Thông tin tài liệu
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG VIỆT NAM
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
TÊN HỌC VIÊN: TRẦN ĐỨC QUYỀN
TÊN LUẬN VĂN: CÁC MÃ XYXLIC XÂY
DỰNG TRÊN CÁC NHÓM NHÂN XYCLIC
THEO MODULO
CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
MÃ SỐ: 60.52.70
LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Bình
ĐÀ LẠT - Năm 2009
2
Luận văn được hoàn thành tại:
Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
Tập đoàn Bưu chính Viễn thông Việt Nam
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Bình
Phản biện 1: ……………………………………………………
……………………………………………………
Phản biện 2: ……………………………………………………
……………………………………………………
Phản biện 3: ……………………………………………………
……………………………………………………
Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại
Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
Vào lúc: giờ ngày tháng năm 2009
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
Thư viện Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
1
LỜI NÓI ĐẦU
Theo nghĩa khái quát mã hóa là một ánh xạ 1-1 từ tập tin
rời rạc lên tập các từ mã thuộc một tập hợp nào đó, tập hợp này
không nhất thiết là một tập các phần tử có cấu trúc. Tuy nhiên để
thuận tiện cho việc mã hóa và đặc biệt là việc giải mã người ta
thường chọn tập hợp này là một cấu trúc đại số nào đó. ( nhóm,
vành, trường, không gian tuyến tính… ). Thành tựu lớn nhất
trong lý thuyết mã hóa là việc xây dựng các mã xyclic truyền
thống là các ideal trong vành đa thức. Về bản chất mã xyclic
chính là phần tử đơn vị của phép cộng ( phần tử zero ) trên vành
đồng dư được xây dựng trên vành đa thức.
Tuy nhiên bằng cách lựa chọn các nhóm nhân xyclic (
hoặc các cấp số nhân xyclic trong phân họach của vành đa thức
theo các nhóm nhân xyclic ) ta cũng có thể xay dựng được các mã
xyclic khác với các mã truyền thống chỉ là một trường hợp lựa
chọn đặc biệt khi chọn các nhóm nhân xyclic đơn vị theo modulo.
Hiển nhiên là cách mã hóa này cho ta khả năng lựa chọn
phong phú khi xây dựng các mã trên vành đa thức cụ thể. Cho dù
khả năng lựa chọn này còn kém xa so với khả năng lựa chọn theo
quan điểm mã hóa tuyến tính ngẫu nhiên của Shanmon nhưng bù
lại nó lại có được đặc tính xyclic rất thuận lới cho việc mã hóa và
2
giải mã. Đây là đặc tíh ứng dụng đơn giản nổi trội của các mã
xyclic truyền thống.
Trên cơ sở các nghiêm cứu gần đây về các mã xyclic cục
bộ xây dựng trên cán phân họach mã vành, theo quan điểm mới
này luận văn mới chỉ chú trọng tới việc xây dựng mã từ các nhóm
nhân xyclic có so sánh với các mã xyclic truyền thống. Bảng luận
văn được chia làm 3 chương với các nội dung chủ yếu sau:
- Chương I: Vành đa thức và các nhóm nhân xyclic.
Chương này trình bày tổng quan lý thuyết nhóm nhân
xyclic trên vành đa thức.
- Chương II: Phân họach vành đa thức.
Chương này trình bày các phương pháp phân họach vành
đa thức theo các nhóm nhân xyclic khác nhau. Đây là cơ
sở để xây dựng các mã xyclic cục bộ.
- Chương III: Các mã xyclic xây dựng trên các nhóm
nhân xyclic.
Chương này mô tả cách xây dựng các mã xyclic xây dựng
trên các nhóm nhân xyclic bao gồm thuật tóan mã hóa và
thiết bị mã hóa, thuật tóan giải mã ngưỡng và thiết bị giải
mã ngưỡng. Mối quan hệ giải mã xyclic truyền thống xây
dựng trên các ideal và các mã xyclic xây dựng trên các
nhóm nhân xyclic theo modulo cũng được xem xét.
3
Được sự giúp đỡ tận tình của thầy GS.TS Nguyễn Bình
và sự nổ lực của bản thân luận văn đã được hòan thành.
Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp và trình độ hạn chế việc
hiểu và trình bày các vấn đề được nêu không thể tránh
khỏi còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự góp ý của các
thầy và các bạn có quan tâm.
CHƯƠNG I
CÁC NHÓM NHÂN XYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC
1.1. Mã cyclic truyền thống và mã tuyến tính ngẫu nhiên của
Shannon
Mã cyclic gồm các từ mã là bội của đa thức sinh g(x) với
g(x) là một ước nào đó của
n
x 1
.
Từ mã hay đa thức mã a(x) của mã cyclic là một phần tử của
ideal
( )
g x
thoả mãn điều kiện
( ): ( )
a x g x
[5, 6].
Một tính chất quan trọng rất thuận lợi cho việc mã hoá và
giải mã cho các mã cyclic là dịch vòng của một đa thức mã cũng
là một đa thức mã. Ký hiệu
_( , )
V n k
là mã cyclic (tuyến tính) có
4
độ dài từ mã n và số dấu thông tin k được sinh bởi đa thức sinh
g(x) với deg ( )
g x r n k
. Khi đó ta có:
Nếu
( ) _( , )
a x V n k
thì
( ): ( )
a x g x
, Ta có:
+ Dịch vòng trái:
( ): ( )
xa x g x
,
+ Dịch vòng phải:
( )
: ( )
a x
g x
x
.
Các mã cyclic được ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế. Rất
nhiều đa thức sinh cụ thể đã được sử dụng trong các chuẩn truyền
tin [5].
1.2. Các mã cyclic cục bộ (LCC: Local cyclic codes)
Để khắc phục những hạn chế trên của mã cyclic vào năm
1987, GS Nguyễn Bình và giáo sư Nguyễn Xuân Quỳnh đã cùng
nhau thảo luận đưa ra một quan điểm mã hoá mới dựa trên việc
phân hoạch vành số
2 1
k
Z
thành các lớp kề của nhóm nhân cyclic
đơn vị
2 , 0, 1
k
I i k
(1-1)
Mã được xây dựng trên phân hoạch (1-1) được gọi là mã
cyclic cục bộ và được định nghĩa như sau :
5
Định nghĩa 1.1: Mã cyclic cục bộ hệ thống (n, k) là mã hệ
thống tuyến tính trong đó:
- k dấu thông tin là k phần tử của nhóm nhân cyclic đơn vị
- n-k = r dấu kiểm tra là một tập con không trống tuỳ ý nào
đó các lớp kề của nhóm nhân này
+ Mã cyclic truyền thống được xem là một lớp kề đặc biệt
trong phân hoạch.
+ Mã tuyến tính ngẫu nhiên của Shannon được xem là mã
LCC xây dựng trên phân hoạch của vành đa thức có hạt nhân phân
hoạch là phần tử đơn vị
( ) 1
e x
.
Để xây dựng được mã tốt vấn đề quan trọng là phải có các
tiêu chí để lựa chọn các lớp kề tạo mã.
Các nghiên cứu tiếp theo là tìm các tiêu chí lựa chọn các lớp
kề khác nhau để tạo mã. Quan hệ giữa các mã LCC với các mã
cyclic truyền thống và các mã tuyến tính ngẫu nhiên được mô tả ở
hình 1.1.
6
Với các vành chẵn, tác giả cũng đưa ra một phương pháp
phân hoạch mới để tạo mã. Trong trường hợp này vành sẽ được
phân hoạch thành các lớp chứa các phần tử liên hợp là các căn bậc
2 của các thặng dư bậc hai trong vành [8].
Phần tử sinh a(x)
o r d a x m a x o r d b x
Phần
tử
sinh
x
Phần tử
sinh
n
x 1
Phân hoạch của vành đa
thức theo nhóm nhân
xyclic
Phân hoạch không suy
bi
ến
Phân hoạch suy biến
Phân
hoạch
cực tiểu
Phân
hoạch
cực đại
Phân
hoạch
chuẩn
Mã tuyến
tính ngẫu
nhiên của
Shannon
Mã cyclic cục bộ
Mã
xyclic
Hình 1.
