Rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình cho học sinh giỏi Trung học phổ thông Đào Thị Phƣơng Thảo Trƣờng Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận PP giảng dạy; Mã số: 60 14 10 Ngƣời hƣớng dẫn: TS Phạm Văn Quốc Năm bảo vệ: 2012 Abstract: Kĩ và kĩ gi ải tốn; hình thành kỹ năng; vai trị tập toán học; nhƣ̃ng phƣơng pháp giải ̣ phƣơng trinh ; giải pháp rèn luyện kĩ giải toán cho ̀ học sinh Rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình cho học sinh: rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình bản; rèn luyện kĩ thế; kĩ sử dụng phép cộng đại số; kĩ biến đổi phƣơng trình tích; kĩ đặt ẩn phụ để giải hệ phƣơng trình; kĩ sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để giải hệ phƣơng trình; kĩ đánh giá để giải hệ phƣơng trình; kĩ sử dụng số phức để giải hệ phƣơng trình Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm Keywords: Phƣơng pháp giảng dạy; Tốn học; Giải hệ phƣơng trình; Trƣờng trung học phổ thông Content MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Theo Luâ ̣t giáo dục Việt Nam , mục tiêu giáo dục phổ thông chúng ta “Giúp học sinh phát triển toàn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kĩ nhằm hình thành nhân cách người Việt Nam Xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công đồng, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ tổ quốc” Để thực đƣợc mục tiêu phƣơng pháp giáo dục cần phải “phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Trong môn học trƣờng phổ thơng, mơn tốn có vai trị quan trọng việc phát triển trí tuệ cho học sinh, cung cấp cho em kiến thức bản, cần thiết để học tập môn học khác giải số toán thực tiễn Theo nhà giáo nhân dân, GS Nguyễn Cảnh Tồn: “Dạy Tốn dạy kiến thức, kĩ năng, tƣ tính cách” , ki ̃ có v ị trí đặc biệt quan trọng, khơng có ki ̃ khơng thể phát triển đƣợc tƣ tìm lối cho việc giải tốn Hệ phƣơng trình nội dung quan trọng mơn tốn trƣờng phổ thơng Giải hệ phƣơng trình nội dung thƣờng gă ̣p kì thi tuyể n sinh đa ̣i ho ̣c , cao đẳ ng, thi ho ̣c sinh giỏi Ở cấp hai các em đƣợc học hệ phƣơng trình bậc hai ẩn, lớp 10 các em đƣợc học hệ phƣơng trình bậc hai hai ẩn đến lớp 12 hệ phƣơng trình mũ, logarit Nơ ̣i dung ̣ phƣơng trình rấ t phong phú khó mà thời gian để dạy phần Các tập giải hệ phƣơng trình sách giáo khoa cịn ít dừng lại tập bản, các sách tham khảo viết hệ phƣơng trình gần giống và hƣớng dẫn nhƣ̃ng ̣ bản còn với ̣ không mẫu mƣ̣c thì có it ví ́ dụ tập để rèn luyê ̣n ki ̃ Để giải đƣơ ̣c ̣ phƣơng trinh không mẫu mƣ̣c này cầ n sƣ̉ du ̣ng nhiề u ki ̃ ̀ việc giải hệ phƣơng trình kì thi tuyển sinh đa ̣i ho ̣c, cao đẳ ng, thi ho ̣c sinh giỏi khó khăn lớn em Do để em làm tốt phần em cần phải đƣợc rèn luyện nhiều kĩ Từ lí chúng tơi lựa chọn đề tài: “ Rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình cho học sinh giỏi Trung học phổ thông ” Lịch sử nghiên cứu Đến có số cơng trình nghiên cứu rèn luyện kĩ nhƣ “Rèn luyện kĩ giải tốn thiết diện các hình khơng gian chƣơng trình Trung học phổ thơng” luận văn thạc sĩ Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006, “ Rèn luyện kĩ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp Trung học phổ thông” - luận văn thạc sĩ Nguyễn Thị Thanh Thủy, K3, ĐHGD-ĐHQG HN, năm 2010, “ Rèn luyện kĩ giải toán phƣơng pháp tọa độ không gian” - luận văn thạc sĩ Nguyễn Thị Yế n , K3, ĐHGD-ĐHQG HN, năm 2011 Trong đề tài tác giả tập trung sâu nghiên cứu rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình với đớ i tƣơ ̣ng ho ̣c sinh khá , giỏi nội dung tƣơng tƣơng đối khó yêu cầu cao kĩ tƣ đố i với ho ̣c sinh Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu: Đề xuất giải pháp nhằm rèn luyện có hiệu kĩ giải hệ phƣơng trình cho học sinh - Nhiệm vụ nghiên cứu: + Nghiên cứu lí luận kĩ giải tốn, giải tập toán học + Nghiên cứu các kĩ chủ yếu giải hệ phƣơng trinh + Thực nghiệm sƣ phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Đối tƣợng khách thể nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Là trình dạy học giải hệ phƣơng trình trƣờng phổ thơng - Khách thể nghiên cứu: Chƣơng trình sách giáo khoa môn toán lớp 10,12 trƣờng phổ thông Mẫu khảo sát Lớp 10A10, 10A11 năm ho ̣c 2010-2011 trƣờng THPT Lý Thái Tổ, Từ Sơn, Bắc Ninh Vấn đề nghiên cứu + Các kĩ giải hệ phƣơng trình + Giải