Một số bài toán trò chơi có nội dung toán học Đoàn Văn Lới Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn Thạc sĩ ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số: 60 46 40 Người hướng dẫn: PGS.TS Tạ Duy Phượng Năm bảo vệ: 2011 Abstract: Trình bày lời giải một số bài toán trò chơi nhờ công cụ hệ đếm cơ số 2: hệ đếm số 2; máy đọc ý nghĩ; trò chơi Nim; giải bài toán Tháp Hà Nội nhờ đếm cơ số 2. Nghiên cứu lời giải một số bài toán trò chơi cơ học nhờ công cụ mã Gray cơ số 2: mã Gray cơ số 2; mã Gray, trò chơi Tháp Hà Nội và trò chơi Hamilton trên đa diện đều; Baguenaudier hay trò chơi tháo vòng Trung Hoa. Tập hợp một số ví dụ trong các dạng toán trò chơi. Keywords: Phương pháp toán sơ cấp; Toán ứng dụng; Bài toán trò chơi Content 1.1 Hệ đếm cơ số 2 Cho p là một số tự nhiên bất kì. Theo thuật toán chia Euclid, mọi số tự nhiên a đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng 10 1 1 0 kk kk a a p a p a p a p        với các hệ số nguyên 0 1, i ap   0, , ;ik 0. k a  Như vậy, nếu chọn p làm cơ số của hệ đếm, thì mọi số tự nhiên a có thể biểu diễn dưới dạng   1 1 0kk p a a a a  trong hệ đếm cơ số p . Nếu 10p  thì ta có hệ đếm cơ số 10. Do thói quen, lịch sử, truyền thống và thuận tiện, hệ đếm cơ số 10 được sử dụng rộng rãi trong cuộc sống hiện đại. Hệ đếm được định nghĩa như trên là hệ đếm theo vị trí, tức là mỗi hệ số i a (được gọi là các chữ số của a ) ở vị trí khác nhau có giá trị khác nhau (hàng “đơn vị”, “hàng chục”, “hàng trăm”, ). Bằng cách chia cho 2, một số tự nhiên bất kì đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng các lũy thừa của 2 với các hệ số bằng 1 hoặc bằng 0. Thí dụ, 10 9 8 7 6 4 3 1 0 2011 2 2 2 2 2 2 2 2 2         . 2 Như vậy, nếu chọn 2 làm cơ số trong hệ đếm cơ số 2, thì mọi số tự nhiên đều có một biểu diễn duy nhất trong hệ đếm cơ số 2. Các chữ số của nó (chỉ có thể bằng 0 hoặc bằng 1) chính là các hệ số trong phân tích số đã cho dưới dạng lũy thừa của 2. Thí dụ, ta có,   10 2 2 2011 = 11111011011 =11111011011 . 2.2 Xét trò chơi được trang bị một “máy đọc ý nghĩ”, tức là ta có một (một số) bảng lập sẵn, đóng vai trò như các máy phiên dịch các số trong hệ đếm cơ số 10 sang hệ đếm cơ số 2. Nhờ đó mà ta có thể “đọc” được người đối diện đã nghĩ số nào. Thí dụ 2.1 Giả sử bạn chọn một số bất kì trong khoảng từ 1 đến 1000. Tôi sẽ hỏi bạn 10 câu hỏi, bạn có quyền trả lời “đúng” hoặc “sai”. Dựa trên 10 câu trả lời của bạn, tôi sẽ khẳng định được bạn đã chọn số nào. Tại sao? Giải Các câu hỏi lần lượt như sau. Câu thứ nhất: Lấy số đã chọn chia cho 2. Hỏi phép chia có dư hay không? Nếu bạn trả lời là “không” thì tôi viết số 0, còn nếu câu trả lời là “có” thì tôi viết chữ số 1. Câu thứ hai: Lấy thương của phép chia vừa rồi chia cho 2. Hỏi phép chia có dư hay không? Nếu câu trả lời là “không” thì tôi viết số 0, còn nếu câu trả lời là “có” thì tôi viết chữ số 1 vào phía trước (về bên trái) số đã viết (chữ số 0 hoặc chữ số 1) của câu trả lời thứ nhất. Các câu hỏi tiếp theo cũng tương tự: Lấy thương của phép chia vừa xong chia cho 2. Hỏi phép chia có dư không? Nếu câu trả lời là “không” thì