1:
Quan h
ệ giữa các lớp m
ã
khác nhau
7
Ta có thể xây dựng được các mã LCC trên các lớp đặc
biệt là các căn bậc 2 của lũy đẳng nuốt và các căn bậc 2 của
Zero.(Hình 1.2).
n = 2k
n = 2k + 1
n tùy ý
Các phân hoạch của
vành đa thức
Theo nhóm nhân xyclic
Theo lớp các phần tử
liên hợp
Theo Ideal
Các mã xyclic
Các mã cyclic cục bộ
Hình 1.2: Các dạng phân hoạch khác nhau của vành đa thức
8
1.3. Các nhóm nhân cyclic trong vành đa thức
1.3.1. Nhóm nhân của vành đa thức theo modulo x
n
+ 1
Theo lý thuyết mã cổ điển, mỗi Ideal tương ứng của một
vành đa thức sẽ xây dựng được một bộ mã xyclic. Trong một vành
đa thức, Ideal I gồm các đa thức là bội của một đa thức g(x), trong
đó g(x) là ước của đa thức x
n
+ 1: (g(x)) | x
n
+1 hay
1:
n
x g x
.
Hình 1.3: Phân hoạch vành theo Ideal.
Theo phương pháp cổ điển này thì rõ ràng là số bộ mã bị hạn
chế (do số đa thức sinh ít). Theo quan điểm xây dựng các mã
cyclic mới là đi nghiên cứu các nhóm nhân trên vành đa thức. Dựa
trên các nhóm nhân để đi xây dựng các bộ mã có đặc tính khác
nhau.
Vành Z
2
[x]/ x
n
+ 1
Ideal g(x)
Đa thức sinh
[...]... trên nhóm nhân xyclic theo modulo 3.4.1 Các mã xyclic xây dựng trên các nhóm nhân xyclic theo modulo h(x): Xét nhóm nhân xyclic đơn vị: I = {xi, i = 1, 2, … , n = 1} Ta có bổ đề sau: Bổ đề 8: 23 Nhóm nhân xyclic đơn vị theo modulo h(x) với h(x) /xn+1 là 1 mã xyclic truyền thống có đa thức sinh g(x) thỏa X n 1 g x h x mãn: * 3.4.2 Mã tạo xyclic Xây dựng trên các nhóm nhân xyclic theo. .. thức Đây là cơ sở quan trọng để xây dựng các mã xyclic cục bộ mà các mã xyclic là một trường hợp riêng - Trình bày một số kết quả xây dựng mã xyclic trên các nhóm nhân xyclic và các nhóm nhân xyclic theo modulo - Mô tả phương pháp giải mã cho các mã này - So sánh các mã này với các mã xyclic truyền thống Do thời gian có hạn và mục tiêu hạn hẹp của một luận văn thạc sĩ, các vấn đề được lựa chọn trình... Mã xyclic cục bộ xây dựng trên phân hoạch cực đại của vành Z2[x]/x10+1 Đối với phân hoạch cực đại mã XCB được xây dựng trên cấp số nhân CGP với công bội a(x) Ở đây, ta có: ord (a ( x)) max ord ( f ( x)) (3-3) f ( x ) Z 2 [ x ] / x n 1 Trong vành đa thức Z 2 [ x ]/ x 2 n 1 , ta nhớ rằng bậc của nhóm nhân cyclic được tạo ra bởi đa thức a( x ) sẽ là 2.ord (a( x)) 3.4 Các mã xyclic xây dựng trên. .. trong hệ đều chứa uj - Dấu mã uj (j≠ i) chỉ nằm tối đa trong một tổng kiểm tra Định nghĩa 3.2: Hệ tổng kiểm tra được gọi là có khả năng trực giao nếu nó là hệ tổng kiểm tra trực giao với một tổ hợp tuyến tính nào đó các dấu mã 3.2 18 Các mã Xyclic xây dựng trên nhóm nhân xyclic 3.2.1 Mô tả mã: Cho vành đa thức: Z2[x]/xn + 1 Xét a(x) Z2[x]/xn + 1 Ta xây dựng nhóm nhân xyclic A = {ai(x), i = 1, 2,... các mã này đựơc xác định theo công thức sau: N = N1(N2 - 