pháp để rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình Giả thuyết nghiên cứu Nếu ̣ thố ng đƣơ ̣c các ki ̃ giải ̣ phƣơng trinh ̀ , nhâ ̣n da ̣ng đƣơ ̣c mô ̣t số loa ̣i ̣ phƣơng trinh , lựa chọn đƣợc ví dụ, tập có biện pháp rèn luyện kĩ sẽ giúp ̀ các em học sinh học tốt nội dung hệ phƣơng trình tạo niềm vui, hƣ́ng thú để học môn toán Phƣơng pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lí luận: nghiên cứu lí luận rèn luyện kĩ giải toán,về dạy học giải tập toán + Điều tra, quan sát: Sử dụng phiếu điều tra tình hình dạy học giải hệ phƣơng trình + Thực nghiệm sƣ phạm: Soạn dạy thực nghiệm số giáo án giải hệ phƣơng trình để đánh giá tính khả thi hiệu đề tài Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung luận văn gồm chƣơng: Chƣơng 1.Cơ sở lí luận thực tiễn; Chƣơng Rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình cho học sinh; Chƣơng Thực nghiệm sƣ phạm CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kĩ và kĩ giải toán 1.1.1 Quan niệm kĩ năng, kĩ giải toán Khái niệm “Kĩ năng” đƣợc sử dụng nhiều môn toán nhƣ đời sống Vậy kĩ gì? Theo giáo trình Tâm lí học đại cƣơng, “kĩ năng lực sử dụng kiện, tri thức hay khái niệm có, lực vận dụng chúng để phát thuộc tính chất vật giải thành cơng nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” Theo Tƣ̀ điể n bách khoa Việt Nam “Kĩ khả vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” Trong khả đƣợc hiểu sức có mặt để làm tốt việc Theo Polya G Sáng tạo toán học (bản dịch) “Kĩ nghệ thuật, khả vận dụng hiểu biết có bạn để đạt mục đích mình, kĩ cịn đặc trưng tồn thói quen định, kĩ khả làm việc có phương pháp” Theo Polya G Giải toán nhƣ “Trong toán học kĩ khả giải tốn, thực chứng minh phân tích có phê phán lời giải chứng minh nhận được” Từ quan niệm kĩ cho rằng: Kĩ giải toán khả vận dụng kiến thức nội dung mơn tốn bao gồm: Định nghĩa, khái niệm, định lý, thuật giải, phƣơng pháp… kiến thức số môn học khác nhƣ kiến thức thực tế để giải tốn 1.1.2 Sự hình thành kỹ Theo từ điển giáo dục học, để hình thành đƣợc kĩ trƣớc hết cần có kiến thức làm sở cho việc hiểu biết, luyện tập thao tác riêng rẽ thực đƣợc hành động theo đúng mục đích, yêu cầu…Do kiế n thƣ́c là sở của ki ̃ tùy theo kiế n thƣ́c ho ̣c sinh cầ n nắ m đƣơ ̣c mà có nhƣ̃ ng yêu cầ u rèn luyê ̣n ki ̃ tƣơng ƣ́ng Kỹ đƣợc hình thành thơng qua quá trình tƣ để giải nhiệm vụ đặt Khi tiến hành tƣ các vật chủ thể thƣờng phải biến đổi, phân tích đối tƣợng để tách khía cạnh thuộc tính Quá trình tƣ diễn nhờ thao tác phân tích, tổng hợp trừu tƣợng hóa khái quát hóa hình thành đƣợc mơ hình mặt đối tƣợng mang ý nghĩa chất việc giải toán cho Con đƣờng hinh thành kĩ năn g rấ t phong phú và nó phu ̣ thuô ̣c vào tham số nhƣ: Kiế n ̀ thƣ́c xác đinh ki ̃ , yêu cầ u rèn luyê ̣n ki ̃ , mƣ́c ̣ tich cƣ̣c , chủ động học sinh…Có ́ hai đƣờng để hình thành kĩ cho học sinh là: - Truyền thụ cho học sinh trí thức cần thiết, sau đề cho học sinh toán vận dụng tri thức Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tịi cách giải, đƣờng thử nghiệm đúng đắn sai lầm (Thử các phƣơng pháp tìm phƣơng pháp tối ƣu), qua phát mốc định hƣớng tƣơng ứng, phƣơng thức cải biến thông tin, thủ thuật hoạt động - Dạy cho học sinh nhận biết dấu hiệu mà từ xác định đƣợc đƣờng lối giải cho dạng tốn vận dụng đƣờng lối giải vào toán cụ thể Thực chất hình thành kỹ tạo dựng cho học sinh khả nắm vững hệ thống phức tạp thao tác nhằm làm biến đổi sáng tỏ thông tin chứa đựng tốn Khi hình thành kỹ cho học sinh cần tiến hành: - Giúp học sinh biết cách tìm tịi để nhận yếu tố cho, yếu tố phải tìm mối quan hệ chúng - Giúp học sinh hình thành mơ hình khái quát để giải tốn loại - Xác lập đƣợc mối liên quan tốn mơ hình khái qt kiến thức tƣơng ứng Các yếu tố ảnh hƣởng đến hình thành kĩ năng: Sự dễ dàng hay khó khăn vận dụng kiến thức phụ thuộc khả nhận dạng kiểu nhiệm vụ, dạng tập tức tìm kiếm phát thuộc tính quan hệ vốn có nhiệm vụ hay tập để thực mục đính định Sự hình thành kĩ bị ảnh hƣởng yếu tố sau đây: - Nội dung tập, nhiệm vụ đặt đƣợc trừu tƣợng hóa hay bị che phủ yếu tố phụ làm chệch hƣớng tƣ có ảnh hƣởng tới hình thành kĩ - Tâm thói quen ảnh hƣởng tới hình thành kĩ Vì thế, tạo tâm thuận lợi học tập sẽ giúp học sinh việc hình thành kĩ - Có khả khái quát hóa đối tƣợng cách tồn thể 1.1.3 Điều kiện