viết chữ số 0, còn nếu câu trả lời là “có” thì viết chữ số 1 trước số đã viết. Sau 10 lần trả lời, ta nhận được 10 chữ số chỉ gồm các chữ số 0 và 1, chữ số đầu tiên bao giờ cũng là chữ số 1. Như vậy, hệ thống 10 câu hỏi trên chính là cách chuyển biểu diễn của một số đã cho (dưới 1000) từ hệ đếm cơ số 10 sang hệ đếm cơ số 2. Hơn nữa, 10 câu hỏi là đủ, bởi vì mọi số từ 0 đến 1000 đều có thể viết được dưới dạng một số trong hệ đếm cơ số 2 với không quá 10 chữ số ( 10 2 2 1024 10000000000 ). Vì số ban đầu chưa biết nên bây giờ chỉ cần chuyển số nhận được trong hệ đếm cơ số 2 sang hệ đếm cơ số 10, ta khôi phục được số ban đầu. Thí dụ, sau 10 lần trả lời, ta nhận được số 1010011010. Đổi số này từ hệ đếm cơ số 2 sang hệ đếm cơ số 10 theo định nghĩa ta được   2 1010011010 667 . Vậy số ban đầu bạn chọn là 667. Kiểm tra lại: 667=333  2+1=(166  2+1)  2+1=((83  2)  2+1)  2+1 3 =(((41  2+1)  2)  2+1)  2+1=((((20  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =(((((10  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =(((((5  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =((((((2  2+1)  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =(((((((1  2)  2+1)  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =2 9 +2 7 +2 4 +2 3 +2+1=(1010011010) 2 . 3.2 Trò chơi Nim Người Trung Quốc thời xưa có trò chơi gọi là trò chơi Nim. Nội dung của trò chơi này như sau: Có ba đống sỏi, hai người chơi lần lượt lấy một số sỏi bất kì (khác 0) từ một trong ba đống đó (và mỗi lần chơi chỉ lấy sỏi từ một đống). Ai là người nhặt viên sỏi cuối cùng thì người đó thắng. Có hay không một chiến lược chơi để người đi trước thắng? Giải Các viên sỏi cũng có thể được thay thế bởi các đồ vật khác, thí dụ, trẻ em thường dùng các que diêm hoặc các mảnh bìa, vì vậy trò chơi này cũng được gọi là trò chơi ăn diêm. Người lớn thường dùng các đồng tiền xu đặt lên trên bàn các quầy bar. Dạng phổ biến nhất của trò chơi Nim là trò chơi gồm 12 đồng xu đặt thành ba hàng với 3, 4, 5 đồng xu Hình 3.1 trong mỗi hàng (Hình 3.1). Qui tắc chơi của trò chơi Nim rất đơn giản: Hai người chơi lần lượt nhặt các đồng xu (ít nhất một đồng) chỉ từ một hàng nào đó. Người nào nhặt đồng xu cuối cùng thì người đó thắng. Cũng có thể nêu qui tắc ngược lại: ai phải nhặt đồng xu cuối cùng thì người đó thua. Ta có một số nhận xét đơn giản nhưng rất cơ bản sau đây. Nhận xét 1 Nếu sau một số lượt đi, chỉ còn lại hai hàng với số đồng xu bằng nhau và đến lượt người chơi thứ hai thì người chơi thứ nhất thắng (trong trò chơi với qui tắc người nhặt đồng xu cuối cùng là người thắng). Chứng minh Vì số đồng xu trong hai hàng như nhau nên đến lượt người chơi thứ hai, anh ta phải lấy một số đồng xu từ một hàng, do đó số đồng xu trong hai hàng khác nhau. Nếu người thứ hai nhặt toàn bộ xu ở một hàng thì người thứ nhất cũng nhặt toàn bộ xu ở hàng còn lại và thắng. Nếu sau khi người thứ hai đi mà vẫn còn hai hàng thì người thứ nhất chọn chiến lược: 4 nhặt số đồng xu bằng chính số đồng xu mà người chơi thứ hai đã nhặt, nhưng ở hàng khác. Số đồng xu ở hai hàng lại bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy, đến