (–1, + ∞ ) Ta có lim ( ) x f x →+∞ = +∞ và ( 1) lim ( ) x f x + → − = −∞ suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất Bài tập tương tự: Bài 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: 1 2 ( 0) 1 2 x y m m y x m  + + − =  ≥  + + − =   HD: ĐK: 2x ≥ và 2y ≥ . Hệ tương đương 1 2 1 2(1) 1 2 (2) x x y y y x m  − − − = − − −   + + − =   Đặt f(t) = 1 2t t+ − − , f(t) nghịch biến trên [2, + ∞ ) . Nên (1) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y Thế vào (2) ta có 1 2x x m+ + − = (3) . Hệ có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm ⇔ m ≥ 3 . Bài 2: xác định các giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 94 Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 2 2 2 2 2 2 m x y y m y x x  = +     = +   HD: ĐK x ≠ 0 và y ≠ 0. Hệ tương đương 2 2 2 2 2 2 2 2 0; 0 x y y m y x x m x y  = +  = +   > >  ⇔ 2 2 2 2 2 2 ( )(2 2 ) 0 0; 0 x y y m x y x y x y x y  = +  − + + + =   > >  ⇔ 3 2 2 0 2 (1) x y x x m = >   − =  Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất ⇔ Đường thẳng y = m 2 cắt đồ thị f(x) = 2x 3 – x 2 trên khoảng (0, + ∞ ) tại một điểm duy nhất + Lập BBT hàm f(x) suy ra hệ có nghiệm duy nhất với mọi m 4. Loại dùng phương pháp hình học *Ví dụ 1: xác định tham số m để hệ sau có nghiệm 2 2 0 0 x my m x y x + − =   + − =  HD: phương trình x + my – m = 0 là phương trình một đường thẳng d Phương trình x 2 + y 2 – x = 0 là phương trình đường tròn (C) tâm I(– 1 2 , 0 ) bán kính R = 1 2 Hệ có nghiệm ⇔ d và (C) có điểm chung ⇔ d(I, d) ≤ R ⇔ 2 1 1 2 2 1 m m − ≤ + ⇔ 2 3 0 4 m m− ≤ ⇔ 4 0 3 m≤ ≤ Bài tập tương tự: Bài 1: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 1 1 x y xy m x y  + + + =   + ≤   HD:Hệ tương đương 1 2 1 ( ) x y xy m x y + ≤    + = − +   ⇔ 2 1 2 [1 ( )] x y xy m x y + ≤   + = − +  ⇔ 2 2 1(1) ( 1) ( 1) 1(2) x y x y m + ≤   − + − = +  (1)là nửa dưới mặt phẳng xác định bởi đường thẳng x + y = 1( phần chứa gốc O) kể cả biên, còn (2) là đường tròn (C) tâm I(1, 1) bán kính R = 1m + (m ≥ 1, khi m = 1 thì (2) là một điểm (1, 1)) + Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng d: x + y – 1 = 0 tiếp xúc đường tròn (C) ⇔ d(I,d) = R ⇔ 1 1 1 2 2 m m= + ⇔ = − Tam Kỳ, ngày 10 tháng 3 năm 2011 Tổ Toán - Tin Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 95 . <    ≠  Bài 7: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 88 . 1 4 t t t − − + (4) +(1) có nghiệm ⇔ (4) có nghiệm t ∈ (0; 1). Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 87 Tổ Toán