để có kĩ Muốn có kĩ hành động chủ thể cần phải: - Có kiến thức để hiểu đƣợc mục đích hành động, biết đƣợc điều kiện, cách thức để đến kết quả, để thực hành động - Tiến hành hành động yêu cầu - Đạt đƣợc kết phù hợp với mục đích đề - Có thể hành động có hiệu điều kiện khác - Có thể qua bắt chƣớc, rèn luyện để hình thành kĩ nhƣng phải trải qua thời gian đủ dài 1.1.4 Các mức độ kĩ giải toán Kĩ giải tập tốn học chia thành ba mức độ: - Biết làm: Vận dụng đƣợc lý thuyết để giải tập hình thành thao tác nhƣ: Viết các đại lƣợng theo ngơn ngữ tốn học, viết xác cơng thức, kí hiệu, giải đƣợc tập tƣơng tự nhƣ mẫu - Thành thạo: Học sinh giải nhanh, ngắn gọn, xác tốn theo cách giải biết số tập tổng hợp - Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm đƣợc cách giải ngắn gọn, chuyển hóa vấn đề khéo léo, cách giải vấn đề độc đáo 1.2 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh 1.2.1 Mục tiêu dạy mơn Tốn 1.2.2 u cầu rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh THPT 1.3 Vai trị tập tốn học 1.4 Nhƣ̃ng phƣơng pháp giải ̣ phƣơng trinh ̀ 1.5 Giải pháp rèn luyện kĩ giải toán cho ho ̣c sinh 1.5.1 Tổ chưc các hoa ̣t động học tập đảm bảo tính chủ động , tích cực, độc lập của học sinh ́ quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ 1.5.2 Trang bi ̣ các tri thưc về phương pháp giải toán cho học sinh ́ 1.5.3 Quy trình hình thành kĩ giải ̣ phương trình cho học sinh Theo chúng quy trình hình thành kĩ giải ̣ phƣơng trinh cho h ọc sinh gồm ba ̀ bƣớc sau: Bƣớc 1: Hƣớng dẫn học sinh giải số toán mẫu lớp, có phân tích phƣơng pháp suy nghĩ, tìm lời giải, lƣu ý cho học sinh điểm cần thiết Bƣớc 2: Học sinh tự rèn luyện kĩ giải tốn theo hệ thống tốn có chủ định giáo viên, giáo viên phân tích, khắc phục khó khăn, thiếu sót cho học sinh Bƣớc 3: Rèn luyện kĩ giải toán mức độ cao hơn, tổng hợp 1.6 Tóm tắt chƣơng Trong chƣơng này trình bày số vấn đề thuộc về lí luận liên quan đến kĩ giải toán là: Quan niệm kĩ kĩ giải tốn ; Sự hình thành kĩ năng; Điều kiện để có kĩ năng; Các mức độ kĩ giải toán, nhiệm vụ rèn luyện kĩ giải tốn cho học sinh Ngồi còn trình bày vai trị tập tốn học; Định hƣớng cho giải pháp rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh Nội dung hệ phƣơng trình nội dung tƣơng đối khó với học sinh mà thời gian để giảng dạy phần không nhiều Do giải pháp rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình cần đƣợc quan tâm nhiều CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH 2.1 Rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình 2.1.1 Hệ phương trình gồm phương trình bậc ẩn 2.1.2 Hệ đối xứng loại I 2.1.3 Hệ đối xứng loại II 2.1.4 Hệ đẳng cấp bậc 2.2 Rèn luyện kĩ 2.2.1 Rèn luyện kĩ rút ẩn theo ẩn Nế u ̣ có phƣơng trinh bâ ̣c nhấ t đố i với mô ̣t ẩ n ta có thể rút ẩ n đó theo ẩ n và ̀ thế vào phƣơng trinh còn la ̣i ta đƣơ ̣c phƣơng trinh mô ̣t ẩ n ̀ ̀ x  5x  y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  2 x  xy  y  11x  39   x  y 1   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  y   2y   (1) (2) (1) (2) Phân tích: Biểu thức phƣơng trình (1) bậc với hai ẩn mà vế phải (1) số nên cần bình phƣơng hai vế phƣơng trình (1) ta có phƣơng trình bậc hai ẩn x  4x  y  y    Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x y  x  y  22   (1) (2) Nhận xét: ví dụ từ phƣơng trình thứ hai hệ ta nhóm số hạng chứa y rút đƣợc y theo x Trƣớc y theo x ta biến đổi phƣơng trình cịn lại Làm nhƣ việc tính toán đơn giản nhiều việc phát nhân tử chung để đƣa phƣơng trình tích dễ nhìn x  y  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  x y 2   (1) 2 Phân tích :Tƣ̀ phƣơng trình (1) ta rút đƣơ ̣c y th eo x, thế vào phƣơng trình (2) ta đƣơ ̣c phƣơng trình mũ ẩn x 2.2.2 Kĩ biểu diễn biểu thức ẩn theo ẩn Với nhiều hệ phƣơng trình việc khéo léo biểu diễn biểu thức ẩn theo ẩn vào phƣơng trình cịn lại làm cho việc tính toán đơn giản dễ dàng  x  xy  x   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x ( y  1)( x  y  1)   (1) (2) Phân tích: Do phƣơng trình (2) chứa y+1 nên từ phƣơng trình (1) ta rút y+1 theo x rờ i thế vào phƣơng trình (2) Ví dụ Giải hệ phƣơng trình 2  x  2x y  x y  2x    x  xy  x   (1) (2) (Trích đề thi đại học khối B năm 2008) Nhâ ̣n xét : ta đã sƣ̉ du ̣ng hằ ng đẳ ng thƣ́c để biế n đổ i phƣơng trình thƣ́ nhấ t của ̣ Tƣ̀ đó