khi còn lại mỗi hàng đúng một đồng xu. Người thứ hai buộc phải nhặt một đồng xu ở một hàng, người thứ nhất nhặt đồng xu cuối cùng ở hàng còn lại và thắng. Hệ quả 1 Nếu sau một số bước, số đồng xu trong ba hàng chỉ còn lại là   ,,abc với ab và đến lượt người thứ hai thì người thứ hai thắng (theo qui tắc kết thúc trò chơi ai là người lấy viên bi cuối cùng người đó thắng). Chứng minh Người thứ hai chỉ việc lấy tất cả c đồng xu ở hàng thứ ba, còn lại hai hàng, mỗi hàng có số đồng xu bằng nhau. Theo nhận xét 1, đến lượt người chơi thứ nhất (đóng vai trò người chơi thứ hai trong Nhận xét 1) và do đó người chơi thứ hai (đóng vai trò người chơi thứ nhất trong Nhận xét 1) là người thắng. 3.3 Giải bài toán trò chơi Nim bằng công cụ hệ đếm cơ số 2 Dưới đây trình bày lời giải của trò chơi Nim với ba đống sỏi và số sỏi bất kì trong mỗi đống nhờ công cụ hệ đếm cơ số 2. Giả sử số sỏi trong các đống thứ nhất, thứ hai và thứ ba tương ứng là a , b và c viên. Trong hệ đếm cơ số 2, các số này được biểu diễn dưới dạng   1 1 1 0 1 1 0 2 .2 .2 .2 nn n n n n a a a a a a a a a         ;   1 1 1 0 1 1 0 2 .2 .2 .2 nn n n n n b b b b b b b bb         ;   1 1 1 0 1 1 0 2 .2 .2 .2 nn n n n n c c c c c c c cc         . Các hệ số i a , i b , i c , 0, ,in có giá trị 0 hoặc 1. Ở đây, để tiện trình bày, ta đã viết biểu diễn của a , b và c cùng có bậc cao nhất là 2 n . Điều này dễ dàng làm được vì nếu cần ta có thể thêm các hệ số bằng 0, tức là ta không đòi hỏi tất cả các hệ số n a , n b , n c phải khác 0, nhưng vì n là bậc cao nhất nên ít nhất một trong các hệ số n a , n b , n c phải khác 0. Người chơi đầu tiên sẽ lấy một số sỏi (khác 0) từ một trong ba đống, thí dụ, từ đống thứ nhất. Khi ấy các hệ số i a , 0, ,in sẽ bị thay đổi. Tương tự, nếu lấy sỏi từ đống thứ hai (hoặc từ đống thứ ba), thì ít nhất một trong các hệ số i b , 0, ,in (hoặc i c , 0, ,in ) của b ( hoặc c ) sẽ bị thay đổi. 5 3.4 Baguenaudier hay trò chơi tháo vòng Trung Hoa Trò chơi vòng Trung Hoa gồm một số các vòng được treo trên một thanh đôi (có khe trống giữa hai thanh) sao cho vòng đầu tiên tại một đầu (đầu A, xem Hình 3.1) có thể được lấy ra qua đầu A hoặc luồn qua khe giữa hai thanh đôi một cách dễ dàng, nhưng mọi vòng khác chỉ có thể lấy ra hoặc luồn qua khe giữa thanh đôi khi một vòng tiếp theo hướng tới A và mọi vòng còn lại phía A đã được tháo ra khỏi thanh đôi. Thứ tự của vòng không được thay đổi. Mỗi vòng quấn quanh thanh đôi và vướng vào vòng sau. Mỗi vòng được giữ bởi một cọc que móc và vướng vào vòng sau bởi que móc này. Các que móc được ghim xuống một thanh gỗ. Vòng chỉ có thể giải phóng khỏi hoặc quấn trở lại thanh đôi nếu vòng sau nằm trên thanh đôi. Tại một thời điểm, chỉ một vòng có thể tháo ra hoặc lồng vào thanh đôi. Hình 3.1 Hình vẽ mô tả cách tháo vòng Trung Hoa (từ sách của Ball, 1892 [7]) Hai qui tắc sau đây cần nhớ: Qui tắc 1 Bất cứ vòng nào ta muốn tháo thụt xuống qua khe giữa thanh đôi, vòng trước đó phải được đặt trên thanh đôi. Qui tắc 2 Tại đầu thanh đôi, ta có quyền lựa chọn tháo ra hoặc một vòng hoặc hai vòng đầu phụ thuộc vào số vòng là lẻ hoặc chẵn. KẾT LUẬN Chương 1 của luận văn trình bày khá chi tiết ứng dụng của hệ đếm cơ số 2 trong giải một số bài toán trò chơi (trò chơi Nim, trò chơi Tháp Hà Nội, trò chơi đoán số). 