1) (n-1) 2 24 N1 = (2n-1-1), N2 = C2i , trong đó (p) là hàm n-1 i o PhiEuler KẾT LUẬN: Với mục đích tìm hiểu việc xây dựng các mã cyclic trên các nhóm nhân xyclic, các nội dung chính được trình bày trong luận văn bao gồm các vấn đề sau: - Tóm lược về nhóm nhân xyclic trên vành đa thức - Tổng hợp các kết quả về các phương pháp phân họach... x i trên vành đa i 0 n thức có 2 lớp kề cyclic Z2[x]/x +1, trong đó e0(x) được gọi là lũy đẳng nuốt Do vậy, trên vành Z2[x]/x2n + 1, tương ứng có 2 lũy n 1 đẳng là 1 và e0 ( x 2 ) x 2 i i0 Ta đã chứng minh rằng các phần tử liên hợp của e0(x2) là các nhóm nhân và chúng ta có thể xây dựng các mã XCB và mã xyclic dựa trên các phần tử này 22 3.3.2 Các mã cyclic gần tối ưu dựa trên các phần... 1 Nhóm nhân Nhóm nhân Hình 1 4: Phân hoạch vành theo nhóm nhân Định nghĩa 1.2: Nhóm nhân Tập các đa thức f(x) trong vành đa thức Z2[x]/xn+1 với một phép toán nhân đa thức tạo nên một nhóm nhân G = G Nếu g(x), f(x) G thì g(x).f(x) = d(x) G Trong nhóm nhân tồn tại phần tử đơn vị e(x) với f(x).e(x) = f(x) Trọng số của đa thức: Trọng số của đa thức a(x) được ký hiệu là W(a(x)) là tổng các. .. W(a(x)) = 2 1.3.2 Nhóm nhân cyclic trong vành đa thức Z2[x] /xn +1 10 1.3.2.1 Nhóm nhân cyclic (CMG – Cyclic Multiplicative Groups) Nhóm nhân cyclic trong vành đa thức là tập hợp các phần tử đều bằng lũy thừa của một phần tử gọi là phần tử sinh Trong vành đa thức có nhiều nhóm nhân xyclic, số nhóm nhân bằng số các lũy đẳng có thể có trong vành A = {, 2, 3,…} (1-2) Trong đó: A là nhóm nhân xyclic là... mỗi phần tử a(x) của nhóm nhân cyclic A ta có tương ứng một phần tử a ( x) của nhóm nhân cyclic A Từ nhóm nhân cyclic A ta dễ dàng thiết lập được nhóm nhân cyclic A Hai nhóm nhân A và A được gọi là hai nhóm nhân cyclic đối xứng trong vành đa thức 14 2.1.2 Cấp số nhân cyclic trên vành đa thức Xét vành đa thức Z2[x]/ xn + 1 với n lẻ, giả sử a(x) là số hạng đầu tiên của cấp số nhân cyclic và q(x) là... có dạng sau: xn + 1 = (x + 1) n 1 x i i 0 (2-9) n 1 Trong đó (1+x) và o(x) = x i 0 i là các đa thức bất khả quy 17 CHƯƠNG III CÁC MÃ XYCLIC XÂY DỰNG TRÊN NHÓM NHÂN XYCLIC 3.1 Hai thủ tục giải mã: 3.1.1 Hai thủ tuc giải mã: Mọi phương pháp giải mã đều có thể tiến hành theo một trong hai thủ tục giải mã sau: - Phương pháp ( thủ tục) 1: Dẫn ra bản tin từ dấu nhận được - Thủ tục 2: Dẫn ra vec tơ . thiết bị giải
mã ngưỡng. Mối quan hệ giải mã xyclic truyền thống xây
dựng trên các ideal và các mã xyclic xây dựng trên các
nhóm nhân xyclic theo modulo. theo các nhóm nhân xyclic khác nhau. Đây là cơ
sở để xây dựng các mã xyclic cục bộ.
- Chương III: Các mã xyclic xây dựng trên các nhóm
nhân xyclic.
Chương
Ngày đăng: 13/02/2014, 12:42
Xem thêm: Các mã xyclic xây dựng trên các nhóm nhân xyclic theo MUDULO