gơ ̣i ý cho viê ̣c rút xy theo x để thế vào phƣơng trình (3) Nế u không có bƣớc biế n đở i phƣơng trình (1) về phƣơng trinh (3) việc tính toán thự c hiê ̣n phép thế sẽ vấ t vả nhiề u ̀   x  y  xy  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   xy  yx  2  4 x  y  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  log (2 x  y )  log (2 x  y )  Phân tích : Phƣơng trinh ̀ (2) (1) (2) (1) (2) không biế n đổ i tiế p đƣơ ̣c Ta la ̣i có (1) x  y  (2 x  y)(2 x  y) nên ta nghitới viê ̣c logarit số hai vế của phƣơng trình ̃ Nhâ ̣n xét : Với ̣ phƣơng trình logarit ngoài nhƣ̃ng ki ̃ giải ̣ ta cầ n nắ m chắ c các tính chất logarit để biến đổi giải hệ 2.2.3 Kĩ thế hằ ng số biểu thức  2 y  x  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  y  y  x  (1) (2) Phân tích: Ở phƣơng trình (2) bâ ̣c mỡi đơn thƣ́c ở vế trái bằ ng vế phải Ta có thể làm cho2 vế cùng bâ ̣c nhờ phép thế1 bởi 2y2-x2  11x  y  y  16 x  Ví dụ 10 Giải hệ phƣơng trình  1  y  5(1  x )  (1) (2) x  y   Ví dụ 11 Giải hệ phƣơng trình  x  y  x  y  Bài tập tự luyện 2.3 Kĩ sử dụng phép cộng đại số Sử dụng phép cộng đại số để giải hệ tức kế t hơ ̣p hai phƣơng trình ̣ bằ ng các phép toán: cộng, trƣ̀, nhân, chia vế phƣơng trình để đƣợc phƣơng trình ̣ mà việc giải phƣơng trình đơn giản hoă ̣c có lơ ̣i cho các bƣớc sau 2.3.1 Cộng đại số đưa phương trình ẩn (một biểu thức ẩn) giải x  4x  y    Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  ( x  2)  y   (1) (2) Phân tích Từ phƣơng trình (1) ta rút y theo x nhƣng vào (2) ta đƣợc phƣơng trình : bậc mà việc tìm x khó khăn Ta la ̣i thấ y biể u thƣ́c chƣ́a x ở hai phƣơng trinh giố ng nên ta nghi ̃ ̀ đến viê ̣c trƣ̀ vế với vế thì ta đƣơ ̣c phƣơng trinh mô ̣t ẩ n y ̀   xy   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   xy    x 16  y y  x (1) (2) 2.3.2 Cộng đại số xuất đẳng thức 4 x  xy   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   y  3xy   (1) (2)   x y  y x  30 Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  y  35  Phân tích: Đây là ̣ đố i xƣ́ng loa ̣i I nên có thể giải theo cách giải của ̣ đố i xƣ́ng loa ̣i I Tuy nhiên nế u để ý đế n các biể u thƣ́c ở hai phƣơng trinh ta nghi ̃ đế n hằ ng đẳ ng thƣ́c (a  b) ̀ Nhâ ̣n xé t: Giải cách cộng đại số nhanh nhiều so với giải theo ̣ đố i xƣ́ng loa ̣i I  xy  x  y  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  2  x  y  3x  y  2 2.3.3 Cộng đại số xuất phương trình tích  2 x  xy  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x y  xy   Phân tíc h: Hệ giải phƣơng pháp Ta lại thấy vế phải hai phƣơng trình nên ta nghĩ đến phép trừ vế cho vế đƣa về phƣơng trình tích  2 x  y  x   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  xy    x  Bài tập tự luyện 2.4 Kĩ biến đổi phƣơng trình tích X́ t phát tƣ̀ mơ ̣t phƣơng trình của ̣ hoă ̣c cô ̣ng , trƣ̀ hai phƣơng trình của ̣ dẫn tới phƣơng trình tích 2.4.1 Mợt phương trình hệ có dạng au + bv = ab + uv Ta có au + bv = ab + uv  (a-v)(u-b)=0 Kĩ phát a, b, u, v  xy   x  y Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  x y  x  Phân tích: Để ý phƣơng trình thứ hệ đƣa đƣợc phƣơng trình tích nhờ ta giải đƣợc hệ Ngồi để ý phƣơng trình thứ hai hệ rút y theo x vào phƣơng trình thứ Từ ta có hai cách giải hệ Tuy nhiên thay phƣơng trình thứ hai hệ phƣơng trình: x  xy  y  ta khơng giải đƣợc hệ phƣơng pháp x  y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x y   x( y  1)  Phân tích: Phƣơng trinh thƣ́ nhấ t của ̣ không thể biế n đổ i tiế p đƣơ ̣c Ta tâp trung vào ̣ ̀ phƣơng trinh thƣ́ hai của ̣ ̀ ẩn x (hoă ̣c y) y (hoă ̣c x) tham số Nế u  có dạng (my+n)2 ta rút đƣợc x theo y (hoă ̣c y theo x) Nế u gă ̣p ̣ phƣơng trình gờ m hai phƣơng trình bâ ̣c nhƣng mỡi phƣơng trình của ̣ không có tính chấ t vƣ̀a nêu thì có thể nhân vào mỡi phƣơng trình mơ ̣t sớ nào đó rồ i cô ̣ng chúng lại với để đƣợc phƣơng trình bậc có tính chất vừa nêu Chẳ ng ̣n ta xét ví du ̣ sau đây:  2 x  xy  y  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   y  xy  x   (1) (2) 2.4.3 Một phương trình hệ đưa phương trình tích nhờ phép nhóm số hạng thích hợp  2( x  x  y  1)  x ( y  1) Ví dụ 10 Giải hệ phƣơng trình  2 x  x y   (1) (2) Ví dụ 11 Giải hệ phƣơng trình (1)  xy  x   (Trích đề thi đại học khối D năm 2012)  2 2 x  x y  x  y  xy  y  (2) Phân tích: Phƣơng trình (1) phƣơng trình bậc x, y nhƣng nế u rút mô ̣t ẩ n theo ẩ n và thế vào phƣơng trình (2) ta đƣợc phƣơng trình ẩn có bậc cao nên ta biế n đở i phƣơng trình (2) Nhâ ̣n xét Khi nhóm các số ̣ng ta cầ n để ý đế n ̣ số và bâ ̣c của đơn thƣ́c : Ví dụ 11 Giải hệ phƣơng trình  5 x y  xy  y  2( x  y )    xy ( x  y )   ( x  y )  (1) (2) (Trích đề thi đại học khối A năm 2011) Bài tập tự luyện 2.5 Kĩ đặt ẩn phụ để giải hệ phƣơng trình Ngồi hệ phƣơng trình có cách giải phƣơng pháp hay đƣợc sử dụng để giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp đặt ẩn phụ.Viê ̣c đă ̣t ẩ n phu ̣ làm cho cấ u trúc của ̣ nhin đơn giản ̀ Để đă ̣t ẩ n phu ̣ chúng ta cầ n ta ̣o nhƣ̃ng nhóm ̣ng tƣ̉ đồ ng da ̣ng với Để ta ̣o nhƣ̃ng nhóm hạng tử ta thƣờng thƣ̣c hiê ̣n thêm, bớt, ghép các số hạng, chia hai vế của phƣơng trình với mơ ̣t biể u thƣ́c thich hơ ̣p ́ 2.5.1 Kĩ phát ẩn phụ phương trình hệ Ví dụ Giải hệ phƣơng trình 2 x  y   x  y    x  xy  y   (1) (Trích đề thi Cao đẳ ng năm 2010) (2) Ví dụ Giải hệ phƣơng trình 3 x  y  x  y   x  y  x  y   (1) (Trích đề thi đại học khối B năm 2002) (2) 2 x  13xy  15 y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  x  y  x  y    Nhận xét: Trong hệ có phƣơng trình đẳng cấp bậc hai với x, y Phƣơng trình giải đƣợc nhờ phép đặt ẩn phụ Chú ý: Phƣơng trình đẳng cấp bậc hai giải đƣợc nhờ coi phƣơng trình bậc hai ẩn ẩn lại tham số Tuy nhiên phƣơng trình đẳng cấp bậc ba việc đặt ẩn phụ để giải sẽ thuận lợi Bài tập tƣ ̣ luyên ̣ 2.5.2 Kĩ đặt số ẩn phụ đặc biệt 2.5.2.1 Đặt u = x + y, v = x – y Ví dụ Giải hệ phƣơng trình 2 y  x  y    x  y x   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  y  3x y  x   3x  y   1 2.5.2.2 Đặt u  x  , v  y  x y 1  x  y  x  y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  x  y     x2 y2     ( x  y )1     xy  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình     2 ( x  1) y  x( y  1)    ( x  y )1  2    x y     Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  2  xy   x  y   xy xy  2.5.2.3 Đặt u  x  1 , v y y x    ( x  y )1     xy     Ví dụ Giải hệ phƣơng trình    2    ( x  y )1  xy         3 ( x  y )1    xy    xy  xy   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình    2    ( x  y )1  xy   17    2.5.2.4 Đặt ẩn phụ bậc hai biểu thức bậc x, y Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  2x  y   x  y    3x  y    x y  x y 2  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  y   3 x  y   x  y   Ví dụ 10 Giải hệ phƣơng trình  2  x  y  x  y    Ví dụ 11 Giải hệ phƣơng trình  7x  y  2x  y   (Trích đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 2001)   2x  y  x  y   2.5.3 Kĩ đặt ẩn phụ hai phương trình hệ Điều quan trọng cần phát ẩn phụ u  f ( x, y), v  g ( x, y) phƣơng trình hệ sau phép biến đổi đồng nhƣ: Sử dụng đẳng thức, chia hai vế phƣơng trình cho biểu thức có sẵn các phƣơng trình, thêm bớt, nhóm số hạng để ta tìm phần chung để ta đặt ẩn phụ  x  y  xy   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   xy  x y   Phân tích : Đây là ̣ đố i xƣ́ng loa ̣i I nên ta có thể giải hệ cách đặt S  x  y, p  xy Tuy nhiên để ý ta có phƣơng trình hệ biểu diễn đƣợc theo x  y , xy Từ đặt ẩn phụ u  x  y , v  xy Chú ý: Không phải lúc hệ đối xứng loại I giải theo cách biết Đơi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát cách giải tốt  x  y  x  y  18 Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   xy ( x  1)( y  1)  72 Phân tích: Đây hệ đối xứng loại I Hƣớng Biểu diễn phƣơng trình theo tổng x  y tích xy Hƣớng Biểu diễn phƣơng trình theo x  x y  y Rõ ràng hƣớng tốt 2 Nhận xét: Bài toán đƣợc hình thành theo cách sau: a  b  18 (I) ab  72 Xuất phát từ hệ phƣơng trình đơn giản  1) Thay a  x  x, b  y  y vào hệ (I) ta đƣợc hệ 2  x  y  x  y  18 (1)  ví dụ  xy ( x  1)( y  1)  72 2 2) Thay a  x  xy, b  y  xy vào hệ (I) ta đƣợc hệ  x  y  18  (2)  2  xy ( x  y )  72  3) Thay a  x  x, b  x  y vào hệ (I) ta đƣợc hệ  x  x  y  18 (3)   x( x  2)(2 x  y )  72 1 , b  y  vào hệ (I) ta đƣợc hệ x y ( x  y ) xy  x  y  18 xy (4)  2 ( x  1)( y  1)  72 xy 2 5) Thay a  x  xy, b  y  xy vào hệ (I) ta đƣợc hệ  x  y  xy  18 (5)   xy ( x  y )( y  x)  72 4) Thay a  x  6) Thay a  x y  , b  x  y vào hệ (I) ta đƣợc hệ y x x y   x  y  y  x  18  (6)  ( x  y ) x  y   72   y x      7) Thay a  1  , b  x  y vào hệ (I) ta đƣợc