6 Chương 2 giới thiệu mã Gray và trình bày ứng dụng của mã Gray cơ số 2 trong giải trò chơi Tháp Hà Nội, trò chơi Hamilton và trò chơi tháo vòng Trung Hoa. Chương 3 tập hợp một số ví dụ minh họa một số dạng toán trò chơi, trong đó có các bài thi vô địch quốc gia và quốc tế. Mặc dù còn rất sơ lược và chưa bao quát hết được số lượng lớn các trò chơi giải được nhờ hệ đếm cơ số 2 và mã Gray, hy vọng luận văn cũng đã cho một bức tranh tương đối rõ nét về phương pháp này. Hy vọng luận văn gợi ý sự quan tâm đến các vấn đề toán học thú vị của các bài toán trò chơi, trong đó có trò chơi tháp Hà Nội. References Tiếng Việt [1] Mao Thị Hiền, Trò chơi Tháp Hà Nội và các bài toán liên quan, Luận văn Cao học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2012. [2] Nguyễn Thị Hồng Phượng, Thuật toán Frame-Stewart giải bài toán Tháp Hà Nội tổng quát, Luận văn Cao học, Đại học Sư phạm Thái Nguyên, 2010. [3] Tạ Duy Phượng, Hệ đếm và ứng dụng (Trong bộ sách Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải toán trên máy tính điện tử), Nhà xuất bản Giáo dục, 2007. [4] Tạ Duy Phượng, Trò chơi Tháp Hà Nội: Lịch sử và những vấn đề Toán-Tin học liên quan (Bản thảo), 150 trang, 2010. [5] Tạ Duy Phượng, Trò chơi toán học (Bản thảo, 120 trang), 2011. [6] Vũ Thị Mai Thanh, Lý thuyết trò chơi trên đồ thị, Luận văn Cao học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007. Tiếng Anh [7] W. W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays, Macmillan and Co., London, Sixth Edition, (1914). [8] Henry Ernest Dudeney, The Canterbury Puzzles (and other curious problems), Thomas Nelson and Sons, Ltd., London, 1907; New York, E. P. Dutton and Company, 1908. [9] Martin Gardner, Mathematical Puzzles and Diversions, The University of Chicago Press, 1959, 1987. 7 [10] Martin Gardner, Knotted doughnuts and other mathematical entertainments, W. H. Freeman and Company, 1986, USA. [11] Martin Gardner, Hexaflexagons, Probability Paradoxes, and the Tower of Hanoi, Cambridge University Press, 2008. [12] William Rowan Hamilton, Memorandum respecting a new System of Roots of Unity By Sir William Rowan Hamilton, Professor of Astronomy in the University of Dublin, and Royal Astronomer of Ireland. The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4th series, vol. xii, 1856, p. 446). [13] Édouard Lucas, Récréations Mathématiques, Gauthier-Villars, Paris, 1892. [14] Édouard Lucas, L’Arithméique Amusante: Introduction aux Récréations Mathematicques, Gauthier-Villars, Paris, 1895. [15] Các tạp chí toán, các trang WEB (tiếng Việt và tiếng Anh) viết về trò chơi toán học. . chi tiết ứng dụng của hệ đếm cơ số 2 trong giải một số bài toán trò chơi (trò chơi Nim, trò chơi Tháp Hà Nội, trò chơi đoán số) . 6 Chương 2 giới thiệu. 2: hệ đếm số 2; máy đọc ý nghĩ; trò chơi Nim; giải bài toán Tháp Hà Nội nhờ đếm cơ số 2. Nghiên cứu lời giải một số bài toán trò chơi cơ học nhờ công