hệ y x x y   x  y  y  x  18 (7)  ( x  y )  xy  8) Thay a  x  y, b  x vào hệ (I) ta đƣợc hệ y x   x  y   18 y (8)   x( x  y )  72 y  9) Thay a  x  1 vào hệ (I) ta đƣợc hệ ,b  x  y y  11   x( x  1)    1  18 y y  (9)     3 2  x y  xy  x y  72 y Nhận xét: - Nhƣ vậy, với hệ xuất (I), cách thay biến a, b biểu thức chứa x, y ta thu đƣợc nhiều hệ phƣơng trình Qua ví dụ học sinh học tập đƣợc cách sáng tạo số hệ phƣơng trình a  b  - Thay hệ xuất phát (I) hệ xuất phát (II)  2 a  b  21 làm tƣơng tự nhƣ ta lại thu đƣợc hệ khác Chẳng hạn 1) Thay a  x  y , b  xy vào hệ (II) ta đƣợc hệ 2  x  y  xy   (1)  4 2  x  y  x y  21  1 , b  y  vào hệ (II) ta đƣợc hệ x y 1  x y  7  x y  (2)   x  y    21  x2 y  x 3) Thay a  x  , b  vào hệ (II) ta đƣợc hệ y y  xy  x   y (3)  2 ( xy  1)  x  21y 4) Thay a  x  y, b  vào hệ (II) ta đƣợc hệ y ( x  y ) y   y (4)  2 ( x  y  2) y  21y  2) Thay a  x  5) Thay a  x  x, b  y  x vào hệ (II) ta đƣợc hệ 2  x2  y  4x  (5)  x  y  x( x  y )  21  Nhƣ vậy, biết cách tạo tốn nghĩ cách giải toán khác  x( x  2)(2 x  y )  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  x  4x  y    x  y  x  y  5 Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  3x  y  x  y    x  y  x y  xy  xy     Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  y  xy (1  x)     (Trích đề thi đại học khối A năm 2008) x  x y  x y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x y  x  xy  1    x  y  xy  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  y  x y   ( x  y )( x  y )   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  ( x  y )( x  y )  15  Chú ý: Hê ̣ phƣơng trình là ̣ đố i xƣ́ng b ậc ba nên ta có thể giải theo cách giải của ̣ đố i xƣ́ng bâ ̣c ba  x  y   x  2y  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x( x  y  2)  y (4 y  2)  41   x   y( x  y)  y  Ví dụ 10 Giải hệ phƣơng trình  ( x  1)( x  y  2)  y  (Trích đề thi đại học khối A năm 2006) 1  x y  19 x  Ví dụ 11 Giải hệ phƣơng trình   y  xy  6 x   x( x  y  1)    Ví dụ 12 Giải hệ phƣơng trình  ( x  y )  x     9 y (3x 1)  125 Ví dụ 13 Giải hệ phƣơng trình  45 x y  75 x  y  Bài tập tự luyện 2.6 Kĩ sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để giải hệ phƣơng trình Trong phƣơng phá p này, chúng ta dựa vào tính đơn điệu hàm số để thiết lập mối quan ̣ giƣ̃a các ẩ n 2.6.1 Tính chất đơn điệu hàm số 2.6.2 Kĩ biến đổi phương trình hệ dạng f(u)=f(v)   x  y  y  3x Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  y   (1) (2) Nhận xét: Ta biến đổi phƣơng trình (1) dạng f(x)=f(y), nhƣng để khẳng định f đơn điệu ta xét phƣơng trình (2) tìm đƣợc x, y  0;1 mà f đơn điệu 0;1 Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số ta đƣợc phƣơng trình đơn giản giúp cho việc giải hệ thực đƣợc  x  3x  x  22  y  y  y  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  2 x  y  x  y   (1) (2) (Trích đề thi khối A năm 2012) Nhận xét: - Ở phƣơng trình (1) ta khéo léo sử dụng đẳng thức để đƣa hai vế phƣơng trình f(u) f(v) Từ phƣơng trình (2) ta biến đổi để xác định u v thuộc khoảng (a;b) mà hàm số f đơn điệu Hệ giải cách đặt u = x - y, v = xy nhƣng lời giải dài việc tính tốn phức tạp - Nế u thay u  x  1, v  y  ta có u, v   2;2 ta đƣợc hệ 8 x  12 x  18 x  y  12 y  18 y  22   2 x  y  x  y   (4 x  1) x  ( y  3)  y  (1)  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  (Trích đề thi đại học khốiA 4 x  y   x  (2)  năm 2010) Nhận xét: Đây hệ phƣơng trình chứa Việc làm phƣơng phát bình phƣơng dẫn đến số mũ lớn mà khơng thể giải tiếp phƣơng pháp hay đặt ẩn phụ Mỗi phƣơng trình hệ khơng đƣa đƣợc phƣơng trình tích Từ lí ta nghĩ đến phƣơng pháp hàm số Điều quan trọng cần phải khéo biến đổi để xuất hàm số Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  y   log (2 x  y )  xy  x  x 4 xy  y   log y  3  2  x  xy  y   (1) (2) Phân tích: Đây hệ phƣơng trình có chứa logarit Nhƣng biểu thức logarit khơng thể biến đổi tiếp đƣợc Ngồi ta khơng tìm đƣợc biểu thức giống để đạt ẩn phụ Điều khiến ta nghĩ tới phƣơng pháp hàm s ố 2 x  y  y  x  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  x  y   (1) (2) Chú ý: Ngồi hệ mà có sẵn phƣơng trình biến đổi dạng f (u)  f (v) cịn gặp số hệ sau thực phép cộng đại số xuất f (u)  f (v)  x  x  5x   y Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  7 x  x   y      x  y 512 x  y   2 x  y 1 (1)  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  (Đề thi ho ̣c sinh giỏi Quố c gia  y  x   ln( x  x)  (2)  năm 1998-1999) Phân tích: Phƣơng trìn h (2) không thể thƣ̣c hiê ̣n các phép biế n đổ i về phƣơng trình đơn giản nên ta tập trung vào phƣơng trình (1) 2.6.3 Kĩ sử dụng tính chất hàm số để giải hệ đối xứng loại II Một số hệ phƣơng trình đối xứng loại II thực phép trừ với vế hai phƣơng trình sẽ dẫn tới phƣơng trình mà ta phải sử dụng đến tính chất đơn điệu hàm số giải đƣợc x  x  y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   y  y  x   x  x  y  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  y  y2  x  Nhận xét: Sau trừ vế với vế hai phƣơng trình hệ ta đƣợc phƣơng trình: x  y  x  y  x  y  biến đổi phƣơng trình tích ta có phƣơng trình: ( x  y)( x  xy  y  x  y)   Việc kết hợp phƣơng trình x  xy  y  x  y   với phƣơng trình hệ ta đƣợc hệ phƣơng trình khơng giải đƣợc Do ta chuyển hƣớng xét hàm số giải đƣợc hệ cho log x   log (3 y )  Ví dụ 10 Giải hệ phƣơng trình  log y   log (3x)   x  x  x   y 1   Ví dụ 11 Giải hệ phƣơng trình   y  y  y   x 1   Nhận xét: Đây hệ đối xứng loại II Sau trừ vế với vế hai phƣơng trình hệ biến đổi phƣơng trình tích (x-y).f(x,y) = hệ gồm phƣơng trình hệ cho phƣơng trình f(x,y) = giải đƣợc Nhƣ việc sử dụng tính chất hàm số cần thiết để giải hệ 2.6.4 Kĩ sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để giải hệ hoán vị vòng quanh 3 x  y  y  y  Ví dụ 12 Giải hệ phƣơng trình 3 y  z  z  z 3 z  x  x  x  Phân tích: Hệ có tính chất gần giống hệ đối xứng loại II là: Thay x y, y z z x hệ không thay đổi Tuy nhiên ta không áp dụng đƣợc cách giải hệ đối xứng loại II vào hệ hệ có ba phƣơng trình Nếu quan sát kĩ ba phƣơng trình hệ có dạng giống khác biến Từ ta nghĩ đến hàm số sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ  y  x  12 x    Ví dụ 13 Giải hệ phƣơng trình  z  y  12 y    x  z  12 z     y (36 x  25)  60 x  Ví dụ 14 Giải hệ phƣơng trình  z (36 y  25)  60 y  x(36 z  25)  60 z   x  3x   ln( x  x  1)  y  Ví dụ 15 Giải hệ phƣơng trình  y  y   ln( y  y  1)  z  z  3z   ln( z  z  1)  x  năm 1994) (Trích đề thi HSG Quốc gia 2.6.5 Sử dụng tính chất hàm số để chứng minh hệ phương trình vơ nghiệm, có nghiệm nhất, có hai nghiệm x  y  2x    Ví dụ 16 CMR hệ phƣơng trình sau có đúng nghiệm   y  x  y     x e  2007   Ví dụ 17 CMR hệ phƣơng trình  e y  2007    y y 1 x có đúng hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: x2 1 x>0, y>0 Bài tập tự luyện 2.7 Kĩ đánh giá để giải hệ phƣơng trình 2.7.1 Kĩ sử dụng điều kiện toán Với số hệ phƣơng trình từ điều kiện tốn ta tìm đƣợc nghiệm hệ nhanh chóng  x 1  y    Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   y   x     x2 1  y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  y     x  xy  y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  y 1  2.7.2 Đánh giá sử dụng tính chất: Nếu  a  1, m  n  a m  a n   x  y  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  y   x  y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  y    2 x  y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x  3xy    2.7.3 Sử dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopxki, a  a  R  2 x   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  2 y    3 y4  x4  x  1.4 y   x  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   y  1.4 x   y  xy   x2  y x  x  2x   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  xy y   y2  x  y  2y   Phân tích: Đây là ̣ đố i xƣ́ng loa ̣i II , nhiên viê ̣c trƣ̀ vế với vế xuấ t hiê ̣n phƣơng trình tích hay sử dụng tính chất hàm số khơng thực đƣợc Tƣ̀ đó ta nghi ̃ đế n đánh giá  x  y  2x  y  x   Ví dụ 10 Giải hệ phƣơng trình   x  y  x  y     x  xy  y   Ví dụ 11 Giải hệ phƣơng trình  x y2   x  y  y x  Phân tích: Đây là ̣ phƣơng trinh đố i xƣ́ng loa ̣i I , nhiên nế u đă ̣t S  x  y, P  x y ̀ khơng biểu diễn đƣơ ̣c ̣ đã cho theo S, P Nế u đă ̣t S  x  y , P  x y ta đƣơ ̣c ̣ mới rấ t phƣ́c ta ̣p Tƣ̀ đó ta nghi ̃ đế n phƣơng pháp đánh giá  2 x   x   y  y  Ví dụ 12 Giải hệ phƣơng trình  y   y2  x2   x2  Phân tích: Đây là ̣ phƣơng trình đối xứng loại II Nế u trƣ̀ vế với vế hai phƣơng trinh ̀ hệ để đƣa phƣơng trình tích sử dụng tính chất hàm số gặp khó khăn Ta nghi ̃ tới phƣơng pháp đánh giá     4 x  12  x   y y    y  Ví dụ 13 Giải hệ phƣơng trình  4 y  12  y   x x    x  Bài tập tự luyện 2.8 Kĩ sử dụng số phức để giải hệ phƣơng trình  x  3xy   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   y  3x y   Phân tích: Đây hệ đẳng thức bậc Tuy nhiên giải phƣơng pháp thơng thƣờng ta sẽ đến giải phƣơng trình bậc 3: 3t  3t  3t   Phƣơng trình khơng có nghiệm đặc biệt 3x  x  x  y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   y  y  1  x2  y2  3x  y  x  x  y   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   y  x  3y   x2  y2   2 x (1  x  y )   Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   y (1  )  1  2x  y  Nhận xét: Ở ví dụ mẫu số khơng có dạng tổng bình phƣơng nhƣng với mục đích chuyển mẫu dạng bình phƣơng mô đun số phức ta đặt u  x , v  y Chú ý: Muốn giải đƣợc hệ phƣơng trình phƣơng pháp sử dụng số phức ta cần ý hai công thức số phức là: z  x  yi  z  x  y , x  yi  z x  y2 Bài tập tự luyện CHƢƠNG 3: THƢ̣C NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích, nô ̣i dung, tổ chƣc thƣ̣c nghiêm sƣ pha ̣m ̣ ́ 3.2 Giáo án thực nghiệm sƣ phạm ̉ ́ Giáo án 1:MỘT SÔ VÍ DỤ VỀ HÊ ̣ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ÂN ̉ Giáo án 2: LUYÊ ̣N TẬP VỀ HÊ ̣ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ÂN Giáo án 3:GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Giáo án 4:BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 3.3 Kết thực nghiệm sƣ phạm Đề kiểm tra (45 phút) kết làm học sinh 3.4 Tóm tắt chƣơng KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc kết chủ yếu sau: Tổng quan số vấn đề thuộc lí luận liên quan đến kĩ giải tốn nói chung kĩ giải hệ nói riêng Trên sở lí luận luận văn xác định phƣơng hƣớng cho giải pháp rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh thông qua việc rèn luyện tám kĩ giải hệ phƣơng trình Ở kĩ có ví dụ với phân tích để tìm hƣớng giải nhận xét, ý với hệ thống tập tự luyện phong phú, đa dạng giúp em rèn luyện đƣợc các kĩ cần thiết giải hệ phƣơng trình Giải pháp rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình đƣợc kiểm nghiệm, đánh giá qua thực nghiệm sƣ phạm Tuy thời gian thực nghiệm cịn ít, phạm vi thực nghiệm chƣa rộng nhƣng chứng tỏ đƣợc tính khả thi đề tài Luận văn tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy ôn luyện thi đại học nội dung hệ phƣơng trình References Bộ giáo dục và đào tạo (2008), Giải tích 12 nâng cao NXB giáo dục Bộ giáo dục và đào tạo (2006), Đại số 10 nâng cao NXB giáo dục Bộ giáo dục và đào tạo (2006), Bài tập đại số 10 nâng cao NXB giáo dục Vũ Cao Đàm (2009), Giáo trình Phương pháp luận nghiên cứu Khoa học NXB Giáo dục Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trƣờng (2008), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng tồn quốc mơn tốn NXB Hà Nội Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2004), Phương pháp giải toán đại số NXB Hà Nội G.Polya (1975), Giải toán (bản dịch), sách dịch NXB giáo dục G.Polya (1977), Sáng tạo toán học (bản dịch), sách dịch NXB giáo dục Ngũn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học mơn tốn NXB Đại học sƣ phạm Hà Nội 10 Luật Giáo dục Việt Nam (2005) 11 Nguyễn Vũ Lƣơng chủ biên, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng, Hệ phương trình phương trình chứa thức NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 12 Nguyễn Thị Thanh Thủy (2010), Rèn luyện kĩ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT, luận văn thạc sĩ Đại học Giáo dục 13 Từ điển Bách khoa Việt Nam 2, NXB Từ điể n bách khoa 2002 14 Nguyễn Thị Yến (2011), Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp tọa độ không gian, luận văn thạc sĩ Đại học Giáo dục ... kĩ năng; Các mức độ kĩ giải toán, nhiệm vụ rèn luyện kĩ giải tốn cho học sinh Ngồi còn trình bày vai trị tập tốn học; Định hƣớng cho giải pháp rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh Nội dung hệ. .. chọn đề tài: “ Rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình cho học sinh giỏi Trung học phổ thông ” Lịch sử nghiên cứu Đến có số cơng trình nghiên cứu rèn luyện kĩ nhƣ ? ?Rèn luyện kĩ giải toán thiết diện... hƣớng cho giải pháp rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh thông qua việc rèn luyện tám kĩ giải hệ phƣơng trình Ở kĩ có ví dụ với phân tích để tìm hƣớng giải nhận xét, ý với hệ thống tập tự luyện